Transcript 第四章狭义相对论

常看到科幻小说中的情节，有个人在外太空呆了几年回来
后地球上全变了，说是过了几十年或者更多…难道这是真
实存在的？
“天上一天，人间十年”
?
高速运动的规律
——狭义相对论
狭义相对论：惯性系中的高速运动问题
广义相对论：非惯性系和引力问题
小球
20m/s
20m/s
c
光信号
c
20m/s
地面上的人观察:
v球 ,地 = v球 ,车 + v车 , 地
= 40m/s
v1  c  u
v2  c  u
然而，对光速所进行的最精密的测量表明，无论发光的光源
如何运动，光速永远是不变的。这一事实表明：在火车上扔小球
的这种做法，似乎对于光就不再适用了。
实验表明，低速宏观物体的运动规律对于高速运动不再适用。
例如：一个电子通过10MeV电势差，其速度为0.9988c
(c是真空中的光速)。
1 2
40MeV电势差，T  2 mv 增加一倍
实验结果
0.9999c
物理学面临的不是危机，而是一场伟大的革命。
1905年，爱因斯坦总结前人的一系列实验事实，提出狭义相
对论，建立了高速运动的基本规律。相对论是对旧时间空间
观念的根本变革，对近代物理学的发展起了重大的作用。相
对论与量子力学成为现代科学技术的两大支柱。
狭义相对论
基本原理：
1. 相对性原理：物理规律对所有惯性系中的观察者是相同
的，没有哪一个参考系是特殊的。
2. 光速不变原理：光在真空中的速率在所有惯性系中具有
相同的值c。
由这两个原理可以导出整个狭义相对论的理论体系
（参考书《电动力学》汪德新编著，科学出版社，第八章）
1. 相对性原理：物理规律对所有惯性系中的观察者是相同的，
没有哪一个参考系是特殊的。
①伽利略假设在所有惯性参考系中，力学规律是相同的。
爱因斯坦推广了这一概念，使它包括所有的物理规律，特
别是电磁学和光学。
②这一假设不是说所有物理量的测量值对所有惯性系的观
察者说是相同的，相反地，绝大多数是不同的。而是把这
些测量量相互联系起来的物理规律是相同的。
2.光速不变原理：光在真空中的速率在所有惯性系中具有相
同的值c。
动能/MeV
① 极限速率c （可以从洛仑兹变换得到这一结论）
② 光碰巧以此极限速率传播，任何无质量粒子也这样。
③ 加速电子的速率存在极限已在1964年被实验证实。
④ 检验光速假设
 0  
3
速率/108m/s
1964年欧洲粒子物理实验室(cern)实验测定沿π0运
动方向放出的光子速率与静止光源测得的光速一致。
为了保证光速是一个恒量，人们必须接受许许多多出乎
意料的事情。
狭义相对论
运动物体的收缩
（参考书《物理世界奇遇记》伽莫夫）
运动物体的收缩具有相对性
运动时间延缓
火车上的旅客比老住在一个地方的人老得慢
如何给出定量的解释？
基本原理
一、相对论的时空坐标变换公式——洛仑兹变换
在不同参考系观测同一个事件，时空坐标之间的关系如下
 x '  x  ut
y'  y


z '  z
t '  t
伽利略坐标变换
 x    x  ut 
 
 y  y
 z  z

t     t  u x 
2

c


  uc
  1
u
1  2
•当u<<c时，过渡到低速情况的伽利略变换。
二、相对论的速度变换公式
vx '  vx  u

v y '  v y

vz '  vz
伽利略速度变换


vx '  vx  u
u

1  2 vx

c

vy

v y ' 
u 


  1  2 vx 

 c


vz
vz ' 
u 



1

v

2 x

 c


•当u<<c时，过渡到低速情况的伽利略变换。
例1. 验证光速c是极限速度。
若在S系v=c，对任意参考系S’有v’=c.
证：设在S系有vx=c，若S’系相对S系以u运动，则有
vx  u
c u
vx ' 

c
u
u
1  2 vx 1  2 c
c
c
例2. 飞船速度0.9c，从飞船上抛出一物体，相对飞船的速度
为0.9c，问：从地面上观察物体的速度多大？
解：设地面为S系，飞船为S’系。
u=0.9c,vx’=0.9c，
vx ' u
vx 
 0.994c
u
1  2 vx '
c
三、相对论的时空性质
两个事件在不同参考系的观测结果
A: S系  x1 , y1 , z1 , t1 
S’系  x1 ', y1 ', z1 ', t1 '
 x2 , y2 , z2 , t2 
 x2 ', y2 ', z2 ', t2 '
B:
经典力学——同时的绝对性
S系： t1  t2
S’系：t1 '  t2 '
不同参考系都
是同时的。
x1 ' 
相对论——同时的相对性
x1  ut1
2
u
1  
c
u
t1  2 x1
c
t1 ' 
2
u
1  
c
x2 ' 
t2 ' 
x2  ut2
u
1  
c
t2 
2
u
x2
c2
u
1  
c
2
x ' 
t ' 
x  u t
u
1  
c
t 
2
u
x
2
c
u
1  
c
2
若S系两事件同时发生，t  0, x  0
t '  0 则S’系两事件不同时发生。
在惯性系S中同时发生的两个事件，在惯性系S’中一般来
说不再是同时发生的，“同时”的概念是相对的，与参
考系有关——同时的相对性。
若t1<t2，S系中，事件1早于事件2；但是随着x2- x1的取值不
同，t2 ’ - t1 ’就可能小于零、大于零或等于零，两事件的先后
次序在不同的惯性系中可能发生颠倒。
例2：在地球上，两个小孩的出生看作两个事件。
若
x2  x1  3000km
t2  t1  0.006s
甲先，乙后
甲哥，乙弟
飞船上看：
若u=0.6c，t '  0 甲乙同时出生，不分哥弟
若u=0.8c，t '  0
t2 '  t1 '
甲弟，乙哥
相对论效应使时序颠倒！
甲
乙
 x1, t1   x2 , t2 
经典力学——空间的绝对性
u
相对论——运动长度“收缩”
S’系：l '  x2 ' x1 '  l0 固有长度
S系：同时测量两端点的坐标
 x1, t1   x2 , t2 
S’系：
l '  x2 ' x1 '
S系： x2  x2 ' ut , x1  x1 ' ut
l  x2  x1  x2 ' x1 '  l '
l'l
不同参考系观测物体的长度是相同的。
由于
所以
t1  t2
x1 '    x1  ut1 
x2 '    x2  ut2 
l '  l
l
l'

 l0
a.收缩因子与u有关。当u<<c时，l≈l0，收缩可忽略不计。
b.收缩只发生在物体的运动方向上。
相对观察者静止，其长度的测量值最大；当它运动时，
在运动方向上物体的长度要缩短。
例3、固有长度为5m的飞船以u＝9×103m/s的速率相对于地
面匀速飞行时，从地面上测量，它的长度是多少？
解：根据长度收缩公式
l  l0
u2
1 2
c
带入数据
l5

9  10 
1
3  10 
3 2
8 2
 4.999999998m
其差别是很难测出的。
“运动长度收缩效应”要在高速运动时才比较明显。
例4. 立方体形状的宇宙飞船，当它以接近光速的速度飞行
时，问地球上的观察者看到该物体是什么形状？
例5.粒子物理中核-核碰撞，Au-Au √s=200GeV
低速
高速
Z
Z方向发生收缩，球体变薄盘。
经典力学——时间间隔测量的
绝对性
相对论——运动时间延缓
S系： t  t2  t1
S’系： x '  0, t '   0 固有时
S’系： t '  t2 ' t1 '
S系：
t '  t
不同参考系观测到的时间间隔是相
同的。
在S‘系所记录的同一地点发生的两个
事件的时间间隔小于S系所记录两事
件的时间间隔，即运动的钟变慢——
时间延缓效应。
时间并不是以固定快慢行进的。相对
运动可以改变时间行进的快慢。
时空与物质运动不可分割。
 x1, t1   x2 , t2 
x1    x1 ' ut1 '
u


t1    t1 ' 2 x1 ' 
c


x2    x2 ' ut2 '
u


t2    t2 ' 2 x2 ' 
c
所以


x    x ' ut '  0
u


t    t ' 2 x '    0   0
c


由于
a.时间延缓与u有关。当u<<c时，t≈τ0，
延缓可忽略不计。
例6. 孪生子效应 (twin effect)
设想：一对孪生兄弟，哥哥告别弟弟，乘宇宙飞船去太空旅行。
归来时，哥哥仍是风度翩翩一少年，而迎接他的胞弟却是白发
苍苍一老翁了，真是“天上一日，人间十年”啊！
讨论：
1) 这样的现象是可能发生的
• Cs原子钟证明：1971年美国空军将Cs原子钟放在飞机上, 沿赤
道绕地球一周。回到原处后, 比静止在地面上的钟慢 203 ns (1 ns
= 10-9s)。
结论：相对于一惯性系的速度越大的钟，走得越慢。与上述孪
生子问题所预期的效应一致。
例：宇宙飞船对地速度u=0.8c，某天体距离地球8光年。若飞船
离开前，孪生兄弟年龄均为20岁，问飞船从地球飞往天体再返
回后，两兄弟的年龄各为多少？
解：从地球参考系S系看
飞船与天体相遇时
t地=8光年/0.8c=10年
往返所需时间
∆t=20年， ∆t’=∆t√(1-u2/c2)=12年
甲：40岁
哥哥更年轻！
乙：32岁
2) 按照相对的观点，飞船上的哥哥也会认为自己是老翁，而弟弟是
少年。假如飞船返回地球兄弟相见，到底谁年轻就成了难以回答的
问题。
－－－孪生子佯谬(twin paradox)
答案：飞船返回地球兄弟相见，哥哥是少年，弟弟是老翁。
原因：问题的关键是，时间延缓效应是狭义相对论的结果，
它要求飞船和地球同为惯性系。要想保持飞船和地球同为
惯性系，哥哥和弟弟就只能永别，不可能面对面地比较谁
年轻。如果飞船返回地球则在往返过程中有加速度，飞船
就不是惯性系了。这一问题的严格求解要用到广义相对论，
计算结果是，兄弟相见时哥哥确实比弟弟年轻。（这超出
狭义相对论的范围, 广义相对论有严格的证明）。
所以：Twin effect 而非 Twin Paradox
♀试试看:有加速度的那个人变年轻了。按此道理，若人相对
地面多作加速运动，生命过程将进行得缓慢一些，不易衰老。
乘3倍声速的超音速飞机，一百年后，时间也只延缓了0.015秒。
要速度接近光速，效果才显著！
例7. 宇宙射线中有μ子，其速率v=0.998c，其固有寿命
τ=2╳10-6 s. 求地面上测量,μ子衰变前走过的距离。
解：地面上测量的为膨胀时，由已知数据有
γ=15.82
故行程 l =v Δt = 0.998cγτ = 9500m
此行程可使μ子穿过大气层到达地球表面，实验结果
的确如此。
狭义相对论不仅成功地解释了当时已有的全部实验事实，
而且预言了新的效应，为以后的实验所证实。
① 1964年和1966年柯尔法格等人让π0粒子以速率
v=0.9975c运动，在运动中衰变为两个光子，实验
测定沿π0运动方向放出的光子速率与静止光源测得
的光速一致。
② 1972年，西欧原子核研究中心的贝利和皮加索等人
观测沿圆形轨道飞行的μ子束，对飞行μ子的寿命
进行测量，证实了时钟延缓效应。
事件的发生是客观的，为什么不同参考系的观察者给出的
测量却截然不同呢？
例2：在地球上，两个小孩的出生看作两个事件。
若
x2  x1  3000km
t2  t1  0.006s
甲先，乙后
甲哥，乙弟
飞船上看：
若u=0.6c，t '  0 甲乙同时出生，不分哥弟
若u=0.8c，t '  0
t2 '  t1 '
甲弟，乙哥
甲
乙
 x1, t1   x2 , t2 
相对运动惹的祸！
比如，列车的正中间有一闪光灯P
发出闪光。
S’中的观察者观察到闪光同时到
达车厢两端。
地面S系的观察者说，光先到达车
尾B，后到达车头A。
两个观察者的说法，从他们各自的角度看来都是正确的；
而究竟哪一方是绝对正确的问题，则没有任何物理意义。
狭义相对论革新了时空概念
经典力学的时空概念
 x '  x  ut
y'  y


z '  z
t '  t
伽利略变换
在伽利略变换下，同时性、空间距离、
时间间隔都是绝对的，与参考系无关。
经典力学中，空间测量和时间测量均
与参考系的运动状态无关，空间与时
间也无联系。
狭义相对论的时空概念
 x    x  ut 
 
 y  y
 z  z

t     t  u x 
2

 c 
洛仑兹变换
在洛仑兹变换下，时间坐标与空间坐
标密切联系。同时性、空间距离、时
间间隔都是相对的，随观察者所在的
参考系不同而不同。
经典力学的时空观：
×
• 时间和空间是彼此无关的；
• 时间和空间的基本属性与物质的运动没有任何关系，
而是绝对的、永远不变的，与参考系的选择无关。
狭义相对论的时空观：
•时间与空间是相互联系的；
•时间和空间的量度与参考系的选择有关，并与物质运动有着
不可分割的联系。不存在孤立的时间，也不存在孤立的空间。
√
这两种时空观是根本对立的！
说明：
不是旧的经典物理学完全被新的物理学取代，而是指物
理学在原有的基础上扩展，从低速的领域扩展到高速的
领域。对于低速的领域，经典物理学仍然是有效的。
四、高速粒子的运动方程
1. 相对论性动量
动量守恒定律在洛仑兹变换下保持不变，要求

p

m0v
1  v / c 
2


动量定义 p  mv
2. 相对论性质量
m
m0
1  v / c 
2
•m0静质量
•物体的质量与其相对于观察者的
运动速率有关，具有相对性
• m ，速度越大惯性就越大，
越难改变原来的运动状态
• > c时，m将为虚数，无意义，
所以c是一切物体速度的极限(与洛
仑兹变换所得结论一致)
•对于光子，速度为c，而m又不可
能为无限大，所以光子的静止质量
m0 = 0
•如  << c，则m  m0回到牛顿力学
情况。
3. 相对论的力学方程



 dp d

m0v
d

F
 ( mv )  
dt dt
dt  1  v / c 2 


狭义相对论力学
的基本方程
4. 相对论的动能
设一质点在变力的作用下，由静止开始沿x轴作一维运动。
当质点的速度为v时，它所具有的动能等于外力所作的功。
v
dp
Ek   Fx dx   dx   vdp  pv   pdv
dt
0
v
2
m0v
m0v


dv
1  v2 / c2 0 1  v2 / c2
m0v2

 m0c 2 1  v 2 / c 2  m0c 2
1  v2 / c2
Ek  mv2  mc2 (1  v 2 / c 2 )  m0c 2  mc2  m0c 2
•经典力学近似
当v<<c时
1
v2
1 2
c
1 v2
1 v2
 1
   1 
2
2c
2 c2
E K  mc  m0 c 
2
2
m0
v2
1 2
c
c 2  m0 c 2
1 v2 2
1
2
2
 m0 (1 
)
c

m
c

m
v
0
0
2 c2
2
又回到了牛顿力学的动能公式。
5. 能量公式
mc2  Ek  m0c 2
mc2 ——质点运动时所具有的总能量
m0c2——质点静止时所具有的静能量
即质点的动能是总能量与静能量之差。
质能关系
E  mc 2
结论：质量和能量这两个基本属性之间的内在联系。
一定的质量相应于一定的能量，二者的数值只相差一个
恒定的因子c2 。如果一个物体的质量发生变化，这时能
量必有相应的变化。
E静  m0c
2
•静能是物体内各部分的相对运动的动能和相互作用势能的
总和。包括：
热能 ——分子动能
化学能——使原子结合的能量
电磁能——使核和电子结合的能量
原子能的利用
结合能——核子间的结合能
以及各组成部分(电子、中子、质子等)的静止能
 1 kg的物体E0 = 91016 J
1 kg的汽油 燃烧值=4.6107 J
(是E0的二十亿分之一)
静能蕴含了潜在的巨大能量！
原子弹（nuclear weapon）
核武器是指利用能自持进行核裂变或聚变
反应释放的能量，产生爆炸作用，并具有
大规模杀伤破坏效应的武器的总称。
例：核弹爆炸。钚239 20kg，爆炸后生成物的质量比原来小万
分之一。求释放了多少能量？
解：∆E= ∆mc2=1.8×1014J
相当于多少度电
1.8 1014
 5 107 度电
1000  3600
相当于多少吨TNT当量？ 利用原子能
http://v.youku.com/v_show/id_XMTk
几百万吨
5MzMyMDQ=.html
视频: 我国第一颗原子弹爆炸成功
习题：1，3，4，11，12
Faster-Than-Light Neutrinos: OPERA Confirms and Submits
Results, But Unease Remains
http://news.sciencemag.org/scienceinsider/2011/11/faster-than-light-neutrinosopera.html?ref=hp
发布时间：2011年11月17日
BREAKING NEWS: Error Undoes Faster-Than-Light Neutrino
Results
http://news.sciencemag.org/scienceinsider/2012/02/breaking-news-errorundoes-faster.html?ref=hp
发布时间：2012年2月22日