Transcript 极坐标与参数方程

一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及
它的正方向（通常取逆时针方向）。
O
这样就建立了一个极坐标系。
X
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，
用  表示线段OM的长度，
用  表示从OX到OM 的
角度， 叫做点M的极径，
叫做点M的极角，有序
数对（，）就叫做M的
极坐标。
M


O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在
某些必要情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
P
[1]作射线OP，使XOP= 

O
[2]在OP的反向延长
M
线上取一点M，使OM=   
X
3、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（－3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的上取一点M，使
OM= 3
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的反向延长线上取一点
M，使OM= 3
P
O
X
P
O
X
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角
找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值
在这条射线或其反向延长线上描点。
四、5、负极径的实质
从比较来看，负极径比
正极径多了一个操作，将射
线OP“反向延长”。
P
M
而反向延长也可以看成
是旋转  ，因此，所谓“负
极径”实质是管方向的。这
与数学中通常的习惯一致，
用“负”表示“反向 ”。
O
X
P
O
M
X
负极径小结：极径变为负，极角增加  。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），
认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
六、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
[1]给定（,）,就可以在
极坐标平面内确定唯一的
一点M。
P
M
O
[2]给定平面上一点M，但
却有无数个极坐标与之对
应。
原因在于：极角有无数个。
(ρ,θ)…
X
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则
(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以
作为它的极坐标.
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就
可以一一对应了.
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
ρ2 = x2 + y2，tanθ=
y
(x≠0)
x
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度单位相同.
参数方程与普通方程的互化
x  r cos
x2+y2=r2
y  r sin 
( x  a)  ( y  b)  r
2
2
2
 x  a  r cos

 y  b  r sin 
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵
坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之
间的关系。
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可
能体现时，通过参数建立间接的联系。
1 .参数方程
数方程.
x  a cos 
y  b sin  是椭圆的参
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外,  称为离心角,规定参数
 的取值范围是   [0, 2 )
 x  a cos  ,
 x  b cos  ,
焦点在X 轴 
焦点在Y 轴 
 y  b sin .
 y  a sin .
2
2
 x  a cos 

 y  b sin 
2
2
 x  b cos 

 y  a sin 
x
y
 2  1,
2
a
b
x
y
 2  1,
2
b
a
中心在C ( x0 , y0 )的椭圆的
 x  x0  a cos 
参数方程是
 y  y0  b sin 
y
双曲线的参数方程
2
2
x y
- 2 =1( a>0, b>0) 的参数方程为：
2
a b
a
 x  a sec 
(为参数)

 y  b tan 

3
通常规定  [o,2 )且  ，  。
2
2
说明：

A B'
o B
•M
A' x
b
 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑴ 这里参数
x2 y 2
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
 2  1与三角恒等式
2
a
b
2
2
sec   1  tan  相比较而得到，所以双曲线的参数方程
的实质是三角代换.
抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px( p>0) 的参数方程为:
x=2pt 2 ,
(t为参数，t  R)

 y  2pt .
M(x，y)
y

o
H
x
1
其中参数t =
(   0) , 当 =0时，t =0.
t an
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
x
即P( x, y) 为抛物线上任意一点, 则有t = .
y