Transcript 双曲线的标准方程

热烈庆祝嫦娥三号探月卫星发射成功
将首次实现月球软着陆和月面巡视勘察。
复习
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的集合.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
Y
O
F1 c, 0 
M  x, y 
F2 c, 0  X
2.引入问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数
的点的集合是什么呢？
双曲线及其标准方程
y
M
F1
F2
o
x
北京摩天大楼
法拉利主题公园
巴西利亚大教堂
花瓶
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
拉链生成双曲线.
思考:1.在作图的过程中哪些量是定量？
哪些量是不定量？
2.动点在运动过程中满足什么条件？
3.这个常数与|F1F2|的关系是什么？
4.动点运动的轨迹是什么？
5.若拉链上被固定的两点互换，
则出现什么情况？
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值
等于常数（小于︱F1F2︱)的点的集合叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a< |F1F2|=2c
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
M
② |F1F2|=2c ——焦距.
合作探究1、如果定义中去掉“绝
对值”三个字会有什么影响？
表示双曲线的一支
F
1
o
F
2
| |MF1| - |MF2| | = 2a，|F1F2|=2c
合作探究2、① 若2a = 2c,则轨迹是什么？
F1
F2
② 若2a > 2c,则轨迹是什么？
不存在
③ 若2a = 0, 则轨迹是什么？
线段F1F2的垂直平分线
根据求椭圆标准方程的方法求双曲线的标y
准方程
1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线
段F1F2的中点为原点建立直角
坐标系
2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即
4.化简
F
M
O
1
( x  c)  y  ( x  c)  y  2a
2
2
2
2
F
2
x
( x  c)  y  ( x  c)  y  2a
2
 ( x  c)
2
2
y
2
2
2
   2a 
2
a>0，b>0，2c2=a2+b2
( x  c)  y
2
cx  a   a ( x  c)  y
2
2
但a不一定大于b
(c  a ) x  a y  a (c  a )
2
2
2
2
2
2
2
c

a

b
2
2
x  y  1(a  0, b  0)
2
2
a
b
2
2
2
2
2

2
此即为
焦点在x
轴上的
双曲线
的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F2
x
F
O
1
F
2
O
x
F1
2
2
2
2
y
x
x
y


1


1
2
2
2
2
a
b
a
b
(a  0，b  0)
2
2
探究：能根据方程判断双曲线的焦点
看 x , y 前的系数，哪一个为正，
在哪个轴上吗？
焦点则在哪一个轴上
两种标准方程的比较
x2 y2
- 2 = 1(a > 0,b > 0)
2
a
b
y2 x2
- 2 = 1(a > 0,b > 0)
2
a
b
1、方程用“－”号连接。
2、分母是a , b , a  0, b  0但a, b大小不定.
2
3、c  a  b
2
2
2
2
4、如果x 的系数是正的，则焦点在x轴上；
2
如果y 的系数是正的，则焦点在y轴上。
2
例1判断下列方程是否表示双曲线？若是，求
出a、b、c 及焦点坐标。
 1
2
x
2

2
y
2
 1,  2 
2
x
4

2
y
2
 1
答案：
 1 a 
2, b  2, c  2
( 2, 0).(2, 0)
 2 a 
2, b  2, c  6
(0, 6).(0,  6)
例 2 已 知 两 定 点 F1 ( 5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1  PF2  6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2  10 >6,
PF1  PF2  6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
x2 y2
∴可设所求方程为: 2  2  1 (a>0,b>0).
a
b
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. b 2  c 2  a 2  16
x2 y2
所以点 P 的轨迹方程为

1.
9 16
变式训练:已知两定点 F1 ( 5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1  PF2  6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：
x2 y2
所以点 P 的轨迹方程为

 1 ( x ≥ 3) .
9 16
(右支),
例3:已知A,B两地相距2km,在A地听到炮弹爆炸声比在B
地晚4s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远1360m.因为|AB|>1360m,所以爆炸
点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
且点O与线段AB的中点重合
y P
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
则 PA  PB  340  2  1360
AB  2000
A o
B x
即 2a=1360，a=340
 2c  2000, c  1000, b2  c 2  a 2  537600
2000  PA  PB  1360  0 ,  x  02
x
y2

 1( x  0)
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
462400 537600
课时小结
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
图象
o
F1
x
F2
x
F1
2
2
2
2
方程
x
y
 2 1
2
a
b
y
x
 2 1
2
a
b
焦点
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
a.b.c 的关系
c a b
2
2
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭
定义
方程
焦点
a.b.c
的关系
圆
|MF1|+|MF2|=2a
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2
x2 y 2
 2  1(a  b  0) 2  2  1(a  0, b  0)
2
a b
a
b
y 2 x2
y 2 x2
 2  1(a  b  0) 2  2  1(a  0, b  0)
2
a b
a
b
F（±c，0）
F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0）
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不
一定大于b，
c2=a2+b2
数学思想方法
1、类比推理的思想
2、数形结合思想
练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
2
x
y

1
16
9
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2
2.a=5,c=7
2
2
2
2
x
y
y
x

 1或 
1
25 24
25 24
3.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
2
2
y
x

1
20
16
课后作业
• 习题3-3
A组 第1、3题