Transcript pps

振
动
与
波
动
振
动
一、振动
物体在一定位置附近作来回往复的周期性
运动，称机械振动
振动有各种不同的形式，如机械振动，电磁振动等。
广义振动：任一物理量在某一数值附近作周期性变
化时，称该物理量在作振动。（如交流
电的电流、电压等。）
二、简谐振动 (Simple Harmonic Motion)
物体振动时，如果离开平衡位置的位移x (或角位移 )
随时间t 的变化可表示为余弦或者正弦函数，则该振动称
简谐振动，简称谐振动
1. 弹簧振子的振动
弹簧振子：弹簧—物体系统。
平衡位置： 振动物体所受合外
力为零的位置。
2. 弹簧振子的振动方程
由胡克定律及牛顿第二定律:
f
k
a

x
m
m
d2x
k

x0
2
m
dt
令 k / m =ω2, 则有：
d2x
2


x  0 谐振动微分方程
2
dt
其通解为：
x  A cos(t   ) 谐振动运动方程
（小角度单摆、圆锥摆都是简谐振动，
用同样的方法写出其振动方程）
运动学特征
x  A cos( t   )
动力学特征
f   kx ----线性恢复力(力矩)
简谐振动特点：(1)等幅振动；
(2)周期振动。
x  A cos(t   )
三、描述简谐振动的特征量
简谐振动通常用周期、振幅、相位三个特征量来描述.
(1) 周期
周期T
频率

角频率（又称圆频率）
振动物体在t与t T 时刻运动状态相同，则位移相同。
x1  Acosωt   
x2  Acosωt  T    
2π
ω
 2π
T
由于x1  x2 , 则ωT  2π
ω
对于弹簧振子：
k
m
1
 
2
T  2
k
m
m
k
x
(2) 振幅 A
A
谐振动物体离开
平衡位置的最大
位移的绝对值。
A
x0 
2
x  A cos( t   )
0
T
A
v0

( x0, v0 是初始条件)
2
2
或
A
2 E0
k
(E0 是物体在平衡位置的动能)
t
x
(3) 相位  t + 
x  A cos( t   )
A
决定振动物体
的运动状态 。
0
T
A
xA
v 0
当 t +  =0
v 0
x 0
当 t +  =/2
v  ωA
0
A
x
v
0
A
x
t
关于相位的说明
①(t + )是t 时刻的相位。
② 是t=0 时刻的相位，称初相
初相是决定初始振动状态的物理量
x
x  A cos(t   )
x  A cos( t   )
A
0
A
T
(或、T )、A和 三个特征量确定，则谐振动方程
就被唯一确定;
(或、T )由系统本身的性质决定;
A和由初始条件决定。
t
一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 9.8N/m ，物体质
量为 200 g。现将弹簧自平衡位置拉长
2 2
cm ，
并给物体一远离平衡位置的速度，大小为 7.0 cm/s，
求该振子的运动学方程。
(4) 相位差
用于比较两个同频率谐振动的振动步调。
x1  A1 cos(t   1 )
x 2  A2 cos(t   2 )
  ( t   2 )  ( t   1 )
  2  1
   2   1
②当  = (2k+1) ,
①当  = 2k ,
( k =0,1,2,…) ,
( k =0,1,2,…) ,
两振动步调相同,称同相。 两振动步调相反,称反相。
x
A1
A2
0
- A2
-A1
x
x1
A1
同相
x2
x1
反相
A2
T
T
t
0
- A2
-A1
t
x2
③相位超前
0  2  1  
振动 2 相位超前振动 1 相位
④相位落后
  2  1  2
振动 2 相位落后振动 1 相位
作简谐振动的物体，其速度，加速度也作简谐振动:
它们的相位关系为
x  A cos( t   )
π
v  A cos( t    )
2
a  A cos( t    π)
2
已知：两个质点平行于同一直线并排作简谐运动，
它们的频率、振幅相同。在振动过程中，每当它们
经过振幅一半的地方时相遇，且运动方向相反。
求：它们的相位差。
-A
0
A
x
四、简谐振动的图形表示
1、振动曲线法
π
x  Acos(ω t  )
2
π
x  Acos(ω t  )
4
x  Acosω t
蓝领先于红，红领先于绿。
x  π  π
 0
2
4
A
o
-A
t
T
2
T
2
x  A cos( t   )
2、 旋转矢量法
旋转矢量表示谐振动的位移、速度与加速度
t
B
A
v
A
0
a
2A
t
x

t =0

x0
x
t
例：x0  A 2
A
?
v0  0
v
v0< 0
A
0
a
t
x
2A
x0
0
A/2
x
v0> 0

答：  
3
用旋转矢量法研究振动合成也 很方便。

t =0

x0
x
五、简谐振动的能量
(以弹簧振子为例)
谐振动系统的能量E=系统的动能Ek+系统的势能Ep
v   A sin( t   )
Ek
1
 mv 2
2
1 2
 kA sin 2 (  t   )
2
x  A cos( t   )
1 2
E p  kx
2
1 2
 kA cos 2 (  t   )
2
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数。
简谐振动系统的能量特点:
(1) 动能
分析：
(2) 势能
1 2
E p  kx
2
1 2
2
 kA cos (  t   )
2
(3) 机械能
分析：
1
2
E k  m
2
1 2
 kA sin2 (  t   )
2
1 2
E  E k  E p  kA
2
1 2
E k max  kA
2
Ek min  0
E p max
1 2
 kA
2
E p min  0
简谐振动系统机械能守恒
E
1 2
kA
2
E
Ep
Ek
0
E p  Ek
T
t
x
0
1 2
E p  kA cos 2 ( t   )
2
t
1 2 2
E k  kA sin ( t   )
2
六、简谐振动的合成
振动迭加原理：合振动的位移等于各个分振动
位移的矢量和。
1、同一直线上两个同频率谐振动的合成
分振动
x1 (t)  A1cos(ωt  1 )
x2 (t )  A2 cos(t   2 )
合振动 : x  x1  x2  Acos( t   )
A  A12  A22  2 A1 A2 cos( 2   1 )
A1 sin  1  A2 sin  2
tg  
A1 cos  1  A2 cos  2
合振动是简谐振动,其频率仍为。
分析
A
2
A1

2
A2
 2 A1 A2 cos( 2   1 )
两种特殊情况
若两分振动同相：
 2   1  2k
（k  0 ,1,2 ,
）
则：A  A1  A2 两分振动相互加强。
若两分振动反相:
 2   1  ( 2k  1 ) （k  0 ,1,2 ,
则：A  A1  A2 两分振动相互减弱。
若 A1=A2 , 则 A=0 。
）
旋转矢量图形表示振动合成
ω

A2
2
1
x2

A
x1  A1 cos( t  1 )
x 2  A2 cos( t   2 )

A1

x1
x
合成仍为SHM
x  A cos( t   )
x
由图形容易得到
A
A  A  2 A1 A2 cos(  2  1 )
2
1
2
2
A1 sin1  A2 sin2
tan 
A1 cos1  A2 cos2
ω

A2
2

A
1
x2

 A1
x1
x
x
重要的特例:
同相
2  1  2k π (k  0,1,2)
 A  A1  A2
反相
2  1  ( 2k  1) π ( k  0,1,2)
 A  A1  A2
旋转矢量研究振动举例
两个同频率简谐运动1和2 的振动曲线如图，
求 (1)两简谐振动的运动方程x1和x2
（2）在同一图中画出两简谐振动的旋转矢量，
并比较两振动的相位关系
（3 ）若两简谐振动叠加，求合振动的运动方程
x/(1.0×10-2m)
蓝色为振动1
10
5
o
1
红色为2
2
t/s
2、同一直线上不同频率SHM的合成
为简单起见,可令两个分振动的振幅相等,初相位为零
x1  A1cosω1t
x2  A1cosω2 t
0
ω 1 ω2 A
1
x

A

A1
ω2
ω1
ω2 t
t =0

A
0
ω1 t

A1
ω1  ω2
t
2
x
t 时刻
合成是非简谐振动：
x  x1  x 2
 ω2  ω1   ω2  ω1 
 2Acos
t cos
t
 2
  2

变化慢
起调制作用
变化快
两个频率都较大但是相差又很小、同方向
简谐振动合成时，合振动有忽强忽弱的现象，
称为“拍”。   |    |
1
2
v拍  | v1  v2 |
1
2
1=7
x1
t
2=6
x2
t
拍频 
x
= 1 - 2 
（可测频，或得到更低频的振动）
t
拍现象测频举例
将频率为348Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，
测得拍频为 3.0Hz。若在待测音叉一端加上一小块物体，则拍
频将减小，求待测音叉的固有频率
3、 相互垂直同频率的 SHM 的合成
x  A1 cos ( t  1 )
y  A2 cos ( t   2 )
将两式联立，消去t,可得
 x
cos 2 

 A1
 x
 sin 2 

 A1
y
cos1  sin t  sin( 2  1 )
A2
y
sin1  cos t  sin( 2  1 )
A2
再将上两式平方后相加即可得
x 2 y 2 2 xy
2


cos(



)

sin
( 2  1 )
2
1
2
2
A1 A2 A1 A2
2
2
x
y
2 xy
2
 2
cos( 2  1 )  sin ( 2  1 )
2
A1 A2 A1 A2
1）
2  1  0, π 合振动为线振动。
π
2） 2  1  
合振动为正椭圆。
2
且当 A1=A2 时,即为圆。
3） 一般情况下，合振动为斜椭圆。
轨迹的旋转矢量作图法:
以 2  1  π 4 为例
y
8
0
y相位领先
y
7
6
6
1
5
2
3
4
y 相位领先,则为右旋!
x 相位领先,则为左旋!
7
08
5
x
1
2
2
4
3
3
1
08
4
5
7
6
x
Δ   2  1 不同，椭圆形状、旋向也不同。
 = 0
y
 = /4
P
·
 = /2  = 3/4
·Q
x
y 领先，右旋
 = 5/4  = 3/2  = 7/4
x 领先，左旋
 = 
相互垂直同频率的 SHM 的合成举例
在电子示波器中,由于相互垂直的电场的作用,使电
子在荧光屏上的位移为
x  Acos t
y  Acosωt  α 
求出
 
  0, ,
3 2
时的轨迹方程并画图表示
4、 相互垂直不同频率的 SHM 的合成
合成运动又具有稳定的封闭轨迹,称为李萨如图。
x

A
cos
(

t


)
x
x
x
例如.
y  Ay cos ( y t   y )
右图：
y
x 3

y 2
x  x
x 达到最大值的次数


y  y
y 达到最大值的次数
-A
x
具体的图形与  x ,  y有关,可以画出。
应用举例：测定未知频率。
Ay
x
o
Ax
- Ay
1
π
4
x  0
y
x :y
2 :1
1
π
2
3
π
4
π
x
3 :1
3:2
李萨如图的一些例子
x  Ax cos( x t   x ); y  Ay cos y t; Ax : Ay  2 : 3
七、阻尼振动
阻力系数
d2 x
dx
m 2   kx  
dt
dt
k

2
 0  , 2 
m
m
阻尼因数
1.欠阻尼（< 0）
x  A0 e
e
 t
 t
cos(t  0 )
称为为衰减因子
    ;
2
0
2
周期比系统的固有周期长。
2.过阻尼（ >0）
为非周期振动。
3.临界阻尼（  = 0 ）
刚能作非周期振动，且回到平衡位置的时间最短。（电表设计）
临界阻尼（  = 0 ）
过阻尼（ >0）
弱阻尼（< 0）
八、 强迫振动
若系统受弹性力,阻力外,还受周期性策动力
F  Hcosω外 t
2
d x
dx
m 2  kx  γ
 Hcosω外 t
dt
dt
k
  ,
m
2
0
振动解为：
x  A0 e
βt
2 

m
,
H
h
m
cos(ωt  φ0 )  Acosω外t  φ
阻尼振动
稳定振动
例如，
稳定振动
阻尼振动
二者的叠加
（强迫振动的解）
稳定振动
式中
xx Acos
ω ttφ 
A cos
A

h

   4 
 2 
tan   2
2
0 
2
0
2
2
2

1
2
2
注意： 此稳定解与简谐振动很相似,但很不一样:
在欠阻尼（   0 ）情况下, 当 ω  ω0
振幅 A为最大值,这称为共振现象。
时，
共振时,振动系统能最大限度地从外界获得能量。
因为此时
有
tan   
π

2
 2 
tan  2
2
0  
dx
π
v
  A cos( t    )
dt
2
F  H cos t
  A cos( t )
即策动力与速度同相,策动力总是作正功,
系统就能最大限度从外界获得能量,振幅
可达最大值
共振现象有利有弊。
例如：
收音机
乐器
核磁共振等。
1940年美国华盛顿州
的塔科曼大桥在大风
中产生共振断塌
玻璃球泡因
声共振而破裂