Transcript 第一章质点运动学
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第一章
质点 运 动 学
研究物体（质点）的位置随时间
而变化的规律
一. 描述质点运动的基本物理量
复习：质点模型，参考系(运动本身的
绝对性, 运动描述的相对性 )， 坐标
系
质点运动的基本物理量
Slide 2
1.位置矢量（位矢，径矢）
直角坐标系中
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
大小
r r
x y z
2
2
y
2
x
方向 cos
r
y
cos
r
z
cos
r
质点运动的基本物理量
p
r
o
z
x
Slide 3
运动方程 r (t ) ----质
点位置随时间变化的关
系
1 2
如 x x0 v0t at
2
1 2
y v0t gt
2
2
r 2t i ( t 2) j
质点运动的基本物理量
Slide 4
2.位移矢量 r
----质点
运动时的位置的变化
t , rA
t t , rB
r rB rA
直角坐标系中
r ( xB x A )i ( y B
y A ) j ( z B z A )k
y
A(t ) s
rA
B(t t )
r
rB
o
x
注：
z
（1)位移 r 与路程 s 的区别
（ t 0 时 r dr ds）( dr 与 dr的区别）
（2）r 、r 与 r的区别
质点运动的基本物理量
Slide 5
3.速度矢量 v
平均
v
速度
r
大小 v
r
t
t 方向r 的方向 y
r
dr
瞬时
v lim
速度
dt
t 0 t
直角坐标系中
v
dr
o
z
dx dy dz
i
j
k
dt
dt
dt
dt
质点运动的基本物理量
A(t ) s
rA
B(t t )
r
rB
x
Slide 6
即
v vx i v y j vz k
大小 v
2
2
vx v y vz
2
方向：沿质点运动轨迹的切线方向
vx
或:COS
v
y
vy
COS
v
vz
COS
v
质点运动的基本物理量
A(t ) s
rA
B(t t )
r
rB
o
z
x
Slide 7
描写质点运动状态的两
个物理量
位置矢量 r
速度矢量 v（或动量 p mv ）
注意：(1)速度 v 与平均速率
的区别
v
(2)一般情况下
而 v
dr
dt
ds
dt
dr
dr
dt
dt
dr
dr
v
v
dt
dt
(3)平均速率与平均速度大小的区别
质点运动的基本物理量
Slide 8
4.加速度矢量 a
a
平均加速度
大小
a
v
v
t
y
t
方向 v 的方向
v dv
瞬时加速度 a lim
t 0
直角坐标系中
a
dv
dt
d r
2
dt
2
质点运动的基本物理量
t
A(t ) v
1
rA
B(t t )
rB
o
dt z
2
2
d x
d y
d z
v1
i
j
k
2
2
2
dt
dt
dt
v22 v
2
v2
x
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即 a ax i a y j az k
大小 a
方向
2
2
ax a y az
2
ax
ax
ax
COS COS COS
a
a
a
质点作曲线运动时，加速度
方向总是指向曲线的凹侧
如图示质点作抛体运动
A点 a g与 v 成钝角
B点a
C点a
质点运动的基本物理量
v
g与 v 成锐角 A
g与 v 成直角
g
C
g
v
B
g
v
Slide 10
例题1.质点作曲线运动，其运
3
1
1 2
动方程为 r t i (2t 1) 2 j (m)
2
3
求质点任意时刻的速度和加速
度
解：分析 这是一个已知运动方程求质点运动
状态的典型问题，通称为运动学第一类问题，
具体的是通过求导数的方法进行计算。
由定义得
1
dr
2
v
ti (2t 1) j
dt
质点运动的基本物理量
Slide 11
或
vx t
vy
v
再由 a
2t 1
2
2
vx v y t 1
dv
(方向）
dt
1
得 a i (2t 1) 2 j
a
2
2
ax a y
质点运动的基本物理量
1
ax 1
2
a y (2t 1)
2t 2
2t 1
(方向）
Slide 12
例题2 (加速度为恒矢量
的质点运动)
一个具有恒定加速度a
恒矢量的质点，在平面上作曲线运动，求质
点的运动方程。 设 t 0时质点的初速度
为 v0，质点的位矢为 r0。
分析：这是一个已知质点运动状态，求运动
方程的问题，通称为运动学第二类问题，具
体是通过积分的方法进行计算
v
t
dv
由a
得 dv a dt v v0 at
dt
质点运动的基本物理量
v0
0
Slide 13
又 v
r
r0
dr
dt
t
t
dr v dt atdt
0
0
1 2
r r0 v0t at
2
这就是加速度为恒量的质点运动方程
讨论（1)抛体运动方程
ox
v0 沿与水平面上
设一抛体以初速
ag
轴的正方向成
角抛出，则
t 0 ，
2
1
若设
时v0t
r0 0
r
gt ，则
2
质点运动的基本物理量
Slide 14
2
1
（2)式 r v t
gt
0
2
物理意义
p点到
o
抛体从
点的运动，是沿初速方
(v0t )
向的匀速直线运动
和沿竖直方向自由落体
运动（
1 2
gt
2
）这两
y
A
v0 t
o
r
个运动的叠加。
1 gt 2
2
质点运动的基本物理量
1 gt 2
2
P
x
Slide 15
(3) 枪打落靶的演示
猎人举枪直接瞄准树
上吊着的靶子，靶子一看
见枪击的火光就释放自由下落，子弹能击
中靶子吗？ 向上
讨论：
如果枪水平瞄准靶子，子弹能击中靶子吗？
水平
如果枪斜向下瞄准靶子，子弹能击中靶子吗？
向下
质点运动的基本物理量
百发百中！
Slide 16
例题3 在倾角为 30 的斜
坡上，以初速度 v0抛出一小球
设 v0与斜坡夹角 600，如图
示求小球落地处离抛物点之间
的距离 L
0
解：小球作抛体运动，其运动方程为
v0
2
1
r v0t
gt
2
（1）
质点运动的基本物理量
L
Slide 17
方法一：取如图坐标系oxy,
坐标原点在抛物点处，则
式(1）的分量式为:
y
x v0 cos( )t
（2）
2
1
y v0 sin( )t
gt
2
（3）
v0
o
L
此式的物理意义是：
小球的运动是 x 方向的匀速直线
运动和 y 方向匀变速运动的叠加
质点运动的基本物理量
x
Slide 18
x L cos
落地时有 y L sin
代入式（2），式（3）得
L
2v
2
g
方法二: 取如图 oxy坐标系，坐标原点在
抛出点处，则式（1）的分量式为
x v0 cos t
y v0 sin t
其物理意义是什么？
质点运动的基本物理量
1
2
1
2
g sin t
y
2
g cos t
2
v0
o
L
x
Slide 19
x L
落地时有
y 0
代入上式可得 L
方法三:
2v0
g
1 2
直接由矢量式 r v0t gt
2
其物理意义是什么？
进行运算从矢量三角形图可知，这是一
正三角形。则 1
2
L v0t
2
2v0
gt L
2
g
v0 t
60
L
0
r
30
1 2
gt
2
0
讨论：运动的叠加和矢量的分解和合成
数学与物理的关系——数学是物理学的一种语言
质点运动的基本物理量
Slide 20
三 .圆周运动
1.自然坐标系：在运动轨迹上
任取一点o, 在某时刻t，质
点位于P处， 沿轨迹某一方
向量得的曲线长度
s s (t ) : 即为以自然坐标系表
示的质点运动方程
n
切线坐标 :沿轨迹上任一点的切
et
线方向，切向单位矢量
法线坐标 n:沿轨迹上任一点的法
线方向，法向单位矢量
e
n
*注意：et , en 随质点移动
圆周运动
o
p
en
et
t
Slide 21
2. 圆周运动中的切向加速
度和法向加速度
圆周运动中的速度表示
v v et vet
所以圆周运动的加速度
det
dv
dv
a
et v
dt
dt
dt
v
o
et
r
A
式中第一项写出
dv 表示速度大小的变化引起的加
at
et
速度称为切向加速度
dt
方向：et方向与 v 同方向
圆周运动
Slide 22
第二项写作：
det 即由速度方向变
an v
dt 化引起的加速度
det
et
d
en
由图知： lim
t 0 t
dt
dt
v2
et
d
(
en ) 第二项可写成
dt
dt
det
an v
d
dt
det
d
v
v
en
en
dt
dt
r
2
2
o
r
d
dt
方向：法线方向，与 en 同向
a n 称为法向加速度
圆周运动
v1
et
et
et1
et1
A
Slide 23
因此，用自然坐标
系表示圆周运动中的加
速度
a at an at et an en
或
2
v
dv
a
et
en
dt
r
2 2
大小：a at an
方向：
tg
an
at
圆周运动
en
et
an
r
o
at
a
Slide 24
(1)对于一般曲线
v
2
an
运动，
r
的
可
用曲率半径
(a v
n
r中
2
) 来替代
(2)在讨论圆周运
动和曲线运动时常采用
自然坐标系
圆周运动
p
o
Slide 25
例题:
一超音速飞机在高空
点 A 时的水平速率 v 1940km h
1
A
, 沿近似圆弧的曲线俯冲到B点。
v 2192km h
经历时间为 3s ,圆弧半
径 r 3.5km ,设飞机从A到B的过程可视为匀
变速圆周运动,
A
1
B
求：（1）飞机在点B的加
速度;
（2）飞机由点A到点
B所经历的路程.
圆周运动
vA
vB
Slide 26
解: 匀变速圆周运动,则切
dv
a
向加速度
为常量.
dt
vB
dv
vA
a
t
0
v A vB
a dt
23.3m s
vA
A
2
an
t
B点的法向加速度
2
vB
2
an
106m s
r
a
B点总加速度
大小:
a
圆周运动
2
a an
2
109m s
2
a
vB
Slide 27
方向:
arctg
a
12.4
0
an
设 从A到B径矢转过的角度
为 ,则
A
1
2
At t
s r
vA
an
2
v A r A
a r
s v At
圆周运动
1
2
a t 1722m
2
a
a
vB
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四.相对运动: 讨论质点相
对不同参考系的运动情况
1. 演示:在以速度 u匀速直
线运动小车上,竖直上抛一小
球
地面观察者:小球作斜抛运动
车上观察者:小球作上抛运动
2. 运动质点相对小车和相对地面参考系的
位移和速度
相对运动
设地面参考系为 s ,小车参考系为 s
Slide 29
(1) 位移的相对性
小球在 s系中的位移 r
等于 s系相对 s系的位移
D
与小球在 s系中位移r之和
r r D
或 r r ut
（2）速度的相对性
小球相对 s系的速度等于它相对 s系的
速度与 s系相对 s系的速度之矢量和
相对运动
v
v
u
或
v As v As vss
v v
u
第一章
质点 运 动 学
研究物体（质点）的位置随时间
而变化的规律
一. 描述质点运动的基本物理量
复习：质点模型，参考系(运动本身的
绝对性, 运动描述的相对性 )， 坐标
系
质点运动的基本物理量
Slide 2
1.位置矢量（位矢，径矢）
直角坐标系中
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
大小
r r
x y z
2
2
y
2
x
方向 cos
r
y
cos
r
z
cos
r
质点运动的基本物理量
p
r
o
z
x
Slide 3
运动方程 r (t ) ----质
点位置随时间变化的关
系
1 2
如 x x0 v0t at
2
1 2
y v0t gt
2
2
r 2t i ( t 2) j
质点运动的基本物理量
Slide 4
2.位移矢量 r
----质点
运动时的位置的变化
t , rA
t t , rB
r rB rA
直角坐标系中
r ( xB x A )i ( y B
y A ) j ( z B z A )k
y
A(t ) s
rA
B(t t )
r
rB
o
x
注：
z
（1)位移 r 与路程 s 的区别
（ t 0 时 r dr ds）( dr 与 dr的区别）
（2）r 、r 与 r的区别
质点运动的基本物理量
Slide 5
3.速度矢量 v
平均
v
速度
r
大小 v
r
t
t 方向r 的方向 y
r
dr
瞬时
v lim
速度
dt
t 0 t
直角坐标系中
v
dr
o
z
dx dy dz
i
j
k
dt
dt
dt
dt
质点运动的基本物理量
A(t ) s
rA
B(t t )
r
rB
x
Slide 6
即
v vx i v y j vz k
大小 v
2
2
vx v y vz
2
方向：沿质点运动轨迹的切线方向
vx
或:COS
v
y
vy
COS
v
vz
COS
v
质点运动的基本物理量
A(t ) s
rA
B(t t )
r
rB
o
z
x
Slide 7
描写质点运动状态的两
个物理量
位置矢量 r
速度矢量 v（或动量 p mv ）
注意：(1)速度 v 与平均速率
的区别
v
(2)一般情况下
而 v
dr
dt
ds
dt
dr
dr
dt
dt
dr
dr
v
v
dt
dt
(3)平均速率与平均速度大小的区别
质点运动的基本物理量
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4.加速度矢量 a
a
平均加速度
大小
a
v
v
t
y
t
方向 v 的方向
v dv
瞬时加速度 a lim
t 0
直角坐标系中
a
dv
dt
d r
2
dt
2
质点运动的基本物理量
t
A(t ) v
1
rA
B(t t )
rB
o
dt z
2
2
d x
d y
d z
v1
i
j
k
2
2
2
dt
dt
dt
v22 v
2
v2
x
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即 a ax i a y j az k
大小 a
方向
2
2
ax a y az
2
ax
ax
ax
COS COS COS
a
a
a
质点作曲线运动时，加速度
方向总是指向曲线的凹侧
如图示质点作抛体运动
A点 a g与 v 成钝角
B点a
C点a
质点运动的基本物理量
v
g与 v 成锐角 A
g与 v 成直角
g
C
g
v
B
g
v
Slide 10
例题1.质点作曲线运动，其运
3
1
1 2
动方程为 r t i (2t 1) 2 j (m)
2
3
求质点任意时刻的速度和加速
度
解：分析 这是一个已知运动方程求质点运动
状态的典型问题，通称为运动学第一类问题，
具体的是通过求导数的方法进行计算。
由定义得
1
dr
2
v
ti (2t 1) j
dt
质点运动的基本物理量
Slide 11
或
vx t
vy
v
再由 a
2t 1
2
2
vx v y t 1
dv
(方向）
dt
1
得 a i (2t 1) 2 j
a
2
2
ax a y
质点运动的基本物理量
1
ax 1
2
a y (2t 1)
2t 2
2t 1
(方向）
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例题2 (加速度为恒矢量
的质点运动)
一个具有恒定加速度a
恒矢量的质点，在平面上作曲线运动，求质
点的运动方程。 设 t 0时质点的初速度
为 v0，质点的位矢为 r0。
分析：这是一个已知质点运动状态，求运动
方程的问题，通称为运动学第二类问题，具
体是通过积分的方法进行计算
v
t
dv
由a
得 dv a dt v v0 at
dt
质点运动的基本物理量
v0
0
Slide 13
又 v
r
r0
dr
dt
t
t
dr v dt atdt
0
0
1 2
r r0 v0t at
2
这就是加速度为恒量的质点运动方程
讨论（1)抛体运动方程
ox
v0 沿与水平面上
设一抛体以初速
ag
轴的正方向成
角抛出，则
t 0 ，
2
1
若设
时v0t
r0 0
r
gt ，则
2
质点运动的基本物理量
Slide 14
2
1
（2)式 r v t
gt
0
2
物理意义
p点到
o
抛体从
点的运动，是沿初速方
(v0t )
向的匀速直线运动
和沿竖直方向自由落体
运动（
1 2
gt
2
）这两
y
A
v0 t
o
r
个运动的叠加。
1 gt 2
2
质点运动的基本物理量
1 gt 2
2
P
x
Slide 15
(3) 枪打落靶的演示
猎人举枪直接瞄准树
上吊着的靶子，靶子一看
见枪击的火光就释放自由下落，子弹能击
中靶子吗？ 向上
讨论：
如果枪水平瞄准靶子，子弹能击中靶子吗？
水平
如果枪斜向下瞄准靶子，子弹能击中靶子吗？
向下
质点运动的基本物理量
百发百中！
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例题3 在倾角为 30 的斜
坡上，以初速度 v0抛出一小球
设 v0与斜坡夹角 600，如图
示求小球落地处离抛物点之间
的距离 L
0
解：小球作抛体运动，其运动方程为
v0
2
1
r v0t
gt
2
（1）
质点运动的基本物理量
L
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方法一：取如图坐标系oxy,
坐标原点在抛物点处，则
式(1）的分量式为:
y
x v0 cos( )t
（2）
2
1
y v0 sin( )t
gt
2
（3）
v0
o
L
此式的物理意义是：
小球的运动是 x 方向的匀速直线
运动和 y 方向匀变速运动的叠加
质点运动的基本物理量
x
Slide 18
x L cos
落地时有 y L sin
代入式（2），式（3）得
L
2v
2
g
方法二: 取如图 oxy坐标系，坐标原点在
抛出点处，则式（1）的分量式为
x v0 cos t
y v0 sin t
其物理意义是什么？
质点运动的基本物理量
1
2
1
2
g sin t
y
2
g cos t
2
v0
o
L
x
Slide 19
x L
落地时有
y 0
代入上式可得 L
方法三:
2v0
g
1 2
直接由矢量式 r v0t gt
2
其物理意义是什么？
进行运算从矢量三角形图可知，这是一
正三角形。则 1
2
L v0t
2
2v0
gt L
2
g
v0 t
60
L
0
r
30
1 2
gt
2
0
讨论：运动的叠加和矢量的分解和合成
数学与物理的关系——数学是物理学的一种语言
质点运动的基本物理量
Slide 20
三 .圆周运动
1.自然坐标系：在运动轨迹上
任取一点o, 在某时刻t，质
点位于P处， 沿轨迹某一方
向量得的曲线长度
s s (t ) : 即为以自然坐标系表
示的质点运动方程
n
切线坐标 :沿轨迹上任一点的切
et
线方向，切向单位矢量
法线坐标 n:沿轨迹上任一点的法
线方向，法向单位矢量
e
n
*注意：et , en 随质点移动
圆周运动
o
p
en
et
t
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2. 圆周运动中的切向加速
度和法向加速度
圆周运动中的速度表示
v v et vet
所以圆周运动的加速度
det
dv
dv
a
et v
dt
dt
dt
v
o
et
r
A
式中第一项写出
dv 表示速度大小的变化引起的加
at
et
速度称为切向加速度
dt
方向：et方向与 v 同方向
圆周运动
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第二项写作：
det 即由速度方向变
an v
dt 化引起的加速度
det
et
d
en
由图知： lim
t 0 t
dt
dt
v2
et
d
(
en ) 第二项可写成
dt
dt
det
an v
d
dt
det
d
v
v
en
en
dt
dt
r
2
2
o
r
d
dt
方向：法线方向，与 en 同向
a n 称为法向加速度
圆周运动
v1
et
et
et1
et1
A
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因此，用自然坐标
系表示圆周运动中的加
速度
a at an at et an en
或
2
v
dv
a
et
en
dt
r
2 2
大小：a at an
方向：
tg
an
at
圆周运动
en
et
an
r
o
at
a
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(1)对于一般曲线
v
2
an
运动，
r
的
可
用曲率半径
(a v
n
r中
2
) 来替代
(2)在讨论圆周运
动和曲线运动时常采用
自然坐标系
圆周运动
p
o
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例题:
一超音速飞机在高空
点 A 时的水平速率 v 1940km h
1
A
, 沿近似圆弧的曲线俯冲到B点。
v 2192km h
经历时间为 3s ,圆弧半
径 r 3.5km ,设飞机从A到B的过程可视为匀
变速圆周运动,
A
1
B
求：（1）飞机在点B的加
速度;
（2）飞机由点A到点
B所经历的路程.
圆周运动
vA
vB
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解: 匀变速圆周运动,则切
dv
a
向加速度
为常量.
dt
vB
dv
vA
a
t
0
v A vB
a dt
23.3m s
vA
A
2
an
t
B点的法向加速度
2
vB
2
an
106m s
r
a
B点总加速度
大小:
a
圆周运动
2
a an
2
109m s
2
a
vB
Slide 27
方向:
arctg
a
12.4
0
an
设 从A到B径矢转过的角度
为 ,则
A
1
2
At t
s r
vA
an
2
v A r A
a r
s v At
圆周运动
1
2
a t 1722m
2
a
a
vB
Slide 28
四.相对运动: 讨论质点相
对不同参考系的运动情况
1. 演示:在以速度 u匀速直
线运动小车上,竖直上抛一小
球
地面观察者:小球作斜抛运动
车上观察者:小球作上抛运动
2. 运动质点相对小车和相对地面参考系的
位移和速度
相对运动
设地面参考系为 s ,小车参考系为 s
Slide 29
(1) 位移的相对性
小球在 s系中的位移 r
等于 s系相对 s系的位移
D
与小球在 s系中位移r之和
r r D
或 r r ut
（2）速度的相对性
小球相对 s系的速度等于它相对 s系的
速度与 s系相对 s系的速度之矢量和
相对运动
v
v
u
或
v As v As vss
v v
u