Transcript 系统开环频率特性分析系统开环Bode图的绘制系统开环Nyquist 图的

系统开环频率特性分析
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系统开环Bode图的绘制
系统开环Nyquist 图的绘制
Nyquist稳定判据
对数稳定判据
稳定裕量
开环频率特性分析
系统开环Bode图的绘制

概述
大多数情况下，开环系统的传递函数表示成若干典型
环节的串联形式；
G( s )  G1 ( s )G2 ( s )...Gn ( s )
G( j )  A1 ( )e
j1 ( )
A2 ( )e
j 2 ( )
.. An ( )e
A( )  A1 ( ) A2 ( )... An ( )
 ( )  1 ( )   2 ( )  ...   n ( )
j n ( )
系统开环Bode图的绘制

概述
L( )  20 lg A( )
 20 lg A1 ( )  20 lg A2 ( )  ...  20 lg An ( )
L( )  L1 ( )  L2 ( )  ...  Ln ( )
 ( )  1 ( )   2 ( )  ...   n ( )
幅频特性
组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和
相频特性
组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。
系统开环Bode图的绘制
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绘制过程举例
7
G( s) 
例1：已知系统的开环传递函数为：
s(0.1s  1)
试绘制系统的开环对数频率特性曲线（Bode图）。
解：系统可等效为
G( s )  G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )
G1 ( s)  7
1
G2 ( s ) 
s
1
G3 ( s ) 
0.1s  1
G( j )  G1 ( j )G2 ( j )G3 ( j )
系统开环Bode图的绘制
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绘制过程举例
G( j )  G1 ( j )G2 ( j )G3 ( j )
G( j )  A1 ( )e
G1 ( j )  7
j1 ( )
A2 ( )e
1
G 2 ( j ) 
j
j 2 ( )
A3 ( )e
j 3 ( )
1
G 3 ( j ) 
j 0.1  1
1

A1 ( )  7 1 ( )  0 A2 ( ) 
 2 ( )  90

1
1
A3 ( ) 
3 ( )   tan 0.1
2
(0.1 )  1
系统开环Bode图的绘制
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2dB
L
L
(

(

)
)


20
20
lg
lg
A
A
(

(

)
)



16
20
.
9
lg

绘制过程举例
2
1
2
1
L
(

)

20
lg
A
(

)


20
lg
(
0
.
1

)
1
dB
3
3
40dB
1
A
(

)

7
1
A2 ( ) 
1 ( )  020dB
 2 ( )  90
0dB
-20dB/dec
L1 ( )
20lgK
0.1
-20dB
A3 ( ) 
L( )  L1 ( )  L2 ( )  L3 ( )
1
1
L2 ( ) -20dB/dec
100
L3 ( )
-40dB/dec
(0.1 )  1
1
10
ω
-20dB/dec
2
-40dB
ωC ωn3=10
 3 ( )  tan 0.1
系统开环Bode图的绘制
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例题分析2
1000(0.5 s  1)
G( s ) H ( s ) 
2
s( 2 s  1)( s  10 s  100)
1
1
100
 10(0.5 s  1)
s ( 2 s  1) ( s 2  10 s  100)
1
1
G3 ( s ) 
G1 ( s )  K  10
G4 ( s ) 
s
(T4 s  1)
G2 ( s)  T1 s  1  0.5s  1
1


10
n

100
G5 ( s )  2
( 2 s  1)
s  10s  100   0.5
系统开环Bode图的绘制
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绘制过程
dB
40dB
-20dB/dec
20dB
ωC
L1 ( )
20lgK
0dB
-20dB
0.1
L2 ( )
ω
10
0.5
1
L4 ( )
2
100
L3 ( )
-20dB/dec
L5 ( )
-40dB/dec
-40dB
-60dB/dec
系统开环Bode图的绘制

绘制过程举例
 ( )
90o
 2 ( )
0.5
0o
-90o
0.1
1 ( )
2
1
10
100
 4 ( )
 3 ( )
 5 ( )
-180o
-270o
 ( )  1 ( )   2 ( )   3 ( )   4 ( )   5 ( )
ω
系统开环Bode图的绘制
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绘制过程举例
dB
40dB
-20dB/dec
ωC
20dB
20lgK
0dB
0.1
ω
10
0.5
1
2
100
-20dB
-60dB/dec
-40dB
系统开环Bode图的绘制
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绘制曲线总结
最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为
-20v dB/dec；
最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg 
当ω＝1 rad/s时，L(ω)=20lgK；
如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特
性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；
对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率
相应发生变化,斜率变化量由当前转折频率对应的环节
决定.
惯性环节:-20dB/dec ；
振荡环节: - 40dB/dec；
一阶微分环节:+20dB/dec ； 二阶微分环节:+40dB/dec。
系统开环Bode图的绘制
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单回路开环系统Bode图的绘制步骤
确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上；
计算20lgK，在ω＝1 rad/s处找到纵坐标等于20lgK 的点，
过该点作斜率等于 -20v dB/dec的直线，向左延长此线至所
有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。
向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次
渐近线斜率；
对惯性环节，- 20dB/dec
振荡环节， - 40dB/dec
一阶微分环节，+20dB/dec
二阶微分环节，+40dB/dec
对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；
相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。
系统开环Bode图的绘制
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最小相位环节的频率特性
（1）定义
凡在右半S 平面上有开环零点或极点的系
统，称为非最小相位系统。
“最小相位” 是指，具有相同幅频特性的
一些环节，其中相角位移有最小可能值的，称
为最小相位环节；反之，其中相角位移大于最
小可能值的环节称为非最小相位环节；后者常
在传递函数中包含右半S平面的零点或极点。
系统开环Bode图的绘制
（2）分析举例
1  Ts
G1 ( s ) 
1  10Ts
1  Ts
G2 ( s) 
1  10Ts
A1 ( )  A2 ( ) 
1  (T ) 2
1  (10T ) 2
1 ( )   arctan10T  arctanT
 2 ( )   arctan10T  arctanT
系统开环Bode图的绘制
（3）结论
① 从Bode图上看，一个对数幅频特性所代表的环
节，能给出最小可能相位移的，称为最小相位环节，
不给出最小相位移的，称为非最小相位环节。
② 对于最小相位环节（或系统）当给出了环节
（或系统）的幅频特性时，也就决定了相频特性；
或者，给定了环节（或系统）的相频特性，也就决
定了幅频特性。
延迟环节
是不是
最小相位环节 ？
系统开环Bode图的绘制
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Bode图的绘制举例
系统开环Bode图的绘制
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单回路开环系统Bode图的绘制
系统开环Nyquist图的绘制
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概述

G ( s) 
K  ( n s  1) ( s  2 k k s  1)
n 1
k 1

s
v

 (T s  1) (T
i 1

G ( j ) 

i
j 1
2 2
k
s  2 jT j s  1)
2 2
j

K  ( j n  1) (( j )   2 k k ( j )  1)
n 1

k 1

2 2
k
( j )v  ( jTi  1) (( j ) 2 T j2  2 jT j ( j )  1)
i 1
j 1
系统开环Nyquist图的绘制

概述
G( s )  G1 ( s )G2 ( s )...Gn ( s )
G( j )  A1 ( )e j1 ( ) A2 ( )e j2 ( ) .. An ( )e j n ( )
A( )  A1 ( ) A2 ( )... An ( )
 ( )  1 ( )   2 ( )  ...   n ( )
幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。
绘制： 1.求A(0)、 (0)；A(∞)、 (∞)；
2.补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根据A(ω)、 (ω)
的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。
系统开环Nyquist图的绘制
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举例说明
例1 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的
开环Nyquist图。
系统开环Nyquist图的绘制

举例说明
例2 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的
开环Nyquist图,并求与实轴的交点。
Nyquist图与实轴相交时
系统开环Nyquist图的绘制
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举例说明
例3 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的
开环Nyquist图。
系统开环Nyquist图的绘制

总结
0型系统（v = 0）
G( j ) 
K (1  j 1 )(1  j 2 )...(1  j m )
( j ) (1  jT1 )(1  jT2 )...(1  jTn )
n m
只包含惯性环节的0型系统Nyquist图
0
A(0)  K
 ( 0)  0

A( )  0
 ( )  ( n  m )  90
系统开环Nyquist图的绘制

总结
I型系统（v = 1）
K (1  j 1 )(1  j 2 )...(1  j m )
G( j ) 
( j ) (1  jT1 )(1  jT2 )...(1  jTn )
0
A(0)  
 (0)  90

A( )  0
 ( )  ( n  m )  90
只包含惯性环节的I型系统Nyquist图
n m
系统开环Nyquist图的绘制

总结
II型系统（v = 2）
G( j ) 
0

K (1  j 1 )(1  j 2 )...(1  j m )
( j ) (1  jT1 )(1  jT2 )...(1  jTn )
 (0)  180
A(0)  
A( )  0
n m
 ( )  ( n  m )  90
只包含惯性环节的II型系统Nyquist图
系统开环Nyquist图的绘制

总结
 0
 1
 2

 r
A(0)  K
A(0)  
A(0)  

A(0)  
 ( 0)  0

 (0)  90

 ( 0 )  180  2  ( 90 )



 (0)  r (90 )

开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起
自幅角为-v90°的无穷远处。
Nyquist稳定判据

辅助函数
R(s)
G(s)
设:图所示系统的开环传递函数为:
H(s)
M ( s)
Gk (s)  G (s)H (s) 
N ( s)
则闭环传递函数为:
C(s)
G (s)
G( s) N ( s)
G B (s) 

1  G (s)H (s) N ( s )  M ( s )
n
设一辅助函数:
N ( s)  M ( s)
F (s)  1  G (s)H (s) 
N ( s)

k  ( s  si )
i 1
n
 (s  p j )
j 1
Nyquist稳定判据

辅助函数的特点
R(s)
1.辅助函数的零点就是系统的闭
环特征根（闭环极点）
G(s)
C(s)
H(s)
n
 ( s  si )  0
N ( s)  M ( s)  0
i 1
2.辅助函数的极点就是系统的开环特征根（开环极点）
N ( s)  0
n
 (s  p j )  0
j 1
3.辅助函数的零极点个数相同
4.F(s)与Gk(s)只差一个常数1
F (s)  1  G (s)H (s)
 1  Gk ( s )
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据
F ( j )  F (s) s  j  1  G( j ) H ( j )
n
k  ( j  s i )
Db ( j )
i 1
 n

Dk ( j )
(
j


p
)

j
R(s)
G(s)
C(s)
H(s)
j 1
当ω从0∞时，F(jω)的幅角变化为：
F (j )  [1  Gk (j )]  Db ( j )  Dk ( j )
n
n
i 1
j 1
  ( j  si )   ( j  p j )
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据
开环稳定
Dk ( j )  n

2
闭环稳定 Db ( j )  n

2
[1  G( j ) H ( j )]  Db ( j )  Dk ( j )  0
不
稳
定
系统在开环状态稳定的条件下，闭环稳定的
充要条件是：当ω由0变化到∞时，1+G(j)H
(j) 轨迹不包围[1+GH]平面的原点。
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据
Dk ( j )  (n  p )
开环不稳定，在右半平面有p个根
系统稳定，则闭环稳定
Db ( j )  n
 (n  2 p)



2
p

2
2
2
[1  GK ( j )]  Db ( j )  Dk ( j)  p
系统在开环不稳定，且有p个右半平面的极
点，则闭环稳定的充要条件是：当ω由0变化到
∞时，1+G(j)H (j) 轨迹包围[1+GH]平面的原
点转过的角度为Pπ(p/2圈)。（规定：逆时针转
角为正，顺时针转角为负。
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据
在复平面上将1+G(jω)H(jω)的轨迹向左移动一个
单位，便得到G(jω)H(jω)的轨迹
Im
Im
ω=∞ ω=0 σ
-1
0
1
ω=∞ ω=0 σ
-1
0
1
系统在开环状态稳定的条件,闭环稳定的充要条件是：当
ω由0变化到∞时，开环G(j)H(j)轨迹不包围GH平面的
(-1,j0)点。
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据
同理：设系统开环不稳定，特征根有p个位于右半
s平面。
若系统开环不稳定，且有p个开环特征根位于
右半s 平面，则闭环系统稳定的充要条件：
当ω由0变化到∞时，开环G(j)H (j) 轨迹
逆时针包围 GH平面(-1，j0) 点pπ。
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的应用
当系统开环含有积分环节（原点处存在极点）或
者在虚轴上存在极点的时候，用半径ε→0的半圆在
虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到
左半s平面，再找出该极点对应的向量 jω+pi 在ω由
0变化到∞时的相角变化量。
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的应用
ω由 0→0+变化时的轨迹
常规方法：
(1)作出ω由 0+→∞变化时的Nyquist曲线；
(2)从G(j0+)开始，以∞的半径逆时针补画v90°的
圆弧(辅助线)。
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的推广
对于最小相位系统，
G( j 0)  e0
其辅助线的起始点始终
在无穷远的正实轴上。
以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和
G(jω) H(jω)轨迹的起始端。
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的推广
具有零根的开环G(jω)H(jω)轨迹
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的推广
系统的开环幅相频率特性曲线如图所示。试判
断各系统闭环的稳定性。未注明时p=0,v=0。
稳定
稳定
不稳定
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的推广
单位反馈系统的开环传递函数为
K
G( s) 
s(Ts  1)
应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。
开环稳定P=0，开环 Nyquist曲线不包围 (-1,j0 )点
系统闭环稳定。
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的推广
穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0 )点左边实轴时
的情况。
正穿越：ω增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1 ~
-∞段实轴。
正穿越时相当于Nyquist曲线正向包围(-1,j0 )点一圈
负穿越：ω增大时，Nyquist曲线由下而上穿过-1 ~
-∞段实轴。
负穿越相当于Nyquist曲线反向包围(-1,j0 )点一圈
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的推广
开环稳定闭环稳定
开环不稳定闭环稳定
当ω由0变化到∞时，Nyquist曲线在(-1,j0 )点
左边实轴上的正负穿越次数之差等于p/2时(p为系统
开环右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不
稳定。
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的推广
半次穿越：G(jω)H (jω) 轨迹起始或终止于(1,j0)点以左的负实轴。
+1/2次穿越
-1/2次穿越
Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据的推广
开环不稳定 P=1
½次穿越
闭环稳定
Nyquist稳定判据

利用Nyquist稳定判据判别系统稳定性的步骤
• 绘制极坐标图
• v≠0，补半径为无穷大的圆弧
• 图形围绕 (-1, j0) 旋转的圈数
• p=? 判断闭环稳定性
Nyquist稳定判据
Im
1
Im
  
0
 0
Re
     0 Re
1
0
P0
P 1
Im
  
1
  0 Re
0
P2
N  N  0  0
N  N  0  1
N  N  0  1
P  0 0
2 2
P1
2 2
P  2 1
2 2
所以系统稳定
所以系统不稳定 所以系统不稳定
Nyquist稳定判据
Im
1
  
Im
  0 Re
0
P0
N  N  1  1
Im
  
  0
1
1
Re
0
  0
P0
  
Re
0
P0
P  0 0
2 2
N  N  0  1
P  0 0
2 2
所以系统稳定
所以系统不稳定 所以系统稳定
N  N  1  1
P  0 0
2 2
对数稳定判据

Nyquist图与Bode图的对应关系
原点为圆心的单位圆0分贝线。
单位圆以外L(ω)>0的部分；
单位圆内部L(ω)<0的部分。
负实轴－180°线。
Nyquist曲线的辅助线
相连
(0) +v 90°线
起始点 (0)
对数稳定判据

Nyquist图与Bode图的对应关系
(-1, j0)点以左实轴的穿越点
L(ω)>0范围内的与－180°线的穿越点。
对数稳定判据

对数频率特性稳定判据
若系统开环传递函数p个位于右半s平面的特
征根，则当在L(ω)>0 的所有频率范围内，对数
相频特性曲线(ω)(含辅助线)与-180°线的正
负穿越次数之差等于p/2时，系统闭环稳定，否
则，闭环不稳定。
正穿越对应于对数相频特曲线当ω增大时从
下向上穿越－180°线(相角滞后减小 )；
负穿越对应于对数相频特性曲线当ω增大时，
从上向下穿越－180°线( 相角滞后增大)。
对数稳定判据

对数频率特性稳定判应用
闭环不稳定。
开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和-1
对数稳定判据

对数频率特性稳定判据应用
闭环稳定。
开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和为+1
对数稳定判据

对数频率特性稳定判据应用
闭环稳定。
开环特征方程有无右根，m=0正负穿越数之和为0
对数稳定判据

对数频率特性稳定判据应用
开环特征方程无右根，p=0，L()>0范围内()和线不相交即正负穿越数之和为0 闭环稳定。