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浙教版九年数学上册
圆的基本性质复习课
知识要点1
点和圆的位置关系：
r
O
d<r
d=r
●
P
点P在圆内
r
r
O
d
d
●
P
点P在圆上
d
d>r
●
P
点P在圆外
2 、 ⊙ O 的 半 径 为 13cm ， 圆 心 O 到 直 线 的 距 离
OD=5cm．在直线上有三点P,Q,R，且PD = 12cm ,
QD<12cm, RD>12cm，则点P在 圆上
，点Q
在 圆内 ，点R在 圆外 .
3 、 一 个 点 到 圆 的 最 小 距 离 为 4cm ， 最 大 距 离 为
10cm，则该圆的半径是 3或7cm 。
知识要点2
圆的确定
C
C
C
●
A
B
●
A
A
A
O
O
O
O
B
B
B
C
●
∠C＝90°
▲ABC是锐角三角形
▲ABC是钝角三角形
圆的确定：不在同一直线上
的三点确定一个圆。
过三点的圆及外接圆
无数
1.过一点的圆有________个
无数
2.过两点的圆有_________个，这些圆的圆心的都
连结着两点的线段的垂直平分线上.
在_______________
0或1
3.过三点的圆有______________个
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形
的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离
相等）
5、三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
A
●
B
O
O
O
●
C
B
┐
●
C
B
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
C
知识要点3圆的轴对称性
垂径定理：AB是直径
AB  CD于E
D
A
B
E
C
C
推论:


CE=DE
AC=AD
CB=DB
（1）平分弦 （不是直径）
的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧
的直径，垂直平分弦并且
平分弦所对的另一条弧。
仔细辩一辩
D
A
• 判断：
B
E
C
C
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（ ）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（√ ）
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（

）
• (4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
1、如图,已知⊙O的半径OA长
为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则
AC=BC
3
OC的长为 _______.
O
半径
弦心 距
A
C 半弦长 B
• 2、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝
AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需
要过圆心作弦心距，这
是一条非常重要的辅助
线。
弦心距、半径、半弦长
构成直角三角形，便将
问题转化为直角三角形
的问题。

B
M
O
A
P
O
A
C
B
1.在一个圆中任意引圆的两条直径,顺次连接它们的四个端点,
组成一个四边形,则这个四边形一定是( D
)
A.菱形
B.等腰梯形
C.正方形
D.矩形
A
O
E
C
D
B
2.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,DC⊥AB于E,则下列结论不一
定正确的是( C )
A.∠COE=∠DOE
B.CE=DE
C.OE=BE
D.BD=BC
3.已知⊙O半径为2cm,弦AB长为 2 3 cm,则这条弦的中点到
这条弦所对的劣弧中点的距离为( A )
A.1cm
B.2cm
C.
2 cm
D.
3 cm
C
C
F
E
A
E
O
A
D
B
O
B
D
4.如图,在⊙O中,AB,AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于
D,OE⊥AC于E,且AB=8cm,AC=6cm,那么⊙O的半径为( B )
A.4cm
B.5cm
C6cm
D8cm
5.在半径为2cm的圆中,垂直平分半径的弦长为
6.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,已知
AE=6cm,BE=2cm,∠CEA=30°,则CD长为
2 3
2 15.
.
C
D
B
O
O
F
E
A
D
A
C
B
E
8.已知:如图,AB,CD是⊙O直径,D是AC中点,AE与CD交于F,
OF=3,则BE= 6
.
9.如图,DE ⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则
CD= 9
,OC= 4
.
10.已知⊙O的直径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16,
则弦AB与 CD的距离为 2cm或14cm
.
11.矩形ABCD与圆O交A,B,E,F
5cm
DE=1cm,EF=3cm,则AB=___
D
A
E
F
O
C
B
例1.一条３０米宽的河上架有一半径为２５m的圆弧形拱桥，
请问一顶部宽为６米且高出水面４米的船能否通过此桥，并说
明理由．
D
E
F
A
C
～～～～～～
～～～～～～～B
～～～～～～～
O
例２．已知:如图,ＡＢ是⊙Ｏ直径,AB=10,弦
AC=8,D是弧AC中点,求CD的长.
B
O
5
A
3
E
4 2
D2
C
5
知识要点4
圆的旋转不变性
圆心角、弧、弦、
弦心距之间的关系
如图,在同圆中,OC⊥AB于C,OC`⊥A`B`于C` 。
∵
，
∴ AB = A`B`
（填写一个条件．你有几种填法？你的根据是什么？）
A
在同圆或等圆中：
如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有
一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等。
C
O
B
C'
B'
A'
知识要点5 ⑴圆周角 与圆心角
C
如图：
⑴ 如果∠AOB=100°，则∠C= 50°
。
O
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一
半。
B
A
⑵ 当∠C= 90°
时，A、O、B三点在同一直线上。
推论：半圆（或直径）
所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对弦是
直径。
A
C
O
B
练一练：
如图,已知∠ACD＝30°，
120°
BD是直径,则 ∠AOB=____
C
O
B
D
A
如图,∠AOB＝110°, 则
125°
∠ACB=_____
B
O
A
C
C
⑵圆周角与弧
D
如图，比较∠C、∠D、∠E的大小
同弧所对的圆
周角相等
E
A
O
F
D
B
C
E
O
A
B
如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E
等弧所对的圆周角相等；
和∠F是什么关系？反过来呢？
在同圆中，相等的圆周角
所对的弧也相等
如图，⊙O1和⊙O2是等圆，
等圆也成立
如果弧AB＝弧CD，那么∠E
和∠F是什么关系？反过来
呢？
E
O1
A
O2
D
C
B
F
D
C
D
A
O
B
O
C
B
A
1.如图，已知AB是⊙O的直径,AD∥OC,弧AD的度数为
80°,则∠BOC的度数是( C )
A.80°
B.25°
C.50°
D.40°
2.如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,∠ABC=30°,
则∠DAC等于( D )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=140°,则∠BCD等
于(
B)
A.140°
B.110°
C.70°
D.20 °
4.已知⊙O的半径为2cm,弦AB所对的圆周角为60°,则弦
AB的长为( C )
A. 2cm
B.3cm
C.
2 3
3
D.
A
5.如图,AD是△ABC的外接圆直径,AD= 2
∠B=∠DAC,则AC的长为(
A. 2
C.1
1
B.
2
O
C)
A
2
D
B
D. 不能确定
C
O
B
C
D
6.如图,O为△ABC的外心,∠OBC=30°,则∠A=
60° .
7.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=35°,以C为圆心,
CA为半径画圆交AB于点D,则弧AD的度数为 70° .
8.如图, ACB£º ADB=5£º4 ,则∠AOB= 160° ,
∠ACB= 80° ,∠ADB= 100° ,∠CAD+∠CBD= 180°
.
B
D
A
A
D
B
O
O
B
C
C
A
C
9.如图,AB是⊙ O 的直径,C,D,E都是⊙O 上的点,则
E
∠1+∠2=
.
90°
O
A
12
C
B
2
10.如图,CD是⊙ O 的直径, O是圆心,E是圆上一点,且
∠EOD=45°,A是DC延长线上一点,AE与半圆交于一点
B,AB=OC,则∠EAD= 15°.
E
B
D
O
C
A
D
︵
︵
变式训练：如图，在⊙O中，DE=2BC， ∠
EOD=64°，求∠ A的度数。
︵
若BC=n°，DE=m°呢 C
︵
E
O
A
B
D
︵
︵
m
变式训练：如图，在⊙O中，DE=2BC=64°，
求∠E AD的度数。
︵
若BC=n°，DE=m°呢
E
C
︵
B
A
D
例1：已知:如图,在◇ABCD中以A为圆心,AB为半径,画圆交
AD,BC于F,G,延长AB交⊙A于E,求证: EF=FG
E
A
B
F
G
D
C
例2: 如图， ⊙O 中，弦AB=CD，AB
与CD交于点M，
⌒
⌒
求证：（1）AD=BC ，
（2）AM=CM。
B
D
M
O
A
C
例3：如图，已知△ADC内接于⊙O, AB是
⊙O 的直径，AE ⊥DC， 则∠ DAB与∠CAE
有什么关系，为什么？
若∠ DAB=∠CAE， AE ⊥DC，则
AB是什么
A
D
E
B
C
例4：如图,△ABC是等边三角形,以BC为直径画⊙O交
AB,AC于D,E 求证:BD=CE
A
E
C
E
D
G
F
A
D
B
O
O
B
练习1.如图,AB是半圆O的直径,AE为弦,
C是 AE 的中点,CD⊥AB于D,交AE于点F,BC交AE于G,
求证:AF=CF
C
2.如图,AB和CD是⊙O的两条直径,AB⊥CD,AB=2,∠BAF=15°
AE,DB的延长线交于点F,求(1)∠FAD的度数,
(2)△ADF的面积.
C
C
B
A
B
D
O
O
D
2
F
E
A
A
3.已知:AB为⊙O的直径,AC,AD为弦,AB=2
AC=
C
,AD=1,你能求∠CAD的度数吗?
O
D
B
P
4、如图， ⊙O 的直径PQ⊥弦
⌒ ⌒
CD,AC=BD,PQ交弦AB于点E.
求证:AE=BE
证明:
∵
⌒
∴ ⌒
PC=PD
⌒⌒
∵ AC=BD
或
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ PC+AC=PD+BD
直径PQ⊥弦CD
⌒
即 ⌒
PA=PB
∴
∴
直径PQ⊥弦AB
AE=BE
C
D
O
A
连AD,
E
Q
⌒⌒
∵ AC=BD
∴ ∠ CDA=∠ BAD
∴ AB∥ CD
∵ 直径PQ⊥弦CD
∴
直径PQ⊥弦AB
∴
AE=BE
B
5.如图，⊙O为△ABC的外接圆，
AB为直径，AC=BC， 则∠A的
度数为（ C ）
A.30° B.40° C.45° D.60°
A
B
O
C
6. 在⊙O中,弦AB所对的圆心角
∠AOB=100°,则弦AB所对的圆周角为______.
500或1300
7、如图：圆O中弦AB等于半径R，则这
60度
条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是
＿＿＿＿＿＿.
30度或150度
O
A
B
8、已知A、B、C三点在圆O上，连接ABCO，
如果∠ AOC等于140度时，求∠ B的度数。
110度或70度
• 9、 AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，延长
BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关
系？
•
为什么？
A
若∠B=70度,则
∠DOE=＿＿。
O
E
C
E
D
B
10.如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，
已知∠C=45°，AD=
4，求AB的长。
2
11、P是⊙O直径AB上一点，
PC⊥AB，PC交⊙O于C，∠OCP的
平分线交⊙O于D，当点P在半径OA
（包括0点，但不包括A点）上移动时，
试比较弧AD和弧BD的大小，
并证明你的结论。
知识要点6
n r
1.弧长公式: l 
180 nr 2
2.扇形面积公式: S 
360
3.圆锥侧面积公式:
4.圆锥全面积公式:
1
 lr
2
S圆锥侧  rl
S圆锥全  rl  r
2
r
5.圆锥侧面展开图扇形圆心角公式:  
 360
l
1.已知弧长为4∏cm,它所对的圆心角为120°,那么它所对
的弦长为( C
A.2 3cm
)
B.3 2cm C.6 3cm D.6 2cm
2.在⊙O中, AB 所对的圆心角为60°,且弦AB=5cm,则 AB
的长为(
)
A
5
A. cm
3
5
B.  cm
6
5 3
5 3
 cm
C.
cm D.
6
3
3.如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°，已以AB为直径画半
圆，则阴影部分面积是（ B
）
A.大于S△AOB
B.等于S △AOB
C.小于S △AOB
D.不能确定与S △AOB的关系
4.如图,正方形的边长为2,以边长为直径在正方形内画半圆,则
阴影部分面积是( B
A.∏- 4
B. 4- ∏
A
O
B
)
C.∏- 2
D.4- ∏/4
5.一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为６cm,母线
长５cm,则它的侧面积是（ D
）
2
2
2
2
cm
cm
cm
cm
Ａ.66∏
Ｂ.30∏
Ｃ.28∏
Ｄ.15∏
6.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 4∏cm .
7.扇形半径为12,面积为9∏,它的圆心角等于 22.5 度
8.已知扇形的面积为24∏
径是 6
cm,圆心角是
9.已知扇形的面积是12
cm2 ,弧长为８∏cm,则扇形的半
cm2
240 度
,半径是8cm,则扇形周长是 19 ．
10.圆锥的底面半径是1cm,母线是2cm,则高是
2∏ ，全面积是
3∏
侧面积是
3
,
cm,
2
cm
1、 如图,当半径为30cm的转动轮转过120°时,
传送带上的物体A平移的距离为______.
A
2、如图,把Rt△ABC的斜边放在直线l上，按顺时
针方向在l上转动２次，使它转到△A２B２C２的位
置.设BC=1,AC=
3
求(1)点A所经过的路线长.
(2)点A所经过的路线与直线l所围成的面积．
C
B2
l
A
B
C2
A2
3、如图,已知扇AOB,∠AOB=90°,OA=OB=4,
以OA为直径作半圆⊙M,作MP∥OB交AB于P,交
⊙M于点Q,求阴影部分面积.
A
Q
M
O
P
B
4、如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＣ＝２cm,圆周角∠
ＡＢＣ＝４５°求阴影部分面积
A
O
C
B
5、 如图：AB是圆O的直径，弦CD//AB，
圆周角CAB等于30度，AB=2cm，求图中
阴影部分的面积？
D
C
A
.
O
B
6、如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆
心，BC为半径画CE交AD于F，交BA的延长线于E，
求扇形BEC被矩形所截剩余部分面积。
7、一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心
角为2400的扇形，求这个圆锥的高。
8、如图,一个圆锥的高为4
图是半圆,求
3
cm,侧面展开
(1)圆锥母线l与底面半径之比.
(2)圆锥的表面积.
A
l
B
h
r
O
C
再见!谢谢!