Transcript 没有幻灯片标题 - 中国科学技术大学
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杨维纮
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第一章 质点运动学
§1.1
引言
§1.2
质点和参考系
§1.3
速度与加速度
§1.4
直角坐标系中运动的描述
§1.5
自然坐标系中运动的描述
§1.6
平面极坐标中的运动描述
§1.7
相对运动
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§1.1
引 言
1.1.1
力学的研究对象
1.1.2
时间、空间和牛顿力学的绝对量
1.1.3
宇宙的层次和数量级
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§1.1
引 言
1.1.1 力学的研究对象
运动学： 研究物体运动的几何性质，而不研究引起物
体运动的原因。（位移，速度，加速度，轨
迹等的描述和计算）
动力学： 研究受力物体的运动变化与作用力之间的
关系。（运动微分方程的建立和求解）
静力学： 研究物体在力系作用下的平衡规律，同时
也研究力的一般性质和力系的简化方法等。
（平衡方程的应用和受力分析）
经典力学适用范围：弱引力场中宏观物体的低速运动。
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1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量
时间 ：
时间用以表述事物之间的顺序
空间 ：
空间用以表述事件相互之间的位形
在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为
是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存
在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为
欧几里德几何空间。而近代物理理论对此是否定的，
这个问题将在相对论一章中详细讨论。
没有满意的“严格”的理论定义，并不妨碍时间和空间二者
在物理中的使用，因为，物理学是一门基于实验的科学，在
考查物理学的概念或物理量的时候，首先应当注意它与实验
之间是否有明确的、不含糊的关系。对于时间和空间这两个
基本概念来说，首要的问题似不是去追究它们的“纯粹”定
义，而是应当了解它们是怎样量度的。
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时间的测量 ：
任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量时间
的一种钟 （例如，太阳的升没表示天；四季的循环
称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过程，
如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子的振
动等等，也都可以用作测时的工具）
真太阳日：太阳视面中心连续两次出现在地面某处正
南方所需的时间
平太阳日：一年之内全部真太阳日的平均
秒：
一个平均太阳日的1/86,400，这种以地球
自转为基础的计时标准叫世界时（UT）
1956年起改用以地球公转周期为基准的时间标准，
称为历书时（ET），并规定秒为1900年回归年的
1/31,556,925.9747
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时间的测量 ：
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自从人类发明机械计时的时钟以来，400年来时间计
量准确度的提高是惊人的，现代的原子钟的计时误差
已小于 10 10 秒/天。目前，时间是测量得最准确的
一个基本量
1967年10月在第十三届国际度量衡会议上规定：
位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级
在零磁场中跃迁辐射的周期T与1秒的关系为
1秒 = 9,192,631,770 T
这样的时间标准称为原子时
用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量
精度要比秒表作时计提高 10 10 倍，即误差下降到秒
表的 10 10 之一
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空间的测量 ：
长度是空间的一个基本性质
对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样
的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。对于不能
用尺直接加以测量的小尺度，可以求助于光学方法。
在精密机床上常有光学测量装置；测定胰岛素中原子
的位置，是用调光衍射方法。对于大的尺度，也不能
直接用尺去测量，也要求助于光。测量月亮与地球的
距离可以用激光测距的方法，测量一些不太远的恒星，
可以用三角学方法。至于银河系之外的遥远天体的距
离，同样是用它们发光的一些特征来测定的。
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空间的测量 ：
米： 规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度
的1/10,000,000
1875年起，决定改用米原器（截面呈“X”形的
铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米
不易复制，精度又不高
1960年在第十一届国际计量大会上规定：
1米等于氪86原子的和能级之间跃迁时所对应的辐
射（橙色谱线）在真空中的波长λ的1,650,763.73倍。
这样规定的米叫原子米
1983年10月在第十七届国际计量大会上规定：
米是光在真空中在1/299,792,458秒的时间间隔内所
传播的路程长度
光速：c = 299,792,458米／秒
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
1. 空间尺度：从极小到极大
最遥远星系
银河系
邻近恒星
太阳
地球
人类
细胞
原子
质子
夸克
1026 m
1020 m
1010 m
100 m
10-10 m
10-20 m
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
天体空间尺度
地球直径
太阳直径
太阳系范围
最近的恒星
银河系范围
最近的星系
富星系团
可测宇宙
（1 光年～1016 米）
-9
1.3×10 光年
-7
1.47×10 光年
-3
1.2×10 光年
4.3 光年
105 光年
6
10 光年
7
10 光年
10
1.5×10 光年
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
星系的直径大约是 1021米
人造物体和自然物体的电子显
微镜照片，图中垂线是20纳米
的聚合物纤维，有短尾的物体
是T-4噬菌病毒
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
一些典型的时间尺度
宇宙年龄
地球年龄
太阳绕银河系中心的轨道周期
古人类的出现
钚的半衰期
人的寿命
地球的公转周期（1年）
地球的自转周期（1天）
人的脉搏
人的神经系统反应时间
可听见的最高频率的声音周期
μ子的寿命
典型的分子转动周期
实验室能产生的最短光脉冲周期
π介子的半衰期
共振粒子寿命
从宇宙诞生到已知的物理定律可用的时间
6×1017 秒
1.5×1017 秒
8×1015 秒
6×1013 秒
8×1011 秒
2×109 秒
3×107 秒
8.6×104 秒
1秒
1×10-1 秒
5×10-5 秒
2×10-6 秒
1×10-12 秒
1×10-15 秒
2×10-16 秒
1×10-25 秒
1×10-43 秒
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
我们研究的对象跨越如此巨大的数量级范围，
单一的单位（如秒、米），用起来就很不方便了，
通常的做法是采用一些词冠来代表一个单位的十进
倍数或十进分数，如千（kilo）代表倍数103，厘
（centi）代表分数10-2，等等。在国际单位制中，原
来从10-18到1018的36个数量级之间规定了16个词冠，
最近又建议在大、小两头再各增加两个，共20个词
冠，一并列在下表1.1中。表内中译名在方括弧里的
字可以省略。这些词冠与各种物理量的单位组合在
一起，构成尺度相差甚为悬殊的大小各种单位，在
现代物理学中广泛使用着。其中有的已化作物理学
名词的一部分，如纳米（nm）结构、飞秒（fs）光
谱等，成为一些新兴技术的标志和象征。
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
国际单位制所用的词冠
数量级
英文名
缩写符号
中译名
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
分
厘
毫
微
纳[诺]
皮[可]
飞[母托]
阿[托]
仄[普托]
幼[克托]
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
国际单位制所用的词冠（续）
数量级
英文名
缩写符号
中译名
10
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zeta
yota
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
十
百
千
兆
吉[咖]
太[拉]
拍[它]
艾[克萨]
泽[塔]
尤[塔]
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
最长的时间和最短的时间
目前，物理学中涉及的最长的时间是1038 秒，它
是质子寿命的下限。宇宙的年龄大约是6x1017秒，即
200亿年。牛顿力学所涉及的时间尺度大约是10-5 ～
1015秒，即从声振动的周期到太阳绕银河中心转动的
周期。粒子物理的时间尺度都很小，μ子的寿命是
2x10-6秒，已经算是极长寿的了，最短寿的是一些共
振粒子，它们的寿命只约有10-24秒，目前物理学中涉
及的最小的时间是10-43秒，称为普朗克时间。普朗克
时间被认为是最小的时间，比普朗克时间还要小的范
围内，时间的概念可能就不再适用了。
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
最大的长度和最小的长度
目前，物理学中涉及的最大长度是1028米，它是
宇宙曲率半径的下限；弱电统一的特征长度为10-20米；
普朗克长度约为10-35米，被认为是最小的长度，意思
是说，在比普朗克长度更小的范围内，长度的概念可
能就不再适用了。
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§1.2
质点和参考系
1.2.1
质点和参考系
1.2.2
轨迹和运动方程
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§1.2
质点和参考系
1.2.1 质点和参考系
质点 ：
参考物 ：
突出了“物体具有质量”、“物体占有位
置”
为了研究运动，固定坐标系的物体
参考坐标系 ： 固定在参考物上的坐标架（简称参考系）
参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟
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1.2.1 质点和参考系
质点 的位置矢量 r（简
称位矢）的大小为OP
的长度，而方向从O指
向P。用这个矢量就完
全确定了质点P的位置
r xi yj zk
其中i，j，k分别分别表示空间的三个坐标方向
（ x , y , z 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢
参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用
不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这
一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。
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1.2.2 轨迹和运动方程
质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这
条曲线我们称之为轨迹。
轨迹可以利用曲线方程来描写。
譬如，曲线方程：
x2 y2 R2
z 0
就描写了在平面上半径为R的圆周运动的轨迹。
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一般曲线方程可以表示成：
f1 ( x , y , z ) 0
f 2 ( x, y, z ) 0
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1.2.2 轨迹和运动方程
在历史上很长一个时期内，人们只注重轨迹形状
的研究，例如行星走圆形，落体走直线。我们知道，
质点运动是位置的变化，它涉及空间和时间两方面。
轨迹形状只反映了运动的空间方面的性质，它对于研
究运动还是不够的，因为轨迹还没有把质点运动的情
况全部表述出来，特别是没有表述它的动态性质。百
米赛跑时，所有运动员的轨迹都是直线，但他们各自
的运动情况并不全同，否则就分不出名次了。我们不
仅应该知道轨迹，而且还应知道质点经过轨迹上各点
的时刻。运动是在时间、空间里的现象，关键是把时
间描写和空间描写联系起来。直到牛顿之前不久，才
特别强调了这一点。
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1.2.2 轨迹和运动方程
我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。
质点的位置关于时间的函数称为运动方程或运动解，
知道了这个方程等于知道了此质点运动的一切情况。
质点的运动方程可以表示成：
r r (t )
当然，也可以用坐标系中
三个坐标分量来描述运动
x x (t )
y y (t )
z z (t )
并有关系式 r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k
从运动方程中消去时间 t 即得到轨迹的方程
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1.2.2 轨迹和运动方程
应当指出，同一物体，相对于不同的参考系，显示出
不同的运动。风洞中的模型，相对于地面是静止的，相对
于空气（风），模型却在以高速度飞行。车刀，相对于车
床的床座，仅仅作直线运动；相对于工件，刀刃却在作螺
旋运动。所以，研究运动，必须首先选定参考系，由于运
动方程既包含质点的位矢，也包含时间，因而对于不同的
坐标原点与时间原点的选取，运动方程的形式将有所不同。
在日常生活中，我们习惯于认为地面是静止的，在讲
到“静止”、“运动”的时候总是对地面而言的。可是，
大家知道，地球以大约30公里/秒的速度绕太阳公转，根
本不是静止的。宇宙间没有一个绝对静止的物体。静止和
运动都是相对的，不存在“绝对静止”的参考系，只存在
描述某个运动较为方便的参考系。
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§1.3
速度与加速度
1.3.1
位移、路程与速度
1.3.2
加速度
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§1.3
速度与加速度
1.3.1 位移、路程与速度
1. 直线运动
质点在t1到t2时间间隔内的平均
速度
v t1 t 2
x ( t 2 ) x ( t1 )
t 2 t1
瞬时速度（简称速度）定义为：
杨
维
纮
v (t )
lim
t 0
x (t t ) x (t )
t
lim
t 0
x
t
dx ( t )
dt
通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时
速度的绝对值被称为速率。
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1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时
间间隔内的平均速度
v t1 t 2
r ( t 2 ) r ( t1 )
t 2 t1
r
t
这个平均速度的定义表明，平
均速度是矢量。
r r ( t 2 ) r ( t1 )
是在时间间隔 △t 内质点位置矢量的改变量，称为位
移矢量（简称位移）
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1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
由右图很清楚知道，在t1到t2
时间间隔内质点的运动方向并非
总是沿着1到2的方向的，而是先
从1向4、3方向运动，然后从3向2
方向运动，这些运动方向并不平
行于 1到2的方向。
所以平均速度所指的方向，只是质点真实运动方向的平均。
也就是说，平均速度不但对于运动快慢的描写是粗略的，而且对
于运动方向的描写也是粗略的。但当△t减小时，矢量相继从1，
2变到1，3，变到1，4……，在△t→0的极限情况下， △r的方
向趋于轨迹曲线在点 1的切线方向，且位移与路程两者的大小近
似相等。这样，我们就得到一个结论：瞬时速度的方向，就是轨
迹曲线在相应点的切线方向；瞬时速度的大小，就是时平均速率
的大小。
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1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
路程函数s(t)：质点从 t1 =0 到
t2 = t 时刻所走过的路程长度
质点从 t1 = t 到 t2 = t +△t 时
间间隔内所走过的路程
s s ( t 2 ) s ( t1 )
由此可以定义平均速率：
w t1 t 2
s ( t 2 ) s ( t1 )
t 2 t1
s
t
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1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
由右图可以看出，位移△r与
路程△s有如下的异同点：
(1) 位移与路程不同于位矢，
它们与坐标原点的选取无关。
(2) 路程△s是由M到M′的曲线的
实际长度，是一个标量。而位移
是由始点至终点的有向线段，是
一个矢量。而且位移的大小通常
也不等于路程。
(3) 位移不反映初位置到终位置中间的细节，也不反
映初位置或终位置本身，仅反映两者相对位置的改变。
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1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
瞬时速度（简称速度）定义为：
v (t )
lim
r (t t ) r (t )
t 0
t
lim
t 0
r
t
dr
dt
速度的数值大小（绝对值）称
为速率，由上式知：
v (t ) | v (t ) |
lim
t 0
r
t
lim
t 0
| r |
t
lim
t 0
s
t
ds ( t )
dt
在国际单位制中，速度的单位是米/秒，常用的单位还
有厘米/秒、千米/小时等
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1.3.2 加速度
1. 直线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间间隔内的平均加速度
a t t t
v (t t ) v (t )
t
瞬时加速度（简称加速度）定义为：
a (t )
lim
t 0
v (t t ) v (t )
t
lim
t 0
v
t
dv ( t )
dt
2
d x (t )
dt
2
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1.3.2 加速度
2. 曲线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间
间隔内的平均加速度
a t t t
v
t
v (t t ) v (t )
t
瞬时加速度（简称加速度）定义为：
a (t )
lim
t 0
v (t t ) v (t )
t
lim
t 0
v
t
d v (t )
dt
2
d r (t )
dt
2
在国际单位制中，加速度的单位是米/秒2，常用的
单位还有厘米/秒2 等。
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§1.3
速度与加速度
小结：
速度、加速度是矢量，它具有矢量性
质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一
定相同，它具有瞬时性
选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不
同的，它具有相对性
从运动学本身来考虑，没有足够的理由说明，为什
么我们应当到此为止，而不去讨论加加速度、加加
加速度……。其中的原因在动力学，学过动力学后，
我们将看到，对力学的讨论几乎全部是基于位置矢
量、速度和加速度这三个量。
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§1.4
直角坐标系中运动的描述
1.4.1
直线运动
1.4.2
曲线运动
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§1.4
1.4.1 直线运动
运动方程：
平均速度：
x x (t )
v t0 t
x (t ) x (t 0 )
瞬时速度：
v (t )
lim
t 0
杨
维
纮
直角坐标系中运动的描述
x (t t ) x (t )
t
t t0
dx ( t )
dt
右图表示的是质点做直线运动时的位置、
速度和加速度关于时间的图形。由图上可
见，当位置最大时，速度为零（此时曲线
的斜率为零），同样当速度最大时，其加
速度为零。
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1.4.1 直线运动
瞬时速率：
w ( t ) | v ( t ) |
平均加速度：
a t0 t
瞬时加速度：
ds ( t )
dt
a (t )
lim
t 0
v (t ) v (t 0 )
t t0
v (t t ) v (t )
t
dv ( t )
dt
2
d x (t )
dt
2
由此可见，如知道运动方程，则速度、加速度等皆可求得。
故古希腊自然哲学家亚里士多德 (Aristotle, 384~322 B.C.) 认
为：轨迹是最基本的，速度次之（当时并不知道加速度）。
这种方法的特点是先研究运动的大的整体方面，往往从对称
性入手，然后再涉及局部细节。就人类的认识过程来看，的
确是先看到轨迹的形状，然后有了运动快慢的概念，最后认
识到速度的变化，即加速度。
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1.4.1 直线运动
运动学的反问题
如果已知质点运动的加速度 ： a a (t )
若再知道 t = 0 时刻质点的速度和位置 ：
v (t 0 ) v 0
可以完全描述运动。
a ( t ) dv / dt
利用：
可以解得：
杨
维
纮
x (t 0 ) x 0
v (t ) v 0
x (t ) x 0
s (t ) s 0
v ( t ) dx / dt
t
a ( t ) d t
0
t
v ( t ) d t
0
t
0
| v ( t ) | d t
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中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
牛顿认为：瞬时情况更基本，不要先探讨物体运动的
整体方面，而是先弄清局部细节，再积分得到整体性质。
这种方法，是现代物理学的一个基本方法，至今在大多数
情况下，物理学家们都采用牛顿这种方法。
从哲学上看，本小节处理运动问题的两种方法（正问
题和反问题）反映了人们的两种不同信念：一种认为整体
的大的方面简单些，因此，主张从大到小的研究顺序；另
一种认为局部的单元过程更简单些，因此，主张从小到大
的研究顺序。现在看来，这两种“简单性”可能是分不开
的，虽然在大多数情况下，我们偏爱第二种研究顺序，但
在某些局部过程不得要领的情况下，第一种研究顺序也有
其独到之处。在第四、五章我们再讨论这个问题。
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中
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科
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技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.2 曲线运动
1. 运动方程
r (t ) x (t ) i y (t ) j z (t )k
x x (t )
y y (t )
z z (t )
v (t ) v x (t ) i v y (t ) j v z (t )k
2. 速度
分量式：
v x (t )
dx ( t )
v y (t )
x ( t )
dt
dy ( t )
y ( t )
dt
速率：
2
2
2
ds ( t ) dx
dy
dz
v (t )
dt
dt
dt
dt
其中：
ds dx dy dz
2
2
2
2
1/ 2
v z (t )
dz ( t )
dt
z ( t )
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中
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术
大
学
1.4.2 曲线运动
3. 加速度
a (t ) a x (t ) i a y (t ) j a z (t )k
分量式：
2
a x (t )
d x (t )
a y (t )
d y (t )
a z (t )
d z (t )
x( t )
dt
2
杨
维
纮
y( t )
dt
2
dt
z( t )
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中
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术
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杨
维
纮
1.4.2 曲线运动
运动的重要性质：
运动的独立性
运动的独立性 的实验演示
由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质
点的复杂的曲线运动时，其方向的坐标、速度和加速
度与其它方向的坐标、速度和加速度无关；对方向和
方向也有这种性质，即三个方向相互无关。这种性质
称为运动的独立性。
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中
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1.4.2 曲线运动
运动学的反问题
a ( t ), v ( t 0 ), r ( t 0 )
如果已知：
可以完全描述运动。
速度： v ( t ) v 0
位矢： r ( t ) r0
t
分量式：
v (t ) v
0x
x
v y (t ) v 0 y
v z (t ) v 0 z
a ( t ) d t
t0
t
v ( t ) d t
t0
路程：
ds ( t )
v (t ) | v (t ) |
dt
s (t ) s (t 0 )
t
t0
v x (t ) v y (t ) v z (t )
2
2
2
v x ( t ) v y ( t ) v y ( t ) d t
2
2
2
t
t0
t
t0
t
t0
a x ( t ) d t
a y ( t ) d t
a z ( t ) d t
x ( t ) x t v ( t ) d t
0
t0 x
t
y ( t ) y 0 t v y ( t ) d t
0
t
z ( t ) z 0 v z ( t ) d t
t0
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中
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术
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杨
维
纮
§1.5
自然坐标系中运动的描述
1.5.1
切向加速度和法向加速度
1.5.2
自然坐标系
1.5.3
圆周运动
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中
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§1.5
自然坐标系中运动的描述
有时直角坐标系不是最好的坐标系，这是因为：
若我们研究的运动是受约束的运动，比如火车的行驶（它不能
离开铁轨），或穿在弯曲钢丝上的小环的运动等。这类运动往
往轨迹的形状是给定的，由于约束力的参与（本章中我们不讨
论力，仅研究运动），加速度往往与轨迹上点的位置有关（有
时还与质点在该点速度有关），此时运动的独立性往往失效。
沿轨迹的曲线坐标系有可能是更好的坐标系。
即使我们研究运动的独立性有效的运动，使用直角坐标系使得
数学计算简单了，但我们对其中的一些物理细节却并不很清楚。
比如，我们知道速度的方向是沿着轨迹上质点所在位置的切线
方向，但加速度的方向如何？加速度的方向对速度又有何影响？
于是，我们需要引入一种新的坐标系：自然坐标系。
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§1.5
自然坐标系中运动的描述
1.5.1 切向加速度和法向加速度
我们现在考虑加速度的方向。对于沿
直线的运动，只有一个方向，故速度与加
速度的方向都与轨迹的方向平行（对于减
速运动，加速度的方向与运动方向相反，
我们仍视加速度与速度方向平行，有时也
称其为反平行），如图1.11(a)；对于匀速
圆周运动，加速度与速度方向垂直，如图
1.11(b)；而对于一般的曲线运动，加速度
的方向比较复杂，它往往与速度的方向即
不平行又不垂直，如图1.11(c)。
由于一维的直线运动非常简单，我们下面的讨论认为质
点的运动不是直线运动。
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维
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
速度矢量：v ( t ) v ( t ) vˆ ( t )
其中 vˆ ( t ) 是沿着轨道切向，
指向运动方向的单位矢量。
v(t)没有法向分量。
加速度 ：
a (t )
d v (t )
dt
v (t )
t
lim
t
t
t
t 0
v (t t ) v (t )
1
v (t )
v ( t t ) vˆ ( t t ) v ( t ) vˆ ( t )
t
v ( t )vˆ ( t t ) vˆ ( t ) v ( t t ) v ( t ) vˆ ( t t )
a (t )
lim
t 0
v1
t
lim
t 0
v 2
t
v1
t
v 2
t
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
lim
t 0
v 2
t
lim
t 0
v (t t ) v (t )
t
该项沿轨迹的切向，
也即是速度的方向，
我们称这一项为切向
加速度。
lim
t 0
vˆ ( t t )
dv ( t )
dt
vˆ ( t )
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
如图知，求瞬时加速度
至少需要在轨迹上取三个点。
设我们取三个点P、Q、
Q1来求加速度。
在求加速度的过程中，每次只取三个点，而不在一条直线上
的三个点可以唯一确定一个平面（我们已假定了质点的运动不是
直线运动），在取极限的过程中，这三个点所确定的平面也会随
之变化，最后会趋于一个极限的平面。我们认为这个极限平面与
点附近的轨迹的关系最为密切，故称该极限平面为密切平面（简
称密切面）。不仅如此，不在一条直线上的三个点还可以唯一确
定一个圆，于是，在我们的密切面上还有一个极限圆，我们认为
这个极限圆与点附近的轨迹的弯曲情况最为密切，故称该极限圆
为密切圆，又称曲率圆，这个圆的半经称为曲率半径。
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
lim
v1
t 0
lim
t
t 0
v (t )
v (t )
lim
vˆ ( t t ) vˆ ( t )
t
t 0
t
nˆ
lim
t 0
v s
R t
2
nˆ
v (t )
nˆ ( t )
R (t )
于是：
a ( t ) vˆ ( t )
dv ( t )
2
nˆ ( t )
dt
v (t )
R (t )
a t vˆ a n nˆ
其中：
杨
维
纮
a t a vˆ
dv ( t )
a n a nˆ
v (t )
切向加速度，表示速度大小的变化
dt
2
R (t )
法向加速度，表示速度方向的变化
R (t )
曲率半径
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
加速度：
a ( t ) vˆ ( t )
2
nˆ ( t )
dt
v (t )
a t vˆ a n nˆ
R (t )
加速度的大小（绝对值）：
2
a (t )
a a
2
t
2
n
2
v
dv
dt
R
2
d s
2
dt
2
2
1 ds
R dt
如果运动方程 已知：r r (t )
可以求得：
杨
维
纮
dv ( t )
v (t ), a (t )
可得轨迹上任意一点的曲率半径为：
3
R (t )
v (t )
| a (t ) v (t ) |
2
2
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
如果以弧长 s 为坐标，则 ：
v
ds
at
dt
dv
2
dt
d s
dt
2
可得：
v v0
s s0
t
t0
t
t0
a t dt
vdt
t
t0
v
0
t
t0
a t dt dt
质点的运动在形式上与直线运动相仿，所不同的
是，质点走的实际上是曲线。
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维
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1.5.2 自然坐标系
eˆ 1 vˆ , eˆ 2 nˆ
eˆ 3 vˆ nˆ bˆ
这样构成的正
交坐标系称为自然
坐标系（有的书上
称为内禀坐标系、
本性坐标系、路径
坐标系等）
当质点作空间运动时，它的速度向量位于轨迹上
的切线方向，而加速度向量位于该点的密切平面上。
Slide 55
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1.5.3 圆周运动
1.
R (t ) R 0
2. 轨道在一个平面上
称这样的运动为圆周运动。
若同时有
v (t ) v 0
常数
则称为匀速圆周运动。
v ( t ) v ( t ) vˆ ( t ) ,
a (t )
dv ( t )
vˆ ( t ) v ( t )
dt
vˆ ( t ) rˆ ( t )
d vˆ ( t )
dt
dv ( t )
a t dt
2
v (t )
an
R0
dv ( t )
dt
2
vˆ ( t )
v (t )
R0
切向加速度
向心加速度
rˆ ( t ) a t vˆ ( t ) a n nˆ ( t )
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1.5.3 圆周运动
圆周运动的另一种描述法：
定义：角速度矢量 ω ，大
小为 d / dt ，方向按右手
系指向平行于转轴方向。
有了上述定义，则当
坐标原点选在转轴上时，如
图，有：
v
a
dr
dt
dv
dt
ω r
dω
dt
r ω
dr
dt
dω
dt
r ω (ω r )
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中
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1.5.3 圆周运动
我们曾指出，对于一个物理对象，用什
么数学语言来描写，这并不是一件很自然的
事情，任何一种数学只是一种逻辑体系，一
种逻辑体系能不能正确地描写我们的物理对
象，是要认真研究的。物理上，寻找那种能
正确地、简洁地描写物理对象的数学是一个
难点。在这里，我们定义了角速度矢量，这
似乎很自然，它又有大小，又有方向。这里
要提醒大家注意的是，有大小又有方向的量
可不一定就是矢量，若要是矢量还必须满足
矢量的运算法则。
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维
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§1.6
平面极坐标中的运动描述
1.6.1
平面极坐标
1.6.2
位矢、速度和加速度
的极坐标表示
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中
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§1.6
平面极坐标中的运动描述
1.6.1 平面极坐标
直角坐标系是最常用的坐标
系，但对有些运动，如圆周运动、
速度或加速度指向空间某固定点
的运动等，直角坐标就不那么方
便，而用平面极坐标（简称极坐
标）会有许多优点。
极坐标法(只对平面曲线运动时可用)：
杨
维
纮
极坐标的建立：规定极点，极轴，极径，极角
极角：极径和极轴的夹角称为极角
两个单位矢量 rˆ 和 ˆ ，它们分别表示 r 增加的方向（称
为径向）和 增加的方向（称为横向）
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1.6.1 平面极坐标
d rˆ ( )
d
d ˆ ( )
d
ˆ
rˆ
在极坐标系中，质点的运动方程为：
r r ( t ),
从该方程组中消去时间t，可得轨迹方程为：
f (r , ) 0
(t )
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1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
r ( t ) r ( t ) rˆ ( t )
r r rˆ r ˆ
v
lim
t 0
lim
t 0
r
t
r
t
rˆ lim r
t 0
ˆ
rrˆ r ˆ
t
前者叫径向速度，用vr表示；后
者叫横向速度，用 v 表示，即：
v v r rˆ v ˆ v r v
其中：
v r rrˆ ,
v r ˆ
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中
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1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
利用矢量的求导公式 推导：
由于： d rˆ d rˆ d ˆ
d dt
dt
可得：
v (t )
d r (t )
dt
a (t )
d v (t )
d
dt
dr ( t )
d ˆ d
rˆ
d dt
rˆ r ( t )
d rˆ
dt
( r rˆ r ˆ )
dt
d rˆ ( t )
dt
杨
维
纮
[ r ( t ) rˆ ]
dt
dt
r rˆ r
d
d ˆ
ˆ (t )
d
r ˆ r ˆ r
dt
r rˆ r ˆ r ˆ r ˆ r ( rˆ )
2
( r r ) rˆ ( 2 r r ) ˆ
2
a r ( r r ) rˆ
a ( 2 r r ) ˆ
径向加速度
横向加速度
dt
r rˆ r ˆ
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例：设质点在匀速转动（角速度为）的水平转盘上从
开始自中心出发以恆定的速率沿一半径运动，求质点
的轨迹、速度和加速度。
解：取质点运动所沿的半径在时的位置为极轴，得：
v r dr / dt u
v rd / dt r
r ut
t
2
a ( t ) r rˆ 2 u ˆ
轨迹方程：
r
u
此曲线为阿基米德螺线
Slide 64
中
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总结：
一般地，当加速度为常量（如重
力加速度），应选取直角坐标系；当
加速度总指向空间一点时（有心力情
形），选极坐标系较方便；当质点的
轨迹已知时（譬如限定在某曲线轨道
上滑动），则可选用自然坐标系。
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维
纮
§1.7
相对运动
通常，把相对观察者静止的
参考系称为定参考系或静参考系，
把相对观察者运动的参考系称为
动参考系；把物体相对于动参考
系的运动称为相对运动（相应的
有相对速度和相对加速度），物
体相对静参考系的运动称为绝对
运动（相应的有绝对速度和绝对
加速度）。动参考系相对静参考
系的运动称为牵连运动（相应的
x
有牵连速度和牵连加速度）。
ω
z
P
y
r (t )
z
r (t )
O
r0 ( t )
O
K系
x
y
K 系
当相对作平动（如的坐标轴在运动中始终与的坐标轴保持平
行）时，牵连速度和牵连加速度不因物体在上的位置不同而异。
当相对转动时，牵连速度和牵连加速度均与物体的位置有关。为
了讨论问题简单起见，本节中动参考系和静参考系中的坐标系都
取直角坐标系。
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中
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维
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§1.7
相对运动
1.7.1
动参考系作任意方式的平动
1.7.2
动参考系作任意方式的运动
Slide 67
中
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维
纮
1.7.1 动参考系作任意方式的平动
注意：平动不一定是直线运动！
r ( t ) r0 ( t ) r ( t )
对静参考系 K：
v (t )
d r (t )
a (t )
,
d v (t )
dt
v 0 (t )
d r0 ( t )
2
dt
,
dt
a 0 (t )
d r (t )
dt
d v 0 (t )
2
2
dt
d r0 ( t )
dt
2
对动参考系 K/:
v ( t )
d r ( t )
,
a ( t )
dt
d v ( t )
dt
d r ( t )
2
dt
2
于是，我们有：
v ( t ) v 0 ( t ) v ( t )
a ( t ) a 0 ( t ) a ( t )
Slide 68
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
r ( t ) r0 ( t ) r ( t )
ω
z
P
P点在K系的坐标：
r (t ) x (t ) i y (t ) j z (t )k
y
r (t )
z
r (t )
O
P点在K/系的坐标：
r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k
r0 ( t )
O/点在K系的坐标、速度
和加速度：
r0 ( t ) x 0 ( t ) i y 0 ( t ) j z 0 ( t ) k
v 0 (t )
d r0 ( t )
a 0 (t )
,
dt
d v 0 (t )
dt
O
K系
x
y
K 系
x
2
d r0 ( t )
dt
2
现在，v (t ) 和 a ( t ) 不能象平动参考系那样称其为牵连速
度和牵连加速度
0
0
Slide 69
中
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术
大
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维
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
定义：
D
在静参考系K中对时间的微商称为绝对微商，符号： Dt
在动参考系K/中对时间的微商称为相对微商，符号：
d
dt
它们之间差别表现在对坐标系的坐标基矢作用时不同
绝对微商视 i , j, k 为变量，视 i , j, k
为常量；
相对微商视 i , j, k 为变量，视 i , j, k 为常量；
除此之外，对坐标值（它们是标量）作用时
全相同。
D
Dt
与
d
dt
完
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中
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维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
K 系：
v
Dr
Dv
, a
Dt
K/ 系：
v
d r
ω
Dt
, a
d t
d v
d t
而当K/系只转动而不平动
时，坐标基矢 i , j, k 都
在以角速度ω作圆周运动
Dt
ω i ,
D j
Dt
ω j ,
y
r (t )
z
当K/系只平动而不转动时，
坐标基矢 i , j, k 都是常
矢量，则 D / Dt 对它们作用
后结果为零；
D i
z
P
r (t )
O
r0 ( t )
O
y
K 系
x
D k
Dt
x
ω k
K系
Slide 71
中
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维
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
ω
用D/Dt作用于K/系中任意
随时间t变化的矢量：
b b x ( t ) i b y ( t ) j b z ( t ) k
D b
Dt
D
D b y
i
Dt
y
r (t )
z
r (t )
O
( b x i b y j b z k )
Dt
D b x
b x
z
P
j
D b z
Dt
D i
d b x
Dt
b y
i
r0 ( t )
D j
Dt
d b y
b z
j
x
k
Dt
O
d b z
y
K 系
D k
Dt
K系
x
k b xω i b yω j b zω k
dt
dt
dt
d b
d
ω b
( b x i b y j b z k ) ω ( b x i b y j b z k )
dt
dt
D v d v
即： D b d b ω b D r d r ω r
ω v
Dt
d t
Dt
d t
Dt
d t
Slide 72
中
国
科
学
技
术
大
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1. 相对于K/系静止的点，向心加速度
r ( t ) r0 ( t ) r ( t )
v0
D r0
, a0
Dt
,
Dω
Dt
v
d r
0
Dt
0, a
d v
d t
D r0
Dt
Dr
Dt
y
r (t )
z
r (t )
O
0
r0 ( t )
x
d t
f
z
P
由于P点相对于K/系静止，有：
v v
杨
维
纮
Dv 0
ω
D r
Dt
即牵连速度：
D
Dt
D r0
Dt
O
( r0 r )
d r
d t
y
K 系
x
ω r v 0 ω r
v v
f
v 0 ω r
K系
Slide 73
中
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1. 相对于K/系静止的点，向心加速度
v v
a a
f
v 0 ω r
f
D v
D v0
Dt
D
Dt
Dω
( v 0 ω r )
r ω
D r
Dt
Dt
Dt
d r
a0 ω (
ω r )
d t
a 0 ω (ω r )
杨
维
纮
若K/系的原点相对于K系静止，即:
v 0 0, a 0 0
a a f ω (ω r ) ω (ω r ) r
有：
由于牵连加速度的方向为由P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为向心加速度。
2
Slide 74
中
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大
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
r ( t ) r0 ( t ) r ( t )
v0
, a0
Dt
Dv 0
,
Dt
Dω
v
d r
0
Dt
常量 , a
d t
Dr
y
r (t )
z
r (t )
O
0
r0 ( t )
x
d t
Dt
D r0
d v
z
P
P点相对于K/系作匀速运动 ，有：
v
杨
维
纮
D r0
ω
D
Dt
Dt
d r
d t
O
( r0 r )
x
ω r v v 0 ω r
即：
v v v 0 ω r v v f
其中
v
f
是牵连速度
y
K 系
K系
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中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
a
D v
Dt
d v
D
Dt
ω v
d t
ω
( v v 0 ω r )
D v0
Dt
Dω
r ω
Dt
a a 0 ω v ω (
D r
Dt
d r
z
r (t )
ω r )
O
d t
r0 ( t )
a f a 0 ω (ω r )
a cor 2ω v
则得：
y
r (t )
a 0 2ω v ω (ω r )
令：
z
P
O
K系
x
y
K 系
x
a a f a cor
其中 a cor 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（G.Coriolis）于1835年提出的。
杨维纮
Slide 2
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
第一章 质点运动学
§1.1
引言
§1.2
质点和参考系
§1.3
速度与加速度
§1.4
直角坐标系中运动的描述
§1.5
自然坐标系中运动的描述
§1.6
平面极坐标中的运动描述
§1.7
相对运动
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科
学
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术
大
学
杨
维
纮
§1.1
引 言
1.1.1
力学的研究对象
1.1.2
时间、空间和牛顿力学的绝对量
1.1.3
宇宙的层次和数量级
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术
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学
杨
维
纮
§1.1
引 言
1.1.1 力学的研究对象
运动学： 研究物体运动的几何性质，而不研究引起物
体运动的原因。（位移，速度，加速度，轨
迹等的描述和计算）
动力学： 研究受力物体的运动变化与作用力之间的
关系。（运动微分方程的建立和求解）
静力学： 研究物体在力系作用下的平衡规律，同时
也研究力的一般性质和力系的简化方法等。
（平衡方程的应用和受力分析）
经典力学适用范围：弱引力场中宏观物体的低速运动。
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科
学
技
术
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杨
维
纮
1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量
时间 ：
时间用以表述事物之间的顺序
空间 ：
空间用以表述事件相互之间的位形
在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为
是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存
在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为
欧几里德几何空间。而近代物理理论对此是否定的，
这个问题将在相对论一章中详细讨论。
没有满意的“严格”的理论定义，并不妨碍时间和空间二者
在物理中的使用，因为，物理学是一门基于实验的科学，在
考查物理学的概念或物理量的时候，首先应当注意它与实验
之间是否有明确的、不含糊的关系。对于时间和空间这两个
基本概念来说，首要的问题似不是去追究它们的“纯粹”定
义，而是应当了解它们是怎样量度的。
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中
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科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
时间的测量 ：
任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量时间
的一种钟 （例如，太阳的升没表示天；四季的循环
称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过程，
如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子的振
动等等，也都可以用作测时的工具）
真太阳日：太阳视面中心连续两次出现在地面某处正
南方所需的时间
平太阳日：一年之内全部真太阳日的平均
秒：
一个平均太阳日的1/86,400，这种以地球
自转为基础的计时标准叫世界时（UT）
1956年起改用以地球公转周期为基准的时间标准，
称为历书时（ET），并规定秒为1900年回归年的
1/31,556,925.9747
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大
学
时间的测量 ：
杨
维
纮
自从人类发明机械计时的时钟以来，400年来时间计
量准确度的提高是惊人的，现代的原子钟的计时误差
已小于 10 10 秒/天。目前，时间是测量得最准确的
一个基本量
1967年10月在第十三届国际度量衡会议上规定：
位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级
在零磁场中跃迁辐射的周期T与1秒的关系为
1秒 = 9,192,631,770 T
这样的时间标准称为原子时
用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量
精度要比秒表作时计提高 10 10 倍，即误差下降到秒
表的 10 10 之一
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技
术
大
学
杨
维
纮
空间的测量 ：
长度是空间的一个基本性质
对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样
的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。对于不能
用尺直接加以测量的小尺度，可以求助于光学方法。
在精密机床上常有光学测量装置；测定胰岛素中原子
的位置，是用调光衍射方法。对于大的尺度，也不能
直接用尺去测量，也要求助于光。测量月亮与地球的
距离可以用激光测距的方法，测量一些不太远的恒星，
可以用三角学方法。至于银河系之外的遥远天体的距
离，同样是用它们发光的一些特征来测定的。
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学
技
术
大
学
杨
维
纮
空间的测量 ：
米： 规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度
的1/10,000,000
1875年起，决定改用米原器（截面呈“X”形的
铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米
不易复制，精度又不高
1960年在第十一届国际计量大会上规定：
1米等于氪86原子的和能级之间跃迁时所对应的辐
射（橙色谱线）在真空中的波长λ的1,650,763.73倍。
这样规定的米叫原子米
1983年10月在第十七届国际计量大会上规定：
米是光在真空中在1/299,792,458秒的时间间隔内所
传播的路程长度
光速：c = 299,792,458米／秒
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学
技
术
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维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
1. 空间尺度：从极小到极大
最遥远星系
银河系
邻近恒星
太阳
地球
人类
细胞
原子
质子
夸克
1026 m
1020 m
1010 m
100 m
10-10 m
10-20 m
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
天体空间尺度
地球直径
太阳直径
太阳系范围
最近的恒星
银河系范围
最近的星系
富星系团
可测宇宙
（1 光年～1016 米）
-9
1.3×10 光年
-7
1.47×10 光年
-3
1.2×10 光年
4.3 光年
105 光年
6
10 光年
7
10 光年
10
1.5×10 光年
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杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
星系的直径大约是 1021米
人造物体和自然物体的电子显
微镜照片，图中垂线是20纳米
的聚合物纤维，有短尾的物体
是T-4噬菌病毒
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维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
一些典型的时间尺度
宇宙年龄
地球年龄
太阳绕银河系中心的轨道周期
古人类的出现
钚的半衰期
人的寿命
地球的公转周期（1年）
地球的自转周期（1天）
人的脉搏
人的神经系统反应时间
可听见的最高频率的声音周期
μ子的寿命
典型的分子转动周期
实验室能产生的最短光脉冲周期
π介子的半衰期
共振粒子寿命
从宇宙诞生到已知的物理定律可用的时间
6×1017 秒
1.5×1017 秒
8×1015 秒
6×1013 秒
8×1011 秒
2×109 秒
3×107 秒
8.6×104 秒
1秒
1×10-1 秒
5×10-5 秒
2×10-6 秒
1×10-12 秒
1×10-15 秒
2×10-16 秒
1×10-25 秒
1×10-43 秒
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技
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纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
我们研究的对象跨越如此巨大的数量级范围，
单一的单位（如秒、米），用起来就很不方便了，
通常的做法是采用一些词冠来代表一个单位的十进
倍数或十进分数，如千（kilo）代表倍数103，厘
（centi）代表分数10-2，等等。在国际单位制中，原
来从10-18到1018的36个数量级之间规定了16个词冠，
最近又建议在大、小两头再各增加两个，共20个词
冠，一并列在下表1.1中。表内中译名在方括弧里的
字可以省略。这些词冠与各种物理量的单位组合在
一起，构成尺度相差甚为悬殊的大小各种单位，在
现代物理学中广泛使用着。其中有的已化作物理学
名词的一部分，如纳米（nm）结构、飞秒（fs）光
谱等，成为一些新兴技术的标志和象征。
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学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
国际单位制所用的词冠
数量级
英文名
缩写符号
中译名
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
分
厘
毫
微
纳[诺]
皮[可]
飞[母托]
阿[托]
仄[普托]
幼[克托]
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科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
国际单位制所用的词冠（续）
数量级
英文名
缩写符号
中译名
10
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zeta
yota
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
十
百
千
兆
吉[咖]
太[拉]
拍[它]
艾[克萨]
泽[塔]
尤[塔]
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学
技
术
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维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
最长的时间和最短的时间
目前，物理学中涉及的最长的时间是1038 秒，它
是质子寿命的下限。宇宙的年龄大约是6x1017秒，即
200亿年。牛顿力学所涉及的时间尺度大约是10-5 ～
1015秒，即从声振动的周期到太阳绕银河中心转动的
周期。粒子物理的时间尺度都很小，μ子的寿命是
2x10-6秒，已经算是极长寿的了，最短寿的是一些共
振粒子，它们的寿命只约有10-24秒，目前物理学中涉
及的最小的时间是10-43秒，称为普朗克时间。普朗克
时间被认为是最小的时间，比普朗克时间还要小的范
围内，时间的概念可能就不再适用了。
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技
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大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
最大的长度和最小的长度
目前，物理学中涉及的最大长度是1028米，它是
宇宙曲率半径的下限；弱电统一的特征长度为10-20米；
普朗克长度约为10-35米，被认为是最小的长度，意思
是说，在比普朗克长度更小的范围内，长度的概念可
能就不再适用了。
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杨
维
纮
§1.2
质点和参考系
1.2.1
质点和参考系
1.2.2
轨迹和运动方程
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科
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杨
维
纮
§1.2
质点和参考系
1.2.1 质点和参考系
质点 ：
参考物 ：
突出了“物体具有质量”、“物体占有位
置”
为了研究运动，固定坐标系的物体
参考坐标系 ： 固定在参考物上的坐标架（简称参考系）
参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟
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杨
维
纮
1.2.1 质点和参考系
质点 的位置矢量 r（简
称位矢）的大小为OP
的长度，而方向从O指
向P。用这个矢量就完
全确定了质点P的位置
r xi yj zk
其中i，j，k分别分别表示空间的三个坐标方向
（ x , y , z 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢
参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用
不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这
一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。
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技
术
大
学
1.2.2 轨迹和运动方程
质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这
条曲线我们称之为轨迹。
轨迹可以利用曲线方程来描写。
譬如，曲线方程：
x2 y2 R2
z 0
就描写了在平面上半径为R的圆周运动的轨迹。
杨
维
纮
一般曲线方程可以表示成：
f1 ( x , y , z ) 0
f 2 ( x, y, z ) 0
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技
术
大
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杨
维
纮
1.2.2 轨迹和运动方程
在历史上很长一个时期内，人们只注重轨迹形状
的研究，例如行星走圆形，落体走直线。我们知道，
质点运动是位置的变化，它涉及空间和时间两方面。
轨迹形状只反映了运动的空间方面的性质，它对于研
究运动还是不够的，因为轨迹还没有把质点运动的情
况全部表述出来，特别是没有表述它的动态性质。百
米赛跑时，所有运动员的轨迹都是直线，但他们各自
的运动情况并不全同，否则就分不出名次了。我们不
仅应该知道轨迹，而且还应知道质点经过轨迹上各点
的时刻。运动是在时间、空间里的现象，关键是把时
间描写和空间描写联系起来。直到牛顿之前不久，才
特别强调了这一点。
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维
纮
1.2.2 轨迹和运动方程
我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。
质点的位置关于时间的函数称为运动方程或运动解，
知道了这个方程等于知道了此质点运动的一切情况。
质点的运动方程可以表示成：
r r (t )
当然，也可以用坐标系中
三个坐标分量来描述运动
x x (t )
y y (t )
z z (t )
并有关系式 r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k
从运动方程中消去时间 t 即得到轨迹的方程
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杨
维
纮
1.2.2 轨迹和运动方程
应当指出，同一物体，相对于不同的参考系，显示出
不同的运动。风洞中的模型，相对于地面是静止的，相对
于空气（风），模型却在以高速度飞行。车刀，相对于车
床的床座，仅仅作直线运动；相对于工件，刀刃却在作螺
旋运动。所以，研究运动，必须首先选定参考系，由于运
动方程既包含质点的位矢，也包含时间，因而对于不同的
坐标原点与时间原点的选取，运动方程的形式将有所不同。
在日常生活中，我们习惯于认为地面是静止的，在讲
到“静止”、“运动”的时候总是对地面而言的。可是，
大家知道，地球以大约30公里/秒的速度绕太阳公转，根
本不是静止的。宇宙间没有一个绝对静止的物体。静止和
运动都是相对的，不存在“绝对静止”的参考系，只存在
描述某个运动较为方便的参考系。
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维
纮
§1.3
速度与加速度
1.3.1
位移、路程与速度
1.3.2
加速度
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§1.3
速度与加速度
1.3.1 位移、路程与速度
1. 直线运动
质点在t1到t2时间间隔内的平均
速度
v t1 t 2
x ( t 2 ) x ( t1 )
t 2 t1
瞬时速度（简称速度）定义为：
杨
维
纮
v (t )
lim
t 0
x (t t ) x (t )
t
lim
t 0
x
t
dx ( t )
dt
通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时
速度的绝对值被称为速率。
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大
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杨
维
纮
1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时
间间隔内的平均速度
v t1 t 2
r ( t 2 ) r ( t1 )
t 2 t1
r
t
这个平均速度的定义表明，平
均速度是矢量。
r r ( t 2 ) r ( t1 )
是在时间间隔 △t 内质点位置矢量的改变量，称为位
移矢量（简称位移）
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中
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大
学
杨
维
纮
1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
由右图很清楚知道，在t1到t2
时间间隔内质点的运动方向并非
总是沿着1到2的方向的，而是先
从1向4、3方向运动，然后从3向2
方向运动，这些运动方向并不平
行于 1到2的方向。
所以平均速度所指的方向，只是质点真实运动方向的平均。
也就是说，平均速度不但对于运动快慢的描写是粗略的，而且对
于运动方向的描写也是粗略的。但当△t减小时，矢量相继从1，
2变到1，3，变到1，4……，在△t→0的极限情况下， △r的方
向趋于轨迹曲线在点 1的切线方向，且位移与路程两者的大小近
似相等。这样，我们就得到一个结论：瞬时速度的方向，就是轨
迹曲线在相应点的切线方向；瞬时速度的大小，就是时平均速率
的大小。
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杨
维
纮
1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
路程函数s(t)：质点从 t1 =0 到
t2 = t 时刻所走过的路程长度
质点从 t1 = t 到 t2 = t +△t 时
间间隔内所走过的路程
s s ( t 2 ) s ( t1 )
由此可以定义平均速率：
w t1 t 2
s ( t 2 ) s ( t1 )
t 2 t1
s
t
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术
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杨
维
纮
1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
由右图可以看出，位移△r与
路程△s有如下的异同点：
(1) 位移与路程不同于位矢，
它们与坐标原点的选取无关。
(2) 路程△s是由M到M′的曲线的
实际长度，是一个标量。而位移
是由始点至终点的有向线段，是
一个矢量。而且位移的大小通常
也不等于路程。
(3) 位移不反映初位置到终位置中间的细节，也不反
映初位置或终位置本身，仅反映两者相对位置的改变。
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维
纮
1.3.1 位移、路程与速度
2. 三维曲线运动
瞬时速度（简称速度）定义为：
v (t )
lim
r (t t ) r (t )
t 0
t
lim
t 0
r
t
dr
dt
速度的数值大小（绝对值）称
为速率，由上式知：
v (t ) | v (t ) |
lim
t 0
r
t
lim
t 0
| r |
t
lim
t 0
s
t
ds ( t )
dt
在国际单位制中，速度的单位是米/秒，常用的单位还
有厘米/秒、千米/小时等
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中
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术
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维
纮
1.3.2 加速度
1. 直线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间间隔内的平均加速度
a t t t
v (t t ) v (t )
t
瞬时加速度（简称加速度）定义为：
a (t )
lim
t 0
v (t t ) v (t )
t
lim
t 0
v
t
dv ( t )
dt
2
d x (t )
dt
2
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技
术
大
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杨
维
纮
1.3.2 加速度
2. 曲线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间
间隔内的平均加速度
a t t t
v
t
v (t t ) v (t )
t
瞬时加速度（简称加速度）定义为：
a (t )
lim
t 0
v (t t ) v (t )
t
lim
t 0
v
t
d v (t )
dt
2
d r (t )
dt
2
在国际单位制中，加速度的单位是米/秒2，常用的
单位还有厘米/秒2 等。
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中
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术
大
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杨
维
纮
§1.3
速度与加速度
小结：
速度、加速度是矢量，它具有矢量性
质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一
定相同，它具有瞬时性
选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不
同的，它具有相对性
从运动学本身来考虑，没有足够的理由说明，为什
么我们应当到此为止，而不去讨论加加速度、加加
加速度……。其中的原因在动力学，学过动力学后，
我们将看到，对力学的讨论几乎全部是基于位置矢
量、速度和加速度这三个量。
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大
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杨
维
纮
§1.4
直角坐标系中运动的描述
1.4.1
直线运动
1.4.2
曲线运动
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技
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大
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§1.4
1.4.1 直线运动
运动方程：
平均速度：
x x (t )
v t0 t
x (t ) x (t 0 )
瞬时速度：
v (t )
lim
t 0
杨
维
纮
直角坐标系中运动的描述
x (t t ) x (t )
t
t t0
dx ( t )
dt
右图表示的是质点做直线运动时的位置、
速度和加速度关于时间的图形。由图上可
见，当位置最大时，速度为零（此时曲线
的斜率为零），同样当速度最大时，其加
速度为零。
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中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
瞬时速率：
w ( t ) | v ( t ) |
平均加速度：
a t0 t
瞬时加速度：
ds ( t )
dt
a (t )
lim
t 0
v (t ) v (t 0 )
t t0
v (t t ) v (t )
t
dv ( t )
dt
2
d x (t )
dt
2
由此可见，如知道运动方程，则速度、加速度等皆可求得。
故古希腊自然哲学家亚里士多德 (Aristotle, 384~322 B.C.) 认
为：轨迹是最基本的，速度次之（当时并不知道加速度）。
这种方法的特点是先研究运动的大的整体方面，往往从对称
性入手，然后再涉及局部细节。就人类的认识过程来看，的
确是先看到轨迹的形状，然后有了运动快慢的概念，最后认
识到速度的变化，即加速度。
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中
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技
术
大
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1.4.1 直线运动
运动学的反问题
如果已知质点运动的加速度 ： a a (t )
若再知道 t = 0 时刻质点的速度和位置 ：
v (t 0 ) v 0
可以完全描述运动。
a ( t ) dv / dt
利用：
可以解得：
杨
维
纮
x (t 0 ) x 0
v (t ) v 0
x (t ) x 0
s (t ) s 0
v ( t ) dx / dt
t
a ( t ) d t
0
t
v ( t ) d t
0
t
0
| v ( t ) | d t
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杨
维
纮
1.4.1 直线运动
牛顿认为：瞬时情况更基本，不要先探讨物体运动的
整体方面，而是先弄清局部细节，再积分得到整体性质。
这种方法，是现代物理学的一个基本方法，至今在大多数
情况下，物理学家们都采用牛顿这种方法。
从哲学上看，本小节处理运动问题的两种方法（正问
题和反问题）反映了人们的两种不同信念：一种认为整体
的大的方面简单些，因此，主张从大到小的研究顺序；另
一种认为局部的单元过程更简单些，因此，主张从小到大
的研究顺序。现在看来，这两种“简单性”可能是分不开
的，虽然在大多数情况下，我们偏爱第二种研究顺序，但
在某些局部过程不得要领的情况下，第一种研究顺序也有
其独到之处。在第四、五章我们再讨论这个问题。
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中
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维
纮
1.4.2 曲线运动
1. 运动方程
r (t ) x (t ) i y (t ) j z (t )k
x x (t )
y y (t )
z z (t )
v (t ) v x (t ) i v y (t ) j v z (t )k
2. 速度
分量式：
v x (t )
dx ( t )
v y (t )
x ( t )
dt
dy ( t )
y ( t )
dt
速率：
2
2
2
ds ( t ) dx
dy
dz
v (t )
dt
dt
dt
dt
其中：
ds dx dy dz
2
2
2
2
1/ 2
v z (t )
dz ( t )
dt
z ( t )
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1.4.2 曲线运动
3. 加速度
a (t ) a x (t ) i a y (t ) j a z (t )k
分量式：
2
a x (t )
d x (t )
a y (t )
d y (t )
a z (t )
d z (t )
x( t )
dt
2
杨
维
纮
y( t )
dt
2
dt
z( t )
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中
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1.4.2 曲线运动
运动的重要性质：
运动的独立性
运动的独立性 的实验演示
由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质
点的复杂的曲线运动时，其方向的坐标、速度和加速
度与其它方向的坐标、速度和加速度无关；对方向和
方向也有这种性质，即三个方向相互无关。这种性质
称为运动的独立性。
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中
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1.4.2 曲线运动
运动学的反问题
a ( t ), v ( t 0 ), r ( t 0 )
如果已知：
可以完全描述运动。
速度： v ( t ) v 0
位矢： r ( t ) r0
t
分量式：
v (t ) v
0x
x
v y (t ) v 0 y
v z (t ) v 0 z
a ( t ) d t
t0
t
v ( t ) d t
t0
路程：
ds ( t )
v (t ) | v (t ) |
dt
s (t ) s (t 0 )
t
t0
v x (t ) v y (t ) v z (t )
2
2
2
v x ( t ) v y ( t ) v y ( t ) d t
2
2
2
t
t0
t
t0
t
t0
a x ( t ) d t
a y ( t ) d t
a z ( t ) d t
x ( t ) x t v ( t ) d t
0
t0 x
t
y ( t ) y 0 t v y ( t ) d t
0
t
z ( t ) z 0 v z ( t ) d t
t0
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§1.5
自然坐标系中运动的描述
1.5.1
切向加速度和法向加速度
1.5.2
自然坐标系
1.5.3
圆周运动
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§1.5
自然坐标系中运动的描述
有时直角坐标系不是最好的坐标系，这是因为：
若我们研究的运动是受约束的运动，比如火车的行驶（它不能
离开铁轨），或穿在弯曲钢丝上的小环的运动等。这类运动往
往轨迹的形状是给定的，由于约束力的参与（本章中我们不讨
论力，仅研究运动），加速度往往与轨迹上点的位置有关（有
时还与质点在该点速度有关），此时运动的独立性往往失效。
沿轨迹的曲线坐标系有可能是更好的坐标系。
即使我们研究运动的独立性有效的运动，使用直角坐标系使得
数学计算简单了，但我们对其中的一些物理细节却并不很清楚。
比如，我们知道速度的方向是沿着轨迹上质点所在位置的切线
方向，但加速度的方向如何？加速度的方向对速度又有何影响？
于是，我们需要引入一种新的坐标系：自然坐标系。
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§1.5
自然坐标系中运动的描述
1.5.1 切向加速度和法向加速度
我们现在考虑加速度的方向。对于沿
直线的运动，只有一个方向，故速度与加
速度的方向都与轨迹的方向平行（对于减
速运动，加速度的方向与运动方向相反，
我们仍视加速度与速度方向平行，有时也
称其为反平行），如图1.11(a)；对于匀速
圆周运动，加速度与速度方向垂直，如图
1.11(b)；而对于一般的曲线运动，加速度
的方向比较复杂，它往往与速度的方向即
不平行又不垂直，如图1.11(c)。
由于一维的直线运动非常简单，我们下面的讨论认为质
点的运动不是直线运动。
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
速度矢量：v ( t ) v ( t ) vˆ ( t )
其中 vˆ ( t ) 是沿着轨道切向，
指向运动方向的单位矢量。
v(t)没有法向分量。
加速度 ：
a (t )
d v (t )
dt
v (t )
t
lim
t
t
t
t 0
v (t t ) v (t )
1
v (t )
v ( t t ) vˆ ( t t ) v ( t ) vˆ ( t )
t
v ( t )vˆ ( t t ) vˆ ( t ) v ( t t ) v ( t ) vˆ ( t t )
a (t )
lim
t 0
v1
t
lim
t 0
v 2
t
v1
t
v 2
t
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
lim
t 0
v 2
t
lim
t 0
v (t t ) v (t )
t
该项沿轨迹的切向，
也即是速度的方向，
我们称这一项为切向
加速度。
lim
t 0
vˆ ( t t )
dv ( t )
dt
vˆ ( t )
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
如图知，求瞬时加速度
至少需要在轨迹上取三个点。
设我们取三个点P、Q、
Q1来求加速度。
在求加速度的过程中，每次只取三个点，而不在一条直线上
的三个点可以唯一确定一个平面（我们已假定了质点的运动不是
直线运动），在取极限的过程中，这三个点所确定的平面也会随
之变化，最后会趋于一个极限的平面。我们认为这个极限平面与
点附近的轨迹的关系最为密切，故称该极限平面为密切平面（简
称密切面）。不仅如此，不在一条直线上的三个点还可以唯一确
定一个圆，于是，在我们的密切面上还有一个极限圆，我们认为
这个极限圆与点附近的轨迹的弯曲情况最为密切，故称该极限圆
为密切圆，又称曲率圆，这个圆的半经称为曲率半径。
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
lim
v1
t 0
lim
t
t 0
v (t )
v (t )
lim
vˆ ( t t ) vˆ ( t )
t
t 0
t
nˆ
lim
t 0
v s
R t
2
nˆ
v (t )
nˆ ( t )
R (t )
于是：
a ( t ) vˆ ( t )
dv ( t )
2
nˆ ( t )
dt
v (t )
R (t )
a t vˆ a n nˆ
其中：
杨
维
纮
a t a vˆ
dv ( t )
a n a nˆ
v (t )
切向加速度，表示速度大小的变化
dt
2
R (t )
法向加速度，表示速度方向的变化
R (t )
曲率半径
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
加速度：
a ( t ) vˆ ( t )
2
nˆ ( t )
dt
v (t )
a t vˆ a n nˆ
R (t )
加速度的大小（绝对值）：
2
a (t )
a a
2
t
2
n
2
v
dv
dt
R
2
d s
2
dt
2
2
1 ds
R dt
如果运动方程 已知：r r (t )
可以求得：
杨
维
纮
dv ( t )
v (t ), a (t )
可得轨迹上任意一点的曲率半径为：
3
R (t )
v (t )
| a (t ) v (t ) |
2
2
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中
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维
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
如果以弧长 s 为坐标，则 ：
v
ds
at
dt
dv
2
dt
d s
dt
2
可得：
v v0
s s0
t
t0
t
t0
a t dt
vdt
t
t0
v
0
t
t0
a t dt dt
质点的运动在形式上与直线运动相仿，所不同的
是，质点走的实际上是曲线。
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1.5.2 自然坐标系
eˆ 1 vˆ , eˆ 2 nˆ
eˆ 3 vˆ nˆ bˆ
这样构成的正
交坐标系称为自然
坐标系（有的书上
称为内禀坐标系、
本性坐标系、路径
坐标系等）
当质点作空间运动时，它的速度向量位于轨迹上
的切线方向，而加速度向量位于该点的密切平面上。
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1.5.3 圆周运动
1.
R (t ) R 0
2. 轨道在一个平面上
称这样的运动为圆周运动。
若同时有
v (t ) v 0
常数
则称为匀速圆周运动。
v ( t ) v ( t ) vˆ ( t ) ,
a (t )
dv ( t )
vˆ ( t ) v ( t )
dt
vˆ ( t ) rˆ ( t )
d vˆ ( t )
dt
dv ( t )
a t dt
2
v (t )
an
R0
dv ( t )
dt
2
vˆ ( t )
v (t )
R0
切向加速度
向心加速度
rˆ ( t ) a t vˆ ( t ) a n nˆ ( t )
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1.5.3 圆周运动
圆周运动的另一种描述法：
定义：角速度矢量 ω ，大
小为 d / dt ，方向按右手
系指向平行于转轴方向。
有了上述定义，则当
坐标原点选在转轴上时，如
图，有：
v
a
dr
dt
dv
dt
ω r
dω
dt
r ω
dr
dt
dω
dt
r ω (ω r )
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1.5.3 圆周运动
我们曾指出，对于一个物理对象，用什
么数学语言来描写，这并不是一件很自然的
事情，任何一种数学只是一种逻辑体系，一
种逻辑体系能不能正确地描写我们的物理对
象，是要认真研究的。物理上，寻找那种能
正确地、简洁地描写物理对象的数学是一个
难点。在这里，我们定义了角速度矢量，这
似乎很自然，它又有大小，又有方向。这里
要提醒大家注意的是，有大小又有方向的量
可不一定就是矢量，若要是矢量还必须满足
矢量的运算法则。
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§1.6
平面极坐标中的运动描述
1.6.1
平面极坐标
1.6.2
位矢、速度和加速度
的极坐标表示
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中
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§1.6
平面极坐标中的运动描述
1.6.1 平面极坐标
直角坐标系是最常用的坐标
系，但对有些运动，如圆周运动、
速度或加速度指向空间某固定点
的运动等，直角坐标就不那么方
便，而用平面极坐标（简称极坐
标）会有许多优点。
极坐标法(只对平面曲线运动时可用)：
杨
维
纮
极坐标的建立：规定极点，极轴，极径，极角
极角：极径和极轴的夹角称为极角
两个单位矢量 rˆ 和 ˆ ，它们分别表示 r 增加的方向（称
为径向）和 增加的方向（称为横向）
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1.6.1 平面极坐标
d rˆ ( )
d
d ˆ ( )
d
ˆ
rˆ
在极坐标系中，质点的运动方程为：
r r ( t ),
从该方程组中消去时间t，可得轨迹方程为：
f (r , ) 0
(t )
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1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
r ( t ) r ( t ) rˆ ( t )
r r rˆ r ˆ
v
lim
t 0
lim
t 0
r
t
r
t
rˆ lim r
t 0
ˆ
rrˆ r ˆ
t
前者叫径向速度，用vr表示；后
者叫横向速度，用 v 表示，即：
v v r rˆ v ˆ v r v
其中：
v r rrˆ ,
v r ˆ
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1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
利用矢量的求导公式 推导：
由于： d rˆ d rˆ d ˆ
d dt
dt
可得：
v (t )
d r (t )
dt
a (t )
d v (t )
d
dt
dr ( t )
d ˆ d
rˆ
d dt
rˆ r ( t )
d rˆ
dt
( r rˆ r ˆ )
dt
d rˆ ( t )
dt
杨
维
纮
[ r ( t ) rˆ ]
dt
dt
r rˆ r
d
d ˆ
ˆ (t )
d
r ˆ r ˆ r
dt
r rˆ r ˆ r ˆ r ˆ r ( rˆ )
2
( r r ) rˆ ( 2 r r ) ˆ
2
a r ( r r ) rˆ
a ( 2 r r ) ˆ
径向加速度
横向加速度
dt
r rˆ r ˆ
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例：设质点在匀速转动（角速度为）的水平转盘上从
开始自中心出发以恆定的速率沿一半径运动，求质点
的轨迹、速度和加速度。
解：取质点运动所沿的半径在时的位置为极轴，得：
v r dr / dt u
v rd / dt r
r ut
t
2
a ( t ) r rˆ 2 u ˆ
轨迹方程：
r
u
此曲线为阿基米德螺线
Slide 64
中
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总结：
一般地，当加速度为常量（如重
力加速度），应选取直角坐标系；当
加速度总指向空间一点时（有心力情
形），选极坐标系较方便；当质点的
轨迹已知时（譬如限定在某曲线轨道
上滑动），则可选用自然坐标系。
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§1.7
相对运动
通常，把相对观察者静止的
参考系称为定参考系或静参考系，
把相对观察者运动的参考系称为
动参考系；把物体相对于动参考
系的运动称为相对运动（相应的
有相对速度和相对加速度），物
体相对静参考系的运动称为绝对
运动（相应的有绝对速度和绝对
加速度）。动参考系相对静参考
系的运动称为牵连运动（相应的
x
有牵连速度和牵连加速度）。
ω
z
P
y
r (t )
z
r (t )
O
r0 ( t )
O
K系
x
y
K 系
当相对作平动（如的坐标轴在运动中始终与的坐标轴保持平
行）时，牵连速度和牵连加速度不因物体在上的位置不同而异。
当相对转动时，牵连速度和牵连加速度均与物体的位置有关。为
了讨论问题简单起见，本节中动参考系和静参考系中的坐标系都
取直角坐标系。
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§1.7
相对运动
1.7.1
动参考系作任意方式的平动
1.7.2
动参考系作任意方式的运动
Slide 67
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1.7.1 动参考系作任意方式的平动
注意：平动不一定是直线运动！
r ( t ) r0 ( t ) r ( t )
对静参考系 K：
v (t )
d r (t )
a (t )
,
d v (t )
dt
v 0 (t )
d r0 ( t )
2
dt
,
dt
a 0 (t )
d r (t )
dt
d v 0 (t )
2
2
dt
d r0 ( t )
dt
2
对动参考系 K/:
v ( t )
d r ( t )
,
a ( t )
dt
d v ( t )
dt
d r ( t )
2
dt
2
于是，我们有：
v ( t ) v 0 ( t ) v ( t )
a ( t ) a 0 ( t ) a ( t )
Slide 68
中
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维
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
r ( t ) r0 ( t ) r ( t )
ω
z
P
P点在K系的坐标：
r (t ) x (t ) i y (t ) j z (t )k
y
r (t )
z
r (t )
O
P点在K/系的坐标：
r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k
r0 ( t )
O/点在K系的坐标、速度
和加速度：
r0 ( t ) x 0 ( t ) i y 0 ( t ) j z 0 ( t ) k
v 0 (t )
d r0 ( t )
a 0 (t )
,
dt
d v 0 (t )
dt
O
K系
x
y
K 系
x
2
d r0 ( t )
dt
2
现在，v (t ) 和 a ( t ) 不能象平动参考系那样称其为牵连速
度和牵连加速度
0
0
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中
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
定义：
D
在静参考系K中对时间的微商称为绝对微商，符号： Dt
在动参考系K/中对时间的微商称为相对微商，符号：
d
dt
它们之间差别表现在对坐标系的坐标基矢作用时不同
绝对微商视 i , j, k 为变量，视 i , j, k
为常量；
相对微商视 i , j, k 为变量，视 i , j, k 为常量；
除此之外，对坐标值（它们是标量）作用时
全相同。
D
Dt
与
d
dt
完
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中
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
K 系：
v
Dr
Dv
, a
Dt
K/ 系：
v
d r
ω
Dt
, a
d t
d v
d t
而当K/系只转动而不平动
时，坐标基矢 i , j, k 都
在以角速度ω作圆周运动
Dt
ω i ,
D j
Dt
ω j ,
y
r (t )
z
当K/系只平动而不转动时，
坐标基矢 i , j, k 都是常
矢量，则 D / Dt 对它们作用
后结果为零；
D i
z
P
r (t )
O
r0 ( t )
O
y
K 系
x
D k
Dt
x
ω k
K系
Slide 71
中
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纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
ω
用D/Dt作用于K/系中任意
随时间t变化的矢量：
b b x ( t ) i b y ( t ) j b z ( t ) k
D b
Dt
D
D b y
i
Dt
y
r (t )
z
r (t )
O
( b x i b y j b z k )
Dt
D b x
b x
z
P
j
D b z
Dt
D i
d b x
Dt
b y
i
r0 ( t )
D j
Dt
d b y
b z
j
x
k
Dt
O
d b z
y
K 系
D k
Dt
K系
x
k b xω i b yω j b zω k
dt
dt
dt
d b
d
ω b
( b x i b y j b z k ) ω ( b x i b y j b z k )
dt
dt
D v d v
即： D b d b ω b D r d r ω r
ω v
Dt
d t
Dt
d t
Dt
d t
Slide 72
中
国
科
学
技
术
大
学
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1. 相对于K/系静止的点，向心加速度
r ( t ) r0 ( t ) r ( t )
v0
D r0
, a0
Dt
,
Dω
Dt
v
d r
0
Dt
0, a
d v
d t
D r0
Dt
Dr
Dt
y
r (t )
z
r (t )
O
0
r0 ( t )
x
d t
f
z
P
由于P点相对于K/系静止，有：
v v
杨
维
纮
Dv 0
ω
D r
Dt
即牵连速度：
D
Dt
D r0
Dt
O
( r0 r )
d r
d t
y
K 系
x
ω r v 0 ω r
v v
f
v 0 ω r
K系
Slide 73
中
国
科
学
技
术
大
学
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1. 相对于K/系静止的点，向心加速度
v v
a a
f
v 0 ω r
f
D v
D v0
Dt
D
Dt
Dω
( v 0 ω r )
r ω
D r
Dt
Dt
Dt
d r
a0 ω (
ω r )
d t
a 0 ω (ω r )
杨
维
纮
若K/系的原点相对于K系静止，即:
v 0 0, a 0 0
a a f ω (ω r ) ω (ω r ) r
有：
由于牵连加速度的方向为由P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为向心加速度。
2
Slide 74
中
国
科
学
技
术
大
学
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
r ( t ) r0 ( t ) r ( t )
v0
, a0
Dt
Dv 0
,
Dt
Dω
v
d r
0
Dt
常量 , a
d t
Dr
y
r (t )
z
r (t )
O
0
r0 ( t )
x
d t
Dt
D r0
d v
z
P
P点相对于K/系作匀速运动 ，有：
v
杨
维
纮
D r0
ω
D
Dt
Dt
d r
d t
O
( r0 r )
x
ω r v v 0 ω r
即：
v v v 0 ω r v v f
其中
v
f
是牵连速度
y
K 系
K系
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中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
a
D v
Dt
d v
D
Dt
ω v
d t
ω
( v v 0 ω r )
D v0
Dt
Dω
r ω
Dt
a a 0 ω v ω (
D r
Dt
d r
z
r (t )
ω r )
O
d t
r0 ( t )
a f a 0 ω (ω r )
a cor 2ω v
则得：
y
r (t )
a 0 2ω v ω (ω r )
令：
z
P
O
K系
x
y
K 系
x
a a f a cor
其中 a cor 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（G.Coriolis）于1835年提出的。