Transcript 第三章平面任意力系

第三章
平面任意力系
引
言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫∼。
[例]
中心内容：力系简化+平衡方程
平面任意力系实例
§3-1
B
d
力线平移定理
F
A
B
F’ d F
F”
F’
A
F=F’=F”
力F
力系 F , F , F 
B m
d
A

M  F  d  Mo F
力F   力偶（F，F ）
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F平行移到任一
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力 F 对新作用点B的矩。
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
工程应用
§3-2 平面任意力系向一点简化
F2
F1
F’1 y F’2
m1
O
为任
选点
m2
O
F3
m3 x
y
R’
Mo
O
x
F’3
向一点简化
一般力系（任意力系）
汇交力系+力偶系
（未知力系）
（已知力系）
汇交力系
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶系
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
主矢R '  F1 F2  F3     Fi
主矩 M O  m1  m2  m3 
 mO ( F1 )  mO ( F2 )  mO ( Fi )
2
2


R
'

R
'

R
'

(
X
)

(
Y
)
大小：
x
y
2
主矢 R 
方向：
  tan
（移动效应）
简化中心
1
Ry
Rx
2
1
 tan
Y
X
(与简化中心位置无关)
[因主矢等于各力的矢量和]
大小： M m ( F )
O
O
i
主矩MO
方向：
方向规定
+
—
简化中心： (与简化中心有关)
（转动效应）
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨搭
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一
A
Fi
力和一力偶;
RA
MA
分力YA, XA表示;
A
④ YA, XA, MA为固定端
YA
约束反力;
MA
A
③RA方向不定可用正交
⑤ YA, XA限制物体平动,
XA
MA为限制转动。
§3-3
平面任意力系的简化结果  合力矩定理
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。
① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。
② R =0,MO≠0
即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, R  R  。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ R ≠0,M

O ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
化为一个合力 R 。
R’
MO
O
O’
R’
Od
R”
R
O’
合力R 的大小等于原力系的主矢
合力R 的作用线位置
MO
d
R
R
O
d
O’
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力R ;③平衡
合力矩定理：由于主矩
n
M O  mO ( Fi )
i 1
而合力对O点的矩
 M O ( R )  mO ( Fi )
n
mO ( R )  Rd  M O (主矩)
———合力矩定理
i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
[例1]已知平面任意力系如图，
F1
，3  50 N
F2  100 N F
 100 2 N ，
求①力系向O点简化结果， ②合力的大小和作用线方程
y
F1
(1,2) (3, 1) F2
x
(2,-1)
R
F3
[解]
F1
F2
F3
Σ
100 100
0
200
X
100
0
-50
50
Y
mo(F) -100 -100 -100 -300
 力系向O点简化的结果为
R'  200i  50 j N
主矩mo F  300 N  mm
 合力大小为 R  2002  502  50 17 N
主矢

设合力与 x轴交点为(x, 0),合力与 y轴交点为(0, y),则
m F   300

x

 6 mm;
50
Y
o
i
i
 300
y
 1.5mm
200
§3-4
由于
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
R  =0
为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢
R
和主矩 MO 都等于零，即：
R'  (  X )  (  Y )  0
M O mO ( Fi ) 0
2
2
X 0
 m A ( Fi )  0
Y 0
 m A ( Fi )  0
 mB ( Fi )  0
mO ( Fi ) 0
 mB ( Fi )  0
 mC ( Fi )  0
X
0
①一矩式
②二矩式
条件：x 轴不 AB
连线
③三矩式
条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
解：①选AB梁研究
YA
A
②画受力图
由 mA ( Fi )  0
2a
P a NB
B
XA
2P
 P2a  N B 3a 0, N B 
3
X

0
A
X

0

Y  0
YA  N B  P  0,
P
YA 
3
§3-5
平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。
y
设有F1, F2 … Fn 各平行力系，
x1
F1
F2
A1
RO
A2
x2
MO O
xn
向O点简化得：
An
x
Fn
平衡的充要条件为
主矢
R
=0 主矩MO =0
主矢RO  R 'F
主矩M O mO ( Fi ) Fi xi
合力作用线的位置为：
M O Fi xi
xR 

R'
F
所以 平面平行力系的平衡方程为：
y
x1
A2
x2
O
xn
Y  0
F2
A1
RO
MO
F1
An
x
Fn
实质上是各力在x 轴上的投影
恒等于零，即
X 0
恒
mO ( Fi ) 0
一矩式
 m A ( Fi )  0
二矩式
 mB ( Fi )  0
条件：AB连线不能平行
成立 ，所以只有两个独立方程，
于力的作用线
只能求解两个独立的未知数。
分布载荷q(x)的合力大小及作用线
R
xR
y
q(x)
b
R   q( x)dx  图形面积
a
O a
b x
x
dx
qx xdx


 图形形心
 qx dx
b
xR
a
b
a
R
l/2
q
R
2l/3 q
O
l
R  ql
l
ql
R
2
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m
求：A、B的支反力。
解：研究AB梁
由 X  0, X A  0
m A ( F ) 0 ;
解得：
a
R B a  q a   m  P 2 a  0
2
Y  0 YA  RB  qa P 0
qa m
200.8 16
RB     2 P  

 22012( kN)
2 a
2
0.8
YA  P  qa  RB 20 200.81224(kN)
[例] 已知：塔式起重机 P=700kN,
W=200kN (最大起重量)，尺寸如
图。求：①保证满载和空载时不
致翻倒，平衡块Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道A、B
给起重机轮子的反力？
解：⑴ ①首先考虑满载时，起
重机不向右翻倒的最小Q为：
mB (F )  0
Q(6  2)  P  2 W (12 2)  NA (2  2)  0
限制条件： N A  0
解得
Q75 kN
②空载时，W=0 由
限制条件为：N B
mA(F )0
0
解得
Q(62)P2NB (22)0
Q 350 kN
因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：
75 kNQ 350 kN
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得：
mA(F)0
Fi 0,
Q(62)P2W(122)NB40
QPWNANB0
解得：
N A 210kN,
NB 870kN
§3-6 静定与静不定问题的概念  物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
我们学过：
平面汇交力系  X  0
Y  0
力偶系
mi 0
两个独立方程，只能求两个独立
未知数。
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
X 0

平面
Y 0
任意力系 
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
mO ( Fi ) 0
当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移
谐调条件来求解。
二、物体系统的平衡问题
物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。
[例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。
内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物系平衡的特点：
①物系静止
②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个
平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中
有n个物体）
解物系问题的一般方法：
由整体
局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例1] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，
AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
解：① 选整体研究
② 受力如图
③ 选坐标、取矩点、Bxy,B点
④ 列方程为:
X B  0;
X 0
Y  0 YB  P  0; YB  P
 mB  0 M B  P  DE  0
解方程得
M B 100011000( Nm)
① 再研究CD杆
② 受力如图
③ 取E为矩心，列方程
④ 解方程求未知数
mE 0,SCAsin45o CE  PED0
SCA 
 PED
10001


1414( N)
o
sin45 CE 0.7071
[例3] 已知：F各杆重量不计。
求：A、B和D约束反力？
解：以整体为研究对象
a
A
F
D
a
YB
B
XC
a
 YB  2a  0
F
E
XB

由 M c F  0
C
YC
a
 YB  0
由Y  0
YC  YB  F  0
 YC  F
由 X  0 X C  X B  0
(求不出XB)
我们已经求出YB，下一步应选取谁做为研究对象呢
XA
a
A
F
a
E
XB
YA
XD D
F
D
B
YB
XC
a
A
E
YD
XB
C
B
YB
Y
aC
Y’D
E
NE
A
Y’A
(五个未知数)
X’D D
X’A
F
F (三个未知数)
N’E
XC
C
YC
(四个未知数)
A
a
以DEF为研究对象
F
D
F
a
E
XB
B
YB
XC
a
X’D D
E
Y’D
NE
B
C
YC
a

由 M E F  0
YD  a  F  a  0
 YD  F

由 M B F  0
F
F
X D  a  F  2a  0
 X D  2F
(可以求出NE)
A
a
以ADB为研究对象
F
D
F
a
E
B
XB
YB
C
XC
a
A
XA
YD
A
XD
YD
XB
YB
B
aYC

由 M A F  0
X D  a  X B  2a  0
1
 X B   X D  F
2
由 X  0
XD  XA  XB  0
 X A   X B  X D  F
由Y  0
YD  YA  YB  0
 YA  YB  YD  F
[例4] 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重
求：A ,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整
体求出，要拆开）
解：①研究起重机 由mF 0
YG  2  Q 1  P  5  0
50510
YG 
50(kN)
2
② 再研究梁CD 由mC 0
YD  6  YG' 1  0
YD 
50
8.33( kN )
6
③
再
研
究
整
体
 mA  0,YB  3  YD 12  P 10  Q  6  0 YB 100(kN)
Y  0,YA  YB  YD  Q  P  0
Y A  48.33(kN)
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架
§3-7 平面简单桁架的内力分析
工
程
中
的
桁
架
结
构
工程中的桁架结构
工程中的桁架结构
工程中的桁架结构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点
杆件
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型
( 基本三角形)
三角形有稳定性
(b) (a)
工程力学中常见的桁架简化计算模型
一、节点法
[例] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
解：①研究整体，求支座反力
 X  0,
XB  0
mA ( F )  0, 4YB  2P  0
mB ( F )  0, 2 P  4 N A  0
X B 0, N A YB 5 kN
②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。
0
S

S
cos
30
0
X

0
2
1

0
N

S
sin
30
0
Y

0
A
1

解得S2 8.66kN,S1  10kN(表示杆受压)
X 0
Y  0
S4 cos300  S1 ' cos300  0
 S3  S1 'sin300  S4 sin300 0
代入S1'  S1
解得: S3 10 kN, S4 10 kN
X 0
S5  S 2'  0
代入S2'  S2后
解得　S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y  0 , P  S3'  0
' 10 kN,
解得S　3
恰与 S 3相等,计算准确无误。
[例] 已知：如图，h，a，P
求：4，5，6杆的内力。
①研究整体求支反力
解：
二、截面法
I
X 0
I
XA  0
MB  0
 Y  3a  P  2a  P  a  0
YA  P
② 选截面 I-I ，取左半部研究
A'
Y  0 YA  S5 sin  P 0
由m A 0
S 4h  YA  a  0
S5  0
S 4  
 X  0 S6  S5  cos  S4  X A  0 S6  Pa
h
Pa
h
说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力
截面法：用于校核，计算部分杆内力
先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
三、特殊杆件的内力判断
① 两杆节点无载荷、且两杆不在
一条直线上时，该两杆是零杆。
S1  S2  0
② 三杆节点无载荷、其中两杆在
一条直线上，另一杆必为零杆
③ 四杆节点无载荷、其中两两在
一条直线上，同一直线上两杆
内力等值、同性。
S1 S2
S3   S 4
且S1  S2
[例] 已知 P d,求：a.b.c.d四杆的内力？
解：由零杆判式
Sc  S d  S a  0
研究A点：
由Y  0
Sb cos45o  P 0
Sb  2P
平面任意力系小结
一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力
力+力偶
二、平面一般力系的合成结果
① 合力（主矢） R ' 0,M O 0;或R ' 0,M O 0;
② 合力偶（主矩） R ' 0,M O 0;
③ 平衡
R ' 0,M O 0;
n
合力矩定理
mO ( R )  mO ( Fi )
i 1
三、平面一般力系的平衡方程
一矩式
二矩式
三矩式
 X 0
Y  0
 X 0
m A ( F )  0
m A ( F )  0
m B ( F )  0
mO ( F )  0
m B ( F )  0
mC ( F )  0
A,B连线不 x轴 A,B,C不共线
平面平行力系的平衡方程
 X  0
成为恒等式
一矩式
二矩式
Y  0
m A ( F )  0
 m A ( F )  0 m B ( F )  0
A B 连线不平行于力线
平面汇交力系的平衡方程
 mA ( F ) 0 成为恒等式


X 0
Y
0
平面力偶系的平衡方程
 mi  0
四、静定与静不定
独立方程数 = 未知力数目—为静定
独立方程数 < 未知力数目—为静不定
五、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡，
解物系问题的方法常是：由整体
局部
单体
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
① 选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力投影轴；
② 画受力图（受力分析）② 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
③ 选坐标、取矩点、列 ③ 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
④解方程求出未知数
④ 灵活使用合力矩定理。
七、注意问题
力偶在坐标轴上投影不存在；
力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
八、选研究对象技巧
① 画整体受力图；若只有三个未知数（或有二
个未知数可以求解出来）则首先以整体为研究
对象
② 画每个局部的受力图；优先以只有三个未知
数的局部为研究对象
[例] 已知:P=100N. AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且AB水平, ED铅垂,BD垂直于
斜面； 求 S BD  ?和支座反力？
解： 研究整体
画受力图
选坐标列方程
mB 0,YA 2.5 P1.20
X ' 0, X A sin YA cos  Psin 0
而sin 
AC 1.6 4
CD 1.2 3
  ; cos 
 
AD 2 5
AD 2 5
解得: X A  136N; YA  48N
再研究AB杆，受力如图
由mC 0,  S B sin CB YA  AC0
Y A  AC ( 48)1.6
解得:S B 

106.7 N
BC sin 
4
0.9
5
[例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时，
求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？
④冲头给导轨的侧压力？
解：研究B
由 X  0
N  S B sin 0
Y 0
P  S B  cos  0
P
S B 
, N  P tg
cos
再研究轮
mO ( F ) 0
S A cos R  M 0
X 0
X O  S A sin 0
Y  0
S A cos YO 0
 M  PR X O P tg
YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
[例] 已知:F=40kN. 各杆重量不计，尺寸如图
S‘CD D
F
E
2m
2m
F
2m
求： 铰链A、B、C处受力？
解：首先找研究对象
2m
D
C
C SCD
F
XF
SBE
S’BE
E
B
F XF
A X
A
AX
A
YF
YA
YA
B
YF
四个未知数
四个未知数
四个未知数
2m
E
2m
F
B
YF
A X
A
以整体为研究对象 YA
 M F   0
F
SCD
XF
SBE
B
AX
A
二个未知数
YA
二个方程
X A  2  YA  2  F  2  0
再以ABC为研究对象
 M F   0
G
G
F
2m
F
D
2m
C
C
X A  6  YA  4  F  2  0
解得
X A  3F
YA  4F
C
SCD
F
已经求出
G
X A  3F YA  4F
再以ABC为研究对象
SBE
B
AX
A
YA
Y  0
S BE  sin 45  YA  0
 SBE   2  YA  4 2F
X 0
SCD  SBE  cos45  X A  F  0
 SCD  2F
能不能找到合适的研究对象，使一个方程只有一个未知数？
B
F
YF
A X
A
YA
四个未知数
XF
G
F
E
F
NF
三个未知数
二个方程
D
2m
C
E
2m
S’BE
E
2m
2m
F
S‘CD D
D
2m
C
2m
2m
2m
B
NF
AX
A
YA
三个未知数
F
G
[练习] 已知:P=1000N. 各杆单位长度重量为30N/m，尺寸如图
求：A、B、C处约束反力？
4m
3m
3m
C
MA
解：首先把各杆重量表示出来
2m
D
180N
B 150N
180N
XA
P
A
YA
C
X’C
Y’C
DXD
YD
180N
P
C
XC
YC
B
180N YB
XA
MA
A
YA
整体
XA ,YA ,MA
CD
YC ,
CA
XB
XC ,XB,YB
[练习] 已知:AB=r, F,，不计磨擦
求：M和的关系？
解：首先画受力图
YO
M
O
A

`
XO
B F
C NC ND
D
A
N’A B
F
D
C
NC ND
YO
M
O
XO
AB
OA
A

NA~F
M~NA
NA