Transcript 力学课程-第十八讲

普通物理学
《力学》课程
主讲教师：王艳利博士
罗绍凯教授
第十八讲
§6
波的反射和透射
1、惠更斯原理、波的叠加原理
惠更斯原理：
以穿过小孔的水面波为例
穿过小孔的波与原来波的形状无关,这
说明小孔可以看成是一个新的振源。
惠更斯原理：在波传播的过程中，波前上每一点都可以看成一个
子波源，各子波波前的包络面构成了新的波前。
S
S
1
2
r= v t
r= v t
平面波
球面
波
S1
S2
惠更斯原理的基础是几何作
图法，它的意义不在于求新的
波前，而在于它能解释很多波
动现象。
波的衍射
波动在传播的路程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘
前进，这种现象叫波的衍射或波的绕射。
比较两图
哪个更容易发生衍射？
a~
如你家在大山后,听广播和看电视哪个更
容易? (若广播台、电视台都在山前侧)
（已知无线电广播所用的电磁波波长为550m，
而传输电视信号所用的电磁波波长为0.566m）
波的叠加原理：
2
 2


若波动函数1( x, t )、 2( x, t )满足波动方程 2  u 2
，则它
2
t
x
们的任一线形组合C11( x, t )+C2 2( x, t )也满足这个波动方程。
证明： 设
2
2
2
2
2



2


'




2
2
1
1
2 Cu
则
 C2 u
 C1 2  C2 2
1
2
2
x
x 2
t
t
t
2
  21
 2 2 
 2 '
2  (C11  C2 2 )
 u  C1 2  C2 2   u
 2
2
x 
x
x
 x
2
 2 '

'
2
∴
u
2
t
x 2
即：线形组合C11( x, t )+C2 2( x, t )也满足这个波动方程
2

i
2、弦上横波的反射与透射
 i  A cos(t  k1 x )
( x  0)
r  B cos(t  k1 x  r ) ( x  0)
 t  C cos(t  k2 x   t ) ( x  0)
l1
t
l2
r
O
x
由于波源的振动频率一定，而介质不同，所以波速是不同的，根
据波数的定义 k   / u  2 /  ，不同的介质中波数是不同的
这三个函数满足的两个边值条件：
( i   r ) x 0   t
x 0
 t
 ( i   r )

x
x
x 0
（位移连续）
（受力连续）
x 0
将三个函数代入两个边值条件中，由方程左右cost、 sint 的系
数相等，得到如下四个等式：
A  B cos  r  C cos  t
B sin  r  C sin  t
 k1 B sin  r  k2C sin  t
k1 ( A  B cos  r )  k2C cos （推导过程不要求掌握）
t
为使sinr、 cost 同时满足第二、三公式，必须
sin  r  0 sin  t  0
r  0
将上述结果代入第一、四公式中，得
A B  C
k1 ( A  B)  k2C
由以上两个公式解得
k1  k2
B
A
k1  k2
2k1
C
A
k1  k2
t  0

∵
其中
u
l
k
∴
∴
u
k  2
u u
FT
FT
2
u  （FT 为弦中的横向力）
k1 
 l 1u1
 l u
FT
FT
l
k2 
 l 2 u2
将以上两式代入B、C的表达式，得：
 l 1u1   l 2 u2
B
A
 l 1u1   l 2 u2
特征阻抗：
Z  l u
B Z1  Z 2
振幅反射系数： A  Z  Z
1
2
C
2 Z1
振幅透射系数：

A Z1  Z 2
FT
2  l 1u1
C
A
 l 1u1   l 2 u2
介质的密度与波速的乘积叫做
波阻即波的阻抗。
波阻相对较大的介质称为波密
介质，反之称波疏介质 。
3、半波损失
从波疏介质到波密介质传播时会有半
波损失；反之，则没有半波损失。
（1）若Z1<Z2，则
半波损失：当波从阻抗小的一方进入阻抗大的一方而反射时，
反射波在交界面将有的相位突变，相当于半个波长。
（2）若Z1>Z2，则
无相位突变，无半波损失。
（3）若Z2→∞时，则x=0处相当于固定端，这时
入射波完全被反射，同时有相位突变、有半波损失。
（4）若Z2=0时，则x=0处相当于自由端，这时
入射波完全被反射，但无相位突变、无半波损失。
（5）若Z1=Z2，则
入射波无反射，全部透射，这种状态称为匹配。
4、能量的反射与透射
1
2 2



A
平均能量密度：
2
平均能流密度（波的强度）：
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能量。
∴
I
  ut  S
St
ut
1
  2 A2 u
2
S
波的强度：

i
能量反射系数：
l1 r
O
能量透射系数：
u
t
l2
x
§7 波的干涉 驻波
1、波的干涉
频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波相遇时，使
某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现
象，称为波的干涉现象。
频率相同、振动方向相同、相位差恒定
的两列波成为相干波。 r1
P
S1
r2
S2
两相干波源S1、S2的振动方程为：
 S  A10 cos(t  1 )  S  A20 cos(t   2 )
1
2
两波源的振动方向均垂直于纸面; 两列波在P点引起的振动分别为：
 S  P  A1 cos(t  kr1  1 )  S  P  A2 cos(t  kr2   2 )
1
2
两列波在P点处叠加，得：
   S   S  A cos[t   (r1 , r2 )]
1
其中：
2
A  A12  A22  2 A1 A2 cos[( 2  kr2 )  (1  kr1 )]
A1 sin( 1  kr1 )  A2 sin(  2  kr2 )
 (r1 , r2 )  arctan
A1 cos(1  kr1 )  A2 cos( 2  kr2 )
  (2  kr2 )  (1  kr1 ) (2  1 )  k (r1  r2 )
2π
假设 1 =  2 ，则：   k (r1  r2 ) 
(r1  r2 )
 2 2
相位差：
A  A1  A2  2 A1 A2 cos 
 A1  A2
∴两列相干波在P点叠加后的振幅
2k , 则 A  Amax

(2k  1) , 则 A  Amin  A1  A2
k , 则 A  Amax
——相长干涉

 r2  r1  
1
(k  2 ) , 则 A  Amin ——相消干涉
相干波源发出的两列波在空间相遇区域内，某些点的振动始终加
强，某些点的振动始终减弱。
波的干涉：
r2  r1  常量
相长和相消干涉都形成双曲线
干涉实例：双缝干涉
Ｐ
r1
S1
d
y
r2
θ
S2
S1
弱
强
S
S2
D
弱
强
D  d
∵
y
r2  r1  d sin  d
D
A1  A2
∴
∵
∴
强
A2  A12  A12  2 A1 A1 cos k (r2  r1 )  2 A12 [1  cos k (r1  r2 )]
2π ( r1  r2 )
2
2 πdsin
 4 A cos [
]  4 A1 cos


2
2
1
2
干涉波的强度：
I  A  4 I1 cos
2
2
πdsin

I
-/d
-2/d
S
S2

/d
2/d
sin
P
r2

d
4I1
0
r1
S1
πd
 4 I1 cos (
y)
D
2
x
I
O
D
干
涉
条
纹
光
强
分
布
2、驻波
驻波(standing wave) ：在同一介质中，频率相同、振动方向相
同、振幅相等的两列简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时
叠加形成的波。
有关驻波的几个概念
波腹
波腹
波腹
波
节
波
节
波腹：振幅最大的位置。
波节：振幅为零，即静止不动的位置。
设两列相干波为
1  A cos(t  kx )
 2  A cos(t  kx )
合成波为
  1   2  A[(cos t cos kx  sin t sin kx )
 (cos t cos kx  sin t sin kx )]
驻波函数:   ( 2 A cos kx ) cos t  A( x) cos t
当 cos kx  1 时，振幅 A(x) 最大，对应波腹，此时 kx  nπ
∴波腹(antinode)坐标：
这里波数
k  2 / 
π
当 cos kx  0时，振幅为零，对应波节，此时 kx  ( 2n  1)
2
∴波节(node)的坐标为：
(2n  1) π

x
 (2n  1) , n  0,1,2,
2k
4
相邻波节或波腹之间的距离为半波长，即：
x  ( n  1)

2
n

2


2
驻波的相位特点：
① 有波节、波腹；
② 在两波节之间，各点振动同相；在某波节两侧，对应点
的振动反相。
③ 驻波中没有能量的定向传播，其能量禁锢在两波节之间。
波的强度为零。
驻波的形成
驻波可用实验演示：
波节：始终静止不动的点。
B
A
波腹：振幅最大的点。
驻波实验
左右移动B点尖劈，调节AB距离，在某些距离时便可以观察到
驻波的产生。
若 AB 距离为 L ，由于 A、B 两点为波节，因此有
n
2L
n 
Ln
2
u
u n
n   n
驻波的频率
n
2L
n  1,2,3
n =1 对应的频率称为基频，其他依次称为二次、三次······谐频。
基频
二次谐频
三次谐频
二维驻波
正方形薄膜
圆形薄膜
垂直悬挂的弦上的驻波
1
g
1   2.4048 
2
l
1
g
 2   5.5021
2
l
1
g
 3   8.6537 
2
l
声波在管中形成的驻波
在波导中传播的微波
用激光聚焦沉积原子的二维阵列纳米制备
[补充例题]：如图,有一平面波y1  A cos 2  t / T  x /   向右传播,
在距坐标原点O为x0 = 5λ 处被垂直界面反射, 反射面可看作固定端,
反射波振幅近似等于入射波振幅. 求: (1)反射波的波动方程; (2)驻波
的波动表达式; (3)在O到x0间各波节、各波腹点的坐标。
[分析] 1. 要求反射波的波动方程，可以从
反射点的振动方程入手，在界面处发射时还
要考虑到有无半波损。
• •
x
o
2. 入射波与反射波叠加会形成驻波
3. 有了驻波方程就可以求出波节，波腹的坐标
[求解]
入射波
x0
反射波
 t x
(1) 入射波方程为 y1  A cos 2   
T 

在x0处,入射波的振动为
 t 5 
 2t

y1  A cos 2     A cos
 10 
T  
 T

 2

t  11 
在x0处,反射波的振动为 y2  A cos
T

x
故反射波的波动方程为
  t x

  t x  x0 

y2  A cos 2  
  11   A cos  2  T      

 

 
 T

(2)驻波的表达式
  t x

 t x
y  y1  y2  A cos 2     A cos  2      
T  
 T  

x    2t  
2x   2t 

 2 A cos 2   cos
   2 A sin
 sin

2
  2  T

T

 

(3) 波节
sin
2x
0 
2x
 k
xk


2x 
1
2x
  k  
1 
波腹： sin

2



2
k  0,1,2, ,10
 x  ( 2k  1)
k = 0, 1, 2, …, 9

4
作业
1、结合PPT讲稿，认真钻研教材P156-160。
2、作业题：习题6-8，6-11，6-12，6-14
[加上分析过程]
对作业的要求
1、每道题要抄题、画图；
2、[求解]前要给出[分析]过程；
3、[求解]要给出详细计算过程；
4、求解后要说明属于哪一类的问题；用到哪些基本公式和定律.
5、作业要认真，不要抄题解，不要潦草。
关于作业
1、平时作业占30分，期终考试占70分。
2、每周星期一中午之前学习委员把作业收齐、按学号排好顺序送到物理
系3S211室王艳利老师的办公桌上。
提醒： 把《高等数学》书或《数学手册》放在案头，随时翻用！
谢谢,再见！
结合ＰＰＴ讲稿，认真钻研教材，
一定要自己推算一遍！