Transcript 第四章正弦交流电路的稳态分析

第四章 正弦交流电路的稳态分析
第一节 正弦交流电的基本概念
第二节 正弦交流电的相量表示法
第三节 单一理想元件的交流电路
第四节 RLC串联交流电路
第六节 正弦交流电路的分析方法
第七节 功率因数的提高
第一节 正弦交流电的基本概念
一 正弦量
二 正弦量的三要素
一、正弦量:
大小和方向随时间按正弦规律变化
的电压、电流和电动势统称为正弦量。
正弦信号的和、差、微积分等运算
结果仍是同频率的正弦信号。
当正弦信号作为电路的信号源时，
电路中产生的响应仍是同频率的正弦
信号。
正弦电流 i 用三角函数表示为
i=Iｍsin(ωt+ )Ａ
其波形如图
i
Im

T
从表达式可以看出,当
Im、T、  确定后,正
弦量就被唯一的确定
t了,所以这三个量统称
为正弦量的三要素。
二 正弦量的三要素
1.周期T、频率f 和角频率ω
2.最大值和有效值
3. 相位、初相、相位差
1.周期Ｔ、频率f 和角频率ω
周期T : 正弦量变化一次所需要的时
间称为周期。单位是秒 (s）。
频率f : 1秒钟正弦量变化的次数称
为频率。单位是赫兹（HZ )。
显然
f =1/T
或 T =1/f
角频率ω :
单位时间里正弦量变化的角度称为
角频率。单位是弧度/秒（rad/s）.
ω=2π/T=2πf
周期，频率，角频率从不同角度描述
了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中
之一便可以求出另外两个。
２．最大值和有效值
正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬
时值中最大的称为最大值。Im、Um、
Em分别表示电流、电压和电动势的
最大值。
表示交流电的大小常用有效值的概念。
把两个等值电阻分别通一交流电流i
和直流电流Ｉ。如果在相同的时间Ｔ内所
产生的热量相等，那么我们把这个直流电
流Ｉ定义为交流电流的有效值。

T
i Rdt  I RT 即 I 
2
2
0
1
T

T
2
i dt
0
所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。
将电流的三角式带入上式中有:
I  Im
2
同理:
U  Um
2
E  Em
2
3.相位、初相、相位差
i  I m sin(t   ) A
相位：我们把 ωt+ 称为相位。
初相：t=0时的相位称为初相。
相位差：任意两个同频率的正弦
量的相位之差。用φ 表示。
例：
u  U m sin(t   u )V
i  I m sin(t   i ) A
两者的相位差为:
  u  i
电压超前电流φ角
(或电流滞后电压φ 角)
=0 电压与电流同相位
<0 电流超前电压φ角
>0
若:φ
= ±π 电流与电压反相
u.i
i
ωt
φ φ
φ >0 φ <0 φ=0
φ =π
例：已知：i =10sin(314t+30°) A,
u =220√2 sin(314t－45°)V,试指出它们的
角频率、周期、幅值、有效值和初相，相
位差，并画出波形图。
解： ω=314(rad/s)，ω=2πf
f = ω/2π=50(Hz），T=1/f = 0.02(s)
Im = 10A ,Um = 220 √2 V
I=Im／√2 = 5√2 A, U=Um／√2 =220V
i= 30°, u= －45°
φ = U－ i=－75°
u、i
220√2
10
ωt
30°
45°
u 滞后 i 75°, i 超前 u 75°。
第二节 正弦交流电的相量表示
一、 相量图
二、 相量表示（复数表示）
一、相量图
正弦信号可用一旋转矢量来表示，
令
矢量长度＝Im
矢量初始角＝Ψ
矢量旋转速度＝ω
如图：
y
i
ω
ωt
x
该矢量某一时刻在纵轴上的投影
刚好等于正弦量的瞬时值
一般我们研究的是同频率的正弦量，
用相量表示时，它们同以ω速度旋
转相对位置保持不变。因此 ，在同
一相量图中，以t＝0时刻的相量表示
正弦量。
相量的写法为大写字母的上方加一
个“.”
例： 用相量图来表示下列正弦量

U3

U2
120°
解：
u 1  U m sin ω t V
o
u2  U m sin(ω t  120 ) V
o
u3  U m sin(ω t  120 ) V

120°
U1
注 意
•
只有正弦量才能用相量表示；
几个同频率正弦量可以画在同一
相量图上；
•
任意两个同频率正弦量的和或差
可用平行四边形法则求。
•
二、相量表示（复数表示）
我们知道一个相量可以用复数表示，
而正弦量又可以用相量表示，因此正
弦量可以用复数表示。
１、复数表示法：
j
A
b r
A=a+jb
代数式
A=r(cosφ +jsinφ)三角式
+1 A=r e jφ 指数式
a
A=r∠φ 极坐标式
其中
a=r cosφ
b=r sinφ
r 
a b
2
2
φ =arctan(b/a)
2、有关复数的计算
加减运算用代数式, 实部与实部,
虚部与虚部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式，
模相乘或相除，幅角相加或减。
3. 正弦量的相量表示
一个复数的幅角等于正弦量的初相
角， 复数的模等于正弦量的最大值或有
效值，该复数称为正弦量的相量.
R = a+j b 是t = 0 固定相量的复数形式
·
∴ u≠Um
例： 写出下列正弦量的相量， 并求
出：i = i1+i2 ,画出相量图。
i1  20 2 sin( t  60 ) A
o
i2  10 2 sin( t  30 ) A
o
解： İ = 20∠60°A
1
İ2=10∠-30°A
İ = İ1+ İ2 = 20∠60°+10 ∠－30°
=20(cos60 ° +jsin60 °)+
10[cos(－30°)+jsin (－30°)
=10+j17.39+8.66－j5
=18.66+j12.39
=22.36∠33.4o(A)
i  22.36 2 sin(ω t  33.4 )A
o
相量图为:


I1
I

I2
三、 基尔霍夫定律的相量形式
KCL
∑i = 0
∑İ= 0
KVL
∑u = 0
∑U= 0
○
i
i1
i2
i=i1+i2

○


I  I1  I 2
第三节 单一理想元件的交流电路
一、电阻电路
二、电感电路
三、电容电路
一、电阻电路
1、电压与电流关系
为了比较各个正弦量之间的
相位关系，先规定一个初相
角为零的参考正弦量。
i
u
设 u  Um sinωt
u、i 满足欧姆定律
i
u
R

Um
R
sinωt  I m sinωt
Im、Um（Ｕ、Ｉ）同样满足欧姆定律
Im 
Um
I
R
U
R
复数形式


U  U0
I  I 0
o
复数形式欧姆定律

U

I

U
I
 0  R
o


U  I R
可见：电压与电流同相位
ui
u
i
相量图

I
φ＝０

U
2．功率关系
ui
u
i
⑴瞬时功率
p= ui =UmImsin2ωt
=UI(1-cos2ωt)
ωt (2)平均功率
p
P 
1
T

T
pdt
0
= UI = I2R = U2/R
UI
可见:P≥0 电阻是
一个耗能元件。
ωt
二.电感电路
1.电压与电流关系
i
u
XL= ωL 感抗
设 i =Imsinωt
u = L di/dt
= ωLImcosωt
=Umsin(ωt+90°)
Um= ωLIm
U=XLI
相量图
.
U
电感中的电流滞后电压90°
（电压超前电流90°）。
.
I
.
因此: U
.
.
 U  90°
I 
U
U


90
.
I
I
.
相量表达式为: U
I
o

0°
 j XL
.
 jXL I
2．功率关系
(1) 瞬时功率
P＝u i =Im · Umsinωt · cosωt
 U I sin2 ω t
在正弦交流电路中，电感功率以
２ω按正弦规律变化。
波形如图所示
ui
u
i
ωt
p

 

ωt
显然,第一个
1/4 周期P>0,电
感吸收能量,
第二个 1/4 周期
P<0,放出能量.
它与电源间进
行能量的互相
交换.
⑵平均功率(有功功率)
P 
1

T
pdt  0
T 0
电感是储能元件,不消耗电能。
⑶无功功率
无功功率反映的是电感与电
源间能量互相交换的规模。
QL= U I = I 2 XL = U 2／XL
单位: 乏尔（var）
例：设电感Ｌ＝1.65H, ω= 314 rad/s
uＬ=190√2sin(ωt+20o)Ｖ
求XL、i L、Q L 。
解：
XL= ωL=520Ω
IL=UL/ XL=0.336A
电感中电流落后电压90º
iL=0.336 √2 sin(314t+20º－90º)
= 0.336 √2 sin(314t-70º)
QL=ULIL=69.54(var)
三、电容电路
1、电压与电流关系
设： u  Um sinωt
i
u
C
iC
du
dt
 ωCU m cosωt

 I m sin(ωt  90 )
U mωC  I m
XC 
1
ωC
U m  XC I m
Um 
1
ωC
容抗
U  U 0

相量图
I
U  XC I
电容中的电流超前电压90

Im



U

I  I 90


U

I

U
I
  90   jX C


∴相量表达式为： U   jX C I
2、功率关系
（1）瞬时功率
p  ui  Um I m cosωt sinωt
 UI sin 2t
ui
u
i
ωt
p

 

ωt
显然,第
一个1/4周
期p>0,电容
储存能量,
第二个1/4
周期p<0,放
出能量。
（2）平均功率（有功功率）
P 
1

T
T
pdt  0
0
电容是储能元件，不消耗电能。
（3）无功功率
无功功率反映的是电容与电源间能量
互相交换的规模。
Q C  UI  I XC 
2
单位是乏尔（Var）
U
2
XC
例：设电容C＝0.1μF, ω= 6280 rad/s
uC=10sin(ωt+30o)Ｖ,求XC 、İC 、Q C。
解：
XC= 1／ωC=1.59KΩ
IC =UC/XC= 10 ／ √2 1.59 =4.45mA
电容中电流超前电压90º
İC =4.45∠ 30º+90º = 4.45∠ 120ºmA
QC=XCIC2 =31.6×10－3 (var)
例:已知XL=10Ω,R= 2Ω,A2表读数2A,设
个表均为理想电表,求其余各表读数.
解：
A
A1
A2
U=I2·XL=2×10=20
V
V
I1=U/R=20/2=10A
R
L
设İ1= 10∠0 °A
=10A
İ = İ 1+ İ 2
İ2= 2∠－90 °A
=10－j2
=－j2
A
=10.2 ∠－11.3°A
∴A1: 10A、A: 10.2A、U:20V
第四节 RLC串联交流电路
一、电压与电流关系
二、功率关系
一.电压与电流关系
i

R
u
L
C
uR



U  U R U L UC
uL 以电流为参考正弦量，
uC
i = Im sinωt 即İ =I∠0°
1、相量图法
相量图为：

UL

电压三角形

U

ULUC
φ
U

φ
I


UL-UC
UR
UR
UC
可见： U 
U  (U L  U C )
2
R
U L UC
X L  XC
 arctan
φ  arctan
UR
R
2
总电压有效值
U 2= UR2+（UL—UC）2
电抗与阻抗
U 

U
2
R
 (UL  UC )
2
( IR ) 2  ( IX L  IX C ) 2
 I
R 2  ( XL  XC )2
 I
R 2  X2
 Iz
式中 X=XL－XC 称为电抗
R 2  X 2 称为阻抗
z 
∴U=Iz
相位关系
X L  XC
φ  arctan
 arctan
UR
R
 arct an
U L  UC
L  1
R
c
可见φ 是由R、L、C及ω决定的。
90°>φ > 0 电压超前电流电路呈感性。
－90°<φ < 0 电流超前电压电路呈容性。φ
=0
电压与电流同相,电路呈纯阻
性。
2、复数形式分析法




U  U R U L UC



 I R  jX L I  jX C I

 I[R  j( X L  X C )]

 I( R  jX )
Z=R+j(XL－XC) = z∠φ
z 
Z为复阻抗
R 2  ( X L  XC )2
φ = arctan(XL-XC)/R
φ 角为阻抗角,它等于电压与电流
之间的相位差角.


U  IZ
阻抗三角形
复数形式欧姆定律
z
XL-XC
φ
R
例1、在RLC串联交流电路中，R=15Ω，
L=12mH, C=5μF,电源电压
u  100 2 sin( 5000t )V
求:⑴电路中的电流i 和各部分电uR ,uL ,uC ;
(2)画相量图.
解：X =ωL
XC=1/ωC
L
=5000×12×10－3
=60Ω
=1／5000×5×10－6
=40Ω
Z  R j( XL  XC )  15 j20
o
2
2 arctan 20 
25 53. 13
 15  20 
15


I
U

Z

1000
o
O

25 53.13
 4  53.13

U R  I R  60   53 . 13

o
o

o
o





U L j XLI
90 × 60 ×4
53 . 13


 240  36 . 8 o
o
o







UC
j XC I
90 ×40 × 4
53 . 13
 160   143 . 13
o
 i  4 2 sin( 5000t  53.13 )A
o
u R  60 2 sin( 5000t  53.13 )V
o
u L  240 2 sin( 5000t  36.8 )V
o
uC  160 2 sin( 5000t  143.13 )V
o

（2）相量图如图：
UL
36.8o

UC
53.13o
143.13

o

I
UR

U
例2．已知R1=1KΩ,R2=300Ω，L=0.4H,
ω=103rad/s,电压表V1的读数为2V,试求其余电
压表的读数。
解：
R1
设u1为参考正弦量

V1
u
V
i

R2
L

U1  U10  2V
V2
则I=U1/R1=2mA
İ=2∠0°mA

U 2  Z 2 I  ( R 2  jL) I
=(300+j400) ×2×10－3
=500∠ 53.2°×2×10－3 =1∠ 53.2°V



U  U 1  U2
=2+1∠ 53.2 °
= 2.72∠ 17.1°
∴ V2表读数1V，V表读数2.72V。
相量图：


U
U2


I
U1
例3．RC串联电路中,总阻抗z = 2000Ω,
f =1000HZ , u与uC夹角为30°,
试求R、C。
解： 设i 为参考正弦量 İ=I∠0°
作相量图：


φ

UR
UC

U
I
可得
  
U I    60
o
z、R、XC满足阻抗三角形
有 R= z cos φ =1000Ω
XC= z sinφ =1732Ω
C = 1/ωXC=0.1μF
二、功率关系
在正弦交流电路中，不管阻抗如何联
接，电路的功率等于各元件功率之和。
1、平均功率 (有功功率）
在RLC电路中，只有电阻消耗功率
Z = R + jX
所以电路的有功功率为：
P = ∑URIR
式中cos
φ
为
P =U I cos φ
功率因数。
2、无功功率
电路中无功功率包括电感和电容两个
元件的无功功率。
Z = R + j(XL-XC)
QL=ULI
QC=UCI
Q = QL－QC
Q=UIsinφ
φ ＞0， Q＞0 电路呈感性
φ ＜0 ， Q＜0 电路呈容性
3、视在功率
S=UI
一般它表示发电设备的容量。
单位是伏安（VA）
P = UI cosφ = S cos φ
Q = UI sinφ = S sin φ
S  UI 
P Q
2
得出功率三角形：
S
Q
φ
P
2
φ
φ
U
z
φ
R
UL－UC
S
XL-XC
总结：
Q
UR
P
阻抗三角形,电压三角形和功率
三角形 是三个相似的三角形。
例：某感性负载端电压 u  220 2 sin 314t
P=7.5KW,Q=5.5KVar,试求感性负载的功率
因数及其串联参数.
P
7.5
解：Cos  

P Q
2
= 0.81
电路为串联
I
P
U cos 
= 42.1A
2
7.5  5.5
2
2
∴φ =35.9°
R = P／I 2 = 4.2Ω
XL=R·tan φ =3.04Ω
L=XL／ω = 9.7mH
第六节 正弦交流电路的分析方法
例：已知 R1=2Ω ，X1=X2=10Ω，X3=5Ω
·
I =10A，求İ 、İ 、U、cosφ 、P、Q、S 。
1
2
X1
u

I1
3
R1 a
解：Z1=jX1+R1=j10+2
Z
=jX
=j10
2
2
X2 X3
Z3=－jX3=－j5


Zab=Z2∥Z3=－10j
I2 I3
=10∠－90°
b
Uab=I1 ·zab=10×10=100V

设 U ab  1000


I2 
U ab

Z2
j10
U ab
1000


I3 
1000

 j5
Z3



U  I 1 Z1  U ab
 10  90
 2090




  I 2  I 3  Z1  U ab


=(－j10+j20)(2+j10)+100
=－100+j20+100=j20=20∠90°
İ1 = j10 =10 ∠90°
∴φ = 0,
cosφ =1
P=UIcosφ =10×20×1=200W
Q= UIsinφ =10×20×0=0var
S=UI=200VA
有些情况借助于相量图求解方便.画相
量图时,参考相量的选择很关键.一般,
串联电路选电流为参考相量,并联电路
选两端电压为参考相量,在串、并混联
电路选最基本的并联电路的端电压为
参考相量。
例： 图示正弦交流电路中, P = 200 W, U=40V，
R=XC=8Ω， 求İ、İ1、İ2、XL UL 。

X
İ
L a
设 Uab 为参考正弦量
İ1

İ2

U
UL

R
XC
UC
b
作相量图：


UL 
I2
U

I1
P/R  5A
İ1=5∠0° İ2=5∠90°
İ=7.07∠45°
Uab=I1×R＝40V
UL 

I
45°
I 2  I1 

Uab  U  40 2V
2
2
U L  40 2135

U ab
XL  UL / I  8
第七节 功率因数的提高
一、负载的功率因数cosφ 低
带来的问题
二、提高功率因数的方法
cos  
R
R X
2

2
P
P Q
2
2
一.负载的功率因数cosφ低带来的问题
1.电源设备的容量不能充分利用
例：一个S
交流电源的额定容量为S
N=50KVA的电源，向功率因数
N=UNIN，
cosφ
1=0.5的日光灯供电，它能供应40W的
因为P=S
Ncosφ ,发电机能够输出的有功
625
日光灯_____只,如果用来供应cosφ
=1的
2
功率和负载的功率因数cosφ 成正比。
40W日光灯，则可供应_______只？
1250
所以，负载的功率因数低，电源发出的
P=n×40=SNcosφ
有功功率就小，电源的容量得不到充分
n1=50×103×0.5/40=625
利用。n2=50×103×1/40=1250
2. 供电效率低（输电耗能大）
P=UIcosφ
I=P/Ucosφ
当输电线路的电压和负载的功率一定
时，输电线上的电流与cosφ 成反比。
cosφ 越小，I越大。设输电线的电阻为r,
则它引起的功率耗损为：
ΔP = I2r =(P/Ucosφ)2r
cosφ 低，功率损耗大。降低了供电效率。
二.提高功率因数的方法
工业负载多数是感性负载，因此提
高负载功率因数可在其两端并联电容。
cos  
P
P Q
2
2
提高功率因数的基本思想是减少无功功率。
R
u
i
L
C
P
cos  
P  QL
2
2
作相量图：

IC
φ′
φ

I

U

I
显然：
cosφ ＜ cosφ′
I′＜I
上 机 选 实 验 通 知
选实验时间: 10.16－－10.19
选实验地点：基础楼331
实 验 内 容
1、 仪器使用
2、 单相交流电路(日光灯电路)
3、三相电路
4、集成运算放大器的应用
5、数字电路应用
地点：基础楼4楼（每次最多60人）
＊实验2、3 属于电工学Ⅰ课程，实验1、4、5
属于电工学Ⅱ课程。