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6 .6关注三角形的
外角
吉安二中
杨玮平
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其
A
它角有什么关系?
能证明你的结论吗?
∠1+∠4=1800 ;
∠1>∠2;
∠1>∠3;
∠1=∠2+∠3.
2
3
B
4 1
C
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
D
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
A
在这里,我们通过三角
形内角和定理直接推导
出两个新定理.像这样,
由一个公理或定理直接
推出的定理,叫做这个公
理或定理的推论.
B
推论可以当作定理使用.
C
D
E
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分
外角∠EAC,∠B= ∠C.
求证:AD∥BC.
A
D
·
C
·
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它
B
∠B=∠C (已知),
不相邻的两个内角的和),
1
∠EAC(等式性质).
2
∴∠C=
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
方
法
1
一 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
2
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
例题是运
用了定理
“内错角
相等,两直
线平行”
得到了证
实.
还有其它方法吗？
E
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分 A
D
外角∠EAC,∠B= ∠C.
求证:AD∥BC.
C
B
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和),
∠B=∠C (已知),
这里是运
·
·
∴∠B=
方
法
二
1
∠EAC(等式性质).
2
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
1
∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义).
2
∴∠DAE=∠B(等量代换).
∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
用了公理
“同位角
相等,两直
线平行”
得到了证
实.
幸运一刻
1
2
3
4
5
幸运一刻
1、如果三角形的一个外角与它的一个内角
相等，这个三角形只能是直角三角形。★ ★
返回
幸运一刻
2、等腰三角形的一个外角为110度，它的
底角为 70度或55度 。 ★ ★ ★
返回
幸运一刻
3、三角形的三个外角中，最多有
角。 ★ ★
返回
1
个锐
幸运一刻
4、如图， ∠3=100度，
80 度。 ★ ★
则 ∠1－∠２＝
３
２
返回
１
幸运一刻
５、在⊿ABC中，∠A=45度，外角
55 度，
∠DCA=100度，则∠B=
80 度。 ★
∠ACB=
A
B
返回
C
D
例2 已知:如图,在△ABC中, ∠1是
它的一个外角, E为边AC上一点,
延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
D
2
C
E
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知),
5
4
A
∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何
一个和它不相邻的内角).
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任 何一个和
它不相邻的内角).
∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
3
1
B
F
思维拓展：
 1、（1）如图(甲)，在五角星图形中，求
∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。
（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的
五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？A
A
A
E
B
E
D
B
C
(甲)
C
E
B
D
C
D
(乙)
(丙)
三角形内角和定理 ：
三角形三个内角的和等于1800。
 推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和.
 推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相
邻的内角.
P212习题6.7
1,2,3题;