Transcript 项目三单相交流电路

项目三 单相交流电路
（时间：9次课，18学时）
本章介绍的单相交流电路是指由一相正弦交流电源
作用的电路，即电路中的电流、电压或电动势的大小和
方向都随时间按正弦规律变化的电路。常用的正弦交流
电源有交流发电机和正弦信号发生器等，广泛应用在工
业生产和日常生活中。单相正弦交流电路的学习是研究
三相电路的基础，在电工学中占非常重要的地位。单相
正弦交流电路不同于前面讨论的直流电路，在学习过程
中应建立交流的概念，对于本章所讨论的基本理论和基
本分析方法，应很好地掌握。
项目三 单相交流电路








任务一 正弦交流电的基本概念
任务二 正弦量的相量表示法
任务三 单一参数的交流电路
任务四 电阻、电感和电容串联的交流电
路
任务五 阻抗的串联和并联
任务六 功率因数的提高
任务七 电路的谐振
任务八 非正弦周期信号电路分析
任务一 正弦交流电的基本概念
所谓正弦交流电，是指大小和方向都随时间按正
弦规律作周期性变化的电流、电压或电动势，简称交
流电。它被广泛应用与现代生产和日常生活中，这节
主要介绍它的三要素、相位差和有效量。
任务一 正弦交流电的基本概念

3.1.1 正弦量的三要素

3.1.2 正弦量的相位差

3.1.3 正弦量的有效量
3.1.1 正弦量的三要素
大小和方向随时间按正弦规律变化的正弦电流、正弦
电压、正弦电动势等物理量统称为正弦量。
正弦量的三要素：幅值、频率和初相位。
一个正弦交流电压的瞬时值可用三角函数式(解析式)来
表示，
即u(t) = Umsin( t   u )
同理,电流和电动势分别为
i(t) = Imsin( t   i )
e(t) = Emsin( t   e )
图3.1 正弦交流电压
1.幅值(或有效值)
Im、Um、Em分别叫做正弦电流、电压、电动势的幅
值(也叫做峰值或最大值)，它们反映了正弦量变
化的大小。
2.频率(或角频率、或周期)
(1)周期：正弦交流电完成一次循环变化所用的时
间，用字母T表示，单位为秒(s)。
(2)频率：正弦量在单位时间内作周期性循环变化
的次数用字母f表示，单位为赫兹(Hz)。
(3)角频率：表示单位时间内正弦量变化的弧度数，
用字母表示，单位为弧度/秒(rad/s)。
 = 2f=
2
T
1
f 
T
T
2

注意：角频率与角速度是两不同的概念，角速度是机
械上的空间的旋转角速度，而角频率泛指任何随时间作正
弦变化量的频率f与2π的乘积。
例3-1 已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率
及周期T。
解：角频率为
=2f=2×50=100=314rad/s
周期为
T=0.02s
3.初相位

前面式中( t   u)、( t   i)、( t   e)分别叫
做正弦电压、电流、电动势的相位角，简称相位或
相，单位为弧度rad或度(°)，用字母α表示。

相位反映出正弦量变化的进程。当相位角随时间作
连续变化时，正弦量的瞬时值也随之作相应变化。
t=0时的相位角称为初相位角，简称初相位或初
相，用字母ψ表示。


 e分别为正弦电流、电压、电动势的初相
 i 、 u 、
位，表示初始时刻(t = 0时)正弦交流电所处的电角
度。

通常，选择初相位的绝对值小于π，可正，也可负。
例3-2 已知u = 311sin(314t－60°)V，求幅
值Em、频率f、角频率、初相位。
解：根据式(3-1) u(t) = Umsin( t   u )，可
知
幅值为 Um = 311V
频率为f = 50Hz
角频率为 = 314rad/s
初相位为ψ=-60°=-1/3π


两个同频率正弦量的相位角之差，称为相位差，用表示。
并规定
12 ≤180°
12 ≤π
例如，i1和i2为两个同频率电流，
i1 = Im1sin( t   1)
i2 = Im2sin( t   2)
则这两个正弦量的相位差为
12 = ( t   1)  ( t   2) =  1 －  2

(3-7)
可见，两个同频率正弦量的相位差即为初相位之差。相位
差实质上反映了两个同频率正弦量变化进程的差异，表明
在时间上的先后关系。
3.1.2 正弦量的相位差
图3.2 两同频率正弦量的相位关系
(1)当 12 > 0时，i1比i2先到达正最大值，此时
称第1个正弦量比第2个正弦量的相位超前角12，如图

3.2 (a)所示；
(2)当 12 < 0时，i1比i2后到达正最大值，此时
称第1个正弦量比第2个正弦量的相位滞后12角，如图

3.2 (a)所示，此时相位差须用绝对值不大于的角度来
描述。

(3)当 12 = 0时，i1和i2同时到达正最大值，此
时称第1个正弦量与第2个正弦量同相，如图3.2 (b)所
示；


(4)当 12 =   或时，一个正弦量到达正最大值时，
另一个正弦量到达负最大值，此时称第1个正弦量与第
2个正弦量反相，如图3.2 (c)所示；
(5)当 或时，一个正弦量到达零时，另一个正弦量到
达正最大值(或负最大值)，此时称第1个正弦量与第2
个正弦量正交。如图3.2 (d)所示。
例3-3 已知两正弦量u = 311sin(314t 30°) V，
i= 5sin(314t 90°) A，请指出两者的相位关系，
并求当计时起点改为t = 0.00333s时，u和i的初相位、
瞬时值及其相位关系。
解：相位差为
ui  (30 )  (90 )  120
相位关系为，u比i滞后，或i比u超前。
当计时起点改为t = 0.00333s时， u和i的初相位分别为
1 1 1
 u  314  0.00333  30  π- π= π
3 6 6
1 1 5
 i  314  0.00333  90  π+ π= π
3 2 6
相位关系为
1 5
2
ui   u  i  π- π=-   120
6 6
3
则u和i的瞬时值分别为
u = 311sin(314t 30°)
= 311sin(314×0.0033330°)
= 311sin(30°)= 115.5V
i = 5sin(314t 90°) = 5sin(314×0.00333 90°)
= 5sin(150°)= 2.5A
可见，当两个同频率正弦量的计时起点变化时，各自相位将
发生变化，但其相位差不变。说明初相位的大小与计时起点
的选择有关，而相位差与计时起点的选择无关。
3.1.3 正弦量的有效量



利用电流的热效应来确定电流的大小。
在热效应方面，交流电流与直流电流(i与I)是等效的，直流
电流I的数值可以表示交流电流i的大小，于是把这一特定的
数值I称为交流电流i的有效值。用大写英文字母I表示交流
电流的有效值，和直流电流的表示一样。
根据交流电流有效值的定义，交流电流i的有效值为
1 T 2
i
d
t
I=

T 0
(3-8)
可见，交流电流的有效值也称为方均根值。其适用于周期性
变化的物理量，但不能用于非周期性物理量。

若i为正弦交流电流，即 i = Imsin t，则
I




Im
2
 0.707 I m
I m  2I
可见，正弦交流电流的有效值等于最大值的 1/ 2 倍或
0.707倍。同理，正弦交流电压、正弦交流电动势的有效值
均为各自最大值的0.707倍 。
一般所指的正弦电流、电压或电动势的大小，都是指的有效
值。例如，交流电流表和电压表测出的值是有效值，电气设
备铭牌上标注的额定值也是有效值。
我国的交流电源电压称为工频电压，它的有效值为220 V、
频率为50Hz。
有效值、频率、初相这3个参数也可以合在一起叫做正弦交
流电的三要素 。
任务二 正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法是线性电路正弦稳
态分析的一种简便而又有效的方法。
该方法可以将繁琐的三角函数运算进行
简化，从而能够方便正弦电流电路的分析
运算，这需要运用复数来实现。
任务二 正弦量的相量表示法

3.2.1 复数及其运算

3.2.2 正弦量的相量表示法
3.2.1 复数及其运算
1. 复数的概念
在直角坐标系中，以横轴为实数轴，用+1表示，纵
轴为虚数轴，用+j表示，这样就组成了复平面，复数
可以作为一个点A(a，b)表示在复平面上 ，如图的复
数为A = a + jb。
图3.3 复数在复平面上的表示
一个复数A有以下4种表达式。
1) 代数形式
A = a + jb
式中， a叫做复数A的实部，b叫做复数A的虚部。
2）三角函数式
A=a+jb = A (cos jsin)
式中，A 叫做复数A的模，又称为A的绝对值， 叫做
复数A的辐角 。
3）指数形式
A =(cos jsin) =
4）极坐标形式
A=∠
Ae
j
从图中可以看出，复数A的实部a、虚部b与模 A 成
一个直角三角形。三者之间的关系为
A  a 2  b2
b
  arctan
a
a=
A cos
b=
A sin
注意：复数的4种形式均可以相互转换 。
例3-5 将下列复数转化为极坐标形式：
(1)Z1 = 5； (2) Z 2 = j3；
(3) Z3 = 16  j12
解：利用复数的代数形式，计算结果如下：
(1)
Z1= 5 = 5∠0
(2)
Z2=  j3 = 3∠90
(3)
Z3= 16  j12 = 20∠36.9
例3-6 将下列复数转化为代数形式：
(1)Z1= 50∠53.1；(2) Z2 = 10∠ 120。
解：利用复数的三角形式，计算如下：
(1)
Z1= 50∠53.1
= 50(cos53.1 + jsin53.1)
= 50(0.6 + j0.8)
= 30 + j40
(2)
Z2 = 10∠ 120
= 10(cos120  jsin120)
= 10( 0.5  j0.866)
=  5 j8.66
2. 复数的运算
（1）复数的加、减法运算。
复数的加、减法运算须采用代数形式进行。运算时，
应该把复数的实数部分与实数部分相加、减，虚数部
分与虚数部分相加、减。
（2）复数的乘法运算
复数的乘法运算既可以采用代数形式，也可以采用指
数形式(或极坐标形式)。
用指数形式比较方便 ，两个复数乘积的模值等于这两
个复数的模值的乘积，而其辐角等于这两个复数辐角
的和。
（3）复数的除法运算。
除法运算也有两种方法。
当用代数形式运算时，由于分母里出现了复数，为了使分
母为实数，必须在分子分母同乘上分母的共轭复数a2-jb2。
采用指数形式进行除法运算更具优越性。两个复数相除的
模值等于这两个复数的模值的相除，而其辐角等于这两个
复数辐角的差。
（4）复数的乘方运算。
类似于乘法运算，采用指数形式(或极坐标形式)运算才
方便。复数的乘方的模值等于这n个复数的模值的乘积，而
其辐角等于这n个复数辐角的和。
例3-7 已知 Z1= 4 +j3， Z2 = 6 – j8。 试求：
(1) Z1  Z2； (2) Z1  Z2； (3) Z1 · Z2；
(4)Z1 / Z2；(5) (Z1)2 。
解：(1) Z1 + Z2 = (4+ j3) + (6 – j8)
2
= 10  j5 = 11.18∠-26.6°
(2) Z1  Z2 = (4+ j3)  (6 – j8)
= 2 + j11 = 11.18∠100.3°
(3) Z1 · Z2 = (5∠36.9°)  (10∠-53.1 °)
= 50∠-16.2°
(4) Z1 / Z2 = (5∠36.9°)  (10∠-53.1°)
= 0.5∠90°
(5) (Z1)2 =(5∠36.9°)2 = 25∠73.8°
3.2.2 正弦量的相量表示法

复指数函数 A(t)= A e j(t  )
和一般复数不同，不仅是复数，而且辐角还是时间的函
数。


根据欧拉公式，一个复指数函数的虚数部分是一个正弦
函数，所以正弦量可以用上述复指数函数来描述，使正
弦量与其虚数部分一一对应起来。
有效值相量是以正弦量的有效值为模、初相角为辐角，
记为
I m j
I
e  Ie j  I 
2

在大写字母I上加小圆点来表示相量，既可以区分有效值
的表示，也可以与一般复数区分开来。
u  U m sin(t   )

类似的，设正弦电压

则其振幅相量和有效值相量分别为
U m  U m e j  U m 
U

Um
2
e j  Ue j  U 
通常简称的相量表示法都是指有效值相量的表示方法，
因为在实际应用中较多涉及的是正弦量的有效值。
例3-8 请写出正弦量u = 311sin(314t 30° ) V，
i = 4.24sin(314t 45°) A 相量形式。
解：(1) 正弦电压u的有效值为
U = 0.7071  311 = 220 V
初相=30°
所以其相量为 U  U   22030 V
(2) 正弦电流i的有效值为
I = 0.7071  4.24 = 3 A
初相=-45°
所以其相量为 I  I   3  45 A
例3-9 请写出下列正弦相量的瞬时值表达式，设角频
率为：
(1)
U  120  37 V
(2)
I  560 A
解：(1)
(2)
；
。
u  120 2 sin(t  37) V
i  5 2 sin(t  60) A
例3-10 已知 i1  3 2 sin(t  30) ，i2  4 2 sin(t  60) 。
试求：i1  i2
解：电流i1、i2对应的相量形式为
I1  3  30  3(cos30  jsin 30)  (2.598  j1.5)
I 2  4  60  4(cos 60  jsin 60)  (2  j3.464) 
复数的加法运算为
I1  I 2  4.598  j1.964  5  23.1
总电流的瞬时表达式为
i1  i2  5 2 sin(t  23.1)
相量图如图3.4所示。
图3.4 例3-10相量图
任务三 单一参数的交流电路
电阻元件、电感元件和电容元件都是构成电
路模型的理想元件，前者是耗能元件，后两者是
储能元件。在直流稳态电路中，电感元件可视为
短路，电容元件可视为开路，只讨论电阻对电路
的阻碍作用。但在正弦交流电路中，这3种元件将
显现它们各自不同的电路特性，所以必须先讨论
单一元件在正弦电路中的特性。
任务三 单一参数的交流电路

3.3.1电阻元件电路

3.3.2电感元件电路

3.3.3电容元件电路
3.3.1 电阻元件电路
只含有电阻元件的交流电路叫做纯电阻电路，如
含有白炽灯、电炉、电烙铁等的电路。
1. 交流电路中的电阻元件
电阻就是表征导体对电流呈现阻碍作用的电路
参数。对于金属导体，可用下式计算：
R=
l

s
2. 电阻电流与电压的关系
1)
电阻电流与电压的瞬时值关系
如图3.5，电阻与电压、电流的瞬时值之间的关系服
从欧姆定律 。设加在电阻R上的正弦交流电压瞬时值为
u  U m sin  t
则
i
u Um

sin( t )  I m sin( t )
R
R
图3.5 纯电阻电路
2）电阻电流与电压的有效值关系
电压、电流的有效值关系又叫做大小关系 。
U
正弦交流电压和电流的振幅之间满足欧姆定律 ，为： I 
R
两边同时除以，即得到有效值关系： I  U m
m
R
可见，电阻元件上电压和电流成线性关系。
3）电阻电流与电压的相位关系为同相
4）电阻电压与电流的相量关系
U  IR
上式又叫做欧姆定律的相量形式 。
其波形图和相量图分别如图3.6(a)、
3.6(b)所示。
图3.6 电阻电压与电
流的波形图与相量图
3. 功率
1)
瞬时功率
瞬时功率是电路在任一瞬间所吸收或发出的功率，用小写
字母p表示。在关联参考方向下，瞬时功率为正，表明外电
路从电源取用电能，电路在消耗电能。
在纯电阻电路中，由于电压与电流同相，即相位差  = 0
则瞬时功率
pR  ui  U m sin  tI m sin  t  UI (1  cos 2 t )
可见，电阻的瞬时功率由两部分组成，第1部分是常数UI，
第2部分是幅值为UI，并以角频率2 随时间变化的交变量

UI cos 2t
2) 有功功率
有功功率即平均功率，是瞬时功率在一个周期内的
平均值，用大写字母P表示。有功功率反映了电路在
一个周期内消耗电能的平均速率。
2
1 T
U
P   0 pdt  UI  RI 2 
T
R
可见，纯电阻电路消耗的平均功率的计算公式与
直流电路中功率的计算公式相同，表明了电阻元件上
实际消耗的功率。其SI单位为瓦特(Wt)或简写为(W)。
电阻元件又称为耗能元件。
例3-11 在纯电阻电路中，已知电阻R = 22 ，正弦交
流电压u = 311sin(314t +60° ) V，求通过该电
阻的电流大小及功率，并写出电流的解析式。
解：大小即有效值为
I
功率为
U Um
311
14.14



 10A
R
2R
2  22
2
P  I 2 R  102  22  2.2kW
电流的解析式为
i
u 311sin(314t  60)

 14.14sin(314t  60) A
R
22
3.3.2 电感元件电路
只含有电感元件的交流电路叫做纯电感电路，如只含有理想
线圈的电路。
1. 交流电路中的电感元件
1)
感抗的概念
反映电感对交流电流阻碍作用程度的电路参数叫做电感电抗，
简称感抗，用
表示。
XL
2)
感抗的因素
纯电感电路中通过正弦交流电流时，呈现的感抗为
X L   L  2fL
式中，L是线圈的自感系数，简称自感或电感，电感的SI单
位是亨[利](H)或简写为亨(H)


线性电感：又叫作空心电感，线圈中不含有导磁介质，
电感L是一常数，与外加电压或通电电流无关。
非线性电感：线圈中含有导磁介质，电感L不是常数，
是与外加电压或通电电流有关的量，例如铁芯电感。
本书中只讨论线性电感元件。
3）电感线圈在电路中的作用
低频扼流圈： “通直流、阻交流”
高频扼流圈： “通低频、阻高频”
2. 电感电流与电压的关系
1)电感电流与电压的瞬时值关系
如图3.7所示的纯电感电路，
设正弦电流为 i  I m sin t
根据电磁感应定律及基尔霍夫定律
图3.7 纯电感电路
得出
uL  eL  L
di
dt
则
d( I m sin t )
uL  L
  LI m cos t   LI m sin(t  90)  U Lm sin(t  90)
dt
2) 电感电流与电压的有效值关系
由上式可知，电感电流与电压的大小关系为
U
U
I m  Lm  Lm
L
XL
或者
UL
I
XL
显然，感抗与电阻的单位相同，都是欧姆()。
感抗只是电感上电压与电流的幅值或有效值之比，而
不是其瞬时值之比，瞬时电压与瞬时电流不是线性比
例关系。
3) 电感电流与电压的相位关系
在相位上，电感电压比电流超前90°(或 /2)，即电
感电流比电压滞后90°。
4)电感电压与电流的相量关系
UL  ULe
j u
 X L Ie
j( i  90 )
j90
 X L e Ie j  j X L I  j LI
i
可见，电感电压的有效值等于电流有效值与感抗的乘积，
在电流相量上乘以算子j，即向空间逆时针方向旋转，
表示电压比电流超前 90°。
3. 功率
1)
瞬时功率
在纯电感电路中，由于电压比电流超前，即电压与电流
的相位差  =90° 则
p  uLi  U Lm sin( t  90) I m sin  t  U L I sin 2 t
可见，电感瞬时功率的幅值为 U L I ，角频率为 2 。
2)
有功功率
1 T
1 T
P   0 pdt   0 U L I sin 2 tdt  0
T
T
可见，电感在一个周期内的平均功率为零，表明电感元
件是一个储能元件，在电路中不消耗功率(能量)。
3) 无功功率
电感上瞬时功率的最大值称为无功功率，即
2
U
QL  U L I  I 2 X L  L
XL
电感的无功功率用字母 QL 表示，单位为乏(var)或
千乏(kvar)。电感在电路中只与电源之间进行着可
逆的能量交换，用无功功率来表示这种能量交换的大
小。
例3-12 已知电感L =80mH， uL  311sin(314t  60) V
试求：(1) 感抗 X L ；(2) 电感上的电流I；(3) 电流瞬时值i。
解：(1)电路中的感抗为
X L   L  314  0.08  25
(2)电感上的电流为
I
(3)电流瞬时值为
UL
311

 8.8
XL
2  25
由于电感电流i比电压 U L 滞后90°，所以
i  8.8 2 sin(314t  30)
3.3.3 电容元件电路
只含有电容元件的交流电路叫做纯电容电路，如只含有电容
器的电路。
1. 交流电路中的电容元件
1)
容抗的概念
反映电容对交流电流阻碍作用程度的电路参数叫做电容电抗，
XC
简称容抗。用
表示。容抗按下式计算
1
1
XC 

C 2fC
式中，C是电容器的电容量，简称电容，电容的SI单位是法
[拉](FL)或简写为法(F)。
2)
电容在电路中的作用
隔直电容器：用于“通交流、隔直流”，
高频旁路电容器：用于“通高频、阻低频”，将高频电
流成分滤除。
2. 电容电流与电压的关系
1)电容电流与电压的瞬时值关系
如图3.9所示为纯电容电路
设正弦电压为 uC  U Cm sin  t
duC
根据
iC
dt
得出
图3.9 纯电容电路
d(U Cm sin  t )
iC
 CU Cm cos  t  CU Cm sin( t  90)
dt
 I m sin( t  90)
2)
电容电流与电压的有效值关系
由上式可知，电容电流与电压的大小关系为
I m  CU Cm 
U Cm
XC
或者
I
UC
XC
显然，容抗与电阻的单位相同，都是欧姆()。
容抗只是电容上电压与电流的幅值或有效值之比，而不
是其瞬时值之比，瞬时电压与瞬时电流不是线性比例关
系。
3)
电容电流与电压的相位关系
在相位上，电容电流比电压超前90°(或 /2)，即电
容电压比电流滞后90°。
4) 电容电压与电流的相量关系
UC  UCe
j u
 X C Ie
j( i  90 )
 X Ce
 j90
Ie
j i
I
I
  j XCI   j

 C j C
可见，电容电压的有效值等于电流有效值与容抗的乘
积，在电流相量上乘以算子(-j)，即向空间顺时针方
向旋转，表示电压比电流滞后90°。
3. 功率
1)
瞬时功率
在纯电容电路中，由于电流比电压超前，即电流与电
压的相位差  =90° 则
p  uCi  U Cm sin  tI m sin( t  90)  U C I sin 2 t
可见，电容瞬时功率的幅值为 U C I ，角频率为 2 。
2)
有功功率
1 T
1 T
P   0 pdt   0 U C I sin 2 tdt  0
T
T
可见，电容在一个周期内的平均功率为零，表明电容
元件是一个储能元件，在电路中不消耗功率(能量)。
3) 无功功率
电容上瞬时功率的最大值称为无功功率，即
2
U
QC  U C I  I 2 X C  C
XC
电容的无功功率用字母 QC 表示，单位为乏(var)
或千乏(kvar)。电容在电路中只与电源之间进行
着可逆的能量交换，用无功功率来表示这种能量交
换的大小。
例3-13 已知一12.7F的电容，外加正弦交流电压
uC  220 2 sin(100t  30) V，试求：(1) 容抗 X C ；(2) 电容
上的电流大小 I ；(3) 电流瞬时值 i 。
C
C
解：(1)
电路的容抗为
XC 
(2)
(3)
1
1

 250
6
C 314  12.7  10
电容上的电流为
电流的瞬时值
U C 220
IC 

 0.88
X C 250
由于电容电流比电压超前90，则
iC  0.88 2 sin(100t  120) 
任务四 电阻、电感和电容串联的交流电路

3.4.1电压和电流的关系

3.4.2功率关系
3.4.1 电压和电流的关系
1. RLC串联电路的电压和电流关系
由电阻、电感、电容相串联构成的电路叫做RLC串联电路。
如图3.11(a)所示，电路中的各个元件经过相同电流。
选取电压电流为关联参考方向，设电路中电流为参考正弦量，
则根据R、L、C的基本特性，可得各元件的两端电压依次为
uR  RI m sin  t  U Rm sin  t
uL  X L I m sin( t  90)  U Lm sin( t  90)
uC  X C I m sin( t  90)  U Cm sin( t  90)
图3.11 RLC串联电路及相量图
根据基尔霍夫电压定律(KVL)，在任一时刻总电压u的
瞬时值为
u  uR  uL  uC
则相量形式为
U  UR  UL  UC
从图3.11(c)中可以看出，电压相量 U 、U R 以及U L  U C
正好形成一个直角三角形，这个直角三角形被称为电压
三角形。三个电压的关系如下：
U  U R2  (U L  U C )2  U R2  U X2
式中，U X  U L  U C 称为电抗电压，表示电感与电容串联
后的总压降，其正、负以及零值反映电路的不同工作性
质。
从电压三角形中还可以得出总电压与电流之间的相位差，
即
U  UC
U
  arctan L
 arctan X
R
UR
 角的正负表示总电压与电流的相位关系。和电抗电
压一样，都能反映电路的不同工作性质。
2. RLC串联电路的阻抗
根据各元件的电压与电流的相量关系，可得
U  RI  j X L I  j X C I  [R  j( X L  X C )]I  ZI
U
Z
I
上式就是正弦交流电路相量形式的欧姆定律。
其中
Z  R  j( X L  X C )  R  j X  Z e j
式中， Z 称为电路的复阻抗，单位为欧姆(Ω)。
X  X L  X C 称为电抗，单位也是欧姆(Ω)。
Z  R2  X 2 为复阻抗的模值，包含了电阻和电抗，
又称为阻抗。
  arctan
X  XC
X
 arctan L
R
R
为复阻抗Z的辐角，又称
阻抗角，其大小只决定于电路参数即电阻和电抗，而与电路
的电压和电流无关。
可以看出，R、X 和 Z 也组成直角三角形，称其为阻抗
三角形。比较图3.13所示阻抗三角形和图3.14电压三角形，
不难发现，阻抗三角形与电压三角形互为相似三角形。
从复阻抗的表达式中可以看出，R、X和 Z 也组成直角
三角形，称其为阻抗三角形。比较图3.13所示阻抗三角
Z
形和图3.14电压三角形，不难发现，阻抗三角形与电压
三角形互为相似三角形。对应边之间的倍数关系正好为电
流I的大小。即
UR
R
I
X
图3.13RLC串联电路的阻抗三角形
UX
I
U
Z 
I
图3.14 RLC串联电路的电压三角形
由阻抗三角形和电压三角形，可以求出总电压与电流的
相位差为
  arctan
UL  UC
X  XC
X
 arctan L
 arctan
UR
R
R
3. RLC串联电路的性质
从上式可以看出，电抗X的正负决定阻抗角的正负，
而阻抗角的正负反映了总电压与电流的相位关系。因
此可以根据阻抗角 为正、为负、为零的3种情况，将
电路分为3种性质。
感性电路：当X > 0时，即X L > X C， > 0，
UL > UC，总电压u比电流i超前，表明电感的作用大
(1)
于电容的作用，电抗是电感性的，称感性电路；
(2) 容性电路：当X < 0时，即X L< X C， < 0，
UL < UC，总电压u比电流i滞后||，电抗是电容性的，
称容性电路；
(3) 电阻性电路：当X = 0时，即X L = X C， = 0，
UL = UC，总电压u与电流i同相，表明电感的作用等于
电容的作用，达到平衡，电路阻抗是电阻性的，称电阻
性电路。当电路处于这种状态时，又叫做谐振状态(3.7
节)。
需要注意的是，复阻抗不是相量，不是时间的正弦函数。
例3-14 已知RLC串联电路中， 交流电源电压u=
311sin(314t -30°)V， R = 30  ， L = 445
mH，C = 32F。试求：(1) 电路中电流的瞬时表达i；
(2) 电路中电压与电流的相位关系，并分析性质；(3)
各元件上的电压UR、UL、UC。
解：(1)求电路中的电流I
因为
X L   L  314  445 103  140
XC 
1
1

 100
6
C 314  32 10
Z  R 2   X L  X C   50
2
所以
U
311
I 
 4.4A
Z
2  50
(2)
电路中电压与电流的相位关系
  arctan
XL  XC
40
 arctan  53.1
R
30
即总电压比电流超前53.1，电路呈感性。
由此，得出电流的瞬时表达式为
i  4.4 2 sin(314t  83.1)A
(3)
各元件电压的有效值
UR = RI = 30×4.4 = 132V
UL = X LI = 140×4.4 = 616V
UC = X CI = 100×4.4 = 440V
从计算结果发现，电感电压、电容电压都比电源电压高，
在交流电路中各元件上的电压可以比总电压大，这是交
流电路与直流电路特性的不同之处。
例3-15 在RL串联电路中，已知：R = 4 ，L =
9.6mH，设外加电压 u = 311sin(314t  60)V。
试求：电阻和电感上电压的瞬时值。
解：感抗为
X L   L  314  9.6 103  3
电路的等效复阻抗为
Z = R + j(XL －XC )= R + jXL = 4 + j3
= 5∠36.9 
正弦交流电压u的相量为
U  220∠60 V
电路中电流相量为
 220
U
(∠60－36.9)= 44∠23.1 A
I  
Z
5
则电阻和电感上的电压相量分别为
U R  RI 4×44∠23.1
= 176∠23.1 V
U L  ZL I  jX L I  3×44(∠23.1+∠90)
= 132∠113.1 V
电阻和电感上的电压瞬时值分别为
uR  176 2 sin(314t + 23.1) V
uL  132 2 sin(314t + 113.1) V
3.4.2 功率关系
1. 瞬时功率p
设正弦交流电路电流i为参考正弦量，正弦交流电路的总电压
u与总电流i的相位差(即阻抗角)为 ，则电压与电流的瞬时
值表达式为
i = Imsin(ωt)
则瞬时功率为
u = Umsin( ωt )
p = ui = UmImsin(ωt  )sin(ωt)
因为
sin(ωt  ) = sin(ωt)cos  cos(ωt)sin
所以
p  U m I m [sin( t ) cos  cos( t ) sin  ] sin( t )
 U m I m [sin 2 ( t ) cos  sin( t ) cos( t ) sin  ]
1  cos(2 t )
sin( 2 t )
 UmIm
cos  U m I m
sin 
2
2
 UI cos [1  cos(2 t )]  UI sin  sin( 2 t )
可见，正弦交流电路的瞬时功率不再是正弦波形，其
第1项和电压电流相位差  的余弦值cos 有关，而
第2项和电压电流相位差  的正弦值sin 有关 。
2. 有功功率P
前面已经叙述过，有功功率即平均功率，则正弦电路
在一个周期内的平均功率为
1 T
1 T
P   0 pdt   0 [UI cos  (1  cos 2 t )  UI sin  sin 2t ]dt
T
T
1 T
1 T
  0 [UI cos  (1  cos 2 t )]dt   0 [UI sin  sin 2 t ]dt
T
T
 UI cos 
可见，瞬时功率
P  UI cos  1  cos(2t )  UI sin  sin(2t )
第1项在一个周期内的平均值为UI cos ；
第2项在一个周期内的平均值为零。
则瞬时功率P在一个周期内的平均值(即有功功率)为
P = UI cos
由上式知，正弦交流电路的有功功率与阻抗角的余弦cos
有关。cos是计算正弦交流电路功率的重要因子，称
为功率因数，用λ表示。
3. 无功功率Q
在瞬时功率 P  UI cos  1  cos(2t )  UI sin  sin(2t ) 中，
第2项表示交流电路与电源之间进行能量交换的瞬时功率，
|UIsin |是这种能量交换的最大功率，并不代表电路实
际消耗的功率。
定义正弦交流电路的无功功率为 Q  UI sin   QL  QC
无功功率用大写字母Q表示，单位是乏尔，简称乏(var)。
当  > 0时，Q > 0，
>
，电路呈感性；
当  < 0时，Q < 0， QL < QC ，电路呈容性；
当  = 0时，Q = 0， QL = QC ，电路呈电阻性。
QL
QC
4. 视在功率S
在正弦交流电路中，电源电压有效值与总电流有效值的
乘积(UI)叫做视在功率，用大写字母S表示，即
S = UI
视在功率的单位是伏·安(V·A)或千伏·安(kV·A)，代表
了正弦交流电源向电路提供的最大功率，又称为电源的
功率容量。
因此
P = Scos 
Q = Ssin 
显然，有功功率P、无功功率Q和视在功率S三者之间构
成直角三角形关系，这个直角三角形称为功率三角形。
即
S  P2  Q2
Q
  arctan
P
图3.15 功率三角形
此直角三角形称为功率三角形，如图3.15
比较图3.16中的阻抗三角形，电压三角形以及功率三
角形可得出：这三个直角三角形之间互为相似三角形，
比如，阻抗三角形与功率三角形的对应边之间的倍数关
系正好为电流的平方。即
P
R 2
I
Q
X 2
I
S
Z  2
I
图3.16 阻抗三角形、电压三角形、功率三角形的比较
对于正弦交流电路而言，功率总是守恒的，消耗在电路中
总的有功功率等于电路各部分有功功率之和，总的无功功率
等于电路各部分无功功率的代数和。因为消耗的有功功率总
是为正，而电感和电容所储放的能量有正有负。即
n
P   Pk
k 1
n
Q   Qk
k 1
需要注意的是，总的视在功率并不等于电路各部分视在功率
之和。
任务五 阻抗的串联和并联

3.5.1阻抗的串联

3.5.2阻抗的并联
3.5.1 阻抗的串联
分析研究的电路常常是若干个复阻抗的串、并、混联起来的，
所以搞清楚复阻抗的串联、并联的特性对于电路的研究分析很
有帮助。
如图3.17所示复阻抗串联电路。根据基尔霍夫电压定律KVL，
总电压为 U  U1  U 2  U3  IZ1  IZ2  IZ3  (Z1  Z2  Z3 )I  ZI
Z  Z1  Z 2  Z3
可见，当n个复阻抗Z1、Z2、…、Zn
串联时，可以等效为一个复阻抗，
即等效复阻抗Z等于各个复阻抗之和。
Z = Z1  Z2  …  Zn
图3.17 复阻抗串联电路
3.5.2 阻抗的并联
如图3.18所示复阻抗并联电路。根据基尔霍夫电流定律KCL，
总电流为
I  I1  I 2  I 3 
U U U 1 1 1
      U  ZU
Z1 Z 2 Z3  Z1 Z 2 Z 3 
1 1
1
1
 

Z Z1 Z 2 Z 3
图3.18 复阻抗并联电路
可见，当n个复阻抗Z1、Z2、…、Zn并联时，也可以等效为
一个复阻抗，即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数
之和。
1
1
1
1



Z Z1 Z 2
Zn
为便于表达和计算阻抗并联电路，定义复阻抗Z的倒数叫
做复导纳，
1
用大写字母Y表示，即
Y
Z
Y  Y1  Y2 
可见
 Yn
即几个并联复导纳的等效导纳Y等于各复导纳之和。
由此，欧姆定律的相量形式可表达为如下两种形式
U  ZI
或
I  YU
当只有两个复阻抗并联时，如图3.19所示，可以不将复阻
抗化为复导纳，可直接用复阻抗进行运算，其等效复阻抗为
Z
此时两支路电流分别为
I1 
Z2
I
Z1  Z 2
I2 
Z1
I
Z1  Z 2
Z1Z 2
Z1  Z 2
图3.19 两个复阻抗的并联
在正弦交流电路中，求解串联或并联的等效复阻抗的方法与
求解串联或并联的等效电阻的方法相似。只不过复阻抗的计
算需要按照复数运算法则进行。
例3-16 在图3.19中，两个复阻抗分别是Z1 = j10，
Z2= (10  j10)，交流电源 u  220 2 sin( t ) V ，试求：
电路中的总阻抗Z及电流 I 、 I1 和 I 2 。
解：由Z1= j10  可得
Z1  102  0  10
1  90
由Z2 = (10  j10)  可得
10
2
2


arctan
  arctan1  45
Z 2  10  10  14.14
2
10
即
Z1  j10  1090
可以用两种方法求总电流
Z 2  10  j10  14.14  45
(1)
直接由 Y  Y1  Y2 可得并联后的等效复阻抗为
Z
Z1Z 2
1090  14.14  45

 14.1445
Z1  Z 2
( j10)  (10  j10)
于是总电流的相量
(2)
1 1
1
 
Z Z1 Z 2
I
U
2200

 15.6  45
Z 14.1445
利用进行计算
1
1

 0.1  90   j0.1S
Z1 1090
1
1
Y2 

 0.0745  (0.05  j0.05)S
Z 2 14.14  45
Y1 
于是总电流的相量
Y  Y1  Y2  ( j0.1)  (0.05  j0.05)  (0.05  j0.05)  0.05 2  45S
因此，各分支电流相量分别为
I  YU  0.05 2  45 2200  15.6  45
I1 
Z2
14.14  45
I
 15.6  45  22  90   j22
Z1  Z 2
(j10)  (10  j10)
I2 
Z1
j10
I
 15.6  45  15.645
Z1  Z 2
(j10)  (10  j10)
任务六 功率因数的提高

3.6.1 功率因数的概念及
功率因数提高的意义

3.6.2 功率因数的提高
3.6.1 功率因数的概念及
功率因数提高的意义
1、功率因数的概念
阻抗角的余弦叫做正弦交流电路的功率因数，用字母表示，
即  = cos
从功率三角形中可以得出
P
 = cos =
S
可见，正弦交流电路的功率因数等于有功功率与视在功率的比
值。
因此，电路的功率因数能够表示出电路实际消耗功率占电源功
率容量的百分比。
2、功率因数提高的意义




在交流电力系统中，负载多为感性负载 。在交流电路中，
负载从电源接受的有功功率P = UIcos，显然与功率因
数有关。功率因数过低会引起不良后果。
负载的功率因数低，使电源设备的容量不能充分利用。
在一定的电压U下，向负载输送一定的有功功率P时，负载
的功率因数越低，输电线路的电压降和功率损失越大。
常用的感应电动机在额定负载时约为0.83～0.85 。应设
法提高这类感性负载的功率因数，以降低输电线路电压降和
功率损耗。
3.6.2 功率因数的提高
提高感性负载功率因数的最简便的方法，是用适
当容量的电容器与感性负载并联。这样就可以使
电感中的磁场能量与电容器的电场能量进行交换，
从而减少电源与负载间能量的互换。在感性负载
两端并联一个适当的电容后，对提高电路的功率
因数十分有效。
如图3.20所示，线路总电流等于负载电流与电容支路电流
的相量和，从图(b)可知，由于电容支路电流超前端电压
90°，这个超前的无功电流部分抵消了感性负载中滞后的
无功分量，从而减小总电流中的无功分量，使总电流比负
载电流小，功率因数角也减小了，
即  Ld ，cos   cos Ld
，提高了整个电路的功率因数。
图3.20 提高功率因数的方法
借助相量图分析可以得到：
对于额定电压为U、额定功率为P、工作频率为f的感性
负载，电容器补偿的无功功率为
所需并联的电容为
QC  P(tan Ld  tan  )
P
C
(tan L d  tan  )
2
2fU
例3-17 已知某单相电动机(感性负载)的额定功率P =
1.2kW，额定电流I = 10A，工频电压U = 220V。
试求：把电路功率因数  提高到0.9 时，应并联电容
器的容量。
解：(1)
视在功率S = UI = 220×10 = 2.2kVA
电动机的功率因数
cos L d
P 1200
 
 0.545
S 2200
tan L d  tan(arccos 0.545)  tan 57  1.54
(2)把电路功率因数提高到
 = cos = 0.9时
tan   tan(arccos0.9)  tan 25.8  0.484
则应并联电容器的电容为
P
C
(tan L d  tan  )
2
2fU
1200

(1.54  0.484)
2
314  220
 8.28 F
任务七 电路的谐振





具有电阻、电感和电容的正弦交流电路，该类电路性质可以是电感性
的，也可以是电容性的，还可以是电阻性的，而电阻性的状态就是谐
振状态。
谐振现象是正弦交流电路中的一种特殊现象，谐振现象一方面在电子
技术与工程技术中有着积极广泛的应用，另一方面在某些系统中若发
生谐振可能会带来严重危害，所以有必要分析和研究谐振现象。
工作在谐振状态下的电路称为谐振电路。
谐振电路最为明显的特征是整个电路呈电阻性，即电路的等效阻抗为
Z0 = R，总电压u与总电流i同相。
根据发生谐振的电路连接方式的不同，谐振可分为串联谐振和并联谐
振两种 。
任务七 电路的谐振

3.7.1 串联谐振

3.7.2 并联谐振
3.7.1 串联谐振
在RLC串联电路中发生的谐振现象称为串联谐振。
如图3.21所示。
1. 谐振条件与谐振频率
在RLC串联电路中，外加正弦交流电压为 u  2U sin(t   u ) ，
设电流为参考正弦量，则电路的复阻抗为
Z  R  j( X L  X C )  R  j( L 
1
)
C
发生串联谐振的条件是复阻抗的虚部为零即
1
0 L 
0
0C
图3.21 RLC串联谐振电路
发生谐振时的角频率0 为
谐振频率为
0 
1
LC
1
f0 
2 LC
可见，串联谐振频率fo只决定于电路中的电感L与电
容C，与串联电阻R无关。L和C是电路中的固有结
构参数，所以通常又称谐振频率fo为固有频率。
2. 串联谐振电路的特点
1)
阻抗最小，电路呈电阻性
当外加电源的频率 f  f 0 时，电路发生谐振，由于 X L  X C ，
则此时电路的阻抗达到最小值，称为谐振阻抗 Z 0 ，即
Z 0  R  j( X L  X C )  R
2)
电流达到最大值
谐振时电路中的阻抗为最小值，在外加电压不变的情况下，
电流将达到最大值，称之为谐振电流 I 0 ，即
U U
I0 

Z0 R
串联谐振电路中的电阻对谐振频率没有影响，但可以调节谐
振电流。
3) 谐振时的感抗与容抗
电路发生谐振时，感抗与容抗相互抵消，电抗等于零，
然而此时的感抗或容抗并不等于零，定义串联谐振时的感
抗或容抗为特性阻抗，用符号  表示，单位为欧姆()。
  0 L 
1
L

0C
C
可见，与谐振频率无关，和谐振频率一样只决定于电路
参数L和C 。
4)
电感L与电容C上的电压
串联谐振时，电感L与电容C上的电压相位相反，但大
小相等，即
U L 0  U C 0  X L 0 I 0  X C 0 I 0  0 L
U
1 U 

 U
R 0C R R
串联谐振电路的特性阻抗与串联电阻值之比叫做串联
谐振电路的品质因数，用大写字母Q表示(注意不要和
无功功率混淆)，即
 0 L
1
Q 

R
R
0 CR
所以有
U L0  U C0  QU
可见，当RLC串联电路发生谐振时，电感L
与电容C上的电压大小都是外加电压U的Q倍，
当Q＞＞1时，会在电感和电容两端出现远远
高于外加电压U的高电压，称为过电压现象，
所以串联谐振电路又叫做电压谐振电路。在
实际电路中，Q值可以高达几百，例如收音
机的磁性天线回路就是一个串联谐振电路，
就是利用串联谐振是电压谐振的这一特点来
提高微弱信号的幅值。但是在电力系统中，
应该避免出现谐振现象，电感和电容两端的
高压会破坏系统的正常工作。如右图所示为
串联谐振的电压相量图。
图3.22 串联谐
振的电压相量图
5) 串联谐振电路的能量
RLC串联电路所储存的总能量为
1
1
W  Li 2  CuC2
2
2
当电路发生串联谐振时，电路中的电流达到最大值，
即
U
I0 
R
电容上的电压为外加电压的Q倍，即 U C0  QU
又因为
总能量为
W
Q
1 L
R C
1 U 2 1
1
L 2 U 2 1
1
1
L( )  C (QU )2  C (
) ( )  CQ 2U 2  CQ 2U 2  CQ 2U 2  CQ 2U 2  常数
2 R
2
2
C R
2
2
2
从上式可以发现，串联谐振电路中电感元件储存的磁
场能量与电容元件储存的电场能量相等，表明在电感
元件和电容元件之间进行着周期性的能量交换。谐振
电路中储存的总能量为一常数。在电容量一定，外加
电压不变的情况下，总能量与品质因数的平方成正比。
品质因数Q越大，谐振电路储存的总能量就越大，谐振
现象就越明显。由此可见，品质因数Q是能够反映谐振
电路谐振程度的一个物理量。
3. 串联谐振的应用
串联谐振电路在无线电工程中应用较多。常用来对交流
信号的选择，例如接收机中用来选择电台信号，即调
谐。
其作用是将需要收听的信号从天线所收到的许多不同频
率的信号中选出来，而其他未被选中的信号则尽量地
加以抑制。
在RLC串联电路中，
I

I0
1
1 Q2 (
 0 2

)
0 
由上式可以作出RLC串联电路
的谐振曲线，如图3.23所示，
该曲线反映了电流大小与频率的
关系。从曲线上可以看出，当信
号频率等于谐振频率时，电路发
生串联谐振，电路中的电流达到
最大值，而稍微偏离谐振频率的
信号电流则大大减小，说明电路
具有明显的选频特性，简称选择
性。谐振曲线越尖锐，表明选择
性越好。
图3.23 RLC串联电路
的谐振曲线

从不同品质因数的谐振曲线可以发现，品质因数Q值越
大，选择性越好，电路选择性的好坏取决于对非谐振
频率信号的抑制能力。

但在实际应用中，不能片面强调Q值越大越好，Q值越
大，谐振电路允许通过信号的频率范围就会减小。通
常规定电流有效值I等于最大值I0的0.707倍所对应
的频率范围(f1 ～ f2)叫做串联谐振电路的通频带宽
度(又叫做频带宽度)，简称通频带，用符号 f表示，
单位也是赫兹(Hz)。
可以得出，串联谐振电路的通频带为
f  f 2  f1 
f0
Q
图3.24 不同品质因数的谐振曲线
上式表明，通频带与品质因数成反比关系，品质因数Q值越大，
说明电路的选择性越好，但通频带较窄，曲线较尖锐；反之，
品质因数Q值越小，说明电路的选择性越差，但通频带较宽，
曲线较平坦；也就是说品质因数Q的大小可以反映选择性的好
坏，选择性与频带宽度是互为相反关系的两个物理量。
例3-18 设在RLC串联电路中，L = 500H，C =
20pF，R = 50，外加电源电压为
u  10 2 sin(2ft ) V 。
(1)
求电路的固有谐振频率。
(2) 当电源频率等于固有频率时，求电路中的谐振
电流、电感L与电容C上的电压。
(3) 如果电源频率增加10%时，电路还发生谐振
吗？此时电路的电流为多少？
解：(1)电路的固有频为
f0 
1
2 LC

1
2 500  10  20  10
6
12
 1.59MHz
(2)谐振时电路参数为
U 10
I 0    0.2
R 50
1 L 1 500  106
Q

 100
12
R C 50 20  10
U L 0  U C 0  QU  100  10  1000 V
(3)当电源频率增加10%时，此时感抗和容抗分别为
X L  2fL  2  3.14  1.59  106  (1  10%)  500  106  5492
XC 
1
1

 4552
6
12
2fC 2  3.14  1.59  10  (1  10%)  20  10
Z  R 2  ( X L  X C )2  502  (5492  4552) 2  941
I
U 10

 0.011
Z 941
可见，当电源频率偏离谐振频率时，电路的电流将大
大减小，电路当然不再谐振。
3.7.2 并联谐振
在具有R、L、C的并联电路中发生的谐振现象称为并联谐振。
图3.25 RLC并联谐振电路
1. RLC并联电路
如图3.25所示为RLC并联电路，当外加电压与电路电流同相位
时，电路发生并联谐振。
1)
谐振频率和谐振条件
并联电路的复导纳为
1 

R  j  L 
1
1
1
C 

Y 


2
1 
Z R  j( X L  X C )

1


2
R  j  L 
R  L 
C 

C 



1


R
L

C

  G  j( B  B )

j

C
L
2
2
2
 2 
1 
1 
1  


2
2
R  L 
R  L 
 R  L 

C 
C 
C  




发生并联谐振的条件是复导纳的虚部为零 Im[Y ]  0
即
0C 
发生谐振时的角频率为
0 
1
0
0 L
1
LC
由于 0
1
 2f 0，所以谐振频率为 f0  2 LC
由此可见，并联谐振频率和串联谐振频率一样，也只决定
于电路中的电感L与电容C，与并联电阻R无关，也称
为固有频率。
2)
并联谐振电路的特点
并联谐振时，电路的复导纳最小，电路呈电阻性 ，即Y0  G
端电压达到最大值，即
U0 
I I

Y G
定义并联谐振电路的品质因数为等效感纳与等效电导之比，
则有
1
C L
Q 0  0
R
R
可见，当RLC并联电路发生谐振时，电感L与电容C上的电流
大小都是输入电流I的Q倍，即支路电流是总电流的Q倍。
I L0  I C0  QI
当Q＞＞1时，会在电感和电容中出现远远高于总电流的过
电流，称为过电流现象，所以并联谐振电路又叫做电流谐
振电路。如图3.26所示为并联谐振的电流相量图。
参照串联谐振的分析方法，得出并联谐振电路的通频
带也为
f0
f 2  f1 
Q
图3.26 并联谐振的电流相量图
图3.27 并联谐振的谐振曲线
当电路发生并联谐振时，电路导纳最小，电流通过电
感或电容时在两端产生的电压最大，当信号频率偏离谐振
频率时，不发生谐振，导纳较大，电路两端的电压较小，
这样就起到了选频的作用，因此并联谐振回路也具有选频
特性，如图3.27所示为并联谐振的谐振曲线，电路的导纳
值越小，曲线越尖锐，选择性越好。
并联谐振时，电感元件储存的磁场能量与电容元件储
存的电场能量彼此互相交换，两种能量的总和为
W  WL  WC  LQ2 I 2  常数
读者可以参照对偶关系从串联谐振曲线获得并联谐振曲
线。
2. 电感线圈和电容的并联电路
在实际工程应用中，常采用的是实际电感与电容并联，
即实际电感是看成一只电阻R(线圈导线铜损电阻)与一个
理想电感L的串联组合，所以LC并联谐振回路是R、L串联
后，再与电容C并联，如图3.28所示。
Z
并联电路等效复阻抗为
当 L
j L
1
1


1 
1  j RC   2 LC (1  j RC   2 LC ) /j L RC 
 j  C  
L
L 

1
( R  j L)
R  j L
jC
Z

2
1
1

j

RC


LC
 ( R  j L)
jC
R 时，上式可以写成
Z
j L
1
1


1 
1  j RC   2 LC (1  j RC   2 LC ) /j L RC 
 j  C 
L
 L 

根据谐振的条件，令虚部为零，所以有 0C  1
0 L
并联谐振时的角频率和频率分别为
1
0 
LC
f0 
1
2 LC
由上式可见，并联谐振频率近似等于串联谐振频率。
并联谐振常应用在无线电工程和电子技术中。例如可以
利用并联谐振是导纳最低(即阻抗高)的特点来选择信号
或消除干扰。
例3-19 如图3.28所示的LC并联谐振电路，已知R = 10
，L = 80 H，C = 320 pF，谐振状态下总电流I =
20A，试求：该电路的固有谐振频率f0、品质因数Q以及
电感L支路与电容C支路中的电流。
解：
0 
1
1

 6.25 106 rad/s
LC
80 106  320 1012
0 6.25  106
f0  
 1MHz
2 2  3.14
0 L
6.25 106  80 106
Q

 50
R
10
I L0  I C0  QI  50  20 106  1mA
图3.28 电感线圈与电
容
的并联电路
任务八 非正弦周期信号电路分析

3.8.1 非正弦周期信号的分
解和合成

3.8.2 非正弦周期信号的平
均值、有效值和负载电路平均
功率
3.8.1 非正弦周期信号的分解和合成
通常，在生产实践中都采用的是正弦交流电。电路当中各
部分的稳态电压、电流都是同频率的正弦量。但在实际应用
和科研领域里，常常遇到这样的电压、电流，该类电流或电
压虽然作周期性变化，但不按正弦规律，称非正弦周期电流
或电压，如图3.29所示。
图3.29 几种非正弦周期电流
产生非正弦周期电流的原因有很多，通常有以下3种情况：
(1)采用非正弦交流电源。实验室常用的信号发生器，除了产生
正弦波信号，还能产生非正弦信号波，如矩形波，锯齿波、三
角波等。
(2)同一电路中具有不同频率的电源共同作用。电路中将会出现
不同频率信号的合成，从而改变原来的正弦规律。
(3)电路中存在非线性元件。如二极管的整流电路，三极管的交
流放大电路，即使是正弦电源作用，电路也会产生非正弦周期
的电压、电流信号，如图3.30所示的二极管整流电路。
此外，无线电、通讯设备所传递的信号都是由语言、音乐、图像
等转换过来的电信号，其波形都不是正弦波。在自动控制及电
子计算中大量使用的脉冲信号，也都不是正弦信号。
图3.30 二极管整流电路
分析非正弦周期信号的电路的方法与分析正弦电路有所不同。
分析时需要将非正弦周期信号电路的计算转化为一系列正弦
信号电路的计算，在此采用的是谐波分析法，即将一个非正
弦波的周期信号看作是由一些不同频率的正弦波信号叠加的
结果。
1. 非正弦周期信号的分解
把周期电压、周期电流表达成一个周期函数，当其满足狄里
赫利条件时就可以展开为傅里叶级数
f (t )  A0  A1m cos(1t   1 )  A2m cos(21t   2 ) 
 Akm cos(k1t   k ) 

=A0  Akm cos(k1t   k )
k 1
式中
第1项A0称为周期函数f(t)的恒定分量或直流分量，是不随
时间变化的常数，有时也可以看成是频率为零的正弦波，
叫零次谐波；
第2项 A1m cos(1t  1 ) 称为一次谐波或基波分量，其频率与
原非正弦周期函数f(t)的频率相同；
其余各项统称为高次谐波，其频率为原非正弦周期函数
f(t)的频率的整数倍，谐波分量的频率是基波的几倍，就称
它为几次谐波。例如k=2、3、4、…的各项，分别称为2
次谐波、3次谐波等。因此，谐波分析就是对一个已知的波
形信号，求出其所包含的多次谐波分量，并用谐波分量的形
式表示。
例如，在图3.31(b)中，总的电源电动势可以表示为两个谐
波分量的形式，即
e = e1 + e2 = E1msin( t) + E2msin(3 t)
其中，e1和e2叫做非周期信号的谐波分量。
图3.31
两个正弦波的合成
2. 非正弦周期信号的合成
一个非正弦波可以分解成几个频率不同的正弦波。反之，
几个不同频率的正弦波也可合成一个非正弦波。
如图3.31(a)所示，将两个正弦信号串联，把e1的频率调到
100 Hz，e2的频率调到300 Hz，则e1和e2合成后的
波形如图3.31(b)实线所示，显然合成后的波形为一个非
正弦波。
3.8.2 非正弦周期信号的平均值、有
效值和负载电路平均功率
1. 平均值
非正弦周期电流的平均值在实践中经常被用到，设
i  I 0  2 I1 sin(t  01 )  2 I 2 sin( t  02 )    
u  U 0  2U1 sin( t  01 )  2U 2 sin( t  02 )    
则其平均值分别为
1 T
I av   0 i dt
T
1 T
U av   0 u dt
T
即非正弦周期量的平均值等于其绝对值的平均值。
2. 有效值
非正弦周期信号的有效值定义与正弦波一样。如果一个非正
弦周期电流i流经电阻R时，电阻上产生的热量和一个直流电
流I流经同一电阻R时，在同样时间内所产生的热量相同，则
这个直流电流的数值I，叫做该非正弦电流i的有效值。设
i  I 0  2 I1 sin(t  01 )  2 I 2 sin( t  02 )  
u  U 0  2U1 sin( t  01 )  2U 2 sin( t  02 )  
经数学推导可得其有效值计算公式为
I  I 02  I12  I 22  
U  U 02  U 12  U 22  
即非正弦周期量的有效值等于各分量有效值平方和的平方根。
3. 平均功率
根据平均功率的定义
1 T
P   0 pdt
T
不难证明，电路消耗的平均功率为
P  U 0 I 0  U1 I1 cos1  U 2 I 2 cos 2  U 3 I 3 cos 3  
其中
1  1u  1i
2  2u  2i
3  3u  3i
可见，非正弦周期电路的平均功率为各次谐波平均功率代数
和。必须指出的是，在这里所指的平均功率只适用于同频
率的非正弦电压和电流。
例3-20 非正弦电压为 u  30  40 2 sin( t  20)  50 2 sin(3 t  30) V ，
电流为 i  1  0.5 2 sin( t  10)  0.2 2 sin(3 t  60) 。求平均功率
和电压、电流的有效值。
解：平均功率为
P  U 0 I 0  U1I1 cos1  U 2 I 2 cos2
 30  1  40  0.5  cos30  50  0.2  cos(30)  60 W
电压的有效值为
U  U 02  U12  U 22  302  402  502  70.71V
电流的有效值为
I  I 02  I12  I 22  12  0.52  0.22  1.14
Thanks!