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圆的标准方程
江西吉安永丰二中 吴杰华
【教学重点】
圆的标准方程的理解、掌握.
【教学难点】
圆的标准方程的应用.
1.在平面直角坐标系中，两点确定一条
直线，一点和倾斜角也确定一条直线，
那么在什么条件下可以确定一个圆呢？
2.直线可以用一个方程表示，圆也可
以用一个方程来表示吗？怎样在平面
直角坐标系中建立圆的方程是我们需
要探究的问题.
一、圆的标准方程
思考：如何用集合语言描述以点A为圆
心，r为半径的圆？
圆上点的集合
r
M
A
P={M||MA|=r}.
平面上到一个定点的距离等于定长的
点的集合叫做圆.
思考:确定一个圆最基本的要素是什么？
圆心和半径
思考:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径
为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆
的定义x，y应满足什么关系？
P = { M | |MA| = r }
y
r
( x  a )  ( y  b)  r
2
2
即(x-a)2+(y-b)2=r2
M(x,y)
A(a,b)
o
x
我们把方程 ( x  a)  ( y  b)  r 称为以
A(a，b)圆心，r为半径长的 圆的标准方程
2
2
2
二、点与圆的位置关系
思考:在平面几何中，初中学过：点与
圆有哪几种位置关系？
点在圆内
点在圆上
点在圆外
思考:在初中平面几何中，如何确定点
与圆的位置关系？
A
A
A
O
OA<r
O
OA=r
O
OA>r
思考:如何判断点M在圆外、圆上、圆内
代数法：用圆的标准方程
几何法：用MC与r作比较
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
三、圆的标准方程的应用
例1 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且
圆心C在直线上l：x －y +1=0，求圆心为C的圆的标
准方程．
A(1,1)
弦AB的垂直
平分线
x
O
D
C
l
B(2,-2)
'
l : x  y 1  0
圆心C：两条直线的交点
半径CA：圆心到圆上一点
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
直线AB的斜率:
k AB
 2 1

 3
2 1
3 1
( , ),
2 2
因此线段AB的垂直平分线 ' 的方程是
l
1 1
3
y   (x  )
2 3
2
即
x  3y  3  0
x  3 y  3  0

x  y  1  0
所以圆心C的坐标是 ( 3,2)
解方程组
圆心为C的圆的半径长
得
 x  3,

 y  2.
r | AC | (1  3) 2  (1  2) 2  5
所以，圆心为C的圆的标准方程是
( x  3)  ( y  2)  25
2
2
例2 三角形ABC的三个顶点的坐标分别
A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它
的外接圆的方程．
y
A(5,1)
O
x
B(7,-3)
C(2,-8)
解：设所求圆的方程是 ( x  a) 2  ( y  b) 2  r 2
(1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以
它们的坐标都满足方程（1）．于是
2
2
2
a2
(
5

a
)

(
1

b
)

r



2
2
2
(7  a)  (3  b)  r  b  3
 r 5
(2  a) 2  (8  b) 2  r 2


所求圆的方程为
( x  2)  ( y  3)  25
2
2
待定系数法
课时小结
(1)圆的标准方程的结构特点.
(2)点与圆的位置关系的判定.
(3)求圆的标准方程的方法：
①待定系数法；②几何法.
课时作业
P79：练习： 1、2；
P85：习题2.2 A组：1.