Transcript 复数的几何意义





一.复数的几何意义：复数z=a+bi对应
于直角坐标平面上的点Z（a,b），复
数也可以看成向量。
有了这种一一对应关系后，我们常把
复数z=a＋bi说成点Z（a，b），或说
成向量 oz
．
二．复数模的几何意义：复平面上复
数表示的点到原点的距离。
|z|=|OZ|=| oz |
复数的加、减法几
何意义即为向量的
加、减法。
|Z1-Z2|表示平面上两
点的距离
Y
b+d
Z1+Z2
Z
2
Z1-Z2
O
Z
1
a+c
X
几个常用的结论：
1.复平面内的两点间的距离：d=|z1-z2|;
2.|z-z0|=r表示以z0为圆心，r为半径的圆方程；
3.|z-z0|≤r表示以z0为圆心，r为半径的圆的内部；
4.|z-z1|=|z-z2|表示线段Z1Z2的垂直平分线的
方程；
5.|z-z1|+|z-z2|=2a(a>0且2a>|z1z2|)表示以Z1，
Z2为焦点，a为长半轴的椭圆的方程；
6.||z-z1|-|z-z2||=2a(0<2a<|z1z2|)表示以Z1，
Z2为焦点，a为实半轴的双曲线的方程；
 例1：设z∈C，满足下列条件的点Z的集
合是什么图形？
（1）|z|=4；（2）2≤|z|≤4．
解：（1）|z|=4表示到原点距离为4的点．所以
z表示的点Z构成一个半径为4的圆．
（2）表示一个圆环．由于|z|的几何意义是点
Z到原点的距离，所以2≤|z|≤4表示到原点距
离大于等于2，小于4的点所构成的图形．
例2：用复数表示下图中的阴影部分．
解.(1)|z|<3，且Im(z)<-1,
（2）|z|≥3，且Re(z)≤-1．
(3) |z|≤3，且-2≤Re(z)≤2．
例3：在复平面内，满足下列复数
形式方程的动点Z的轨迹是什么．
 （1）|z-1-i|=|z+2+i|；
 （2）|z+i|+|z-i|=4；
 （3）|z+2|-|z-2|=2．
解：（1）方程可以看成
|z-(1+i)|=|z-(-2-i)|，
表示的是到两个定点A(1,1)和
B(-2,-1)距离相等的动点轨迹．所
以是线段AB的的垂直平分线。
即：直线6x+4y+3=0。
 （2）方程可以看成
|z-(-i)|+|z-i|=4，表示的是到两个
定点(0,-1)和(0,1)距离和等于4的动
点轨迹．因为点Z到两个定点的距离
和是常数4，并且大于两点(0,-1)，
(0,1)间的距离2，所以满足方程的动
点轨迹是椭圆．2
2
x
y
1
即椭圆：
3
4
 （3）这个方程可以写成
|z-(-2)|-|z-2|=2，所以表示
到两个定点F1(-2,0)，F2(2,0)距
离差2a等于2的点的轨迹，这个
轨迹是双曲线右半支．
2
2
x
y
1
即双曲线： 
1
3
（x>0）
 例4：△ABC的三个顶点对应的复
数分别是z1,z2,z3，若复数z满足
|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|，则z对应
的点为△ABC的（
）D
A. 内心；
B．垂心；
C．重心；
D．外心；
 例5：已知复数z的模为2，则|z-i|的
最大值是
。
 例6：设复数集合
M={z||z-2+i|≤2,z∈C}∩

{z||z-2-i|=|z-4+i|,z∈C}
 （1)试在复平面内作出表示集合M
的图形，并说明图形的名称；
(2)求集合M中元素z模的取值范围。
 分析：集合{z||z-2+i|≤2,z∈C}是
表示以（2，-1）为圆心，以2半径
的圆，
集 合 {z||z-2-i|=|z-4+i|,z∈C} 是
表示A（2，1），B（4，-1），线段
AB的垂直平分线。
所以，集合M是表示垂直平分线在
圆内的一段弦。
 例7：在复平面上A、B两点对应的复
数分别是1和i，复数z在直线AB上运
动，求复数z2对应的点的轨迹。
解：设z=a+bi,(a,b∈R)
由题意，直线AB的方程是：x+y=1，∵
复数z在直线AB上运动，∴a+b=1，
再设z2对应的点为P(x,y)
∴z2=x+yi=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi
=(a-b)+2abi
x  a  b
由复数相等的条件，得：

y

2
ab
2

消去b,得y=(1-x ),
所以，复数z2对应的点的轨迹
是抛物线 y=(1-x2)。
例8.若集合A={z||z-2|≤4},集合
1
B={z|z=
2
z1i+b,z1∈A}, 且A∩B=Φ,
求实数b的取值范围.
2( z  b)
 解: z1 
i
2( z  b)  2i
∴|z1-2|=|
i
∵z1∈A
|≤4
∴|z-(b+i)|≤2,又由A∩B=Φ知
(b-2)2+1>36,
35
∴b>2+ 35 ,
b <2-
1
1
例9：设z∈C，|z|=3，ω= ( z  )
2
z
求:ω在复平面上对应点P的轨
迹方
程。
练习题
 1．判断下列命题的真假，并说明理由：
 2．已知|x+yi|=2，求表示复数x+yi的点的轨
迹．
 3.在复平面内，若复数z满足|z+1|+|z-1|=z则
z在复平面内对应的点的轨迹是什么?
 4．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么
图形？
 （1）|z|=3；（2）|z|＜3；
 （3）3＜|z|≤5；
 （4）实部＞0，虚部＞0且|z|＜4．
对复数几何意义的学习，应理解和掌握以下几点：
1.复数，复平面上的点及以原点为始点的向量的对应
关系。
2.复数的模与幅角的几何意义及其应用。
3.复数的加法与减法的几何意义（即向量的合成与分
解）及其应用。
4.复数的乘法与除法的几何意义（即向量的旋转与伸
缩）及其应用。
重点
复数的模，加法及减法，乘法及除法
几何意义在实际中的应用。