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量子无穷多粒子系统
的时间不可逆性
无穷格点场力学量 *代数的表示理论
及动力学时间反演对称性的自发破缺
问题的提出



非平衡态统计物理(或热力学)的基本问题是：充
分多粒子系统的时间单向性与粒子微观远动规律
的时间可逆性。
典型的讨论途径是：Fock空间 HF = nH1n + 二
次量子化 + 热力学极限,(或再引入某些“统计
假设”)，但都未能根本解决问题。
无法确切判断用各种方法求得的有限宏观耗散结
果(例如有限、非零的输运系数)是否正确，或正
确解的近似。
问题的提出



一般认为：复杂系统是由大量相互作用的子系统
构成，但表现出的一些特性却很难由子系统的运
动规律来理解。
流体的复杂宏观现象(如流、渦流等“自组织行
为”)都可从：N-S方程及外界条件得到。N-V方
程的关键是有非线性流动项及耗散项(如热导、
扩散等)。耗散性是由多粒子系统运动破坏了时
间反演不变而得到。
理解复杂系统至少必须：了解系统的宏观运动规
律，了解子系统运动的某些守恒律的“自发破缺
”。
Thermal convection as a prototype of Selforganization phenomena in Physics

Bénard, Henri. 1900. "Les Tourbillons Cellulaires dans une Nappe Liquide,"
Rev. General Science Pur. Appl. Vol. 11:1261-1271.
Plate at T1
H2O
Plate at T2
T2 > Tc > T1
4/27/2020
4
The picture (on right) was taken over ten seconds, so the
aluminum flakes in the fluid look like long trails instead of
small particles. This helps to visualize how the fluid is
moving: up through the center of the cell, then spreading out
and sinking at the edges of the cell.
Fig.
问题的提出



讨沦复杂系统首要确定的是“观测者的位置”
在系统外：将系统看成一整体，讨论整体运动。
如爱因斯坦的“宇宙模型”；Fock空间+热力学
极限是典型例子。
在系统内：讨论其中任一局部的行为。这是统计
物理的基本思想，也是量子场论中局或场理论的
出发点。系统是由充分多“局部”构成，只知道
局部尺度的运动规律，并不知“局部”之外的具
体情况。无穷多自由度系统。
量子无穷多粒子系统(QSINP)的描述



非相对论、短程二体作用。
空间任一点上粒子密度有限，QSINP的量子场函
数 ψ(x)是无穷空间C0类(而非L2类)函数。
考虑粒子应有有限大小(场论中的“正则化”或
“消除紫外发散”)，应用无穷空间格点场：
[ψ (I) , ψ* (I’)] = Δx3δI’,I
[ψ(I) , ψ(I’)] = 0
I={i1, i2,
i3,}
量子无穷多粒子系统(QSINP)的描述



可将 I={i1, i2, i3,} 整成一维整数列
{I},I=0,1,2,…
QSINP 则是“可列无穷”多自由度系统。每亇
自
由度 上有场算子：{ψ*(I),ψ(I)}。
量子格点场是三维格点平移不变的。
只应该是“实空间”的格点场，不能是动量或其
它空间。
格点上的Stone-Van Neumann定理



每亇格点，以格点算子：{ψ*(I),ψ(I)}作为生
成元构造格点代数R(I)。R(I)的组元为格点力学
量。
据Stone-von Neumann定理，R(I)只有唯一的不
等价、不可约表示{ N(I) ,H(I)}。 N(I)与R(I)
同构。
Hilbert空间H(I)，由正交完备基组：
{φ(I,n)}n
ψ(I)φ(I,0)= 0,
ψ*(I)ψ(I)φ(I,n)= nφ(I,n),
QSINP的力学量



*代数R
在QSINP中，有限个自由度构成子系统的力学量是有限
的，才是可以计算的，因此QSINP的任一力学量 都是由
有限个格点上的格点力学量(R(I)的组元集合而成。这
也是所有非平衔态统计理论的基本出发点。
QSINP所有力学量的集合R中定义：
加法：
{a(I),a(J))}+{b(J),b(k)}={a(I),a(J)+b(J),b(k)};
乘法：{ a(I),a(J))} {b(J),b(k)}={a(I),a(J)
b(J),b(k)}。
是“ *代数”
由于QSINP有无穷多自由度，R不可度量，不是“ C *代
QSINP的态矢及态矢空间




QSINP的“全纯态矢” :是无穷格点态矢列{φn(I)}I ,
其中φn(I)是旧一化的格点态矢。
全纯态矢，1只在有限个格点上的归一化格点态矢不
同, 与1等价。无穷格点态矢列f1只在有限个格点上
与全纯态矢有不同的格点态矢（但不一定归一），则
称为与等价的“纯态矢”。
所有与等价的全纯态矢构成集合D。所有与等价的纯
态矢全体构成集合H(包括 D)。
在 H 中定义数乘及加法：旧一格点态矢数乘后不变，
加法中只有与  分量不同的分量相加。 H是线性空间
。
QSINP的态矢及态矢空间





在H中定义f1与f2的内积为所有格点分量内积的无穷
乘积。只有有限亇因子不为1。内积值 ( f1,f2)有限
。
由内积可定义f1的模。
H是Hilbert空间，其上线性变换全体为N
可以证明，若1与2分属两不等价的 H1与H2
，则二者正交： (1，2)=0
存在无穷多个不等价的全纯态矢类，因而也存在无穷多
个不等价的Hilbert空间，构成纯态矢空间。
R的GNS构造



根据Stone-von Neumann定理， N与R同构。
{N , H} 是R的一亇局域不可约表示(D 或 H
只是全纯态，或纯态空间，的一部分)。称为R与
相联系的GNS构造。
QSINP的力学量 *代数R有无穷多个不等价、不
可约的GNS构造{N , H} ，分别与无穷多不等价
的全纯态矢相联系。
QSINP的动力学



QSINP是非相对论、二体短程相互作用的量子无穷多粒
子系统
QSINP的无穷格点场理论中，力学量 *代数R中包括在各
点上的粒子密度、动量密度、自由动能密度等算子，如
: N(I) =ψ* (I) ψ(I)。
但系统总哈密顿
H = Ho + H’ = ∑I Ho (I) Δx3 + ∑I ∑| J – I |
3
V
Δx
< r
I,J
只是形式的算子发散级数，不是R的组元。
形式上定义的刘维算子L:
LA = i[H,A] = i(HA-AH)
是R上的线性厄米算子，刘维方程: dA(t)/dt = -iLA(t)
仍是R上的动力学方程。
QSINP的动力学



从物理上考虑，系统的初始态矢可取成全纯态矢
。由于N与R同构，刘维方程也是N上的动力学
方程。刘维方程描述的动力学运动不超出GNS构
造{ Nρ ,Hρ } 。
在GNS构造中， Hρ 的组元可由 Nρ 的组元构造
出： A=A 。也可有Shrodinger Picture：
A(t)=A (t)
属不同等价类初始全纯态矢出发的运动在不同不
等价的GNS构造中。
QSINP的动力学



时间反演变换T：t  -t，则 TA=A*
R；
TP(I)= - P(I)；
对刘维算子，时间反演不变：TLT = L。
A时间反演不变态: T 0= 0 , 或其等价类(只
在有限格点上动量不为零)。时间正向及反向运
动全在 {N0 , H0} 中。属于绝对零度态，不能
实现。
在无穷多格点上有非零动量密度的纯态矢称为量
子气体纯态矢。全纯态矢与 T 不等价，因而
{N , H } 与 {N , H } 是不等价不可约表示。
QSINP的动力学



在GNS构造{N, H}中只存在由全纯态矢出发的
时间正向过程(t>0)，其时间逆向过程由全纯态
矢T出发，在与{N, H}不等价的另一GNS构造
{NT, HT}中。
由于没有动力学手段(R中的组元)，能使{N,
H}中的动力学过程超出{N, H} ，因此在{N,
H}中的动力学过程是时间不可逆的。
{N, H} 与 {NT, HT}合构成时间反演变换群
的二维表示。
GNS构造中动力行为的渐近分析，
Master方程


在由出发的GNS构造{N, H}中分析QSINP的动
力行为(与Van-Hove等在Fock空间分析不同)
1)时间定向，可讨论长时间渐近行为；
2)刘维算子谱在复平面实轴上真正连续。
3)如何将 {N, H} 中时间不可逆性变为可运
行的
操作(半群)？
采用算子代数及发散级数形式求和方法。刘维方
程形式解：
GNS构造中动力行为的渐近分析
Master方程

刘维方程的Resolvent：
R(z) = 1/(z-L)= z-1∑k ≥ 0 (L/z)k ，并有
T(t) = ∫C+i0 Exp(-izt) R(z)dz
积分迴路C+i0：
GNS构造中动力行为的渐近分析
Master方程
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


在R内有关宏观观测力学量构成的子空间，引入投影算
子：P 及 Q=I-P，
P2=P。
主要关心P部分的变动：
PR(z)P = (1/(z - PLP - E(z)))P
E(z) = PLQ( 1/(z-QLQ) )QLP
计算P T(t)P:
PT(t)P = ∫C+i0 Exp(-izt)P (1/(zL))Pdz,
由于 N也是Hilbert空间, 作为发散级数， (1/(z-L))
对所有非零实z值，都是无界算子，因而L的谱在实轴上
连续，z=0是分枝点。
GNS构造中动力行为的渐近分析
Master方程



实轴是被积函数的割线，解析开拓到第二黎曼面，积分
迴路补上下半大园，则积分结果由第二黎曼面下半平面
极点的残数贡献。
考虑t>0的长时间渐近行为，则只需取最靠近z=0极点z0
的贡献。在弱耦合情况下：
z0= PLP+E(PLP-i0)= PLP+PLQ(-i0-(QLQ))1QLP
TP (t)= PT(t)P = Exp( -iz0 t)
最终：TP (t)= PT(t)P = Exp((-i-θ)t) ，
 = PLP+PLQ P (1/(QLQ))QLP
θ= PLQ (QLQ)QLP
Master方程


Master方程:
dTP(t)/dt = (-i-θ)TP(t)
θ 是个正定非负算子，它的零本征矢应该就
是平
衡态。
θ被称为耗散算子，表征了GNS构造{N, H}
的
时间不可逆性。
Master方程形式上已与初始态矢及GNS构造
{N, H}无关，可看成对每亇GNS构造都成立。
讨论(1)



通常量子多体理论是：1)、求解有限多粒子系统
的运动(或认为Fock空间是Hilbert空间)；2)、
取其小的确定部分的行为；3)、取热力学极限。
从Fock空间出发的做法只是将上述三步合并。
从无穷多粒子系统出发的作法是：求解系统中有
限部分的运动，其周围仍是无穷多相同的部分，
从而得到带耗散项的、局域运动的方程。系统整
体运动还需考虑整体的初、边条件。
与自洽场方法的区别是：有限部分周围不是平均
场。
讨论(2)



从微观运动讨论宏观行为：由于微观部分应该是
可度量的，因而不可能确切知道整个系统及其外
情况，系统应看成是无穷大。
对理解大系统而言，观测者的位置是至关重要的
。因为观测者只能了解能够得到确切验证的“微
观运动规律”，并不应该确信能把这些规律无限
外推到更大尺度范围内。
其实, 从物理角度，研究无穷系统与其有限部分
的联系可统称为统计物理，是应该受到重视的。
讨论(3)



“宏观与微观”也可看成是“整体与局域”的关
系。因此“绝对时空”(也可以是“闵可夫斯基
时空”) 的存在是必要的，亦即物质系统存在在
时空中
由此理解量子力学与量子场论的基本问题可能乜
是一条可能的出路
量子力学中测量的波包收缩至少也包含不同局域
描述之间的关系问题。量子力学Hilbert空间就
是空间无穷量子场(协変)的一亇局域描述。