Transcript 第6章机械振动基础

小号发出的波足以把玻璃杯振碎
1
第6章 机械振动基础
§1 简谐振动
§2 简谐振动的合成
§3 阻尼振动与受迫振动简介
2
机械振动：
物体位置在某一值附近来回往复的变化
广义振动：
一个物理量在某一定值附近往复变化
该物理量的运动形式称振动
  

物理量： r  E H Q i 等等
3
重要的振动形式是
简谐振动(S.H.V.)
simple harmonic vibration
物理上：一般运动是多个简谐振动的合成
数学上： 付氏级数 付氏积分
也可以说 S.H.V.是振动的基本模型
或说 振动的理论建立在S.H.V.的基础上
注意：以机械振动为例说明振动的一般性质
4
§1 简谐振动
 基本概念
1. 平衡位置
质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）
等于零，该位置即为平衡位置。
2. 线性回复力
若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移
（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则
此作用力称作线性回复力。
公式： f x
 kx , k  0 , x是相对于平衡位置的位移。
3. 简谐振动
质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
5
6.1.1.简谐振动
k
以弹簧谐振子为例
设弹簧原长为坐标原点
由牛顿第二定律
整理得
d2 x
 kx  m 2
dt
m
0
kx
x
x
d2 x k
 x0
2
dt
m
k
d 2x
x  2 ）
或书中形式mx  kx  x  x  （注：
0
m
dt
d x
2


x0
2
dt
2
令
k
 
m
2
x   x  0
简谐振动
2
6
d2 x
2


x0
2
dt
弹簧振子作简谐振动的动力学方程
x   2 x  0
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x   02 x  0 的形式，且其中  0 决
定于振动系统本身的性质。上式的形式就是简谐振动的动力学方程式。
d2x
2


方程
0  0 的解为：
2
dt
x  A cos( 0 t   )
（1）
（1）式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐
振动是围绕平衡位置的周期运动。
7
简谐振动的运动学方程
x  A cos t   
则速度和加速度分别为
dx
   x   A sin  t   
dt
d d x
2
a
 2  x   A cos t   
dt dt
  2 x
2
8
6.1.2、简谐振动的振幅、周期、频率和相位
1.运动学表达式
x  A cos t   
弹簧谐振子
k
特征量：
m
0
x
x
位移
广义：振动的物理量
A
振幅
最大位移
x
由初始条件决定
表征了系统的能量
9
x  A cos t   

圆频率 角频率

 频率   2π
1
周期
T
T 

 t   相位

初相位
系统的周期性
固有的性质
称固有频率…
位相 周相
初位相
取决于时间零点的选择
10
简谐振动的描述
1.解析描述
x  A cos t   
π    dx   A sin  t   

  A cos  t    
dt
2

a  A cos t    π
2
d
2
a
  A cos t   
dt
  2 x
11
x  A cos t   
π

  A cos  t    
2

2
a  A cos t    π
x, , a 均是作谐振动的物理量
频率相同

振幅的关系
m  A am  A
相位差
超前
2
落后
12
2.曲线描述
x  A cos t   
π

  A cos  t    
2

2
a  A cos t    π
x a
A
A
o
2 A
t
T
13
小结
S. H. V. 的判据
x  A cos t   
1）谐振动运动学方程
2）动力学方程
d2 x
2
 x  0
2
dt
从对象的运动规律出发
（电学规律 力学规律等）
S.H.V.的标准形式

T 
14
6.1.3 振幅和初相的确定
决定简谐振动的具体形式
需知外力条件，还需知道初始条件，即t＝0时的
位移 x 和速度 0 。
0
设
x  A cos t   
   A sin  t   
0 2
A  x0  2

0
  arctan( )
A
2
t0
x0  A cos
0  A sin 
书中例题6.1，6.2，6.4
（197页）
15
练习题： 弹簧振子的振动表达式用余弦函数表示。若t＝0时物体的运动状态
A
分别为（1）x0   A（2）过平衡位置向x正方向运动；（3）x0 
且向x负
2
方向运动。试用相量图法分别确定相应的初相。
x  A cos t   
解：设振动表达式为
   A sin t   
则
(1)t  0时， x0   A
cos  1
 
sin   0
0  0
同理 (2)    , (3)  
2
3

相量图分别为：
A


O
A
O
x
A
 / 2

x
O
 /3
x
16
6.1.4 简谐振动的能量
k
如 弹簧谐振子
系统机械能守恒
m
0
x
x
1
1 2
2
以弹簧原长为势能零点
m  kx  c
2
2
1
1 2
2 2
2
2
 mA  sin (t   )  kA cos (t   )
2
2
m  k
2
1
1 2 1
1 2
2
2 2
m  kx  mA   kA
2
2
2
2
17
讨论
1
1 2 1 2
2
m  kx  kA
2
2
2
1) 普适
E  A2
2) 时间平均值
EK  EP
1 2
 kA
4
3) 由简谐振动能量求振动
d
d
1
1 2
2
dt ( m  kx )  dt C
2
2
dx

2
2
dt
d x
2
d x
 x  0
m 2  kx  0
2
dt
dt
例题6.5（203页） （理解）
18
练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初
势能分别为 Ek  0.2 J , E p  0.6 J 振动时，请回答：
（1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？
（3）位移是振幅一半时，势能多大？
1 2
(1) E总  Ek  E p＝ kA
2
则A＝
(2)当E p  Ek 时，
1 2 1
2
2
E p  kx  E总，则x  
A
 0.25  0.18m
2
2
2
2
(3) E p 
1 1 2
k ( A) 
2 2
19
6.1.5.旋转矢量表示法
x  A cos t   
用匀速圆周运动 几何地描述 S H V

规定 A  A
t
以角速度 逆时针转


A  t 
o
x
x
端点在x轴上的投影式
x  A cos(t   )
20
优点
1） 直观地表达振动状态
分析解析式 x  A cos t    可知
当振动系统确定了振幅以后
表述振动的关键就是相位 即
表达式中的余弦函数的综量 (t   )
而旋转矢量图
可直观地显示该综量
用图代替了文字的叙述


A  t 
0
x t
x
21
如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点
• 在正的端点
旋矢与轴夹角为零

A
 t    0 意味 x  A
• 质点经二分之一振幅处
向负方向运动
π
 t  
意味
3
o

A
A
x
2
< 0
x
x
2
1
22
•质点过平衡位置向负方向运动
π
 t  
2

A
x0

<0
同样
A
x
2
π
 t   π 
3

 t   π
x  A

A

A

A
o
x
< 0
x
5 4
注意到：2 3 4

A
< 0
3 2
1
向负方向运动
23
向正方向运动
π
 t   π 
3
2π
或 
3
3π
 t  
2
π
或 
2

t    
3
A
x
2

>0
x0
 >0
A
x
2
 >0
x
o

A

A
6
7

A
8
x
24
678  > 0 向正向运动

2） 方便地比较振动步调
x  A cos t   

A
A
π

  A cos  t    
2

2
a  A cos t    π 
x
 A
2
由图看出：速度超前位移
加速度超前速度
a
π
2
位移与加速度 Δ  π 称两振动反相
若   0 称两振动同相 25
§2 简谐振动的合成
一、同方向同频率谐振动的合成
二、同方向不同频率谐振动的合成
拍
三、 两个垂直方向谐振动的合成 利萨如图形
四、谐振分析
26
当一个物体同时参与几个谐振动时
就需考虑振动的合成问题
• 本节只讨论满足线性叠加的情况
• 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果
是波的干涉和偏振光干涉的重要基础
• 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果
可以给出重要的实际应用
27
6.2.1、振动方向相同
振动频率相同的
两个SHV的合成（双光束干涉的理论基础）
x1  A1 cos(t  1 )
x2  A2 cos(t   2 )
线性叠加 x  x1  x2
  
A A2
结果：
•仍是谐振动
t0
•振动频率仍是
 
A1  2
o
1
x
•振动的振幅 A  A  A  2 A1 A2 cos 
2
1
2
2
28
A  A  A  2 A1 A2 cos 
2
1
2
2
特殊结果：
•
Δ  0
若
Δ  π
•
若
A1  A2
•
若两振动同相
A  A1  A2
同相 合振动加强
A  A1  A2
反相 合振动减弱
A  2A1 可能的最强振动
两振动反相 A  0 “振动加振动”不振
动
29
6.2.2、 振动方向相同
振幅相等的
分振动：
频率略有差别的
两个SHV的合成
x1  A0 cos1t
x2  A0 cos2t
线性相加： x  x1  x2  2 A0 cos
拍
1  2
1  2
2
t cos
1  2
2
t
结论： 合成已不再是谐振动
但考虑到 1  2
可以用
谐振动表达式等效 加深认识
30
x  x1  x2  2 A0 cos
1  2
2
t cos
1  2
2
t
分析： 1  2
Δ  1  2 << 
则
2 A0 cos
1  2
2
t
较
 
1   2
2
1   2
cos
t
2
随时间变化缓慢
将合成式写成谐振动形式 x  A(t ) cos t
A(t )  2 A0 cos
1  2
2
t31
合振动可看做是振幅缓变的谐振动
合成振动如图示
x1
1
t
x2
2
t
x
 = 1 - 2 
t
9
表达式为 x  [2 A0 cos
1  2
2
t ] cos
1  2
2
t
32
拍
合振动的周期性的强弱变化叫做拍
拍频
单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频
由式
得
A(t )  2 A0 cos
1  2
2
v拍  | v1  v2 |
t
1 
1
2π
2 
2
2π
测未知频率的一种方法
33
6.2.3、两个垂直方向谐振动的合成
1. 同频率的谐振动合成 1  2  
x  A1 cos(t  1 )
y  A2 cos(t   2 )
线性相加：
x  y  A1 cos(t  1 )  A2 cos(t  2 )
轨迹方程是椭圆
即 合成的一般结果是椭圆
34
   2  1 不同 椭圆形状、旋向也不同
 = 0
y
 = /4
P
·
 = /2  = 3/4
·Q
x
 = 
 = 5/4  = 3/2  = 7/4
（-3/4） （-/2） （-/4）
35
2.频率比是简单的正整数
1 m
 ，m , n
2 n
合成轨迹为稳定的闭合曲线—利萨如图
y A
1
-A2
x  x x达到最大的次数


 y  y y达到最大的次数
x
A2
0
- A1
x 3

例如左图：
y 2
应用：测定未知频率
36
四、谐振分析
利用付里叶分解 可将任意振动分解成若干
SHV的叠加(合成的逆运算）
2π
对周期性振动： T — 周期  =
T

a0
x(t ) 
 [Ak cos(k t  k )]
2 k 1
k=1
基频（）
k=2
二次谐频（2）
k=3
决定音调
高次
三次谐频（3） 谐频 决定音色

37
振动的形式:
受迫振动
振动
共振
阻尼自由振动
自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动 (简谐振动）
38
§3 阻尼振动与受迫振动
一、 阻尼振动
二、受迫振动
三、共振
39
一、 阻尼振动
1.阻尼振动
系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后
能量将随时间逐渐衰减
系统受的粘性阻力与速率成正比
比例系数 叫阻力系数
关系式为:
f  
40
2.阻尼振动的动力学方程
k
m

F弹性
o
x

f阻力
x
dx
d2 x
由牛顿第二定律有  kx   dt  m dt 2
整理得
式中
令
d2 x k
 dx
 x
0
2
dt
m
m dt
k
 
m


2
0
2m
系统固有频率
称阻尼因子 41
阻尼振动方程为 d 2x  2 dx  02 x  0
2
dt
dt
3.振动表达式
如果能振动起来（欠阻尼情况）
上述方程的解是什么形式呢？
从物理上考虑：
如果无阻尼
是谐振动的形式
存在阻尼
仍振动但能量会衰减
42
所以 解的形式必定是
在谐振动的基础上乘上一衰减因子
即形式为：
x  A0e
 t
cos(t   )
可以证明：    02   2
x
t
43
   02   2
三种阻尼振动
过阻尼：
  0
x
过阻尼
临界阻尼：    0
欠阻尼：    0
临界阻尼
0
t
欠阻尼
44
二 、受迫振动
1.受迫振动
振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动
2.受迫振动的动力学方程
设驱动力按余弦规律变化
即
F  H cos t
由牛顿第二定律有
d x
dx
m 2  kx  
 H cost
dt
dt
2
45
d2 x
dx
m 2  kx  
 H cost
dt
dt
整理得
d2 x
dx
2

2



0 x  h cost
2
dt
dt
其中
k
 
m


2m
2
0
H
h
m
固有频率
阻尼因子
46
d2 x
dx
2

2



0 x  h cost
2
dt
dt
k
 
m
2
0


2m
H
h
m
3.稳定状态的振动表达式
受迫振动系统达到稳定时
应做与驱动力频率相同的谐振动
其表达式为： x  A cos(t   )
用旋矢法可求出上式的A和
47
d x
dx
2
 2
 0 x  h cost
2
dt
dt
2
x  A cos(t   )
dx
π
 A cos( t    )
dt
2
d x
2

A

cos(t   π)
2
dt
2
π
A cos(t    π)  2A cos(t    )
2
2
 0 A cos(t   )  h cost
48
2
π
A cos(t    π)  2A cos(t    )
2
2
 02 A cos(t   )  h cost
A 2 A
2
画任意时刻旋矢图
由旋矢图可知：
h 
 A
2
0
h2  (2A )2  (02 A   2 A)2
得
2
h
2
A 
(2 ) 2  ( 02   2 ) 2
驱动力
初相为
零
 2
  arctg 2
位移与驱动力的相位差
2
49
0  
三、共振
2
h
A 
2
2
2 2
(2)  ( 0   )
2
 共振   02  2  2
在弱阻尼即 <<  0的情况下 当 =  0时
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振
共振现象
•普遍
•有利有弊
•160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌
•几十年后 圣彼德堡卡坦卡河
•1940年 美国 桥 大风 流速
50
小号发出的波足以把玻璃杯振碎
51
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成
同年7月的一场大风引起桥的共振
桥被摧毁
52
我国古代对“共振”的认识：
公元五世纪《天中记》：
蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣， 问张华。
张华曰：此盘与宫中钟相谐，故声相应，
可改变其薄厚。
作业：6.4，6.13，6.19
第6章结束
53