Transcript 简谐振动的能量

2章 振动与波
2.1 简谐振动
2.2 简谐振动的合成
2.3 阻尼、受迫振动 共振
2.4 平面简谐波
2.5 波的叠加
2.6 波的能量与传播衰减
机械振动：
物体在一定位置附近来回往复的运动
平衡位置
例: 心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等
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振动
自然界最普遍的运动形式
广义振动：
物理量在某一定值附近反复变化的过程即为振动
例：交流电流、电压，电磁波的电矢量、磁矢量
最基本，是简单的一种振动形式
简谐振动(S.H.V.) —— 振动的基本模型
Sample harmonic vibration
复杂振动=简谐振动
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2.1 简谐振动
m
一、简谐振动概念
y
O
1.定义: y  Acos(ωt   )
y是描述位置的物理量,如y , z或等
2.特点:
(1)等幅振动
(2)周期振动
y( t )  y( t  T )
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
m
F  ky
二、谐振子
（一）弹簧振子
y
1.受力分析
F  ky
作自由振动时为简谐振动
线性恢(回）复力
2.动力学方程
y
F
F  ky  ma
y(t)  Acos(ω0 t   )
ω0 
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k
m
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固有圆频率
y
其决定于振子的弹
性(k)与惯性(m)
二、谐振子
（二）单摆
0
作小幅振动时为简谐振
动(摆角为振动量)

1.结构特征
轻绳(质量不计)，球可视为质点
2.受力分析 阻力不计(自由振动)
θ  5  sinθ  θ
0
l
T
Fτ  -mgsinθ  -mgθ
准线性恢复力
3.动力学方程
m
G sin 
G=mg
2
Fτ  -mgθ  mlα  ml
θ  θ0 cosω0 t  0 
0 
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d θ
dt
g
l
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固有圆频率
2
2
d θ
dt
2

g
θ 0
l
动力学方程
其决定于单摆
的固有性质
三、描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A
y
yt
图
A
T
振动量的最大值，振动强度的量度 o
标量：只有正值
A  y max
T
A
2
单位：振动量的单位
2. 周期T 、频率 v、圆频率ω
描述振动快慢的物理量
周期：谐振子做一次全振动所需要的时间
频率：单位时间内全振动的次数
圆频率：2π时间内全振动的次数
v = 1/T
  2 
单位：Hz
2
T
单位： rad / s
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t
例如，心脏的跳动80次/分
周期为 T 
1
(min ）
80
60
(s)  0.75 s
80
频率为   1 / T  1.33Hz
动物的心跳频率(参考值,单位:Hz)
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大象
0.4~0.5
马
0.7~0.8
猪
1~1.3
兔
1.7
松鼠
6.3
鲸
0.13
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昆虫翅膀振动的频率（Hz）
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雌性蚊子
355~415
雄性蚊子
455~600
苍
蝇
330
黄
蜂
220
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谐振动的振幅A：决定于振动的初始状态
谐振动的周期T 、频率 v、圆频率ω决定于振子的固有
性质，与初始状态无关
弹簧振子：ω 
单摆：
ω
k
m
k
g
l
l
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T  2
m
T  2
g
三、描述简谐振动的特征量
3. 相位
(1)  t + 是t时刻的相位
(2)  是t =0 时刻的相位——初相
(3)相位的意义: 描述振动的状态量
x(t)  Acos(ω t   )
v   ωAsin(ωt   )
a  ω Acos(ω t   )
相位 t +已知则振动状态确定
相位改变2振动重复一次
相位2范围内变化,状态不重复
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2
4.振幅与初相 决定于初态
y(t )  A cos(ω t   )
y0  A cos 
v   ω A sin(ω t   )
v 0   ω A sin 
2
A
2
y0 
v0
ω
2
  tg ( 
练习与思考：2.1-1－2.1-6
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1
v0
ω y0
)
四、简谐振动曲线
1.根据特征量或运动方程画振动曲线
y
T
A
O
-A
T
2.根据振动曲线找特征量或运动方程
最大幅值--Ａ
相邻相位差为2π两点间的时间--T
t=0处的坐标值及曲线变化方向确定--
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t
x  A cos(  t   )
A
T 
2π
取  0

v   A  sin(  t   )
π
 A  cos(  t    )
2
a   A  cos(  t   )
2
 A  cos(  t    π )
2
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t
o
T
A
v
A
T
 A
A
2
o
2
v  t图
t
o
 A
例：P2.1－2
x
x  t图
a
a  t图
t
T
五、简谐振动的能量
m
（1）动能(以弹簧振子为例)
Ek 

1
2
1
2
mv 
2
1
2
m   0 A sin(  0 t   ) 
2
（2） 势能
2
Ep 
2
1
2
1
kx
2

2
（3）机械能 E  E k  E p
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x
k  m0
m  0 A sin ( 0 t   ) 
2
O
X
1
2
kA sin ( 0 t   )
2
2
kA cos ( t   )
2
2
2

1
2
m A 
2
2
1
2
kA
2
简谐运动能量图
 0
x, v
xt
o
T
t
vt
x  A cos  t
v   A  sin  t
能量
o
E 
1
T
4
kA
T
2
2
2
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3T T
4
t
Ep 
1
Ek 
1
动、势交替变化
机械能守恒
机械能与A2成正比
2
kA cos
2
t
2
m  A sin  t
2
2
2
2
动、势能均是简谐量
其幅值相等（机械能E）
频率为谐振频率的两倍
课堂练习
思考讨论：2.1-7，2.1-11
试做：
2.1-8 －10, 2.1-6
课后作业：2.1-12 －13，2.1-16
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
2.1-6 旋转矢量法
旋转矢量

A
t  

自Ox轴的原点O作一矢量 A

模等于振动的振幅A
A

A与Ox夹角为初相

o
x0
在 Oxy平面内绕点O作逆时针
方向的匀角速转动
其的角速度 与振动频率相等
t0
x 0  A cos 

任意时刻 t ，旋转矢量 A
的端点在 x 轴上的投影点的
tt
x  A cos(  t   )
运动为简谐运动.
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旋转矢量可表示简谐振动
x
x  A cos(  t   )
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用旋转矢量图画简谐运动的 x  t 图
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
相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差表示不同时刻运动状态的差异
x 2  A cos(  t 2   )
x 1  A cos(  t 1   )
  (t2   )  (t1   )  (t2  t1 )
x
tb 
a
A
b
A 2
o
A
A

v
 
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x
o A ta A
2
π
3
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
t
t 
π 3
2π
T 
1
6
T
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位差等于初相差，表
示它们间步调上的差异
x 1  A1 cos(  t   1 )
x 2  A 2 cos(  t   2 )
   ( t   2 )  ( t   1 )
   2  1
   0 同步
x
o
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t
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超前
    π 反相   为其它
落后
x
x
o
o
t
t