Transcript 第七章 - 中国科学技术大学

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第七章 振动和波
人们习惯于按照物质运动的形态，把经典物理学
分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某
些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的
要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在
电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则
是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和
波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学
这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重
要性了。尽管在物理学的各分支学科里振动和波的具
体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。所
以，本章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物
理学打基础。
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第七章 振动和波
§7.1
§7.2
§7.3
§7.4
§7.5
§7.6
§7.7
§7.8
§7.9
简谐振动
阻尼振动
受迫振动与共振
二自由度振动*
机械波
波在空间中的传播
波的叠加
多普勒效应
非线性波简介
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§7.1
简谐振动
7.1.1
平衡与振动
7.1.2
恢复力与弹性力
7.1.3
简谐振动的描述
7.1.4
谐振子的能量
7.1.5
振动的合成与分解
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§7.1
简谐振动
7.1.1 平衡与振动
处于静止状态的物体，
我们称之为平衡，此时物体
不受力或所受的合力为零。
如果处于平衡位置的物体受
到某种扰动而离开了平衡位
置，则我们根据该物体以后
能否保持平衡而将平衡分为
以下四种：稳定平衡、亚稳
平衡、不稳平衡和随遇平衡，
如图7.1所示。
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§7.1
7.1.1 平衡与振动
我们仅讨论处于稳定
平衡（严格地说，稳定平
衡是理想情况，绝对的稳
定平衡是没有的）或亚稳
平衡而扰动较小的情况，
此时物体将会发生振动。
我们把振动的物体称为振
子。
简谐振动
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7.1.2 恢复力与弹性力
图7.2的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位
置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力，
物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到点，
然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物体的
作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡
位置移动的力叫作恢复力。
恢复力和惯性这一对矛盾
不断斗争，它们的作用交替消
长，力学系统就在平衡位置左
右一定范围内来回振动。
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7.1.2 恢复力与弹性力
弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于
弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律：
F  kx
式中 x 是物体对平衡位置的位移，k 叫作弹性系数（或
倔强系数），k 越大表示弹簧越硬。
由胡克定律可知弹性力有两个特点：
1. 因为弹性力 F 的指向总与位移 x 的方向相反，故弹
性力 F 总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到
平衡位置；
2. 因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体
偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也
越大。
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7.1.2 恢复力与弹性力
除了弹簧外，其他的力
也可能具有(7.1.1)式的形式。
如图7.3所示的单摆，如将小
球从平衡位置拉到点再松手，
小球将在平衡位置点附近往
复摆动。它的结构虽与上述
弹簧振子完全不同，但它们
的运动性质是十分相似的。
F  mg sin   mg
式中负号表示 F 与角位移方向相反。
可见，单摆所受的虽不是弹性力，但(7.1.2)式在形式
上与(7.1.1)式完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表
达式的力，叫做准弹性力。
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7.1.2 恢复力与弹性力
准弹性力的实例，还可以举出许多。例如琴弦的颤
动，树木的摇曳，分子的振动等，都是在准弹性力作用
下的运动。一般质点在其稳定的平衡点附近的运动，大
都是准弹性力作用下的运动。
现在我们来证明：一维保守力在稳定平衡位置附近
一定是准弹性力。
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7.1.2 恢复力与弹性力
定理：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。
证：设 F(x) 是保守力，则它具有势能 V(x) 。
把势能函数 V(x) 在平衡点 x0 附近作泰勒展开
dV
V ( x)  V0 
dx
1 d 2V
( x  x0 ) 
2
2
dx
x  x0
( x  x0 ) 2  
x  x0
因F(x) =﹣dV /dt, x0 是平衡点，在该点有F(x0) = 0，故
1 d 2V
V ( x)  V0 
2 dx 2
( x  x0 ) 2  
x  x0
dV
d 2V
F ( x)  

dx
dx 2
( x  x0 )  
x  x0
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7.1.2 恢复力与弹性力
dV
d 2V
F ( x)  

dx
dx 2
令
k
2
d V
dx 2
( x  x0 )  
x  x0
x  x0
由于 x0 是平衡点，故 k > 0。将(7.1.6)式代入(7.1.5)，只
保留第一项，得：
F  k ( x  x0 )
可见，只要把平衡点 x0 取为原点，它的形式就与(7.1.1)
式完全一样了。这就证明了 F(x) 是准弹性力。
[证毕]
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7.1.2 恢复力与弹性力
取 V0 =0, x0 = 0，在(7.1.4)中只保留一项，得势能为：
V ( x) 
1 2
kx
2
势能的曲线示于图7.4。
由图可见，在一个严格的弹
性力作用下的质点只可能作
束缚运动，对任何大的能量
E，质点都不能作自由运动，
而只能在下列有限范围内运
动，即：
xmin  x  xmax
其中：
xmin
2E
2E

, xmax  
k
k
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7.1.3 简谐振动的描述
1. 简谐振动解
如图7.2所示，设弹簧振
子的质量为 m，弹簧的倔强
系数为 k，选取 x 轴，以平
衡位置 O 为原点，则振子的
运动方程为：
mx  kx
k
令：
2 
m
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解为：
x  A cos( t   0 )
其中 A,  0 为待定常数，由初始条件确定。称这种运
动为简谐振动。
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7.1.3 简谐振动的描述
2. 简谐振动的特征参量
x  A cos( t   0 )
描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频
率和相位。
(1) 振幅 A
A 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，
它正比于(E)1/2，即它的平方正比于系统的机械能，
A2 ∝ E ；
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7.1.3 简谐振动的描述
2. 简谐振动的特征参量
x  A cos( t   0 )
(2) 角频率ω（也称圆频率）
振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整
的振动所经历的时间称为周期，用 T 表示。由(7.1.13)
可知周期 T 与角频率ω的关系为：T = 2π /ω。周期的
倒数称为频率ν，ν= 1/T = ω/2π。周期的单位是
“秒”；频率的单位是“秒-1”，这有个专门的名称
“赫兹（Hz）”；角频率的单位是“弧度／秒
（rad/s）”。对于弹簧振子，频率与周期为

1
2
k
m
, T  2
m
k
可见弹簧振子的频率（或周期）由其固有参量和决定，
而与初始条件无关，故称为振子的固有频率。
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7.1.3 简谐振动的描述
2. 简谐振动的特征参量
x  A cos( t   0 )
(3) 相位（或位相）
   t  0
其中时刻 t = 0 的相位，称为
初相位。相位是相对的，通
过计时零点的选择，我们总
可以使初相位：
0  0
而多个简谐运动之间的相位
差是重要的。
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7.1.3 简谐振动的描述
2. 简谐振动的特征参量
我们说振幅、角频率（或频率、周
期）和相位是描绘简谐振动的三个特征参
量，是因为有了它们就可以把一个简谐振
动完全确定下来。振幅和相位与频率不同，
它们不是振子的固有性质，而是由初始条
件决定的。
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7.1.3 简谐振动的描述
3. 简谐振动的描述
(1) x-t曲线图示法
简谐振动可以用三角函数表示，也可用图7.6的曲线
图表示，图上已将振幅、周期和初相标出。
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7.1.3 简谐振动的描述
3. 简谐振动的描述
(2) 振幅矢量法
简谐振动还可以用旋转振幅
矢量（也称相矢量）来表示。
自原点画一条长等于振幅的矢
量A，开始时 ( t=0 )，让矢量A
与 x 轴的夹角等于振动的初位
相，令A 以角速度（就是振动
角频率）逆时针方向旋转，则
矢量在轴上的投影就是振动的
位移（如图7.7）。
这种表示简谐振动的方法清晰明了，它能比较直观地把
振幅、频率和初位相表示出来，我们以后将经常用到这种表
示法。
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7.1.3 简谐振动的描述
3. 简谐振动的描述
(3) 复数法
利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示
x  Aei ( t  0 )
或
其中：
x  Ae i t
A  Aei0
是复数，称复振幅，它已包含了初位相。但要注意，有
意义的是(7.1.15)式的实部。
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7.1.4 谐振子的能量
下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为：
dx
v

  A sin(  t   0 )
x  A cos( t   0 )
dt
其中
2  k / m
动能：
1 2 A2
1 2 1
2
2
Ek  mv 
m sin ( t   0 )  kA  [1  cos 2( t   0 )]
2
2
2
2
势能：
1 2 1 2
1 2 1
2
V  kx  kA cos ( t   0 )  kA  [1  cos 2( t   0 )]
2
2
2
2
机械能：
1 2 1 2 kA2
1 2
2
2
E  mv  kx 
[sin ( t   0 )  cos ( t   0 )]  kA
2
2
2
此式表示简谐振动的机械能是守恒的。
2
7.1.4 谐振子的能量
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由(7.1.17)、(7.1.18)式可见动能和势能的变化频率都
是原振子振动频率的两倍。不难求出，一个周期内动能、
势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。
1 T
1 T 1 2 1
 Ek   Ek dt  
kA  [1  cos 2( t   0 )]dt
0
0
T
T
2
2
1
 E
2
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1 T
1
 V   Vdt 
T 0
T
1
 E
2

T
0
1 2 1
kA  [1  cos 2( t   0 )]dt
2
2
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7.1.5 振动的合成与分解
简谐振动是最简单、最基本的振动，任何
一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的
合成。
1. 方向、频率相同，初位相不同的两个简谐
振动的合成
2. 方向相同，频率不同的两个简谐振动的合
成
3. 方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合
成（二维振动）
4. 方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合
成，利萨如图形
5. 振动的分解、谐波分析（Fourier分析）
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方向、频率相同，初位相不同
的两个简谐振动的合 成
设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，
每个振动的位移与时间关系可表为
1.
 x1  A1 cos( t  1 )

 x2  A2 cos( t   2 )
利用振幅矢量法，由图7.8不
难看出，合运动仍是同频率的简
谐振动，即
x  x1  x2  A cos( t   )
 A  A2  A2  2 A A cos(   )
1
2
1 2
2
1


A1 sin 1  A2 sin  2
tan  
A1 cos 1  A2 cos  2

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方向、频率相同，初位相不同
的两个简谐振动的合 成
从图7.8中或(7.1.24)式可知，合振动的振幅取决于
两振动的位相差
1.
(1)
2  1  2k , k  0,  1,  2, 
则
2  1  (2k  1) , k  0,  1,  2, 
(2)
则
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A  A1  A2
A | A1  A2 |
2  1
(3)
则
为一般值
| A1  A2 |  A  A1  A2
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2.
设
方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
 x1  A1 cos(1 t  1 )

 x2  A2 cos( 2 t   2 )
A1  A2  A
x  x1  x2  A[cos(1t  1 )  cos( 2t   2 )]
为简单起见，设
 1   2   1   2
1   2 
 1   2
 2 A cos
t
t
 cos

2   2
2 
 2
1   2
若 | 1   2 |  1 ,  2
 1 ,  2
2
有
1   2  
1   2 
 1   2
x  2 A cos
t
 cos 1t 

2  
2 
 2
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2.
方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
1   2  
1   2 
 1   2
x  2 A cos
t
 cos 1t 

2  
2 
 2
此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等
1   2
 1 ,  2
2
而振幅随时间的变化为 2 A cos 1   2 t  1   2 

2
2

由于振幅所涉及的是绝对值，故其变化周期由下式决定
1   2
T 
2
故振幅变化频率：  1  1   2
T
2
 |  1   2 |  |  |
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2.
方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
1
1   2
 
T
2
 |  1  2 |  |  |
即两频率之差。这一
现象称为拍，⊿v称
为拍频，拍的振动曲
线如图7.9所示。当
两振动的振幅不等，
即 A1 ≠ A2 时，也有
拍现象，此时合振幅
仍有时大时小的变化，
但不会达到零。
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2.
方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
校正乐器，例如校正钢琴，往往拿待校的钢
琴同已校好的钢琴作比较，弹奏两架钢琴的同一个
音键，细听有无拍的现象。如果听得出有拍的现象，
说明尚未校准，必须再校，使得拍频越来越小直到
拍完全消失为止，这一音键才算校准。
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3.
方向垂直、频率相同的两个简
谐振动的合成（二维振动）
振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动，
例如单摆，就可以同时参与这样的两个振动。设一个
振动沿 x 方向，一个沿 y 方向，即：
 x  Ax cos( t   x )

 y  Ay cos( t   y )
这实际上就是合振
动的坐标参量方程。
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4.
方向垂直、频率不同的两个简
谐振动的合成，利萨如图形
如果 x 方向振动的频率 vx 和 y 方向振动的频率 vy 不
相等，它们的合成振动为：
当ωx 与ωy 成整数比时，
 x  Ax cos( x t   x )

合振动的轨迹仍是一
y

A
cos(

t


)
y
y
y

些闭合曲线，如下图
所示，称为利萨如图
形。当ωx 与ωy的比例
一定时，初位相差不
同，对应的曲线形状
和走向也不同。图
7.11中给出了三种频
率比，五种初位相差
的图形。
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4.
方向垂直、频率不同的两个简
谐振动的合成，利萨如图形
当ωx 与ωy 不成整数比时，合振动的轨
迹不再是闭合曲线。利用利萨如图形的这些
性质，可精确判定两种频率是否成整数比，
并可据此由己知频率确定未知频率。
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5.
振动的分解、谐波分析
（Fourier分析）
对于非简谐振动，直接分析它们往往较困难。如果把它们分
解为许多简谐振动的叠加，事情就好办得多，数学上称这种分解为
傅里叶（Fourier）分析。我们不打算在这里讲数学的定理和相应的
推导，下面只给出一些定性的结论：
(1) 任何一个周期性的振动都可分解为一系列频率为原振动频率
（称为基频）整数倍的简谐振动，在数学上这称为谐波分析。
以频率为横坐标、各谐频振幅为纵坐标所做的图解，叫做频谱，
此时的频谱为分立谱。不同的乐器有不同的频谱，反映在它们
不同的音色上。
(2) 非周期振动也可以用频谱来表示。这时频谱不再为分立谱，而
是连续谱。不过，有些特殊的非周期振动可以分解为频率不可
通约的若干个分立的分振动。
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§7.2
阻尼振动
前面所讨论的振动，振幅保持不变，
振动能量也保持不变。这只是实际情况的一
种抽象，实际振动系统的振动，当无外界能
量补充时，振幅都要随时间逐渐衰减，衰减
的原因，一是有摩擦力存在，将振动能量逐
渐变为热能耗散了；二是振动能量以波的形
式向四周传播，使振动能量逐渐变为波的能
量，本节讨论有摩擦力存在的振动。
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§7.2
阻尼振动
7.2.1
运动方程及其解
7.3.2
欠阻尼振动
7.2.3
临界阻尼与过阻尼
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7.2.1 运动方程及其解
我们主要考虑摩擦力与速度成正比的情形。当速度
不大时，粘滞阻力就属这种情形。在考虑了粘滞阻力后，
弹簧振子的运动方程变为
mx  kx  hx
其中称为阻尼系数。令：
k
 
m
2
0
h
2 
m
ω0 是阻力不存在时振子的固有角频率，β 称为阻尼因数
或衰减常数。于是方程(7.2.1)为：
x  2  x   02 x  0
这是常系数二阶线性微分方程。
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7.2.1 运动方程及其解
x  2  x   02 x  0
对于复杂问题，复数法能显示其优越性。该方程的解法
是，视 x 为复数，用试探解
x  e rt
代入，其中 r 为待定常数。可解得：
r1     2  02 , r2     2  02
于是方程(7.2.3)的解可写成如下形式：
x  A1e  A2e
r1t
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r2 t
其中 A1, A2 为待定常数，由初始条件决定。
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7.2.2 欠阻尼振动,    0
x  A1e  A2e
r1t
r2 t
r1     2  02 , r2     2  02
1. 振动解
2
2





令
f
0
将(7.2.4)代入(7.2.5)，得
x  ( A1e
i f t
 A2 e
 i f t
)e   t
取上式的实部得：
杨
维
纮
x  A0e   t cos( f t   0 )
此时振子的运动严格讲己
不再是周期运动，但仍可
看作振幅逐渐衰减的周期
运动，其振幅和周期为
A  A0 e   t T 
2

中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.2.2 欠阻尼振动，    0
2. 阻尼振子的能量
x  A0e   t cos( f t   0 )
v
dx
  A0 e   t [  cos ( f t   0 )   sin(  f t   0 )]
dt
动能：
1 2 1
mv  mA02 e 2  t [  cos( f t   0 )   sin(  f t   0 )]2
2
2
势能： V  1 kx2  1 m 2 A2e 2  t cos 2 ( t   )
0 0
f
0
2
2
1
2
 m( f   2 ) A02 e 2  t cos 2 ( f t   0 )
2
1 2 1 2
E

mv  kx
机械能：
Ek 
2
2
1
 mA02 e 2  t [ 2f   sin 2( f t   0 )  2  2 cos 2 ( f t   0 )]
2
中
国
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技
术
大
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杨
维
纮
7.2.2 欠阻尼振动，    0
2. 阻尼振子的能量
1
E  mA02 e  2  t [ 2f   sin 2( f t   0 )  2  2 cos 2 ( f t   0 )]
2
可见机械能并不守恒。当    0 时，有  f   0
1
1
1
2
于是
E  m f A02 e 2  t  m 02 A02 e 2  t  kA2
2
2
2
对时间微商，得：
dE
 2mA02 e 2  t [  cos ( f t   0 )   f sin(  f t   0 )]2  0
dt
dE
和(7.2.11)式比较知：
2
dt
  hv  ( hv)v
这是摩擦力的功率，即损失的能量用于克服摩擦力作功。
中
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7.2.2 欠阻尼振动，    0
3. 品质因数
衰减常数的大小反映了阻尼的大小。我们也可用一
周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻尼
的大小。通常将 t 时刻时振子的能量 E 与经一周后损失
的能量 ⊿E 之比的 2π倍称为振子的品质因数，并用 Q 表
E
之：
Q  2
E
小阻尼情况下，根据上面的能量表示式(7.2.15)，可得
1
m 02 A02 e 2  t
1
2
Q  2
 2
2  T
1
1

e
2 2 2  t
2  T
m 0 A0 e
(1  e
)
2
中
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7.2.2 欠阻尼振动，    0
3. 品质因数
1
m 02 A02 e 2  t
2
1
Q  2
 2
2  T
1
1

e
2 2 2  t
2  T
m 0 A0 e
(1  e
)
2
因
所以
   0  2 / T
0
2
Q

2 T 2
可见，Q 仅由振动系统本身的性质决定。
中
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼
过阻尼情况为    0
此时 r1, r2 皆为实数
r1      2   02  0, r2      2   02  0
由解的表达式(7.2.5)知：
x  A1 exp[(     2  02 )t ]  A2 exp[(     2  02 )t ]
其中 A1, A2 可由初条件决定，此时已没有振动现象。
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼
临界阻尼情况为    0 此时 r1  r2  
我们只得到了阻尼方程(7.2.3)的一个特解，为了求另
一个特解，可令
 t
x  A(t )e
代入阻尼方程(7.2.3)，得阻尼方程(7.2.3)的通解为：
x  ( A1  A2t )e   t
其中 A1, A2 可由初条件决定，此时也没有振动现象。
临界阻尼状态之所以重要，是因为它所对应的回复
时间，即由静止开始从偏离平衡位置的某处回复到平衡
位置（在一定观察精度内）所需的时间，比欠阻尼和过
阻尼状态都要短。
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼
阻尼的作用：
   0 欠阻尼：振动存在，但周期变长，振幅随时间
减小，最终振动停止；
   0 临界阻尼：不可能振动，但趋于平衡最快；
   0 过阻尼：不可能振动，但趋于平衡变慢。
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§7.3
受迫振动与共振
只受弹性力或准弹性力和粘滞阻力作
用的振动系统，其振幅总是随时间衰减，
振动不能持久。如果要使振动持久不衰，
就必须由外界不断供给能量。振动系统在
外界强迫力作用下的振动，叫做受迫振动。
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§7.3
受迫振动与共振
7.3.1
运动方程及其解
7.3.2
稳态解分析
7.3.3
共振
中
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7.3.1 运动方程及其解
1. 受恒定外力作用
设外界的强迫力 F0 为常数，则阻尼振动系统满足
的方程为：
mx  kx  hx  F0
x  F0 / k
x  X  F0 / k
令
  kX  hX
代入(7.3.1)得： mX
该方程有一特解：
这就是阻尼运动的方程(7.2.1)，只是平衡位置改变
了。即当外界的强迫力 F0 为常数时，不产生任何新的内
容，故我们以后不考虑恒定的外力作用。
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7.3.1 运动方程及其解
2. 受周期外力作用
任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的线性迭
加。研究了振动系统对正弦型外力的响应，也就原则上
解决了振动系统对任何外力的响应问题。下面我们仅考
虑简谐强迫力
F0 cos  t
弹簧振子的运动方程为：
mx  kx  hx  F0 cos  t
令
F0
h
k
2

, 0  , f0 
2m
m
m
上式变为： x  2  x   02 x  f 0 cos  t
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7.3.1 运动方程及其解
2. 受周期外力作用
x  2  x   02 x  f 0 cos  t
下面求其特解。为此，将方程写成复数形式：
~
x  2 ~
x  02 ~
x  f 0 ei  t
~ rt
x
其中 x  Re ~
令 ~
x  Be
~ 2
代入得：
B (r  2 r  02 )ert  f 0ei t
于是： r  i
~
B
f0
f0

2
2
r  2  r   0   2  i 2     02
f 0 [( 02   2 )  i 2   ]

( 02   2 ) 2  4  2  2
中
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7.3.1 运动方程及其解
2. 受周期外力作用
~
x  ( Br  iBi )ei t
 ( Br cos  t  Bi sin  t )  i( Bi cos  t  Br sin  t )
方程(7.3.5)的特解应为(7.3.9)式的实部，即
x  Re ~
x  Br cos  t  Bi sin  t
Bi
 Br

 B  cos  t  sin  t   B cos( t   )
B
B

f0
其中 B  B 2  B 2 
r
i
( 02   2 ) 2  4  2 2
Bi
Bi
Br
2 
cos  
, sin    , tan  
 2
B
B
B 0   2
中
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7.3.1 运动方程及其解
2. 受周期外力作用
(7.3.10)式是方程(7.3.5)的特解，该方程的通解等于该
方程的一个特解加上对应的齐次方程的通解。而在小阻尼
的情况下，(7.2.8)式即为对应的齐次方程的通解。于是方
程(7.3.5)的通解为：
x  A0e  t cos( f t   0 )  B cos( t   )
B B B 
2
r
2
i
f0
( 02   2 ) 2  4  2 2
Bi
Bi
Br
2 
cos  
, sin    , tan  
 2
B
B
B 0   2
其中 A0 ,  0 为待定常数，由初始条件决定，的表达式见
(7.2.6)。
中
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7.3.1 运动方程及其解
2. 受周期外力作用
x  A0e  t cos( f t   0 )  B cos( t   )
对(7.3.13)式讨论如下：
(1) 其中第一项即阻尼振动，它随着时间衰减，故称暂
态解，第二项不随时间衰减，称为稳态解。开始时，
振子的运动比较复杂，为暂态解和稳态解的叠加，
经过一段时间以后，暂态解衰减掉了，只留下稳态
解。
(2) 稳态解的特点是它的频率与强迫力频率相同，它的
振幅及初位相与初始条件无关，完全由强迫力和系
统的固有参量决定，而暂态解的频率由系统本身性
质决定，振幅及初位相则由初始条件决定。
中
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7.3.2 稳态解分析
下面分析受迫振动
的稳态解，受迫振动的
运动方程为：
x  2  x   02 x  f 0 cos  t
稳态解：
x  B cos( t   )
其中
Bi
2 
tan  
 2
B 0   2

注意到： x   B sin(  t   )   B cos( t    )
2
x   2 B cos( t   )
故运动方程中各项可用旋转矢量表示如图7.13所示，则
各量之间的相位关系一目了然。
中
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7.3.2 稳态解分析
我们只讨论的欠阻尼情况。
x  2  x   02 x  f 0 cos  t
1.

 1 (频率甚低)
0
此时
   0 ,     02
f0
F0

B

B


0
2


k

0

  tan 1 2    0

 02
F0
x
cos  t
k
对应的矢量旋转图见图7.14所示。我们可得如下结论：
(1) 频率甚低时，物体加速度和速度均很小，故物体的惯
性与阻力都可以忽略，弹力几乎时时与外力相平衡。
(2) 振幅矢量稍落后于矢量外力，振动与外力同位相。
中
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7.3.2 稳态解分析
x  2  x   02 x  f 0 cos  t

 1 (频率甚高)
0
   0 ,  2   0   
f0

 B  B   2  0

  tan 1 2    tan 1 (0)  

 2
2.
x
f0

2
cos  t
对应的矢量旋转图见图7.15所示。我们可得如下结论：
(1) 因频率甚高，物体的惯性很重要。速度并不大，位移
更小，阻力和弹力均可忽略，物体几乎只在外力作用
下振动，而且振幅很小。此时 mx  F0 cos( t )
(2) 振幅矢量落后于矢量外力 f0，相位约为π。
中
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7.3.3 共振    0
现在让我们来仔细讨论一下，受迫振动所给出的振
幅和相位随频率变化的情况。
B
f0
( 02   2 ) 2  4  2  2
2 
tan   2
0   2
上式中无论选ω或ω0 作变量，位移和速度的振幅都有一
个极大值。阻尼越小峰值越尖锐。这种现象叫做共振。
中
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7.3.3 共振    0
这里应注意到，在力学里和电学里考察的着眼点还
有所不同。在机械的振动系统里，往往系统的固有频率
ω0 是固定的，驱动力的频率ω可以调节；此外，机械振
动系统中的位移是比较容易观察并产生直接效果的。
然而，在振荡电路里，固有频率ω0 是可调的，驱动
力是外来的讯号，其频率ω是给定的；此外，电路中重要
的变量是电流，它相当于这里的速度。
所以，在力学里应着重考察位移随驱动频率ω的变
化，而在电学里应着重考察电流（速度）随固有频率ω0
的变化。然而从功率的角度看，在任何情况里我们都应
着重考察速度。
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7.3.3 共振    0
1. 振幅共振
B
x  B cos( t   )
f0
( 02   2 ) 2  4  2  2
tan  
当 dB/dω= 0 时，B 最大，由(7.3.18)式知，
   r   02  2 2
振幅 B 最大。此时称为达到振幅共振。
   0 时，有  r   0
共振时相移：
2 

1 
  tan 1

tan

 2
2 2

x  B cos( t  )
2
x  B cos  t
2 
 02   2
中
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7.3.3 共振    0
1. 振幅共振

1 2 
1 
  tan
 tan

2
 2
2

x  B cos( t  )
2
x  B cos  t
即位移落后于驱动力π/2 相位，而速度恰好与驱动力同
相位。
功率 = F0 v，故此时外力永远做正功。
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7.3.3 共振    0
1. 振幅共振
B-ω图常称
频率响应曲线
或称共振曲线。
当 Q > 1 时，所
有的曲线都有
一个峰，这就
是共振峰。品
质因素 Q 越大，
曲线的峰越明
显。共振峰 处
  0
中
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7.3.3 共振    0
2. 能量共振
既然外力供给振子的能量等于阻力消耗的能量，则
振子得到的功率：
2 2
hf
1 T
1
2
2
0
P   hx dt  h( B) 
T 0
2
2 [( 02   2 ) 2  4  2 2 ]
当 dP/dω= 0 时，P 最大，此时称为能量共振。由
(7.3.19)可得， ω=ω0 时能量共振。
共振时强迫力的功率时刻与阻力的功率相抵，因而振子
的机械能恒定不变。这时振子以固有频率振动，犹如一个不
受阻力的自由振子，故动能与势能之和与时间无关。同时，
共振时强迫力与速度同位相，因而时刻对体系作正功，这正
是共振开始时振幅急剧增大的原因所在。但随着振幅的增大，
阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，遂使振
子的振幅保持恒定。
中
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7.3.3 共振    0
2. 能量共振
与振幅共振不同的
是，能量共振时ω
和ω0 严格相等，如
图7.18所示。
中
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7.3.3 共振    0
3. 共振峰的锐度，Q 的第二种意义
通常用锐度来描
写共振曲线的尖锐程
度，共振峰锐度定义
为：
S
r
 2  1

0
 2  1
 2  1  1   2
称为共振峰宽度。
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7.3.3 共振    0
3. 共振峰的锐度，Q 的第二种意义
当β很小时，由
B  Br / 2
从(7.3.18)式得
 02   2  2  
( 0   )( 0   )  2 
1   2    
故
S
0
0

Q
 2  1 2 
于是共振峰锐度恰等于
品质因数。这是 Q 值的
第二种意义。
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7.3.3 共振    0
4. 系统放大倍数，Q 的第三种意义
由(7.3.14)式知，当ω≈ 0 时，振幅
B  B0  f 0 /  02
我们定义系统放大倍数
Br
K
B0
其中 Br 为共振时的振幅，由(7.3.18)式知， Br  f 0 / 2 0
代入(7.3-23)式得
f 0 / 2 0  0
K

Q
2
f0 / 0
2
于是系统放大倍数恰等于品质因数。这是 Q 值的第三种
意义。
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7.3.3 共振    0
据说，160多年前，不可一世的拿破仑率领法国军
队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着
军官雄壮的口令，队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正
在这时，轰隆一声巨响，大桥坍塌，士兵、军官纷纷
坠水。几十年后，圣彼得堡卡但卡河上，一支部队过
桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过
桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通过。
一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期
相近，发生共振所致。
1940年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一
场不算太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，
这难道也是共振所致？其实，风有时也能产生周期性
的效果，君不见节日的彩旗迎风飘扬吗？
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§7.4
略
二自由度振动*
中
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§7.5
机械波
如果在空间某处发生的扰动，以一定的速度由近
及远向四处传播，则称这种传播着的扰动为波。机械
扰动在弹性介质内的传播形成机械波（又称弹性波），
电磁扰动在真空或介质内的传播形成电磁波。不同性
质的扰动的传播机制虽不相同，但由此形成的波却具
有共同的规律性，波是能量传播的形式之一。此外，
近代物理指出，微观粒子以至任何物体都具有波性，
这种波叫物质波，尽管物质波与机械波或电磁波有本
质的不同（例如它并不传播能量），但在传播、叠加
等方面仍与上述两种波有着共同的性质。
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§7.5
机械波
7.5.1
机械波的产生和传波
7.5.2
波的分类
7.5.3
平面简谐波
7.5.4
波动方程和波的传播速度
7.5.5
波的能量密度
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7.5.1 机械波的产生和传播
由连续不断的、无穷个质点构成的系统，若其各部
分有相互作用力而且可以有相互运动，称为连续媒质。
若连续媒质之间的相互作用力是弹性力，则称为弹性媒
质。
机械波特点：
1. 机械波是一种机械运动形式，必须具备两个条件：振
源和弹性媒质；
2. 波是指媒质整体所表现的运动状态；
杨
维
纮
3. 波的传播是质点振动状态的传播过程，亦即振动位相
的传播过程，而所有的质点都仍在各自的平衡位置附
近振动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.1 机械波的产生和传播
在弹性媒质中，可以设想各质点（质元）有一个平
衡位置，它一离开平衡位置，即受到各附近质点的指向
平衡位置的合力。
质元间的相互作用（如弹性）使波得以传播，质元
的惯性使波以有限的速度传播。
引起媒质振动的振动物体称为波源。
弹性媒质形变分类：
1. 切变：物体受力后层间发生位移的现象称为切变。切
变物体企图恢复原状而产生的弹性力称为切变弹性。
2. 张变：媒质伸长或压缩这种变形称为张变。张变物体
企图恢复原状而产生的弹性力称为张变弹性。
中
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7.5.2 波的分类
1. 按传播方式
如果波源
振动方向
与波的传
播方向垂
直，就会
形成周期
性峰、谷
的传播。
这样的波
称为横波。
其具体形
成过程如
图7.21所
示。
中
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7.5.2 波的分类
1. 按传播方式
横波传播
条件：媒
质具有切
变弹性。
液体
内部、气
体不能产
生切变弹
性力，故
液体内部
和气体中
不能传播
横波。
中
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7.5.2 波的分类
1. 按传播方式
如果
波源振动
方向与波
的传播方
向平行，
就会形成
周期性疏、
密的传播，
这就是纵
波。纵波
的形成过
程如图
7.22所示。
中
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7.5.2 波的分类
1. 按传播方式
以质点的位置为横坐标，以质点的位移为纵坐标所画的曲
线称为波形曲线。
在横波中，波
形曲线就是具
体的波形图。
在纵波中则不
是。纵波的波
形曲线在图
7.22中用细实
线表示，它与
横波的波形曲
线相似，图中
虚线为各质点
的振动曲线。
中
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7.5.2 波的分类
2. 按空间形状
如果波在各向同性的均匀无限介质中传播，那
么，从一个点波源发出的扰动，经过一定时间后，扰
动将到达一个球面上，如果扰动是周期性的，介质中
各处也相继发生同频率的周期性扰动。介质中振动位
相相同的点的轨迹称为波阵面，简称波面。最前面的
波阵面称为波前。波阵面是球面的波称为球面波，在
离波源足够远处，在观察的不大范围内，球面可看成
平面，这种波就称为平面波，自波源出发且沿着波的
传播方向所画的线叫波线，在各向同性介质中，波线
与波面互相垂直。
中
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7.5.2 波的分类
2. 按空间形状
中
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7.5.2 波的分类
3. 按波源振动方式
波源作周期振动形成的波称为周期波。
波源作间歇振动形成的波称为脉冲波。
波源作简谐振动形成的波称为简谐波。
中
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7.5.3 平面简谐波
如果波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同
频率的简谐振动，这样形成的波叫简谐波。如果波面为
平面,则这样的波称为平面简谐波。由于平面简谐波的波
面上每一点的振动和传播规律完全一样，故平面简谐波
可以用一维的方式来处理。
如图7.24所示，
设一简谐波沿正 x 方
向传播，已知在 t 时
刻坐标原点 O 处振动
位移的表式为
y  A cos( t   0 )
中
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7.5.3 平面简谐波
于是 P 点的位移为
x
y  A cos[ ( t  )   0 ]
v
v 称为波的位相速度，
也称为波速，它表示
单位时间某一振动相
位所传播的距离。
(7.5.2)式就是简谐波的运动学方程。由于波是向右
传播的，又称为右行波。令
  vT
λ称为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
中
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7.5.3 平面简谐波
x
y  A cos[ ( t  )   0 ]
v
由于
  2 / T
t x
y  A cos[ 2 (  )   0 ]
T 
2
令
k

k 称为波数，它表示在 2π米内所包含的波长数。于是简
谐波方程(7.5.2)又可以写成：
y  A cos( t  kx   0 )
(7.5.2)、(7.5.4)和(7.5.6)都是简谐波的方程。
中
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7.5.3 平面简谐波
x
y  A cos[ ( t  )   0 ]
v
t x
y  A cos[ 2 (  )   0 ]
T 
 , T 是和时间有关的量
k ,  是和空间有关的量
y  A cos( t  kx   0 )
其对应关系为：
时间 t：
圆频率ω
周期 T
空间 x：
波数 k
波长 λ
而它们由波速相互联系： v    
T k
若 v 与ω无关，则称波是无色散的。
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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义：
波的运动学方程是一个二元函数，位移既是时间 t
的函数，又是位置 x 的函数。
1. 当 x 一定，y 仅为 t 的函数，例如 x = x1 时，即盯住
某一位置看，
x1
y  A cos[ ( t  )   0 ]  A cos[ t  1 ]
v
它表示 x = x1 这一质点随时间作简谐振动，时刻 t 和
t + T 的振动状态相同，说明波动过程在时间上具有
周期性，振动的周期（频率）和振幅与波源相同，
位相落后
x

1   0 
v
x1  2
1

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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义：
2. t 一定，则 y 仅为 x 的函数，当 t = t1 时
y  A cos[ t1  kx   0 ]  A cos[kx   t ]
其中
 t   t1   0
表示任一时刻各质点离开平衡位置的位移的分布。可以
看出，波动过程在空间上具有周期性，波长就是波动的
空间周期。
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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义：
3. y 一定，则波表达式的宗量 ( t  kx   0 )
即波的位相一定，  t  kx   0  常数
则随着时间的增加，波必须在空间传播一定的距离。
将上式对时间求导，得
dx 
v
  vp
dt k
vp 称为波的位相速度，简称相速。它表示确定的位相
在单位时间内传播的距离。
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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义：
4. 将以上各方程中的 v 换成 -v，即得向坐标轴负向传播
的平面简谐波的运动学方程为
x
y  A cos[ ( t  )   0 ]  A cos[ t  kx   0 ]
v
该波又称为左行波。
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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义：
5. 波速为波在媒质中传播的速度，它是振动位相在媒质
中传播的速度，它不同于波线上各质元绕平衡位置的
振动速度。波速对于各向同性媒质而言是一个常数，
而各质元的振动速度和加速度则是时间的函数，为：
y
x
  A sin[  ( t  )   0 ]
t
v
2 y
x
2
  A cos[ ( t  )   0 ]
2
t
v
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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义：
6. 在空间中传播的平面简谐波的运动学方程为
B(r, t )  A cos(  t  k  r   0 )
其中 k 称为波矢，它是一个矢量，而它的绝对值就是
波数。
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1. 弹性棒中纵波的波动方程和波速
设波在其中传播的介质是质量连续分布的弹性棒。
在棒中取横截面坐标为 x 到 x +⊿x 的一段作为考察对象，
如图7.25所示。令棒的截面积 S 为密度为ρ。当棒中有纵
向扰动传播时，各截面的位移并不相同，棒中发生纵向
形变（张变），从而出现应力（弹性力）。所考察的这
段棒受到左方介质所施的弹力 F (x) 和右方介质所施弹
力 F (x +⊿x)的作用，F (x) 由 x 处的相对形变决定。设 x
处的横截面的位移为 y，x + dx 处的横截面的位移为 y +
dy，则 x 处的相对形变为 dy/dx。根据胡克定律，作用在
x 处横截面上单位面积的正应力 T 与该处纵向相对形变
（应变）成正比：
中
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1. 弹性棒中纵波的波动方程和波速
dy
T Y
dx
式中 Y 称为杨氏模量。
于是，x 处的弹力：
dy
F ( x)  SY
dx x x
同理，在 x +⊿x 处的弹力：
dy
F ( x  x)  SY
dx x xx
中
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1. 弹性棒中纵波的波动方程和波速
当时 dy/dx > 0 为
伸长形变，应力是张力，
相应的 F (x) 应取负号，
F (x +⊿x) 应取正号，
故所考察的这段棒的运
动方程为
d2y
dy
dy
d2y
 Sx 2  SY
 SY
 SY 2 x
dt
dx xx
dx x
dx
两边除以 Sx
并将求导符号改为求偏导的符号，得：
中
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1. 弹性棒中纵波的波动方程和波速
2 y Y 2 y

2
t
 x 2
上式就是波动过程所满足的动力学方程，称为波动方程，
这是一个线性偏微分方程。设其解为：
x
y  A cos  (t  )
v||
代入方程(7.5.18)解得波速：
Y
v||  
杨
维
纮

这就将波速与介质的常量 Y、ρ联系起来了，Y 反映介质
的弹性，ρ反映介质的惯性。由于所讨论的是纵波，故在
v 旁加了脚标 “||”。式中正号对应于右行波，负号对应
于左行波。
中
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
2. 横波的传播速度
当介质中有横向拢动传播时，介质发生切向形变，
在与波传播方向相垂直的横截面上出现切应力，因而横
波的传播速度与介质的切向弹性模量有关，类似于上面
的推导，可以求得横波的波速为：
v  
N

式中 N 称为切变模量，它是切应力 T 与横向相对形变
dy/dx 之比，即：
dy
TN
dx
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
3. 一般形式的波动方程
将(7.5.20)式代入(7.5.18)，以 v 表示波的相速度，可
得一般形式的波动方程为：
2
2 y

y
2
v
2
t
x 2
对于在三维空间中传播的波，若以 B (r, t) 表示其振幅矢
量，则波动方程为：
2
2
2

 2B

B

B

B
2



v


2
2
2
2 

t
y
z 
 x
如果弹性介质中的波速只与介质的参量有关，而与所传
播的简谐波的频率无关。这样的波为无色散波。
中
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
我们知道，空气中的声波为纵波，其传播速度应由
(7.5.21)式求得，空气的杨氏模量 Y 应为空气的压强 p，
于是由(7.5.21)式可得声波的速度：
v
p

对于15o，一个大气压的空气
p  105 牛顿 / 米2
  1.2 千克 / 米3
代入上式得，而实验测得的声速约为 v = 289米/秒，相差
竟达 20% 之多！这个矛盾一个世纪内竟无法解释。后来
才有人指出，不应该忽略了空气在传声中，一伸一缩，
其温度，因而其弹性，都有变化的缘故，该问题才告解
决。这个问题，我们留待热学中再探讨。
中
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7.5.5 波的能量密度
略
中
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7.6.1
惠更斯原理
7.6.2
波的反射定律
7.6.3
波的折射定律
杨
维
纮
7.6.4
波的衍射
§7.6
波在空间中的传播
中
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7.6.1 惠更斯原理
波在行进过程中遇到小孔、
障碍物或两种介质的交界面时，
会发生衍射、反射、折射等各
中情况。在历史上，曾提出过
几种理论解释这些现象，其中
比较成功的是惠更斯原理
（Huygens, 1629~1695, 荷兰物
理学家、天文学家、数学家）。
惠更斯提出：在波的传播过程中，波前上的每一点
均可看成一个子波源，在 t 时刻的波前上的这些子波源
发出的子波，经⊿t 时间后形成半径为 v⊿t（ v为波速）的
球面，在波的前进方向上，这些子波的包迹就成为时刻 t
+⊿t 的新波前，如图7.27所示。这种借助于子波概念解
释波前怎样推进的原理叫作惠更斯原理。
中
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7.6.1 惠更斯原理
上述惠更斯原理，如果不加修饰，不仅给出
朝前推进的波前，而且给出倒退的波前。因此，
子波必须修饰为前后不对称的，在正前方最强，
正后方为零，其它方位则强度在这两极端之间。
经过修饰的惠更斯原理不仅能给出波前的推进，
而且可以用来计算波强的分布。而比较严谨的理
论是基尔霍夫公式。基尔霍夫公式已超出本书范
围，这将在后续课程中讲述。
中
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7.6.2 波的反射定律
略
中
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7.6.3 波的折射定律
略
中
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纮
7.6.4 波的衍射
略
中
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§7.7
波的叠加
实验表明，当空间同时存在两列或两列以上的波时，
每列波在传播中将不受其他波的干扰而保持其原有特性
（频率、波长、振幅、振动方向和传播方向）不变，而
空间任一点的振动位移则等于各列波单独在该点引起的
振动位移的矢量和。这一表述称为波的叠加原理或惠更
斯—菲涅尔原理（Fresnel, Auguston Jean, 1788~1827，法
国物理学家）。
就像振动的叠加原理的基础是振动的动力学方程为
线性微分方程一样，波的叠加原理的基础是波动方程
(7.5-24)为线性微分方程。
中
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维
纮
§7.7
波的叠加
7.7.1
波的干涉
7.7.2
驻波
7.7.3
非相干波的叠加、波的群速度
中
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7.7.1 波的干涉
介质中同时传播着的两列波相遇时，
在它们重叠区域的某些点振动始终加
强，某些点振动始终减弱，形成稳定
的叠加图样，这种现象称为波的干涉。
能产生干涉现象的必要条件称为波的
相干条件。满足波的相干条件而能产
生干涉现象的两列波称为相干波。产
生相干波的波源称为相干波源。
中
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7.7.1 波的干涉
如图7.31所示，设两波源 S1
和 S2 的振动方程各为：
y10  A1 cos( t  1 )
y20  A2 cos( t   2 )
假定振动的方向都垂直于纸
面，由 S1、S2 发出的两列波在空
间 P 点引起的振动各为：
y1  A1 cos( t  1  kr1 )
杨
维
纮
y2  A2 cos( t   2  kr2 )
式中 k 为波数， r1、r2 为 P 点到 S1、S2 的距离。根据波
的叠加原理，P 点的合振动为：
y  y1  y2  A1 cos( t  1  kr1 )  A2 cos( t   2  kr2 )
中
国
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杨
维
纮
7.7.1 波的干涉
y  y1  y2  A1 cos( t  1  kr1 )  A2 cos( t   2  kr2 )
这是两个同方向、同频率的振动的合成。根据7.1.5
节的讨论，当两振动的位相差
(n  0,  1,  2, )
  1   2  k (r2  r1 )  2n
时，P 点振动的振幅为 A1+ A2，振动加强，这样的点称
为干涉相长点。当位相差
  1   2  k (r2  r1 )  (2n  1) (n  0,  1,  2, )
时，P 点振动的振幅为 |A1 - A2| ，振动减弱，这样的点称
为干涉相消点。
位相差等于其它值的点的振幅介于 A1+ A2 与 |A1 A2| 之间。
中
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维
纮
7.7.1 波的干涉
要在空间维持稳定的干涉现象，各点的振幅应保持恒定。
由此知，波的相干条件为：
1. 两列波具有相同的频率；
2. 两列波的相位相同，或相位差恒定；
3. 两列波的振动方向相同。
维持两个波源满足相干条件，特别是相位差条件很
不易，常用同一波源产生的波通过两条狭缝后相干。
如果空间存在多个相干波源，也会产生干涉现象。
光学中的多缝干涉就是一例。这里暂不作讨论。
中
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维
纮
7.7.2 驻波
介质中有反向行进的两个同频率的波存在时，这两
个波叠加后也将产生干涉现象。为简单起见，设弹性弦
上传播着具有相同的振幅、相反传播方向的两波，它们
的运动方程为
y1  A cos( t  kx  1 )
y2  A cos( t  kx   2 )
合成后，弦上的运动成为
y  y1  y2  2 A cos( kx 
右行波
左行波
 2  1
2
) cos( t 
 2  1
2
)
在合成波的表式中，与和的关系分别出现在两个因
子之中，因此，合成波实际上是一种振动，不再是振动
的传播，故称为驻波。
位相逐点传播的波，即通常意义下的波称为行波。
中
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维
纮
7.7.2 驻波
y  y1  y2  2 A cos( kx 
 2  1
2
) cos( t 
 2  1
2
)
驻波中，振动的振幅在空间有一定的分布规律：
 2  1
1. kx 
 n , (n  0,  1,  2, )
2
n  2  1
n   2  1



即： x 
k
2k
2 2
2
此时
cos( kx 
 2  1
2
) 1
振幅最大，这种位置称为波腹，这时质点的振幅为分
波振幅的两倍。相邻波腹的距离为λ/2。
中
国
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大
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杨
维
纮
7.7.2 驻波
y  y1  y2  2 A cos( kx 
2. kx 
 2  1
2
 n 

2
 2  1
2
) cos( t 
 2  1
2
)
, (n  0,  1,  2, )
(2n  1)  2  1 (2n  1)   2  1



即： x 
2k
2k
4
2
2
此时
cos( kx 
 2  1
2
) 0
振幅为零，这种位置称为波节。相邻波节的距离也为
λ/2。
中
国
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技
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大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
驻波可
以用波
形曲线
具体地
表示出
来，如
图7.32
所示。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
由以上分析可知，驻波有以下几个特征：
1. 没有位相的逐点不同和逐点的传播，在相邻两波节
之间，各点的振动位相相同，在波节两边，振动反
位相。
2. 各点振幅不同，波腹处振幅最大，波节处振幅最小。
相邻波节间距、相邻波腹间距都为λ/2。
3. 如正向传播的波和反向传播的波振幅不等，仍然合
成驻波，但波节的振幅不为零而是振幅绝对值最小。
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纮
7.7.2 驻波
由以上分析可知，驻波有以下几个特征：
4. 关于端点的反射问题。
设入射波 y1  A cos( t  kx) 设端点为 x = l
(1) 对自由端点，反射波：
y2  A cos[ t  k (2l  x)]  A cos( t  kx  2kl)
合成的驻波为：（端点为波腹）
y  y1  y2  2 A cos(kx  kl) cos( t  kl)
(2) 对固定端点，反射波应为：
y2  A cos( t  kx  2kl   )
合成的驻波为：（端点为波节 ）
y  y1  y2  2 A cos(kx  kl   / 2) cos( t  kl   / 2)
我们称波在端点具有半波损失。
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7.7.2 驻波
由以上分析可知，驻波有以下几个特征：
5. 波的总能流为零，因为反向行进的波的能流相反。
但由于瞬时能流密度与时间有关，两反向波的瞬
时能流密度并不时时相抵，从而使在两波节之间
的区域中，仍有净能量的传播。当波节两边各质
元的位移的数值最大时，能量全部为势能，主要
集中在波节附近；当它们通过平衡位置时，能量
全部为动能，主要集中在波腹附近。但在波节
（或波腹）两边，最终并无能量交换。因而，每
一个相邻的波节与波腹之间的区域，实际上构成
一个独立的振动系统，它与外界不交换能量。
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7.7.2 驻波
和横波一样，纵波也可以形成驻波。
在纵驻波中，波节两边的质点在某一时刻
涌向波节，使波节附近成为质点密集区，
半周期后，又向两边散开，使波节附近成
为质点稀疏区，相邻节点附近质点的密集
和稀疏情况正好相反。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
设有两列在空间行进的波，它们均沿 x 方向传播。
为了讨论方便，可设振幅相等，即这两列波为：
A cos(1t  k1 x  1 )
A cos(2t  k2 x   2 )
假设它们传播的速度（相位传播速度，即相速）相同，
为 v，一路上两列波叠加为：
A cos(1t  k1 x  1 )  A cos(1t  k1 x   2 )
x
x
 A cos[1 (t  )  1 ]  A cos[ 2 (t  )   2 ]
v
v
1   2
1   2
x 1   2
x
 2 A cos[
2
(t  ) 
v
2
] cos[
2
(t  ) 
v
1   2
2
将(7.7.12)与7.1.5节的(7.1.28)作一比较，相当于将(7.1.28)
式中的 t 换成了t – x/v。
]
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
x  2
  2
x   2
(t  )  1
] cos[ 1
(t  )  1
]
2
v
2
2
v
2
这说明，这样两列传播方向相同、波速相同、频
率不同的波相加，波线上每一点的振动情况都相同，
即相同的拍频振动以速度 v 沿 x 方向传播，或用无线电
学中的术语，即得到以速度 v 沿 x 方向传播的调制波。
而且在空间移动中，合成波与各分波以相同速率前进，
调制波也以此速率前进。这个速率等于每一个波的相
速，即

v拍 
k
2 A cos[
1   2
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
A cos(2t  k2 x   2 )
A cos(1t  k1 x  1 )
现在考虑较复杂的情况。存在色散，即波速随频率
不同而有所不同。反映在波的圆频率ω与波数 k 之间关系
不再那样简单。设两列波的波速有关系
v1 
1
v1  v2
k1
k2
作为复杂情况的一个例子是，对于深水的水面波，
  gk 
2
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v2 
2
T

k
3
v

k

g T
 k
k 
跟 k 有关，因而深水的水面波是色散波。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
A cos(2t  k2 x   2 )
A cos(1t  k1 x  1 )
v1 
1
v2 
2
v1  v2
k1
k2
现在再作两列色散波的叠加：
A cos(1t  k1 x  1 )  A cos(1t  k1 x   2 )
k1  k 2
1   2 
 1   2
 2 A cos
t
x

2
2 
 2
k1  k 2
1   2 
 1   2
cos
t
x

2
2 
 2
(7.7.17)式虽然与(7.7.12)式相似，合成波也是沿方向传播
的调制波，但是由于原来的两列波的传播速度不同，合
成波包络线的传播速度既不是 v1，也不是 v2。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
合成波包络线的传播速度代表信号的传播速度，我
们称其为群速度。下面我们来求群速度，合成波包络线
k1  k 2
1   2 
为：
 1   2
2 A cos
t
x

2
2 
 2
群速度可以认为是该包络线峰值的传播速度，在时刻 t
其峰值位于 x，且有关系：
1   2
k1  k 2
1   2
t
x
 2n
2
2
2
其中 n 为任意整数。对上式微分得：
1   2
k1  k 2
dt 
dx  0
2
2
则可求得群速度为： v g 
 2  1
k 2  k1
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在
d
此极限情况下有
vg 
为了和波的群速度区别，我们将波的相速度记为 vp，即：
vp 
利用
  kvp

k
k  2 / 
代入(7.7.21)式可得：
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dk
vg  v p  k
此式就是著名的瑞利群速公式。
dv p
dk
 vp  
dv p
d
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
vg  v p  k
dv p
dk
 vp  
dv p
d
由此式可以判定
dv p
d
dv p
d
dv p
d
 0,
vg  v p
无色散；
 0,
vg  v p
正常色散；
 0,
vg  v p
反常色散。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
这种相速与群速的区别大致可以作一些直观的理
解，两列波在空间以略为不同的频率传播，由于相速
稍有不同，于是就产生了某种新的情况。假设我们处
在其中一列波上去观察另一列波，如果这两列波的速
率相同，那么看到的另一列波是静止的。若处在一列
波的波峰上，而另一列波也正好是波峰，两者重叠在
一起，在静止参考系看到重叠处以原有的波速前进，
这就是我们一开始分析的情况。现在，两列波速率略
有不同，若仍处在一列波的波峰上，你会看到另一列
波的波峰就会缓慢地向前（或向后）移动。这导致合
成波的包络在两列波行进时会以不同的速率前进。反
映调制信号的包络的速度就是群速度。
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§7.8
多普勒效应
一辆汽车在我们身旁急驰而过，车上喇叭的音调有
一个从高到低的突然变化；站在铁路旁边听列车的汽笛
声也能够发现，列车迅速迎面而来时音调较静止时为高，
而列车迅速离去时则音调较静止时为低。此外，若声源
静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发
生收听频率和声源频率不一致的现象。这种现象称为多
普勒效应。
下面推导多普勒频移的公式。为了简单，先讨论波
源 S 或观察者 D 的运动都在波源与观察者的连线上运动，
并以 vD 表示观察者相对介质的速度，以趋近波源为正；
以 vS 表示波源相对介质的速度，以趋近观察者为正；介
质中的波速为 v。
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§7.8
多普勒效应
7.8.1
波源静止，观察者运动
7.8.2
波源运动，观察者静止
7.8.3
波源和观察者都运动
7.8.4
一般情况
7.8.5
马赫锥
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7.8.1 波源静止，观察者运动
如图7.33所示，静止点波
源发出的球面波波面是同心的，
若观察者以速度 vD 向波源运
动，则波动相对于观察者的传
播速度变为
v  v  vD
于是观察者感受到的频率为：
v v  v D
  

杨
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
故它与波源频率之比为：    v  vD

v
上式中 vD 可正可负，当 vD < 0 时表示观察者向离开波源
的方向运动。
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7.8.2 波源运动，观察者静止
如图7.34所示，
若波源以速度 vS 向着
观察者运动，它发出
的球面波波面不再同
心。由于波源的运动，
将使波长缩短。当波
源静止时，相邻两位
相相等的等相面之间
的距离为λ。
波源运动时，当第一个等相面自波源发出后，该面
即以速度 v 向前行进，在第二个同位相的等相面发出时，
波源已向前移动了的距离 vST，而这时第一个等相面已向
前行进 vT =λ的距离，结果两同位相等相面之间的距离变
为
  vS T
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7.8.2 波源运动，观察者静止
即现在的波长
     vS T
如图7.34所示，于是
观察者接收到的频
率为：
v
v
  
    vS T
v
v


(v  vS )T v  vS


故它与波源频率之比为：

v
v  vS
上式中 vS 可正可负，当 vS < 0 时表示波源向离开观察者
的方向运动。
中
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7.8.3 波源和观察者都运动
这时
vS  0, vD  0
只要把上述两种情况结合起来，即可得波源和观察者
都运动时观察者接收到的频率与波源频率之比为：
  v  vD

 v  vS
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7.8.4 一般情况
略
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7.8.5 马赫锥
略
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§7.9
略
非线性波简介