Transcript 第四章

第四章 正弦交流电路的相量法
第一节 复阻抗的串联与并联
第二节 复导纳分析并联电路
第三节 交流电路的功率
第四节 功率因数的提高
第五节 谐振电路
第六节 含互感的交流电路
本章小结
第一节 复阻抗的串联与并联
一、复阻抗的串联与并联
１.复阻抗的串联电路
如图4-1所示电路是多个复阻抗相串联的电路,根据
相量形式的基尔霍夫电压定律，则总电压
U  U 1  U 2      U n
 Z1 I  Z 2 I      Z n I
 ZI
Z  Z1  Z2   Zn
+

I

Z1
U1
Z2
U2


U
-
Zn

Un
图4-1 复阻抗串联电路
Z———串联电路的等效复阻抗
首页
注意:，在复阻抗串联电路中，总复阻抗等于各复阻抗之和，
但总阻抗却不等于各阻抗之和，即
Z  Z1  Z2   Zn
例4-1
电路如图4-2所示，两个复阻抗 Z1  5  j15
Z 2  1  j7 相串联，接在电压 u  100 2 sin(t  90)V
的电源上。试求等效阻抗Z，及两复阻抗上的电压u1和u2。
解
Z  Z1  Z 2
 5  j15  1  j7
 6  j8
 1053.13

+
+
U1 Z1

+
Z2
U

U2
-
-
图4-2
例4-1图
首页
U 2  Z 2 I  (1  j 7)  10 36.87 V
 7.07  81.87  10 36.87 V
 70.7  45 V
U 1  Z1 I  (5  j15)  10 36.87 V
 15.8171.57  10 36.87 V
 158.1108.44 V
u1  158.1 2 sin(t  108.4 )V

u2  70.7 2 sin(t  45 )V

首页
2.复阻抗的并联电路
如图4-3所示是多个复阻抗并联的电路，根据相量形式的
基尔霍夫电流定律，总电流
I  I1  I2    In
U
U
U


 
Z1 Z 2
Zn
1
1
1  U
( 
 
)U 
Z1 Z 2
Zn
Z

+

U
I



I1
I2
In
Z1
Z2
Zn
图4-3 复阻抗并联电路
1
1
1
1


 
Z Z1 Z 2
Zn
Z——并联电路的等效复阻抗
首页
例4-2 如图4-4所示，已知 R  15  L  30mH C  50μF
  1000rad s ,总电流 i  5 2 sin(t  40o )A 。求电压 U
与电流 I1 I2 。
解
+ i
Z 1  R  jL
i1
i2
R
 15  j1000 30 10 3 
u
L
 15  j30  33.5463.43 

1
1
Z2   j
 j

6
C
1000 50 10
  j20  20  90 
图4-4
1
1
Z2   j
 j

6
C
1000 50 10
  j20  20  90 
首页
例4-2图
C
Z1 Z 2
33.5463.43 20  90
Z


Z1  Z 2
15  j30  j20
670.8  26.57




37
.
2


60
.
26


18.0333.69
U  ZI  37.2  60.26  540 V  186  20.26 V
 186  20.26
U

I1 

A

5.55


83
.
69
A

Z1 33.5463.43
 186  20.26
U

I2 

A

9.3

29
.
74
A

Z2
20  90
首页
第二节 复导纳分析并联电路
一、复导纳
复阻抗的倒数叫做复导纳，用Y 表示，即
1
Y
Z
Y 的单位为西门子,简称西（S）。
若
则
Z=R+jX
1
1
R  jX
R
X
Y 
 2
 2 j 2
2
Z R  jX R  X
Z
Z
 G  jB
首页
G
R
Z
2
B
X
Z
2

XC  X L
Z
2
G称为电导, B称为电纳,其单位均为西（S）。
复导纳的极坐标形式为
Y  G  jB  Y  
Y

Y  G  B ，称为导纳。
2
B
2
G
B
   arctg ，称为导纳角。
G
图4－5
|Y|、G、B组成一个导纳三角形，如图4-5所示。
首页
导纳三角形
根据
1
1
1
Y 

 
Z Z  Z
对比可得
Y  Y  
1
Y 
Z
   


当电压、电流关联参考方向时，相量关系式 U
也可表示为

I
U 
Y
或
ZI
I  YU
首页
二、用复导纳分析并联电路
图4-6所示是多支路并联电路，根据相量形式的基尔霍
夫电流定律，总电流
.
.
.
.

I  I1  I 2    I n
.
.
+
.
 Y1 U 1  Y2 U 2  Yn U n
 YU
等效复导纳
注意
Y  Y1  Y2  Yn
I



I1
I2
In
Y 1 Y2
Yn

U
图4-6
Y  Y1  Y2   Yn
首页
多支路并联电路
例4-4
C  10μF
如图4-8中，已知 R1  250 R2  300 L  1H
i  1.15 2 sin314tA。求端电压u。
1
1
解 Y1 

 4  10 3 S
R1 250
+ i
i1
 1.591 j1.665  10 3 S
i3
R2
1
1
Y2 

Su
R2  jL 300  j314
 2.303 10- 3   46.31 S
i2
R1
L
图4-8
Y3  jC  j314 10 106 S
 j3.14 10 3 S
首页
例4-4图
C
Y  Y1  Y2  Y3
 4  10  1.591 j1.655  10  j3.14 10 S
3
3
3
 5.591 j1.475  10 3 S  5.782 10 3 14.78 S

I
1.150


U 
V

198
.
89


14
.
78
V
3

Y 5.782 10 14.78


u  198.89 2 sin 314t  14.78 V

首页
第三节 交流电路的功率
如RLC串联电路中，既有耗能元件，又有储能元件，所以
电路既有有功功率,也有无功功率。
电路的有功功率就是电阻上消耗的功率,即
由电压三角形可知
P  PR  U R I
U R  U cos
P  UI cos
故
电路的储能元件不消耗能量，但与外界进行周期性的能量
交换。电感吸收能量时，电容释放能量，电感释放能量时，电
容吸收能量，所以RLC串联电路的无功功率就是电感和电容无
功功率的差值，即
首页
Q  QL  QC  (U L  UC ) I
由电压三角形可知
故
U X  U L  UC  U sin
Q  UI sin
把电路的总电压有效值与总电流有效值的乘积称为视在
功率，用S表示，其单位是伏安(VA)或千伏安(KVA),即
S  UI
将电压三角形的三条边同乘以电流有效值，得到一个与电
压三角形相似的三角形,即功率三角形，如图4-9所示。
首页
P

S
Q=QL-QC
Q=QL-QC
S

P
a)
b)
图4-9 功率三角形
a) 感性电路;
由功率三角形可知
S
b) 容性电路
P 2  Q2
把有功功率与视在功率的比值称为功率因数，即
P
cos 
S
首页
因此， 角又称功率因数角。
总之  角共有三个含义:
(1)电压超前电流的相位差；(2)阻抗角；(3)功率因数角。
故，对于同一个电路，
P UR R
cos  

S U
Z
说明：上述由RLC串联电路得出的功率及功率因数的有关
公式也适用于一般正弦交流电路，具有普遍意义。
首页
例4-5 如图4-10所示电路，已知电源频率为50Hz，电压
表读数为100V，电流表读数为1A，功率表读数为40W，求R
和L的大小。
P 40
解 R
 2  40
2
I
1
U 100
| Z | 
  100
I
1
XL 
2
Z  R2
A
i
W
R
u
V
L
-
 100  40   91.65
2
+
2
图4-10 例4-5电路图
XL
91.65
L

H  291.9mH
2πf 2  3.14 50
首页

例4-7 RLC串联电路接在 u  100 2 sin(1000t  30 )V
的电源上，已知 R  8
L  20 mH C  125F。求电流
i、有功功率、无功功率、视在功率及功率因数。
1
解 Z  R  j(L 
)
C
3
 8  j(1000 20 10 
1
)
6
1000 125 10
 8  j( 20  8)
 8  j12  14.4256.3 


U
100

30

I  
A

6
.
93


26
.
3
A

Z 14.4256.3
首页
i  6.93 2 sin(1000t  26.3 )A

P  UI cos  100 6.93 cos56.3 W  384.5W
Q  UI sin  100 6.93 sin56.3 var  576.5var
S  UI  100  6.93 VA  693 VA
首页
第四节
功率因数的提高
一、提高功率因数的意义
1.负载的功率因数越高，电源设备的利用率就越高。
例:一台容量为100kVA的变压器，
cos  0.65时, 能输出的有功功率为100×0.65=65kW ；
cos  0.9 时, 能输出的有功功率为100×0.9=90kW。
2.在一定的电压下向负载输送一定的有功功率时，负载的
功率因数越高，输电线路的功率损失和电压降就越小。
故功率因数是电力系统中的一个重要参数，提高功率因
数对发展国民经济有着重要的意义。
首页
二、提高功率因数的方法
方法：在感性负载两端并联电容器。
原理：
+
IC
.
I
.
.
.
.
I1
IC
R
U
j L
1
j
C
1
2
.
.
I
-
U
.
IC
.
a）
b）
I1
图4-11 功率因数的提高
根据图4-11分析如下:
a）电路图 ； b）相量图
并联电容前，总电流 I  I1 ,电压超前电流的相位差为  1 ;
并联电容后，总电流 I  I1  IC ,电压超前电流的相位差为  2
因
 2  1
故
cos 2  cos1
首页
因并联电容前后电路消耗的有功功率是相等的,故
并联电容前
并联电容后
P  UI1 cos1
P
I1 
U cos1
P  UI cos 2
P
I
U cos 2
由相量图4-11b)可知
P sin 1 P sin 2
I C  I 1 sin 1  I sin 2 

U cos 1 U cos 2
P
 ( tg 1  tg 2 )
U
因
U
IC 
 CU
XC
首页
故
P
CU  ( tg 1  tg 2 )
U
P
C
( tg1  tg 2 )
2
U
根据上式可以计算功率因数由
cos1
提高到 cos 2 所
需并联的电容值。
首页
例4-8 有一感性负载的功率P=10kW，功率因数为0.65，电
源电压为380V，频率为50Hz。若把功率因数提高到0.9，试求
所需并联电容器的容量以及并联电容前后电路的总电流。
解 已知
cos1  0.65 1  49.46
tg1  1.17
 2  25.84
tg 2  0.48
cos1  0.9
所需并联电容的容量
P
C
( tg 1  tg 2 )
2
U
3
10 10

(1.17  0.48)F
2
2  3.14 50 380
 0.00015F  150μF
首页
并联电容前，电路的总电流
P
10 103
I1 

 40.49
U cos1 380 0.65
并联电容后，电路的总电流
P
10 103
I

 29 24A
U cos 2 380 0.9
首页
第五节 谐振电路
一、串联谐振
RLC串联电路端口处的电压和电流出现同相的现象，叫做
.
串联谐振。如图4-12所示。
I
+
1.谐振条件
1
Z  R  j(L 
)
C
.
UL
R
.
RLC串联电路的复阻抗
+
US
-
+.
UL L
+.
UC C
-
.
1
L 
0
C
.
UR  Us I
.
UC
a)
谐振的条件是：虚部为零，即
.
b)
图4-12 RLC串联谐振电路
a)电路图;
首页
b)相量图
由上式可得谐振角频率和谐振频率分别为
1
0 
LC
1
f0 
2 π LC
f0仅与电路本身的参数L和C有关，又称固有频率。
2. 串联谐振的特点
(1)谐振时，阻抗最小，电流最大。
谐振阻抗 | Z 0 |
谐振电流
R2  X 2  R
I 00  U ss R
首页
(2)谐振时，感抗和容抗相等，并等于电路的特性阻抗。
1
0 L 

 0C
L
L


C
LC
ρ——特性阻抗，单位为Ω。是衡量电路特性的重要参数。
(3)谐振时，电感与电容的电压大小相等，相位相反,且大
小为电源电压的Q倍。
U L0
Us 
 I 0 0 L   0 L
 U s  QUs
R R
U C0
1
1 Us 
 I0

 U s  QUs
 0 C  0C R R
首页
Q
0 L
R

1
R0C


R
Q——品质因数。只与电路参数R、L、C有关，没有单位。
电路的Q值一般在50～200之间。
由于谐振时，U L0
 UC0  QUs ，即使电源电压不高，电
感和电容上的电压仍可能很高，所以，串联谐振也称电压谐振。
这一特点在无线电工程上十分有用，通过电压谐振可使信号电
压升高。但在电力系统中，应尽量避免发生电压谐振。
首页
例4-10 在RLC串联谐振电路中，已知 R  4 L  0.2H
C  5μF 电源电压 US  10V。求(1)谐振角频率；(2)电路的特
性阻抗；(3)电路的品质因数；(4)电路中的电流；(5)各元件上
的电压。
解 (1)
0 
1
1

rad/s  103 rad/s
LC
0.2  5  106
L
0.2
(2)  

  200
6
C
5  10
 200
(3)
Q 
 50
R
4
U S 10
I0 
 A  2.5A
(4)
R
4
首页
(5)
U R 0  RI 0  4  2.5V  10V
U L 0  QUS  50 10V  500V
U C0  QUS  50 10V  500V
二、并联谐振
并联谐振电路如图4-14a) 所示。

.
.
I
.
.
IC
.
R IC
IL
.
-j
Us
j L
1
C
I
.
Us
.
IL

a)
b)
图4-14 并联谐振电路
a）电路图 ； b）相量图
首页
1.谐振条件
并联谐振电路的复导纳
1
Y  Y1  Y2 
 jC
R  jL
另其虚部为零，可得
 0  2πf 0 
1
LC
CR 2
1

L
1
LC
一般谐振电路的Q>>1,因此
0  2πf 0 
1
LC
首页
1
1 2
Q
2. 谐振的特点
(1) 谐振时，电路呈现高阻抗。
Z0  Q R
2
(2)谐振时，电感电流与电容电流近似相等，且都是总电流
的Q倍 。
I L0  I C0  QI0
I L0  I C0  QI0
Q值越大，电感和电容支路中的就越大，所以并联谐振又称
电流谐振。
首页
第六节
含互感的交流电路
一 、互感与互感电压
1. 互感系数
当通过电感线圈的电流变化时，电流产生的磁
通也在变化，变化的磁通在电感线圈自身产生感应
电压的现象称为自感现象，产生的电压叫自感电压。
而由一个线圈中的电流变化在另一个线圈中产生感
应电压的现象称为互感现象。产生的电压叫互感电
压。
首页
1
2
Φ11
i1
1
2
Φ21Φ12
N1
Φ22
N2
N1
u21
u12
a)
N2
i2
b)
图4-15 互感现象
在图4-15a)中:
Φ11、Ψ11——由i1产生的自感磁通、自感磁链，Ψ11=N1Φ11，
Φ21、Ψ21——由i1产生的互感磁通、互感磁链，Ψ21=N2Φ21。
在非铁磁性介质中，匝数一定时，电流产生的磁链与电流
大小成正比。若电流与它产生的磁通的参考方向符合右手螺旋
关系，则
首页
线圈1对线圈2的互感系数(简称互感)为
M 21 
 21
i1
在图4-15b)中：
Φ22、Ψ22——由i2产生的自感磁通、自感磁链，Ψ22=N2Φ22，
Φ12、Ψ12——由i2产生的互感磁通、互感磁链，Ψ12=N1Φ12。
线圈2对线圈1的互感系数(简称互感)为
M 12 
 12
i2
M12  M 21  M
互感M的SI单位是亨利，其符号用H表示。
首页
注意：互感是两个线圈之间的固有参数，其大小取决于两线
圈的匝数、几何尺寸、相互位置以及磁介质。
两个线圈的磁通相互交链的关系称为磁耦合，两耦合线圈
相互交链的磁通部分越大，表明两个线圈耦合的越紧密，为了
表征两个线圈耦合的紧密程度，通常用耦合系数k表示，即
k
M
L1 L2
理想情况下，k=1，称为全耦合；一般情况下，0<k<1。
2.互感电压
若线圈中的电流与它产生的磁通的参考方向符合右手螺旋
关系, 互感电压与互感磁通的参考方向符合右手螺旋关系时，
根据电磁感应定律，则
首页
电流i1在线圈2中产生的互感电压为
d 21
di1
u21 
M
dt
dt
电流i2在线圈1中产生的互感电压为
d 12
di2
u12 
M
dt
dt
以上互感电压的计算公式适用于任何形式的电流。当电
流为正弦电流时，互感电压可用相量表示为






U 21  jM I1  jX M I1
U 12  jM I 2  jX M I 2
首页
X M  M
XM——互感抗，单位是欧姆。
二、同名端及其应用
a
1.同名端的定义
b
c
Φ
i
增大 + 2
1
如图4-16所示：
3
+
+
4
5
图4-16 线圈的同名端
当di/dt >0时,端钮1、4、5的实际极性为正；
当di/dt <0时,端钮1、4、5的实际极性为负。
首页
6
另外，不论电流从哪一线圈的哪一端流入或流出，上述端
钮的极性关系始终不变。
通常把实际极性始终一致的端钮称为同名端。因此图4-15
中1、4、5是同名端，2、3、6也是同名端。同名端要用相同的
符号“·”或“*”标记。
2.同名端的判断
(1)利用同名端的特性判断
当有电流从同名端流入时,它们产生的磁通是相互加强的。
(2) 用试验的方法测定
原理：当有增大的电流从一线圈的同名端流入时,另一线
圈的同名端处出现高电位。
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3.同名端的应用
(1)不需画出互感线圈的绕向和相对位置，只需用同名端符
号表示，如图4-17所示；
(2)使互感电压方向的确定变得简单。互感电压的参考方向
与产生它的电流参考方向对同名端一致，即电流从有标记端指
向无标记端时，互感电压也从有标记端指向无标记端。反之亦
然。如图4-17 所示。
1
i1
2
M


+
+
u21
-
uL1
a)
M


+
u12
-
+
i2
uL 2
b)
图4-17 互感线圈中电流、电压的参考方向 首页
采用对同名端一致的方法表示互感电压与产生它的电流的
参考方向时，互感电压即可用下式计算
di1
u21  M
dt
di 2
u12  M
dt
例4-11 电路如图4-18所示，两线圈之间的互感 M  0.5H
线圈1中的电流 i  2 2 sin(314t  30 )A ，求线圈2上的
1
互感电压
u21 。
1
i1
2
M


+
u21
-
图 4-18 例 4-11 图
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解
选 u21的参考方向与
i1的参考方向对同名端
一致，如图4-18 所示。


U  jM I
 j314 0.5  2  30 V

 31460 V

u21  314 2 sin(314t  60 )V
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三、互感电路的计算
1.互感线圈的串联
jM
jL1


I
+
+

+
U 11

U 12
jL2

-+
-+

U 22

U 21
U
a)
jM
jL1

-

I
-
+
+
U 11

U 12
-+
+ 
U
b)
图 4-19 互感线圈的联结
a）顺向串联 ； b）反向串联
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jL2

U 22

U 21
+
-
(1)顺向串联
如图 4-19a) 所示。
当电流为正弦交流时





U  U L1  U 12  U L 2  U 21




 jL1 I  jM I  jL2 I  jM I

 j ( L1  L2  2 M ) I

 jLF I
LF  L1  L2  2 M
LF——线圈顺向串联的等效电感
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(2)反向串联
如图 4-19b) 所示。
当电流为正弦交流时





U  U L1  U 12  U L 2  U 21




 jL1 I  jM I  jL2 I  jM I

 j ( L1  L2  2 M ) I

 jLR I
LR  L1  L2  2 M
LR——线圈反向串联的等效电感
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利用互感线圈的两种串联方法可以测定互感线圈的同名端
和互感系数。
把两个互感线圈用两种方法串联，等效电感大者，为顺向
串联；等效电感小者则为反向串联。
根据
LF  LR  L1  L2  2 M  ( L1  L2  2 M )
 4M
得互感系数为
LF  LR
M
4
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例4-12 如图 4-20 所示电路，已知 R  15  C  10pF
L1  L2  0.5H k  0.6 ，求电路谐振时的频率为多少？
解
M  k L1 L2
R
 0.6  0.5  0.5  0.3H
L1
M
LF  L1  L2  2 M
C
L2
 0.5  0.5  2  0.3  1.6H
图 4-20 例 4-12 图
1
1
f0 

HZ
2π LFC 2π 1.6  10 1012
 39.8kHZ
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2、互感电路的计算
注意:
(1)互感电压是否存在(看另一线圈中是否有电流通过);
(2)正确标出互感电压的参考方向。
例4-13 如图 4-21 所示电路中，已知电源频率是50HZ，电
流表读数是3A，电压表读数是95V，试求两线圈之间的互感系
数。

解 由
得

U 21  jM I 1
U 21  MI1
U 21
95
M

H
I1 314 3
 0.1H
M
A
L1
L2
图4-21 例4-13 图
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V
例4-14 电路如图4-22 所示，已知 R1  5
R2  3
M  3 L1  8 L2  4 ，a、b两端所加电压


U ab  50 V ，试求c、d两端开路时的电压 U cd 。
解

c

R1

U ab
50
I

R2  jL2 3  j4
 10  53.13 A
u21
a



U cd  ( R2  jL2  jM ) I
R2

M
 L2
 ( 3  j4  j3)  10  53.13
 7.6266.8  10  53.13

i
 L1

d
b
图4-22
 76.213.67 V
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例4-14图
本章小结
一、复阻抗与复导纳
1
Y   Y  
Z
1
Y 
Z
   
1．串联电路的等效复阻抗
Z  Z1  Z2   Zn
2．并联电路的等效复阻抗
1
1
1
1


 
Z Z1 Z 2
Zn
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3．并联电路的等效复导纳
Y  Y1  Y2   Yn
电压与电流的相量关系用复导纳表示
I  YU
二、交流电路的功率
P  UI cos  I R
Q  UI sin  I 2 X
2
有功功率
无功功率
视在功率
功率因数
S
P 2  Q 2  UI  I 2 Z
P
  cos 
S
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三、功率因数的提高
提高功率因数的意义
提高电源设备的利用率，降低输电线上的功率损耗和电压
损失。
提高功率因数的方法
对感性负载并联电容器。
P
C
( tg1  tg 2 )
2
U
四、谐振电路
1．串联谐振
谐振条件
X L  XC
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谐振频率
特性阻抗
品质因数
1
f0 
2π LC
L

C
0 L
1

Q


R
0CR R
2.并联谐振
谐振频率
1
f0 
2π LC
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五、互感电路
M
互感系数
耦合系数
同名端
k
 21
i1

 12
i2
M
L1 L2
互感线圈中，无论电流如何变化，实际极性始终
相同的端钮叫同名端。
互感电压 当互感电压与产生它的电流的参考方向对同名
端一致时
di 2
u12  M
dt
di1
u21  M
dt
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对于正弦电流


U 12  jM I 2


U 21  jM I 1
互感线圈的串联
顺向串联
LF  L1  L2  2 M
反向串联
LR  L1  L2  2 M
互感
LF  LR
M
4
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