Transcript 第4章 正弦交流电路 4.1 正弦量的基本概念 4.1.1 正弦交流电的三要素

第4章
正弦交流电路
第4章 正弦交流电路
4.1 正弦量的基本概念
4.2 正弦量的有效值
4.3 正弦量的相量表示法
4.4 正弦电路中的电阻元件
4.5 正弦电路中的电感元件
4.6 正弦电路中的电容元件
4.7 基尔霍夫定律的相量形式
4.8 复阻抗、 复导纳及其等效变换
RLC
串联电路
4.10 RLC
并联电路
4.9
4.11 正弦交流电路的相量分析法
4.12 正弦交流电路的功率
4.13 功率因数的提高
4.14 谐振
第4章
正弦交流电路
第4章 正弦交流电路
4.1 正弦量的基本概念
4.1.1 正弦交流电的三要素
1.
正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。 用
大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
2. 角频率ω
角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数, 即
a

t
(4.1)
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u
Um

0
(T )
2

T 
 t
图 4.1 交流电的波形
2

 2f
T
(4.2)
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正弦交流电路
3. 初相
e  Em sin(t   )
上式中的(ωt+θ)是反映正弦量变化进程的电角度, 可根
据(ωt+θ)确定任一时刻交流电的瞬时值, 把这个电角度称为
正弦量的“相位”或“相位角”, 把t=0时刻正弦量的相位
叫做“初相”, 用字母“θ”表示。规定|θ|不超过π弧度。
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N
e
t£«
t
Em

A

X

 t
0
S
(a)
(b)
图 4.2 初相不为零的正弦波形
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i
i
i1£½Imsint
t
0
(a)

2
i

i2£½Imsin( t£« 2)
t
0

i3£½Imsin( t£« 6 )
t
0

6
(b)
i

i4£½Imsin( t£- 6)
t
0

6
(c)
(d)
图4.3 几种不同计时起点的正弦电流波形
e  Em sin(t   e )
(4.5)
u  U m sin(t   u )
(4.6)
i  I m sin(t  i )
(4.7)
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正弦交流电路
例 4.2 在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解析式为
u=200sin
(1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个
正弦量的三要素。
解 (1) u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V
所以电压的振幅值Um=200V, 角频率ω=1000rad/s, 初相θu=160°。
(2) i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)=5sin(314t-
150°)A
所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相θi=-150°。
第4章 正弦交流电路
例 4.3 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.4所
示, 试写出正弦量的解析式。

u

200
sin(

t

)V
解 1
3

u2  250sin(t  )V
6
u/V
u2
250
u1
200
0

3


6
图 4.4 例 4.3 图
2
t
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4.1.2 相位差
两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差, 用字母“φ”
表示。
u1  U m1 sin(t  1 )
u2  U m 2 sin(t   2 )
相位差
12  (t  1 )  (t   2 )  1   2 （4.8）
第4章 正弦交流电路
下面分别加以讨论：
(1) φ12=θ1-θ2>0且|φ12|≤π弧度
(2) φ12=θ1-θ2<0且|φ12|≤π弧度
(3) φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相
(4) φ12=θ1-θ2=π, 称这两个正弦量反相

(5) φ12=θ1-θ2= , 称这两个正弦量正交
2
u
u1


u
u
u1
u1
u2
u
u1
u2
u2
u2
0
t
(a)
t
0
(b)
t
0
t
0
(c)
图4.5 同频率正弦量的几种相位关系
(d)
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例 4.4 已知
u  220 2 sin(t  235)V ,
i  10 2 sin(t  45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
解
u  220 2 sin(t  235)V
 220 2 sin(t  125)V
所以电压u的初相角为-125°, 电流i的初相角为45°。
ui  u  i  125  45  170  0
表明电压u滞后于电流i 170°
第4章 正弦交流电路
例 4.5 分别写出图4.6中各电流i1、 i2的相位差, 并说明i1
与i2
i
i
i1
i1
i2

2

3
2
i2
2
t
0

2
0

3
2
2
£½
(a)
(b)
i
i
i1

i1
i2

2

3 2
2
t


2
i2
3
2

3
4
(c)
图4.6 例 4.5 图
(d)
2
t
t
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正弦交流电路
解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明i1滞后
于i2 90°。
(b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。
(c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。
(d) 由图知θ1=0,  2   3 ,12  1   2  3 , 表明i1越
4
4
前于 i 3
2
4
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例4.6已知
u1  220 2 sin(t  120 )V ,

u2  220 2 sin(t  90 )V ,
试分析二者的相位关系。
解 u1的初相为θ1=120°, u2的初相为θ2=-90°, u1和u2的
相位差为
φ12=θ1-θ2=120°-(-90°)=210°
考虑到正弦量的一个周期为360°, 故可以将φ12=210°表示
为φ12=-150°<0, 表明u1滞后于u2 150°。
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4.2
4.2.1 有效值的定义
交流电的有效值。 交流电的有效值是根据它的热效应
确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量
和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相
等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写
字母表示, 如I、 U等。
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正弦交流电路
Q  I 2 RT
T
Q   i R dt
2
0
T
I RT   i R dt
2
2
0
1
I
T
1
U
T

T
0

i dt
T
0
2
2
u dt
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正弦交流电路
4.2.2 正弦量的有效值
1
I
T

T
0
I sin tdt 
2
m
2
I m2
T

T
0
1  cos2t
dt
2
T
I m2 T
I m2

(  dt   cos2tdt) 
(T  0)
0
0
2T
2T
Im
I
 0.707I m
2
Um
U
 0.707U m
2
U m  220 2  311V
第4章 正弦交流电路
例 4.7 电容器的耐压值为 250V, 问能否用在220V的单
解 因为 220V的单相交流电源为正弦电压, 其振幅值
为311 V, 大于其耐压值250V,电容可能被击穿, 所以不能接
在220 V的单相电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水
平（耐压值）, 要按最大值考虑。
例 4.8 一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试求
它的解析式。
因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压
的解析式为
u  100 2 sin(t  60)V
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正弦交流电路
4.3 正弦量的相量表示法
4.3.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i   1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符号,
£«j
虚单位常用j表示。
3
O
A
4
£«1
图4.7 复数在复平面上的表示
第4章
正弦交流电路
£«j
b
P
r

O
a
£«1
图4.8 复数的矢量表示
r  A  a 2  b2
b
  arctan (  2 )
a
a  r cos 

b  r sin  
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正弦交流电路
2.
(1) 复数的代数形式
A  a  jb
(2) 复数的三角形式
A  r cos  jr sin 
(3) 复数的指数形式
A  re
j
(4) 复数的极坐标形式
A  r
第4章
正弦交流电路
例 4.9
写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。
解
A1的模 r1  4 2  ( 3) 2  5
辐角   arctan  3  36.9
1
4
则A1的极坐标形式为A1=5 -36.9°
A2的模
（在第四象限）
r2  ( 3) 2  42  5
辐角  2  arctan
4
 126 .9
3
则A2的极坐标形式为 A2  5 / 126.9
(在第二象限)
第4章 正弦交流电路
例 4.10 写出复数A=100/30°的三角形式和代数形式。
解 三角形式A=100（cos30°+jsin30°
代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50
3. 复数的四则运算
(1) 复数的加减法
A1  a1  jb1  r1 1
A2  a2  jb2  r2  2
则
A1  A2  (a1  a2 )  j (b1  b2 )（4.16）
第4章
正弦交流电路
£«j
A1£«A2
A2
A1£-A2
A1
O
(2) 复数的乘除法
£«1
图4.9 复数相加减矢量图
A  B  r1 1  r2  2  r1  r2 1   2
A r1 1 r1

 1   2
B r2  2 r2
第4章
正弦交流电路
例 4.11 求复数A=8+j6 , B=6-j8之和A+B及积A·B
解 A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2
A·B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9°·10/-53.1°=100/-16.2°
第4章
正弦交流电路
4.3.2 正弦量的相量表示法
£«j
£«j
B

b
A
t

1


O
a t
1
£«1

Um
t
O¡ä
图4.10 正弦量的复数表示
j
U me  e
jt
 U me
j (t  )
 U m cos(t   )  jU m sin(t   )

U U 
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正弦交流电路
例 4.12 已知同频率的正弦量的解析式分别为
i=10sin(ωt+30°), u  220 2 sin(t  45), 写出电流和

电压的相量 I 、
U
,并绘出相量图。
解 由解析式可得

10
I
30  5 2 30 A
2

220 2
U
 45V
2
相量图如图4.11所示。
第4章
正弦交流电路
£«j
¡¤
I
30¡ã
O
£«1
45¡ã
¡¤
U
图 4.11 例 4.12 图
第4章 正弦交流电路
例 4.13 已知工频条件下, 两正弦量的相量分别为


U 1  10 2 60V ,U 2  20 2  30V
试求两正弦电压的解析式。
解 由于
  2f  2  50  100rad / s
U1  10V , 1  60
U 2  20 2V ,  2  30
所以
u1  2U1 sin(t  1 )  10sin(100t  60)V
u2  2U 2 sin(t   2 )  40sin(100t  30)V
第4章
正弦交流电路
4.4 正弦电路中的电阻元件
4.4.1 电阻元件上电压与电流的关系
iR
uR
图 4.13 纯电阻电路
R
第4章 正弦交流电路
1) 电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系
uR
iR 
R
2)
若 uR  U Rm sin(t   )
则
其中
uR U Rm
iR 

sin(t   )  I Rm sin(t   )
R
R
U Rm
I Rm 
或 U Rm  I Rm  R
R
UR
IR 
R
第4章
正弦交流电路
3)
iR
uR
uR
¡¤
IR
iR

0
(a)
¡¤
UR
 t
(b)
图4.14 电阻元件上电流与电压之间的关系
第4章
正弦交流电路
4.4.2 电阻元件上电压与电流的相量关系
iR  I Rm sin(t   )

I R  IR 
uR  U Rm sin(t   )

U R  UR   IR  R 


UR  IR R
第4章
正弦交流电路
4.4.3 电阻元件的功率
交流电路中, 任一瞬间, 元件上电压的瞬时值与电流的
瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率, 用小写字母p表示, 即
p  ui
pR  uRiR  U Rm sin t  I Rm sin t
U Rm I Rm
 U Rm I Rm sin t 
(1  cos2t )
2
 U R I R (1  cos2t )
2
第4章 正弦交流电路
工程上都是计算瞬时功率的平均值, 即平均功率, 用大
写字母P表示。 周期性交流电路中的平均功率就是其瞬时
功率在一个周期内的平均值, 即
1 T
1 T
P   pdt   U R I R (1  cos2t )dt
T 0
T 0
T
URIR T

(  1dt   cos2t dt)
0
0
T
URIR

(T  0)  U R I R
T
2
U
P  U R I R  I R2 R  R
R
功率的单位为瓦(W）, 工程上也常用千瓦（kW）, 即
1kW  100W
第4章 正弦交流电路
例 4.14 一电阻R=100Ω, R两端的电压
,
(1) 通过电阻R的电流IR和iR
(2) 电阻R接受的功率PR


(3) 作 U R 、I R 的相量图。
解 (1) 因为
所以
uR 100 2 sin(t  30)
iR 

R
100
 2 sin(t  30) A
IR 
2
 1A
2
2 或PR  UR I R  1001  100W或PR2 R  12 100  100W
(3) 相量图如图4.16所示。
第4章 正弦交流电路
例4.15 一只额定电压为220V, 功率为100W的电烙铁, 误
接在380V的交流电源上, 问此时它接受的功率为多少？是否
安全？若接到110V的交流电源上,
解 由电烙铁的额定值可得
U R2 2202
R

 484
P
100
当电源电压为 380V时, 电烙铁的功率为
U R2 3802
P1 

 298W  100W
P
484
此时不安全, 电烙铁将被烧坏。
当接到110 V的交流电源上, 此时电烙铁的功率为
U R2 1102
P2 

 25W  100W
R
484
此时电烙铁达不到正常的使用温度。
第4章
正弦交流电路
4.5 正弦电路中的电感元件
4.5.1 电感元件上电压和电流的关系
1. 瞬时关系
iL
uL
di
uL  L
dt
L
第4章
正弦交流电路
2. 大小关系
设 iL  I Lm sin(t   i )
d ( I Lm sin(t   i ))
uL  L
 I LmL cos(t   i )
dt
 I LmL sin(t 
uL  U Lm sin(t 

2

2
 i )
  i )  U Lm sin(t   u )
ULm  I LmL
U L Ul
U L  I LL  I L X L 或 I L 

L X L
X L  L  2fL
XL称为感抗, 当ω的单位为1/s，L的单位为H，XL的单位为Ω。
第4章
正弦交流电路
3. 相位关系
u  i 
u

2
i
u
i
O
t
图4.19 电感元件上电流和电压的波形图
第4章
正弦交流电路
4.5.2 电感元件上电压和电流的相量关系
.
UL
£«j
i
.
IL
O
图4.20 电感元件电流和电压的相量图
£«1
第4章
正弦交流电路
iL  I Lm sin(t   i )

I L  I L i
uL  I LmL sin(t 

U L  I LL  i 



2

2
 i )
 jLI L  i

U L  jL I L  jX L I L
第4章
正弦交流电路
4.5.3 电感元件的功率
1. 瞬时功率
iL  I Lm sin t
则
uL  U Lm sin(t 

2
)
p  uL  iL  U Lm sin(t 
1
 I LmU Lm sin 2t
2
 I LU L sin 2t

2
)  I Lm sin t
第4章
正弦交流电路
uL £¬iL £¬pL
p
uL
iL
£«
£«
0
£-
£-
T
4
T
4
T
4
T
4
图 4.21 电感元件的功率曲线
t
第4章 正弦交流电路
2. 平均功率
1
P
T

T
0
1
p dt 
T

T
0
uLiL sin 2t dt  0
3. 无功功率
我们把电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积
叫做电感元件的无功功率, 用ＱL表示。
2
L
U
QL  U L I L  I X L 
XL
2
L
QL>0, 表明电感元件是接受无功功率的。
无功功率的单位为“乏”（var）, 工程中也常用“千乏”
（kvar）。
1 kvar=1000 var
第4章
正弦交流电路
例 4.16 已知一个电感L=2H, 接在 uL  220 2 sin(314t  60)V
的电源上,
(1) XL
(2) 通过电感的电流iL
(3) 电感上的无功功率QL。
解 （1）
X L  L  314 2  628

220  60
UL
（2） I L 

 0.35  150 A
jX L
628 j

iL  0.35 2 sin(314t  150) A
（3）
QL  UI  220 0.35  77 var
第4章
正弦交流电路
例 4.17 已知流过电感元件中的电流为
iL  10 2 sin(314t  30) A , 测得其无功功率QL=500var, 求
(1) XL和L
(2) 电感元件中储存的最大磁场能量WLm。
解 (1)
Q 500
X L  2  2  5
I L 10
XL
5
L

 15.9m H
 314
1 2
1
(2) WLm  LI Lm   15.9  103  (10 2 ) 2  1.59J
2
2
第4章
正弦交流电路
4.6 正弦电路中的电容元件
4.6.1 电容元件上电压和电流的关系
1.
duC
iC  C
dt
iC
uC
C
图 4.22 纯电容电路
第4章
2.
正弦交流电路
设 uC  U Cm sin(t   u )
duC

iC  C
 CU Cm cos(t   u )  CU Cm sin(t   u  )
dt
2
iC  I Cm sin(t   u 
iC  I Cm sin(t   u 
I Cm  CU Cm

2

2
)  I Cm sin(t   u 

2
)
)  I Cm sin(t   i )
UC UC
I C  CU C 

1
XC
C
其中
1
1
XC 

C 2fC
XC称为容抗, 当ω的单位为1/s，
C的单位为F时，XC的单位为Ω。
第4章 正弦交流电路
3. 相位关系
i   u 
u
i

2
uC
iC

2
0
图4.23 电容元件上电流和电压的波形图
t
第4章
正弦交流电路
4.6.2 电容元件上电压与电流的相量关系
uC  U Cm sin(t   u )

U C  UC u
iC  I Cm sin(t   u 

2
)

UC


I C  IC / u  
 u   CU C  u 
2 XC
2
2





U
U C   jX C I C 或 I C 
 jX C
第4章
4.6.3
正弦交流电路
1.
p  uC iC  U Cm sin t  I Cm sin(t 
p
uC £ ¬iC

2
)  U C I C sin 2t
p
uC
iC
£«
£«
0
£-
T
4
T
4
£-
T
4
T
4
图4.25 电容元件功率曲线
t
第4章 正弦交流电路
2. 平均功率
1
P
T

T
0
1
pdt 
T

T
0
1 T
pdt   uC iC sin 2t dt  0
T 0
3.
我们把电容元件上电压的有效值与电流的有效值乘积
的负值, 称为电容元件的无功功率, 用QC表示。即
2
C
U
QC  UC I C   I X C  
XC
2
C
QC<0表示电容元件是发出无功功率的, QC和QL一样, 单位也
是乏（var）或千乏(kvar)。
第4章 正弦交流电路
例 4.18 已知一电容C=50μF, 接到220V, 50Hz的正弦交
流电源上,
(1) XC
(2) 电路中的电流IC和无功功率ＱＣ
(3) 电源频率变为1000 Hz时的容抗。
1
1
1


 63.7
解 (1）X C 
6
C 2fC 2  3.14  50  10  50
UC
220

 3.45A
(2) I C 
X C 63.7
QC  U C I C  220 3.45  759var
(3) 当f  1000Hz时
1
1
XC 

 3.18
6
2fC 2  3.14  1000 50  10
第4章
正弦交流电路
例 4.19 一电容C=100μF, 接于
u  220 2 sin(1000t  45)V 的电源上。
(1) 流过电容的电流IC
(2) 电容元件的有功功率PC和无功功率QC
(3) 电容中储存的最大电场能量WCm
(4) 绘电流和电压的相量图。
第4章
正弦交流电路
（1）
1
1
XC 

 10
6
C 1000 100 10

U C  220  45V

220  45
UC
IC 

22 45 A
 jX C
10  90

所以
iC  22 2 sin(1000t  45) A
第4章
（2）
正弦交流电路
PC  0
QC  U C I C  220 22  4840var
（3）WCm
1 2
 CuCm
2
1
6
2
  100 10  ( 220 2 )
2
 4.84J
第4章
正弦交流电路
(4) 相量图如图4.26所示。
£«j
.
IC
45¡ã
O
45¡ã
£«1
.
UC
图 4.26 例 4.19 图
第4章
电路
i
u
i
R
u
i
u
正弦交流电路
表4.1 各元件上电压与电流的比较
电压和电流
的大小关系
相位关系
U  IR
U
I
R
U  IL  IX L
.
I
阻抗
功率
P  UI
.
U
电阻R

UIR
2
U
R
P0
.
U
.
1
I
UI
 IX C
C
U
C
I  U C 
XC

 I 2R

L I U  U
L X L
相量关系
感抗
.
I
X L  L
QL  I 2 X L
2
U

XL


U  j XL I
P0
容抗
.
U
1
XC 
C


QC   I X C U   jX I
C
U2

XC
2
第4章
正弦交流电路
4.7 基尔霍夫定律的相量形式
4.7.1 相量形式的基尔霍夫电流定律
i  0

I  0
第4章
正弦交流电路
4.7.2 相量形式的基尔霍夫电压定律
u  0

U  0
第4章
正弦交流电路
例 4.20 如图4.27（a）、 (b)所示电路中, 已知电流表
A1、A2、A3都是10 A, 求电路中电流表A的读数。
£«
A
£«
i
i1
R
i
i2
L
u
A1
£-
A
i1
R
i2
L
u
A2
A1
£-
(a)
(b)
图 4.27 例4.20图
A2
C
i3
A3
第4章
正弦交流电路

解 设端电压 U  U 0V
(1) 选定电流的参考方向如图(a)所示, 则

I 1  10 0 A
(与电压同相)

I 2  10  90 A


（滞后于电压90°）

I  I 1  I 2  10 0  10  90  10 2  45 A
电流表A的读数为 10 2 A
总电流并不是20A 。
注意: 这与直流电路是不同的,
第4章
正弦交流电路
(2) 选定电流的参考方向如图(b)所示, 则

I 1  10 0 A

I 2  10  90 A (超前于电压90°)

I 3  10 90 A
由KCL




I  I 1  I 2  I 3  10 0  10  90  10 90  10A
电流表A的读数为10A 。
第4章 正弦交流电路
例4.21 如图4.28（a）、 (b)所示电路中, 电压表V1、V2、
V3的读数都是50V, 试分别求各电路中V表的读数。
i
R
L
u1
u2
V1
i
V2
R
L
C
u1
u2
u3
V1
V
£«
u
V2
V3
V
£-
(a)
解 设电流为参考相量, 即
£«

u
£-
(b)
I  I 0
a） 选定i、u1、u2、u的参考方向如图(a)所示, 则

U 1  50 0V

(与电流同相)
U 2  50 90V（超前于电流 90°）
第4章 正弦交流电路
由KVL



U  U 1  U 2  50 0  50 90  50  50 j  50 2 45V
所以电压表V的读数为 50 2V
（b） 选定i、u1、u2 、u3的参考方向如图(b)所示, 则

U1  50 0V

U 2  50 90V

U 3  50  90V
由KCL




(滞后于电流 90°)
U  U 1  U 2  U 3  50 0  50 90  50  90  50  50 j  50 j  50V
电流表A的读数为50V。
第4章
正弦交流电路
4.8 复阻抗、 复导纳及其等效变

4.8.1
UR

R
IR
1.

UL

 jL
IL

UC

IC
1
j
C

U

把式中Z称为元件的阻抗。
I
Z
第4章
£«
i
正弦交流电路
£«
us
u
£-
£-
£«
i
us
£-
(a)
£«
u
Z
£-
(b)
图4.29 正弦交流电路的复阻抗
第4章
正弦交流电路

U

Z  Z  
I
U u
I i
Z称为该电路的阻抗
U
Z 
I
  u  i
Z是一个复数, 所以又称为复阻抗, |Z|是阻抗的模, φ为
阻抗角。复阻抗的图形符号与电阻的图形符号相似。复阻
抗的单位为Ω。
第4章
正弦交流电路
|Z|
X

R
图 4.30 阻抗三角形
Z  R  jX ，Z的实部为R, 称为“电阻”, Z的虚
部
为X, 称为“电抗”, 它们之间符合阻抗三角形。
Z  R2  X 2
X
  arctan
R
第4章
正弦交流电路
2.
复阻抗的倒数叫复导纳, 用大写字母Y表示, 即
1
Y 
Z
在国际单位制中, Y的单位是西门子, 用“S”表示, 简称
“西”。 由于Z=R+jX, 所以
1
1
R  jX
R
X
Y 
 2
 2  j 2  G  jB
2
Z R  jX R  X
Z
Z
复导纳Y的实部称为电导, 用G表示; 复导纳的虚部称为
电纳, 用B表示, 由上式可知
第4章
正弦交流电路
R 
G 2 
Z 

X
B 2
Z 
（4.53）
复导纳的极坐标形式为
Y  G  jB  Y  '
|Y|为复导纳的模, φ′为复导纳的导纳角, 所以有
Y  G2  B2
B
  arctan
G
'
第4章
正弦交流电路
3. 复阻抗与复导纳的关系
1
1
1
Y  


Z Z  Z
Y Y 
1
Y 
Z
  
'


I UY
'
第4章
正弦交流电路
4.8.2 复阻抗与复导纳的等效变换
1.
式(4.53)就是由复阻抗等效为复导纳的参数条件。
2. 将复导纳等效为复阻抗
1
1
G  jB
G
jB
Z 
 2
 2
 2
 R  jX
2
2
2
Y G  jB G  B
G B G B
第4章
正弦交流电路
i
i
R
u
G
u
jX
(a)
(b)
图4.31 复阻抗与复导纳的等效变换
G
R 2
G  B2
B
X  2
2
G B
jB
第4章
正弦交流电路
例 4.22 已知加在电路上的端电压为u=311sin(ωt+60°)V,

通过电路中的电流为 I  10  30 A
|Z|、阻抗角φ和导纳角
φ′。

解 电压的相量为 U  311 60  ( 30)  90 所以
2
U 220
Z  
 22
I
10
   u   i  60  ( 30)  90
    90
第4章
正弦交流电路
例4.23 如图4.31(a)所示, 已知电阻R=6Ω, X=8Ω, 试求其
等效复导纳。
解 由已知条件
Z  R  jX  6  j8
由式(4.53)可知
R
R
6
G 2  2

 0.06S
2
R X
100
Z
B
X
Z
2
X
8
 2

 0.08S
2
R X
100
Y  G  jB  0.06  j 0.08SS
第4章
正弦交流电路
4.9 RLC串联电路
4.9.1 电压与电流的关系

I  I 0


UR  I R


U L  I jX L


U C   I jX C








U  U R  U L  U C  I R  I jX L  I jX C  I [ R  j ( X L  X C )]



U  I ( R  jX )  I Z
第4章
正弦交流电路
4.9.2
1. 电感性电路: XL>XC
X
0 。
此时X>0, UL>UC。阻抗角   arctan
R
2. 电容性电路: XL<XC
此时X<0, UL<UC。 阻抗角φ <0。
3. 电阻性电路: XL=XC
此时X=0, UL=UC。阻抗角φ=0。
第4章
正弦交流电路
.
UL
.
UR

.
U
.
UC
.
U
.
.
.
UX£½
UL£«UC
.
UR

(a)
.
I
.
I
.
UL
.
.
.
UX£½
UL£«UC
.
UL
.
UC
.
.
UR£½
U
.
UC
(b)
图4.33 RLC串联电路的相量图
(c)
.
I
第4章
正弦交流电路
4.9.3 阻抗串联电路
.
I
Z1
.
U2
Z2
¡-
.
U
.
U1
.
Un
Zn
图4.34 多阻抗串联
第4章
正弦交流电路




U  U1 U 2    U n



 I Z1  I Z 2     I Z n

 I ( Z 1  Z 2    Z n

IZ
Z  Z1  Z 2      Z n
第4章
正弦交流电路
例 4.24 有一RLC串联电路, 其中R=30Ω, L=382mH,
C=39.8μF, 外加电压 u  220 2 sin(314t  60)V,试求
(1) 复阻抗Z, 并确定电路的性质;




(2); I 、
UR、
UL、
UC ;
(3) 绘出相量图。
1
(1) Z  R  j ( X L  X C )  R  j (L 
)
C
106
 30  j (314 0.382 
)
314 39.8
 30  j (120  80)  30  j 40  50 53.1
  53.1  0,
所以此电路为电感性电路。
第4章
正弦交流电路

U 220 60
I 
 4.4 6.9 A
Z 50 53.1

(2)




U R  I R  4.4 6.9  30  132 6.9V
U L  I jX L  4.4 6.9  120 90
 528 96.9V


U C   IjX C  4.4 6.9  80  90
 352  83.1V
第4章 正弦交流电路
(3) 相量图如图4.35所示。
.
UL
.
UC
£«j
.
U
60¡ã
O
.
.
.
UX£½
UL£«UC
.
.
I
UR
6.9¡ã
图4.36 例 4.25 图
£«1
第4章
正弦交流电路
例4.25 用电感降压来调速的电风扇的等效电路如图4.36(a)
所示, 已知R=190Ω, XL1=260Ω, 电源电压U=220V, f=50Hz, 要使
U2=180V, 问串联的电感LX应为多少？
LX
.
UL
u1
R
u
u2
.
UL
1
L1
i
X
.
U
.
.
UL £« UL
1
X

(a)
.
UR
(b)
图4.36 例 4.25 图
.
I
第4章 正弦交流电路
解 以 I 为参考相量, 作相量图如图4.36(b)所示。
Z1  R  jX L1  190  j 260  322 53.8
U 2 180
I

 0.56A
Z1 322
U R  IR  0.56  190  106.4V
U L1  IX L1  0.56  260  145.6V
U  U R2  (U L1  U L ) 2
X
2202  106.42  (145.6  U LX ) 2
U LX  64.96V
X LX
X LX
U LX
64.96


 83.9
I
0.56
U LX 83.9


 0.267H

314
第4章
正弦交流电路
例4.26 图 4.37(a)所示RC 串联电路中, 已知 X C  10 3
要使输出电压滞后于输入电压30°, 求电阻R。

解I 以 为参考相量, 作电流、 电压相量图, 如图4.37(b)
所示。


U 0 滞后于输入电压 U i 30 （注意不为阻抗


角）, 由相量图可知: 总电压 U i 滞后于电流 I 60 , 即阻抗角
φ=-60°。所以
 XC
XC
 10 3
R


 10
tan tan(60)
 3
第4章
正弦交流电路
R
£«
£«
i
ui

XC
£-
.
UR
uo
£-
30¡ã
.
Uo
.
Ui
(a)
.
.
U C£½U o
(b)
图4.37 例 4.26 图
.
I
第4章
正弦交流电路
4.10 RLC并联电路
4.10.1 阻抗法分析并联电路



U
U
I1 

Z1 R1  jX L



U
U
I1 

Z 2 R2  jX C



£«
u

U
I  I1 I 2 
Z
Z1 Z 2
Z
Z1  Z 2
i
R1
i2
R2
i1
L
£-
图4.41 并联电路
C
第4章
正弦交流电路
.
I2
2
1
.
U

.
I
.
I1
图4.42 并联电路的相量图
第4章 正弦交流电路
例 4.27 两条支路并联的电路如图4.43所示。已知
R  8, X L  6, X C  10端电压u  220 2 sin(t  60)V



求各支路电流 I 1 、I 2 及总电流 I , 并画出相量图。
解 选
u、i1、i2、i的参考方向如图所示。
Z1  R  jX L  8  j 6  10 36.9
Z 2   jX C   j10  10  90

U  220 60V

220 60
U
I 1  Z1  10 36.9  22 23.1 A



I
2
220 60
U


 22 150 A
Z 2 10  90
第4章
正弦交流电路
£«j
.
U
£«
i
i1
R
.
I
i2
u
C
L
.
.
I1
I2
60¡ã
23.1¡ã
£O
£«1
图 4.43 例4.27图
图4.44 例4.27相量图



I  I 1  I 2  22 23.1  22 150  20.2  j8.6  19.1  j11
 1.1  j19.6  19.7 86.8 A
第4章
正弦交流电路
4.10.2 导纳法分析并联电路
i
iR
u
R
iL
L
iC
C
图4.45 RLC并联电路
第4章
1 正弦交流电路
Y1   G
R
1
j
Y2 

  jB L
jX L X L
1
j
Y3 

 jBC
 jX C X C







I R  Y1 U  U G

I L  Y2 U   jBL U

I C  Y3 U  j BC U






I  I R  I L  I C  U (G  jBL  jBC )  U (G  jB )
第4章
其中 G 
正弦交流电路
1
1
BL 
为电阻支路的“电导”;
R
L
“感纳”;
B  C
C
为电感支路的
为电容支路的“容纳”。
B=BC-BL称为“电纳”, 利用电纳也可判断电路的性质:
(1) B>0, 即BC>BL。这时IL<IC, 总电流越前于端电压, 电路
呈电容性,如图4.46（a
(2) B<0, 即BC<BL。这时IL>IC, 总电流滞后于端电压, 电路
呈电感性, 如图4.46（b
(3) B=0, 即BC=BL。这时IL=IC, 总电流与端电压同相, 电路
呈电阻性,如图4.46（c）
第4章
正弦交流电路
.
IC
.
IC
.
IR
¡ä
.
I
.
IB
.
IR
¡ä
.
IL
(a)
.
I
.
U
.
U
.
IC
. .
IR£½
I
.
IB
.
IL
.
IL
(b)
图4.46 RLC并联电路相量图
(c)
.
U
第4章 正弦交流电路
例 4.28 图4.45所示为RLC并联电路, 已知端电压为
u  220 2 sin(314t  30)V , R  10, L  127mH, C  159F
试求
(1) 并联电路的复导纳Y;



(2) 各支路的电流 I R 、I L 、I C
和总电流

I
;
(3) 绘出相量图。
解 选u、 i、iR、iL、iC的参考方向如图所示。
1 1
Y1  
 0.1S
R 10
1
j
Y2 

  j 0.025S
3
jX L 314 127 10
Y3 
1
 jC  j 314 159 106  j 0.05S
 jX C
第4章
正弦交流电路
(1)Y  Y1  Y2  Y3  0.1  j (0.05  0.025)  0.1  j 0.025  0.013 14S
(2)由已知U  220 30V , 则






I R  U Y1  220 30  0.1  22 30 A
I L  U Y2  220 30  (  j 0.025)  5.5  60 A
I C  U Y3  220 30  j 0.05  11 120 A


I  U Y  220 30  0.103 14  22.7 44 A
第4章
正弦交流电路
(3) 相量图如图4.47
£«j
.
IC
.
I
.
IR
.
U
30¡ã
0
60¡ã
.
IL
图4.47
例4.28相量图
£«1
第4章 多阻抗并联
正弦交流电路
4.10.3
¡-
.
I
.
U
Y1
.
I1 Y2
.
I2
¡-
图4.48 多阻抗并联
Yn
.
In

第4章
正弦交流电路

I 1  U Y1




I 2  U Y2
I n  U Yn






I 1  I 1  I 2  ...  I n  U (Y1  Y2  ...  Yn )  U Y
Y Y 1Y2      Yn
Y Y 1Y2      Yn  G1  jB1  G2  jB2      Gn  jBn
 (G1  G2      Gn )  j ( B1  B2      Bn )  G  jB
G  G1  G2    Gn
B  B1  B2      Bn
第4章
正弦交流电路
例4.29 图 4.49 所示并联电路中, 已知端电压
u  220 2 sin(314t  30)V , X L  X C  8
(1) 总导纳Y;



(2) 各支路电流 I 1 、I 2 和总电流 I
。
解 选u、 i、 i1、 i2的参考方向如图所示。
.
I
.
U
.
I1
R1
.
I2
jXL
图4.49 例 4.29 图
R2
£-jXC
第4章
正弦交流电路

由已知U  220  30V , 有
1
1
6  j8
1Y1 


 0.06  j 0.08S
R1  jX L 6  j8
100
1
1
6  j8
Y2 


 0.06  j 0.08S
R2  jX C 6  j8
100
Y  Y1  Y2  0.06  j 0.08  0.06  j 0.08  0.12S


( 2) I 1  U Y1  220  30  0.1  53.1  22  83.1 A


I 2  U Y2  220  30  0.1 53.1  22 23.1 A


I  U Y  220  30  0.12  26.4  30 A
第4章
正弦交流电路
4.11 正弦交流电路的相量分析法
4.11.1 网孔电流法
£-jXC
.
£« I1
.
Us1
.
£- Im1
jXL
a
.
I2
R
.
I3
.
Im2
b
图 4.52 网孔电流法
£«
.
Us2
£-
第4章
正弦交流电路


 
 Z11 I m1  Z 12 I m 2  U s11




 Z 21 I m1  Z 22 I m 2  U s 22
Z11  R  jX C , Z12  Z 21   R
Z 22  R  jX L




U S 11  U S 1 ,U S 22   U S 2







I 1  I m1 , I 2  I m 2, I 3  I m1  I m 2
第4章
正弦交流电路

例 4.30 图 4.52 所示电路中, 已知 U s1  100 0V ,

U s 2  100 90V , R  6, X L  8, X C  8 求各支路电流。





解 选定各支路电流 I 1 、 I 2 、I 3 和网孔电流 I m1、I m 2
参考方向如图所示, 选定绕行方向和网孔电流的参考方向一
致。 列出网孔方程为


(6  j8) I m1  6 I m 2  100 0


 6 I m1  (6  j8) I m 2  100 j
第4章
正弦交流电路


I m2 
(6  j8) I m1  100
6


 6 I m1 
(6  j8)[(6  j8) I m1  100]
 100 j
6

I m1  9.38  j 3.13  9.89 19 A

I m 2  3  j 9.25  9.8  108 A






I 1  I m1  9.89 19 A
I 2  I m 2  9.8  108 A

I 3  I m1  I m 2  9.89 19  9.8  108  17.6 45 A
第4章
正弦交流电路
4.11.2 节点法

U ab


U s1 Y1  U s 2 Y2

Y1  Y2  Y3
1
1
1
其中 Y1 
, Y2 
, Y3 
 jX C
 jX L
R
第4章
正弦交流电路
例 4.31 图 4.52 所示电路中已知数据同例 4.30, 试用节
点法求各支路电流。
解 以b点为参考节点, 各支路电流
如图所示



I 1、I 1、I 3 参考方向
1
1
Y1 
 S
 jX C
j8
1
1
Y2 
 S
jX L
j8
1
1
Y3    S
R
6
100 j100


600
 j8
j8
U ab 

(1  j )  106.1 45V
1
1 1
8


 j8 j8 6
第4章

正弦交流电路

U s1  U ab 100  106.1 45 632.5  71
I1 


 9.89 19 A
 jX C
 j8
64  90



U ab  U s 2 106.1 45  j100 632.5  18
I2 


 9.89 108 A
jX L
j8
8 90


U ab 106 45
I3 

 17.7 45 A
R
6

第4章
正弦交流电路
4.12 正弦交流电路的功率
4.12.1 瞬时功率p
.
I
.
U
Z
图4.53 功率
第4章
正弦交流电路
i  2 I sin t
u  2U sin(t   )
p  ui  2U sin(t   )  2 I sin t
` 2UI sin(t   )  sin t
1
 2UI  [cos(t  t   )  cos(t  t   )]
2
 UI [cos  cos(2t   )]
第4章
正弦交流电路
4.12.2 有功功率P
我们把一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功
率”, 或称为“有功功率”， 用字母“P”表示, 即
p, u, i
p£½
ui
+
+
i
£-

0
P£½UI cos 

£u
图 4.54 瞬时功率波形图
£-
2
t
第4章
正弦交流电路
1 T
1 T
P   pdt   UI [cos  cos(2t   )]dt
T 0
T 0
1 T
1 T
  (UI cos )dt   [UI cos(2t   )]dt  UI cos  0
T 0
T 0
P  UI cos  UI
P  UI cos  PR  U R I
P  UR I  I 2R
第4章
正弦交流电路
4.12.3 无功功率Q
无功功率的定义式为
Q  UI sin 
Q  QL  QC
第4章
正弦交流电路
4.12.4 视在功率S
视在功率的定义式为
S  UI
1kVA  1000VA
第4章
正弦交流电路
4.12.5 功率三角形
S  P Q
2
2
2
S  P Q
2
2
Q
t an 
P
P
  cos 
S
S
Q

P
图4.55 功率三角形
第4章
正弦交流电路
例 4.32 已知一阻抗Z上的电压、 电流分别为


U  220 30V , I  5  30 A (电压和电流的参考方向一
致), 求Z、cosφ、P、Q、S。
U 220 30
Z  
 44 60
I 5  30
1
cos  cos60 
2
1
P  UI cos  220 5   550W
2
3
Q  UI sin   220 5 
 550 3 var
2
S  P 2  Q 2  1100VA
第4章
正弦交流电路
例4.33 已知 40W的日光灯电路如图4.56所示, 在=220V
的电压之下, 电流值为I=0.36A, 求该日光灯的功率因数cosφ
及所需的无功功率Q。
解 因为 P
 UI cos 
所以
P
40
cos  

 0.5
UI 220  0.36
.
I
.
U
jXL
由于是电感性电路, 所以φ=60°。
电路中的无功功率为
R
图4.56 例 4.33 图
Q  UI sin   220 0.36  sin 60  69 var
第4章 正弦交流电路
例 4.34 用三表法测量一个线圈的参数, 如图4.57所示,
得下列数据: 电压表的读数为 50V, 电流表的读数为1A, 功率
表的读数为 30W, 试求该线圈的参数R和L 。（电源的频率为
50Hz
A
W
.
I
.
U
R
V
图4.57 例4.34图
jXL
第4章
正弦交流电路
解 选u、i为关联参考方向, 如图4.57所示。根据
PI R
2
求得
R
P 30
 2  30
2
I
I
线圈的阻抗
U 50
Z  
 50
I
1
由于
Z  R 2  X L2
所以
XL 
则
XL
Z  R 2  40
2
40
L

 0.127
 314
第4章
正弦交流电路
4.13 功率因数的提高
4.13.1 提高功率因数的意义
功率因数低会引起下述的不良后果。
(1) 电源设备的容量不能得到充分的利用。
(2)
第4章
正弦交流电路
4.13.2 提高功率因数的方法
.
IC
£«
.
U
.
I .
I1
R
.
IC
1
£-j
C
jL


.
I
£-
(a)
(b)
图4.59 功率因数的提高
.
U
.
I1
.
IC
第4章 正弦交流电路
并联电容前有 P  UI1 cos1 , I 2 
并联电容后有
P
U cos1
P
P  UI1 cos 2 , I 
U cos
由图4.59（b）可以看出
P sin 1 P sin  2
I C  I1 sin 1  I sin  2 

U cos1 U cos 2
又知
P
 (tan1  tan 2 )
U
U
IC 
 CU
XC
P
代入上式可得 CU  (tan1  tan 2 )
U
第4章
即
因为
正弦交流电路
P
C
(tan1  tan 2 )
2
U
2
U
QC  I 2 X C 
 CU 2
XC
QC
C
所以
U 2
代入式4.73可得 QC  P (tan1  tan 2 )
(4.73)
(4.74)
第4章
正弦交流电路
例 4.35 如图 4.60 所示为一日光灯装置等效电路, 已知
P=40W, U=220V, I=0.4A, f=50Hz,
(1) 此日光灯的功率因数;
(2) 若要把功率因数提高到0.9, 需补偿的无功功率QC及电
容量C
i
R
u
C
L
图 4.60 例 4.35 图
第4章
正弦交流电路
解 (1) 因为
P  UI cos 
所以
P
40
cos  

 0.455
UI 220  0.4
(2) 由cosφ1=0.455 得φ1=63°, tanφ1=1.96。由cosφ2=0.9
得φ2=26°,tanφ2=0.487。利用式(4.74)可得
QC  40(1.96  0.487)  58.9 var
所以
QC
58.9
6
C


3
.
88

10
F  3.88 F
2
2
U
2  3.14  220
第4章
正弦交流电路
4.14 谐 振
4.14.1 串联谐振
£«
1. 谐振现象
i
R
u
L
£-
C
图4.61 R、 L、 C串联电路
Z  R  j ( X L  X C )  R  jX  Z 
当X=XL-XC=0时, 电路相当于“纯电阻”电路, 其总电压U
和总电流I同相。 电路出现的这种现象称为“谐振”。
第4章 正弦交流电路
2. 产生谐振的条件
X L  X C  0或X L  X C
1
L 
C
(1) 当L、 C固定时, 可以改变电源频率达到谐振
1
0 
LC
1
f0 
2 LC
T0  2 LC
第4章
正弦交流电路
(2) 当电源的频率ω 一定时, 可改变电容C和电感L使
电路谐振。
C
1
 L
1
L 2
 C
2
(4.80)
第4章
正弦交流电路
例 4.36 图4.62为一R、L、C串联电路, 已知R=10Ω,
L=500μH, C为可变电容, 变化范围为12～290pF。若外施信
号源频率为800kHz,则电容应为何值才能使电路发生谐振。
解 由于
1
C 2 
 L (2f )2 L
1

( 2    800 103 )2  500 106
 79.2 pF
i
1
R
u
L
C
图 4.62 例4.36图
第4章
正弦交流电路
例 4.37 某收音机的输入回路（调谐回路）, 可简化为
一R、L、C组成的串联电路, 已知电感L=250μH, R=20Ω, 今
欲收到频率范围为525～1610kHz的中波段信号, 试求电容C
的变化范围。
解 由式(4.80)可知
1
1
C 2 
 L (2f )2 L
第4章
正弦交流电路
当f=525kHz时, 电路谐振, 则
1
C1 
 368pF
3 2
6
(2  525 10 )  250 10
当f=1610
kHz
时, 电路谐振, 则
1
C1 
 39.1 pF
3 2
6
(2  1610 10 )  250 10
所以电容C的变化范围为39.1～368 pF。
第4章
正弦交流电路
3. 串联谐振的基本特征
(1) 谐振时, 阻抗最小, 且为纯阻性。
因为谐振时, X=0, 所以Z=R, |Z|=R
(2) 谐振时, 电路中的电流最大, 且与外加电源电压同相。
Us
I
R
.
UL
.
UC
.
.
UR£½
U
图4.63 串联谐振相量图
.
I
第4章
正弦交流电路
(3) 谐振时, 电路的电抗为零。感抗XL和容抗XC相等, 其
值称为电路的特性阻抗ρ。
由于谐振时
0 
X L0  0 L 
X C0
1


 0C
1
LC
1
L
L

C
LC
1
L


1
C
C
LC
1
L
  0 L 

 0C
C
第4章
正弦交流电路
(4) 谐振时, 电感和电容上的电压大小相等, 相位相反, 且
其大小为电源电压Us的Q倍。Q
U L 0 I  0 L 0 L 
Q



Us
I R
R
R
U10  U C 0  QUs
第4章 正弦交流电路
例4.38 已知R、L、C串联电路中, R=20Ω, L=300μH,信号
源频率调到800kHz时, 回路中的电流达到最大, 最大值为
0.15mA, 试求信号源电压Us、电容C、回路的特性阻抗ρ、 品
质因数Q及电感上的电压UL0。
解 根据谐振电路的基本特征, 当回路的电流达到最大时,
电路处于谐振状态。由于谐振时
1
1
C 2 
 L (2f )2 L
1

 132pF
3 2
6
(2  800 10 )  300 10
第4章
正弦交流电路
谐振时
U s  U R  I 0 R  0.15  20  3m V
L
300 106


 1508
12
C
132 10
 1508
Q 
 75
R
20
则电感上的电压为
U L 0  QU s  75  3  225m V
第4章
正弦交流电路
4.14.2 并联谐振
i
i1
R
u
i2
L
图4.64 并联谐振
C
第4章
正弦交流电路
1. 并联谐振的条件
1
R  jL
Y1 
 2
R  jL R  (L)2
R
jL
 2
 2
2
R  (L)
R  (L)2
1
Y2 
 jC
 jX C
R
L
Y  Y1  Y2  2
 j[C  2
]
2
2
R  (L)
R  (L)
L
C  2
R  (L)2
第4章
正弦交流电路
L  CR 2

2
LC
0 
1
CR 2
1
L
LC
CR 2
f0 
1
L
2 LC
1
0 
L  CR 2

2
LC
1
CR 2
1
L
LC
CR 2
f0 
1
L
2 LC
1
第4章
0 
正弦交流电路
1
CR 2
1

L
LC
1
R2
1 2 

LC
0 
1
LC
f0 
1
2 LC
1
1
1 2
Q
LC
第4章
正弦交流电路
2. 并联谐振的特征
(1) 谐振时, 导纳为最小值, 阻抗为最大值, 且为纯阻性。
R
Y 2
R  (L)2
R 2  (0 L)2 (0 L)2
2
Z

 Q0 L  Q 
R
R
R
第4章 正弦交流电路
(2) 谐振时总电流最小, 且与端电压同相。
(3) 谐振时, 电感支路与电容支路的电流大小近似相等,
为总电流的Q倍。




1
U  I Z 0  I Q0 L  I Q
0C

I L0

I C0



U
U


  jQ I
R  j0 L j0 L



U

 j0C U  jQ I
 j0 L
I L 0  I C 0  QI