第四章正弦交流电路的稳态分析
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第四章 正弦交流电路的稳态分析
第一节 正弦交流电的基本概念
第二节 正弦交流电的相量表示法
第三节 单一理想元件的交流电路
第四节 RLC串联交流电路
第六节 正弦交流电路的分析方法
第七节 功率因数的提高
第一节 正弦交流电的基本概念
一 正弦量
二 正弦量的三要素
一、正弦量:
大小和方向随时间按正弦规律变化
的电压、电流和电动势统称为正弦量。
正弦信号的和、差、微积分等运算
结果仍是同频率的正弦信号。
当正弦信号作为电路的信号源时,
电路中产生的响应仍是同频率的正弦
信号。
正弦电流 i 用三角函数表示为
i=Imsin(ωt+ )A
其波形如图
i
Im
T
从表达式可以看出,当
Im、T、 确定后,正
弦量就被唯一的确定
t了,所以这三个量统称
为正弦量的三要素。
二 正弦量的三要素
1.周期T、频率f 和角频率ω
2.最大值和有效值
3. 相位、初相、相位差
1.周期T、频率f 和角频率ω
周期T : 正弦量变化一次所需要的时
间称为周期。单位是秒 (s)。
频率f : 1秒钟正弦量变化的次数称
为频率。单位是赫兹(HZ )。
显然
f =1/T
或 T =1/f
角频率ω :
单位时间里正弦量变化的角度称为
角频率。单位是弧度/秒(rad/s).
ω=2π/T=2πf
周期,频率,角频率从不同角度描述
了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中
之一便可以求出另外两个。
2.最大值和有效值
正弦量某一瞬间的值称为瞬时值,瞬
时值中最大的称为最大值。Im、Um、
Em分别表示电流、电压和电动势的
最大值。
表示交流电的大小常用有效值的概念。
把两个等值电阻分别通一交流电流i
和直流电流I。如果在相同的时间T内所
产生的热量相等,那么我们把这个直流电
流I定义为交流电流的有效值。
T
i Rdt I RT 即 I
2
2
0
1
T
T
2
i dt
0
所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。
将电流的三角式带入上式中有:
I Im
2
同理:
U Um
2
E Em
2
3.相位、初相、相位差
i I m sin(t ) A
相位:我们把 ωt+ 称为相位。
初相:t=0时的相位称为初相。
相位差:任意两个同频率的正弦
量的相位之差。用φ 表示。
例:
u U m sin(t u )V
i I m sin(t i ) A
两者的相位差为:
u i
电压超前电流φ角
(或电流滞后电压φ 角)
=0 电压与电流同相位
<0 电流超前电压φ角
>0
若:φ
= ±π 电流与电压反相
u.i
i
ωt
φ φ
φ >0 φ <0 φ=0
φ =π
例:已知:i =10sin(314t+30°) A,
u =220√2 sin(314t-45°)V,试指出它们的
角频率、周期、幅值、有效值和初相,相
位差,并画出波形图。
解: ω=314(rad/s),ω=2πf
f = ω/2π=50(Hz),T=1/f = 0.02(s)
Im = 10A ,Um = 220 √2 V
I=Im/√2 = 5√2 A, U=Um/√2 =220V
i= 30°, u= -45°
φ = U- i=-75°
u、i
220√2
10
ωt
30°
45°
u 滞后 i 75°, i 超前 u 75°。
第二节 正弦交流电的相量表示
一、 相量图
二、 相量表示(复数表示)
一、相量图
正弦信号可用一旋转矢量来表示,
令
矢量长度=Im
矢量初始角=Ψ
矢量旋转速度=ω
如图:
y
i
ω
ωt
x
该矢量某一时刻在纵轴上的投影
刚好等于正弦量的瞬时值
一般我们研究的是同频率的正弦量,
用相量表示时,它们同以ω速度旋
转相对位置保持不变。因此 ,在同
一相量图中,以t=0时刻的相量表示
正弦量。
相量的写法为大写字母的上方加一
个“.”
例: 用相量图来表示下列正弦量
U3
U2
120°
解:
u 1 U m sin ω t V
o
u2 U m sin(ω t 120 ) V
o
u3 U m sin(ω t 120 ) V
120°
U1
注 意
•
只有正弦量才能用相量表示;
几个同频率正弦量可以画在同一
相量图上;
•
任意两个同频率正弦量的和或差
可用平行四边形法则求。
•
二、相量表示(复数表示)
我们知道一个相量可以用复数表示,
而正弦量又可以用相量表示,因此正
弦量可以用复数表示。
1、复数表示法:
j
A
b r
A=a+jb
代数式
A=r(cosφ +jsinφ)三角式
+1 A=r e jφ 指数式
a
A=r∠φ 极坐标式
其中
a=r cosφ
b=r sinφ
r
a b
2
2
φ =arctan(b/a)
2、有关复数的计算
加减运算用代数式, 实部与实部,
虚部与虚部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式,
模相乘或相除,幅角相加或减。
3. 正弦量的相量表示
一个复数的幅角等于正弦量的初相
角, 复数的模等于正弦量的最大值或有
效值,该复数称为正弦量的相量.
R = a+j b 是t = 0 固定相量的复数形式
·
∴ u≠Um
例: 写出下列正弦量的相量, 并求
出:i = i1+i2 ,画出相量图。
i1 20 2 sin( t 60 ) A
o
i2 10 2 sin( t 30 ) A
o
解: İ = 20∠60°A
1
İ2=10∠-30°A
İ = İ1+ İ2 = 20∠60°+10 ∠-30°
=20(cos60 ° +jsin60 °)+
10[cos(-30°)+jsin (-30°)
=10+j17.39+8.66-j5
=18.66+j12.39
=22.36∠33.4o(A)
i 22.36 2 sin(ω t 33.4 )A
o
相量图为:
I1
I
I2
三、 基尔霍夫定律的相量形式
KCL
∑i = 0
∑İ= 0
KVL
∑u = 0
∑U= 0
○
i
i1
i2
i=i1+i2
○
I I1 I 2
第三节 单一理想元件的交流电路
一、电阻电路
二、电感电路
三、电容电路
一、电阻电路
1、电压与电流关系
为了比较各个正弦量之间的
相位关系,先规定一个初相
角为零的参考正弦量。
i
u
设 u Um sinωt
u、i 满足欧姆定律
i
u
R
Um
R
sinωt I m sinωt
Im、Um(U、I)同样满足欧姆定律
Im
Um
I
R
U
R
复数形式
U U0
I I 0
o
复数形式欧姆定律
U
I
U
I
0 R
o
U I R
可见:电压与电流同相位
ui
u
i
相量图
I
φ=0
U
2.功率关系
ui
u
i
⑴瞬时功率
p= ui =UmImsin2ωt
=UI(1-cos2ωt)
ωt (2)平均功率
p
P
1
T
T
pdt
0
= UI = I2R = U2/R
UI
可见:P≥0 电阻是
一个耗能元件。
ωt
二.电感电路
1.电压与电流关系
i
u
XL= ωL 感抗
设 i =Imsinωt
u = L di/dt
= ωLImcosωt
=Umsin(ωt+90°)
Um= ωLIm
U=XLI
相量图
.
U
电感中的电流滞后电压90°
(电压超前电流90°)。
.
I
.
因此: U
.
.
U 90°
I
U
U
90
.
I
I
.
相量表达式为: U
I
o
0°
j XL
.
jXL I
2.功率关系
(1) 瞬时功率
P=u i =Im · Umsinωt · cosωt
U I sin2 ω t
在正弦交流电路中,电感功率以
2ω按正弦规律变化。
波形如图所示
ui
u
i
ωt
p
ωt
显然,第一个
1/4 周期P>0,电
感吸收能量,
第二个 1/4 周期
P<0,放出能量.
它与电源间进
行能量的互相
交换.
⑵平均功率(有功功率)
P
1
T
pdt 0
T 0
电感是储能元件,不消耗电能。
⑶无功功率
无功功率反映的是电感与电
源间能量互相交换的规模。
QL= U I = I 2 XL = U 2/XL
单位: 乏尔(var)
例:设电感L=1.65H, ω= 314 rad/s
uL=190√2sin(ωt+20o)V
求XL、i L、Q L 。
解:
XL= ωL=520Ω
IL=UL/ XL=0.336A
电感中电流落后电压90º
iL=0.336 √2 sin(314t+20º-90º)
= 0.336 √2 sin(314t-70º)
QL=ULIL=69.54(var)
三、电容电路
1、电压与电流关系
设: u Um sinωt
i
u
C
iC
du
dt
ωCU m cosωt
I m sin(ωt 90 )
U mωC I m
XC
1
ωC
U m XC I m
Um
1
ωC
容抗
U U 0
相量图
I
U XC I
电容中的电流超前电压90
Im
U
I I 90
U
I
U
I
90 jX C
∴相量表达式为: U jX C I
2、功率关系
(1)瞬时功率
p ui Um I m cosωt sinωt
UI sin 2t
ui
u
i
ωt
p
ωt
显然,第
一个1/4周
期p>0,电容
储存能量,
第二个1/4
周期p<0,放
出能量。
(2)平均功率(有功功率)
P
1
T
T
pdt 0
0
电容是储能元件,不消耗电能。
(3)无功功率
无功功率反映的是电容与电源间能量
互相交换的规模。
Q C UI I XC
2
单位是乏尔(Var)
U
2
XC
例:设电容C=0.1μF, ω= 6280 rad/s
uC=10sin(ωt+30o)V,求XC 、İC 、Q C。
解:
XC= 1/ωC=1.59KΩ
IC =UC/XC= 10 / √2 1.59 =4.45mA
电容中电流超前电压90º
İC =4.45∠ 30º+90º = 4.45∠ 120ºmA
QC=XCIC2 =31.6×10-3 (var)
例:已知XL=10Ω,R= 2Ω,A2表读数2A,设
个表均为理想电表,求其余各表读数.
解:
A
A1
A2
U=I2·XL=2×10=20
V
V
I1=U/R=20/2=10A
R
L
设İ1= 10∠0 °A
=10A
İ = İ 1+ İ 2
İ2= 2∠-90 °A
=10-j2
=-j2
A
=10.2 ∠-11.3°A
∴A1: 10A、A: 10.2A、U:20V
第四节 RLC串联交流电路
一、电压与电流关系
二、功率关系
一.电压与电流关系
i
R
u
L
C
uR
U U R U L UC
uL 以电流为参考正弦量,
uC
i = Im sinωt 即İ =I∠0°
1、相量图法
相量图为:
UL
电压三角形
U
ULUC
φ
U
φ
I
UL-UC
UR
UR
UC
可见: U
U (U L U C )
2
R
U L UC
X L XC
arctan
φ arctan
UR
R
2
总电压有效值
U 2= UR2+(UL—UC)2
电抗与阻抗
U
U
2
R
(UL UC )
2
( IR ) 2 ( IX L IX C ) 2
I
R 2 ( XL XC )2
I
R 2 X2
Iz
式中 X=XL-XC 称为电抗
R 2 X 2 称为阻抗
z
∴U=Iz
相位关系
X L XC
φ arctan
arctan
UR
R
arct an
U L UC
L 1
R
c
可见φ 是由R、L、C及ω决定的。
90°>φ > 0 电压超前电流电路呈感性。
-90°<φ < 0 电流超前电压电路呈容性。φ
=0
电压与电流同相,电路呈纯阻
性。
2、复数形式分析法
U U R U L UC
I R jX L I jX C I
I[R j( X L X C )]
I( R jX )
Z=R+j(XL-XC) = z∠φ
z
Z为复阻抗
R 2 ( X L XC )2
φ = arctan(XL-XC)/R
φ 角为阻抗角,它等于电压与电流
之间的相位差角.
U IZ
阻抗三角形
复数形式欧姆定律
z
XL-XC
φ
R
例1、在RLC串联交流电路中,R=15Ω,
L=12mH, C=5μF,电源电压
u 100 2 sin( 5000t )V
求:⑴电路中的电流i 和各部分电uR ,uL ,uC ;
(2)画相量图.
解:X =ωL
XC=1/ωC
L
=5000×12×10-3
=60Ω
=1/5000×5×10-6
=40Ω
Z R j( XL XC ) 15 j20
o
2
2 arctan 20
25 53. 13
15 20
15
I
U
Z
1000
o
O
25 53.13
4 53.13
U R I R 60 53 . 13
o
o
o
o
U L j XLI
90 × 60 ×4
53 . 13
240 36 . 8 o
o
o
UC
j XC I
90 ×40 × 4
53 . 13
160 143 . 13
o
i 4 2 sin( 5000t 53.13 )A
o
u R 60 2 sin( 5000t 53.13 )V
o
u L 240 2 sin( 5000t 36.8 )V
o
uC 160 2 sin( 5000t 143.13 )V
o
(2)相量图如图:
UL
36.8o
UC
53.13o
143.13
o
I
UR
U
例2.已知R1=1KΩ,R2=300Ω,L=0.4H,
ω=103rad/s,电压表V1的读数为2V,试求其余电
压表的读数。
解:
R1
设u1为参考正弦量
V1
u
V
i
R2
L
U1 U10 2V
V2
则I=U1/R1=2mA
İ=2∠0°mA
U 2 Z 2 I ( R 2 jL) I
=(300+j400) ×2×10-3
=500∠ 53.2°×2×10-3 =1∠ 53.2°V
U U 1 U2
=2+1∠ 53.2 °
= 2.72∠ 17.1°
∴ V2表读数1V,V表读数2.72V。
相量图:
U
U2
I
U1
例3.RC串联电路中,总阻抗z = 2000Ω,
f =1000HZ , u与uC夹角为30°,
试求R、C。
解: 设i 为参考正弦量 İ=I∠0°
作相量图:
φ
UR
UC
U
I
可得
U I 60
o
z、R、XC满足阻抗三角形
有 R= z cos φ =1000Ω
XC= z sinφ =1732Ω
C = 1/ωXC=0.1μF
二、功率关系
在正弦交流电路中,不管阻抗如何联
接,电路的功率等于各元件功率之和。
1、平均功率 (有功功率)
在RLC电路中,只有电阻消耗功率
Z = R + jX
所以电路的有功功率为:
P = ∑URIR
式中cos
φ
为
P =U I cos φ
功率因数。
2、无功功率
电路中无功功率包括电感和电容两个
元件的无功功率。
Z = R + j(XL-XC)
QL=ULI
QC=UCI
Q = QL-QC
Q=UIsinφ
φ >0, Q>0 电路呈感性
φ <0 , Q<0 电路呈容性
3、视在功率
S=UI
一般它表示发电设备的容量。
单位是伏安(VA)
P = UI cosφ = S cos φ
Q = UI sinφ = S sin φ
S UI
P Q
2
得出功率三角形:
S
Q
φ
P
2
φ
φ
U
z
φ
R
UL-UC
S
XL-XC
总结:
Q
UR
P
阻抗三角形,电压三角形和功率
三角形 是三个相似的三角形。
例:某感性负载端电压 u 220 2 sin 314t
P=7.5KW,Q=5.5KVar,试求感性负载的功率
因数及其串联参数.
P
7.5
解:Cos
P Q
2
= 0.81
电路为串联
I
P
U cos
= 42.1A
2
7.5 5.5
2
2
∴φ =35.9°
R = P/I 2 = 4.2Ω
XL=R·tan φ =3.04Ω
L=XL/ω = 9.7mH
第六节 正弦交流电路的分析方法
例:已知 R1=2Ω ,X1=X2=10Ω,X3=5Ω
·
I =10A,求İ 、İ 、U、cosφ 、P、Q、S 。
1
2
X1
u
I1
3
R1 a
解:Z1=jX1+R1=j10+2
Z
=jX
=j10
2
2
X2 X3
Z3=-jX3=-j5
Zab=Z2∥Z3=-10j
I2 I3
=10∠-90°
b
Uab=I1 ·zab=10×10=100V
设 U ab 1000
I2
U ab
Z2
j10
U ab
1000
I3
1000
j5
Z3
U I 1 Z1 U ab
10 90
2090
I 2 I 3 Z1 U ab
=(-j10+j20)(2+j10)+100
=-100+j20+100=j20=20∠90°
İ1 = j10 =10 ∠90°
∴φ = 0,
cosφ =1
P=UIcosφ =10×20×1=200W
Q= UIsinφ =10×20×0=0var
S=UI=200VA
有些情况借助于相量图求解方便.画相
量图时,参考相量的选择很关键.一般,
串联电路选电流为参考相量,并联电路
选两端电压为参考相量,在串、并混联
电路选最基本的并联电路的端电压为
参考相量。
例: 图示正弦交流电路中, P = 200 W, U=40V,
R=XC=8Ω, 求İ、İ1、İ2、XL UL 。
X
İ
L a
设 Uab 为参考正弦量
İ1
İ2
U
UL
R
XC
UC
b
作相量图:
UL
I2
U
I1
P/R 5A
İ1=5∠0° İ2=5∠90°
İ=7.07∠45°
Uab=I1×R=40V
UL
I
45°
I 2 I1
Uab U 40 2V
2
2
U L 40 2135
U ab
XL UL / I 8
第七节 功率因数的提高
一、负载的功率因数cosφ 低
带来的问题
二、提高功率因数的方法
cos
R
R X
2
2
P
P Q
2
2
一.负载的功率因数cosφ低带来的问题
1.电源设备的容量不能充分利用
例:一个S
交流电源的额定容量为S
N=50KVA的电源,向功率因数
N=UNIN,
cosφ
1=0.5的日光灯供电,它能供应40W的
因为P=S
Ncosφ ,发电机能够输出的有功
625
日光灯_____只,如果用来供应cosφ
=1的
2
功率和负载的功率因数cosφ 成正比。
40W日光灯,则可供应_______只?
1250
所以,负载的功率因数低,电源发出的
P=n×40=SNcosφ
有功功率就小,电源的容量得不到充分
n1=50×103×0.5/40=625
利用。n2=50×103×1/40=1250
2. 供电效率低(输电耗能大)
P=UIcosφ
I=P/Ucosφ
当输电线路的电压和负载的功率一定
时,输电线上的电流与cosφ 成反比。
cosφ 越小,I越大。设输电线的电阻为r,
则它引起的功率耗损为:
ΔP = I2r =(P/Ucosφ)2r
cosφ 低,功率损耗大。降低了供电效率。
二.提高功率因数的方法
工业负载多数是感性负载,因此提
高负载功率因数可在其两端并联电容。
cos
P
P Q
2
2
提高功率因数的基本思想是减少无功功率。
R
u
i
L
C
P
cos
P QL
2
2
作相量图:
IC
φ′
φ
I
U
I
显然:
cosφ < cosφ′
I′<I
上 机 选 实 验 通 知
选实验时间: 10.16--10.19
选实验地点:基础楼331
实 验 内 容
1、 仪器使用
2、 单相交流电路(日光灯电路)
3、三相电路
4、集成运算放大器的应用
5、数字电路应用
地点:基础楼4楼(每次最多60人)
*实验2、3 属于电工学Ⅰ课程,实验1、4、5
属于电工学Ⅱ课程。