Transcript 高三数学二次曲线复习

二次曲线小结
二次曲线小结
曹杨职校
授课 人：
陈开运
圆
学
习
导
航
与
要
求
二次曲线小结
椭圆
双曲线
双曲线
抛物线
双曲线定义的盲点
概
念
的
精
细
化
双曲线的渐近线
直线与双曲线关系
离心率分析
几种曲线定义
曲线与方程
曲线的切线
观
看
网
上
动
态
曲
线
曲
线
的
个
性
与
共
性
二次曲线发展史
技
巧
与
题
型
归
类
目标诊断题
附
录
纲要信号图表
一般二次方程的讨论
Excel作图
继续
圆的学习要求和导航

学习要求：

掌握由圆的定义推导圆的标准方程，理
解参数 a,br的几何意义，掌握一般方程
和标准方程的互化，用圆方程解决有关
问题，解决直线与圆、圆与圆的位置关
系。
学习导航：
圆的定义与标准方程 圆的几何定义
几何量间的关系d(P,M)=r
代数等
2
2
2
式
(x-a) +(y-b) =r ,a,b,r的意义。
由(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2+Dx+Ey
+F=0 且与Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0比
较，得出圆方程
A=C≠0，B=0，
2
2
且D +E -4F>0
x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心（-D/2，-E/2）
半径 r= D  E4  4F
圆与直线的关系，圆心M（a,b),半径r
直线 Ax+By+C=0, d  Aa  Bb  C









2
2
A2  B 2
d>r相离，d=r相切，d<r相交
圆与圆关系
两圆的圆心(a1,b1),(a2,b2),两圆的半径r1,r1
两圆的圆心距 d  (a1  a2 ) 2  (b1  b2 ) 2
d的
范围
0
~
|r1-r2|
~
r1+r2
d>r1+r2
位置
关系
同心
内含
内切
相交
外切
外离
关于相切： （1） 过圆上一点（x0,y0)
公式法： （x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
判别式法：设切线y-y0=k(x-x0)代入圆方
程，消去 y得相应x的二次方程，由
判别式Δ=0可求得 k 从而得切线。
几何法：由圆心到切线距离r确定k而得切
线。
（2）圆外一点（x0,y0)的切线可仿上述判
别式法、几何法处理。
圆的公式
图形
直角坐标方程
参数方程
x=rcosθ
y=rsinθ
圆心在原点，半径为
r
x2+y2=r2
*
圆心在(r,0),半径为r
x2+y2=2rx
* x=r(1+cosθ)
y=rsinθ
圆心在（a,b),半径为r
(x-a)2+(y-b)2=r2
*
圆心在(-D/2,-E/2),半
径为 D 2  E 2  4F
x2+y2+Dx+Ey+F=0
x=a+rcosθ
y=b+rsinθ
过圆上一点（ x0,y0)的切线
x0x+y0y=r2
xox+yoy=r(x+xo)
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2
+F=0
4
*过三点A(x1,y1)，
B(x2,y2)C(x3,y3)的圆
**过圆
x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和
圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0
的交点的圆
x2+y2 x
x12+y12 x1
x22+y22 x2
x32+y32 x3
y
1
y1 1
y2 1 =0
y3 1
m(x2+y2+D1x+E1y+F1 )+
n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
其中m,n不同时为零
回主页
椭圆的学习要求与导航










学习要求
知道椭圆定义并推出椭圆标准方程，
理解参数a,b,c,e 的相互关系和几何意义。
能灵活应用椭圆定义、方程及性质解
决问题（椭圆作图）。
学习导航
椭圆方程的定义及参数a,b,c,(e)是椭圆
所特有的，与坐标无关。 a>b>0,c2=a2b2,(e=c/a)必须牢固掌握。
椭圆的性质（有心、封闭的曲线），
椭圆曲线的范围，掌握曲线（椭圆）
对称性的判别，与坐标轴的交点。
特别：
1.椭圆的焦点一定在长轴上，
2. a,b,c三个参数的关系是满足以 a为斜
边的 直角三角形勾股定理a2=b2+c2。
3.标准方程中a对应的变量x（或y)，表
明焦点就在x轴（或y轴）。




继续
直线与椭圆的位置关系：
把直线与椭圆的方程组消元后
得一元二次方程，它的判别式
Δ>0直线与椭圆相交
Δ=0直线与椭圆相切
Δ <0直线与椭圆相离
椭圆的标准方程与性质
标准方程
x2 y2
 2  1(a  b  0)
2
a
b
y2
x2
 2  1(a  b  0)
2
a
b
图形
回
主
页
顶点
（-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)
(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)
对称轴
x轴y轴，长轴长2a，短轴长2b
x轴y轴,长轴长2a，短轴长2b
对称中心 （0，0）
（0，0）
焦点
（-c,0)(c,0),焦点在x轴
（0，-c)(0,c),焦点在y轴
焦距
|F1F2|=2c,c2=a2-b2
|F1F2|=2c.c2=a2-b2
e=c/a
e=c/a
(离心率)
双曲线的学习要求和学习导航






学习要求

双曲线的渐进线但与双曲线仅
有一个交点，而并不相切。因
知道双曲线的定义，理解双曲
此，直线与双曲线只有一个交
线标准方程的参数a,b,c,e的几何
点，是直线与双曲线相切的必
意义和相互关系，根据条件熟
继 要而非充分条件。
练写出双曲线的标准方程，灵
续
活应用双曲线的定义，方程及
性质解有关问题。
学习导航
学习时，要与椭圆的标准方程
进行比较，加深这两种曲线之
间的区别和联系。
必须理解双曲线参数 a,b,c,e是双
曲线所固有的，与坐标的建立
无关。
什么时候直线与双曲线有一个交
点？两个交点？没有交点？
双曲线有心但不封闭，所以存
在这样的特殊情况，直线平行
双曲线的标准方程与性质
x2
y2
 2 1
2
a
b
标准方程
y2 x2
 2 1
2
a
b
图形
回
主
页
顶点
(-a,0) (a,0)
(0,-a) (0,a)
对称轴
X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
对称中心
(0,0)
(0,0)
焦点
(-c,0) (c,0)
(0,-c) (0,c)
e=c/a
(离心率)
e=c/a
焦距
|F1F2|=2c c2=a2+b2
|F1F2|=2c c2=a2+b2
渐进线
y=±bx/a
y=±ax/b
双曲线定义的三个“盲点”回主页






双曲线定义：“平面内与两个定点
F1F2的距离之差的绝对值是常量（小
于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。”
定义内有三个盲点：“小于|F1F2|”，
“绝对值”，“常数”，稍有不慎，
就回出错。
盲点1：“小于|F1F2|”
将“小于|F1F2|”改成“大于|F1F2|”，
经过演示，点的轨迹不存在。将
“小于|F1F2|”改成“等于|F1F2|”，经
过演示，点的轨迹不再是双曲线，
而是以F1F2为起点的两条射线。
盲点2： “绝对值”
若将“绝对值”去掉，经过演示点
的轨迹不再是两支曲线，只有一支，
即左支或右支。




盲点3 ：“常数”
若常数等于零，点的轨迹是什
么？经过演示，不难发现点的
轨迹是线段F1F2的中垂线。
思考题：
学习椭圆，抛物线的定义要注
意什么？
双曲线与它的渐近线
x2
y2

1
a2
b2
b
双曲线方程
可得 y   a x  a
可以看出，随着 x无限变大，y也无限变大
所以双曲线是无界的，为了更好研究它无限
2
伸展的趋势，把上式改为 y   b x 1  a 2
a
x
a2
当x无限变大时， 2 趋近于0
x
这时，y就渐近于±b/a x，说明当x无限增大，
双曲线愈来愈接近直线y=± b/a x, 并且不论x
有多大，在第一象限内总有：
2
2
b
a2 b
y  x 1 2  x
a
x
a
X无限变大，双曲线无限逼近渐近线，但永远
不会相连接。
设在第一象限内取x0 ，渐近线对应y1,双曲线
b
b
2
x0  a 2
对应y0 ，有 y  y0  x0 
1
b
( x0 
a
b

(
a x 
0

a
a
x0  a 2 )
2
a2
x0  a 2
2
)0
回主页
说明了①在第一象限内，对同样的x渐近
线的值大于双曲线的值，②x无限增大，
y1-y0 也无限趋向于0
思考题：
①你能说说离心率e与双曲线渐近线开口
大小的关系吗？
②你能举出其他已学的函数或方程的曲
线的渐近线的例子吗？
抛物线的学习要求和学习导航






学习要求
掌握抛物线的定义，熟记四种标准方
程，了解 焦参数 p 的几何意义，掌
握抛物线的几何性质并能运用解决有
关问题。
学习导航
掌握抛物线的定义，推导和建立抛物
线的标准方程。用定义解题有时更简
洁，虽然抛物线只一个参数，只须一
个条件就可以求出，但有四个标准方
程，所以必须掌握它的特征和对应的
抛物线的开口方向，对称轴，焦点位
置和准线的关系。
了解二次曲线的几种定义，对提高解
题能力是有帮助的。
直线与抛物线的位置关系，特别注意
相切的情况。由于抛物线与对称轴只
一个交点，而它不是抛物线的切线，
回 继
主 续
页
所以直线与抛物线相切并不是直线
与抛物线只有一个公共点的充要条
件。
图形
方程
对称轴
焦点
准线
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
y=0
y=0
x=0
x=0
(p/2,0) (-p/2,0) (0,p/2)
x=-p/2
x=p/2
y=-p/2
(0,-p/2)
y=p/2
坐标平移
二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
通过坐标平移可以消去一次项，简化方
程的表达式。
坐标系的改变，曲线的位置形状和大小
都没有改变，点的坐标和方程也随之改
变。
坐标的平移公式：x=x’+h
x’=x-h
y=y’+k
y’=y-k
主要题目类型：
1。已知原坐标系，新坐标原点，求一些
点和方程的在新坐标系中的表达式。
2。已知新坐标系，原坐标的原点，求一
些点和方程的在原坐标系中的表达
式。
3。二次曲线方程经过配方成完全平方式
回主页


用平移公式简化。
4。把x=x’+h , y=y’+k 代入曲线
方程，使一次项系数为0，简化
曲线方程。
你还想学点吗？



除了书本上二次曲线的定义外，还
有一种统一的定义：平面上，一个
动点到一个定点和一条定直线的距
离之比是一个常数，动点的轨迹叫
做圆锥曲线。这一定点叫做焦点，
定直线叫做准线，这个常数叫做离
心率。离心率小于1时叫做椭圆，
离心率大于1时叫做双曲线，离心
率等于1时叫做抛物线。
以焦点F为原点，经过焦点作准线l
的垂线为x轴，（取垂足到焦点的
方向为正方向）建立直角坐标系。
设焦点到准线的距离为p ,离心率为
e，可得到直角坐标系中圆锥曲线
的统一方程：
(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0
回主页

圆
锥
截
线
继续
又以焦点F为极点，经过焦点作
准线l的垂线为极轴（取垂足到
焦点的方向为正方向），建立
极坐标系，得到极坐标系中圆
锥曲线的统一方程
 
ep
1  e cos 
思考题
1，一个动点到两个定点（-3，0）
（3，0）的斜率的积为-1，这轨
迹是什么曲线？
若斜率的积为-1/4，是什么曲线？
若斜率的积为1/4，是什么曲线？
2，一个动点到两个定点（-3，0）
（3，0）的距离的平方差为常
量，这轨迹是什么曲线？
你还想学点吗？---离心率概念分析







离心率是反映了二次曲线的形态及
性质的重要概念。
回
主
引入定义：椭圆的焦距2c与长轴2a
的比叫做椭圆的离心率，类似的给 页
出了双曲线，抛物线的离心率定义。 
离心率定义 有两个要点：一个距离
与长度有序之比，e=c/a>0

离心率取值范围：椭圆：2c<2a,故
0<e<1,在双曲线：2c>2a,得 e>1,按抛 
物线定义，e=1。
离心率与圆周率是几何中的两大比

率，它们的共同特点：均为两个定
量的有序之比，区别在于前者适用

于二次曲线，后者只适用于圆；e值
有相对的任意性（可变），π却具有
唯一性（无理常数）。

离心率深刻揭示了二次曲线的实质，
沟通了它们的关系。椭圆，双曲线，
抛物线三者关系密切，是同一定义
下的不同表现。三种曲线可统
一定义为：平面内到一定点和
一定直线的距离之比等于常数e
的动点轨迹叫二次曲线。
建立适当的坐标，轨迹上任一
点M(x,y),定点F(p,0)所以
( x  p)  y
e
整理即得
x
（1-e2)x2+y2-2px+p2=0当
0<e<1,e=1,e>1方程分别是椭圆，
抛物线，双曲线。
“对立统一，量变到质变”
e
0椭圆
圆，e
1,
椭圆变得愈来愈扁，e=1为抛物
线，e>1为双曲线，e 增大，则
b/a= e2 1也变大，双曲线开口
变大，反之，开口变小。 E趋
向于1时，渐近线倾斜角近于0。
2
2
圆锥曲线（圆锥截线）
点（点圆）
圆
椭圆
回主页
继续
双曲线
你能说出截面的
条件吗？
圆锥的顶角影响
曲线形状吗？
抛物线
圆锥曲线退化为两条直线， 一条直线
二次曲线的发展史


公元前四世纪，古希腊学者梅纳科莫斯
最早通过截割圆锥的方法得到三种不同
类型的曲线—椭圆（圆）、双曲线、抛
物线，统称圆锥曲线。许多学者继续研
究这一课题，最有成就的是生于小亚细
亚佩加城的阿波罗尼，他将自已的成果
写成八大卷的《圆锥曲线论》，成为这
一课题的经典文献。
十六世纪，著名天文学家开普勒发现行
星按椭圆形轨道运行，著名天文学家伽
里略证明了不计阻力的斜抛运动的轨迹
是抛物线。这说明了圆锥曲线并不是附
生于圆锥之上的静态曲线，而是自然界
中物体常见的运动形式。



回主页
1629年，法国数学家费马在《平面和立
体轨迹引论》一书中，运用斜角坐标研
究圆锥曲线，证明了圆锥曲线的方程都
是含有二个未知数且最高次幂是二次的
方程。反之，一般二元二次方程点的轨
迹是圆锥曲线。1655年，英国数学家沃
利斯在《圆锥截线论》中，干脆把圆锥
曲线叫作二次曲线。
1748年，著名数学家欧拉在《无穷小分
析引论》一文中，详细讨论了形如：
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
的一般二次方程，证明经过平移、转轴
变换，任何一个二次方程可以化为椭圆
（圆）、双曲线、抛物线及它们的退化
形式，所以二次曲线就是圆锥曲线。
椭圆双曲线抛物线基本性质
回主页
椭圆
双曲线
抛物线
图形
标准方程
x2 y 2

 1（a>b>o)
a 2 b2
x2
a2

y2
1
b2
(a>0,b>0)
y2=2px
中心
（0，0） 有心 封闭曲线
（0，0）
顶点
（±a,0),(0,±b)
(±a,0)
轴
对称轴：x轴，y轴
长轴：2a 短轴：2b
对称轴：x轴，y轴
实轴：2a 虚轴：2b
对称轴：x轴
焦点
F1(-c,0) F2(c,0)
|F1F2|=2c
F1(-c,0) F2(c,0)
|F1F2|=2c
F(p/2,0)
离心率
e=c/a 0≤ e<1
范围
|x|≤a,|y|≤b 封闭曲线
|x|≥a. y∈R
准线
x=±a2/c
x=±a2/c 渐进线 y=±bx/a
c  a 2  b2
e=c/a
e>1
有心开放曲线
c  a 2  b2
开放曲线
无心曲线
e=1
x≥0,y∈R 开放曲线
x=-p/2
一些常用技能技巧的梳理
在巩固求曲线方程、应用曲线方程
的基础上，练习常用的技能技巧，
提高解题能力。
1.
建立适当的坐标系
应用解几方法解题，必须建立坐标系，
而且选定恰当的坐标系（一般是以
原点、坐标轴对称的，或以原点为
起点），简化曲线方程。
2.充分利用圆锥曲线特有的几何性质。
例如：m为何值时，直线2x-y+m=0和圆
x2+y2=5①无公共点？②截得弦长
为2？③交点处两条半径互相垂直？
m
解：圆心（0，0）到直线距离d=
m
5
圆半径r= 5 ,① d   5 时即m<-5或
5
m>5时圆和直线无公共点。②∵弦
过中点的半径垂直于弦∴r2-d2=1即
5-m2/5=1∴当m=± 2 5时圆在直线
上截得弦长为2 ③此时弦与过




弦两端的半径组成等腰直角三角形
m
2
2
5 2
5 m  
∴ d  r ,即 
2
2
2
5
时过弦两端的半径互相垂直。
继
续
3 .圆锥曲线定义的应用
有些题目从表象上看较难，但用圆锥曲
线定义解题，问题迎刃而解。
一些常用技能技巧的梳理

如图


1
双曲线方程
的左焦点
16
9
作弦交曲线于A，B，连接AF2和
BF2，求|AF2|+|BF2|-|AB| 的值
解：||AF2|-|AF1||=2a=8, ||BF2||BF1||=2a=8, |AF2|+|BF2|-|AB| 的值
为16。
曲线系方程的应用
方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示的曲线经
过曲线f1(x,y)=0和曲线f2(x,y)=0的交
点



x2
前一页
y2
继续
（A1x+B1y+C1)+λ（A2x+B2y+C2)=0表示
过直线A1x+B1y+C1=0,A2x+
B2y+C2=0的 交点的一系列直线。
你能写出圆系列方程和双曲线系列方程
吗？
例题：一个圆经过已知圆x2+y2-x+y-2=0
和x2+y2=5的交点，且圆心在直线
3x+4y-1=0上求圆方程。
解：设所求圆方程为（ x2+y2-x+y-2）+
λ(x2+y2-5)=0即
（1+λ）x2+(1+λ)y2-x+y-(2+λ)=0
其圆心为（1/（2+2λ），-1/（2+2λ））
3
4

在已知直线上， 2(1   ) 2(1   )  1  0
得λ=-1.5,所求方程为：
X2+y2+2x-2y-11=0
一些常用技能技巧的梳理
继
韦达定理的应用：
续
例题1：已知直线l 过（1，0）点，倾斜
角为π/4，求 l在椭圆x2+2y2=4 上截得
的长？
解：直线方程为y=x-1代入椭圆方程
x2+2y2=4 ，得3 x2 -4x-2=0
设所截交点为AB
|AB|2 =（x2-x1)2+(y2-y1)2
=2（x2-x1)2
=2((x2+x1)2 -4 x2x1 )
=80/9
|AB|= 4 5

3
回主页
一般二次方程的讨论



回主页
一般二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
经过旋转变换，适当选取θ角，化成
A’x’2+C’y’2+D’x’+E’y’+F’=0
关键看A’C’是否有一个为零？都不为零时
它们是同号还是异号来决定。经过变换，
-4A’C’=B2-4AC。Δ= B2-4AC为二次方程
判别式。
方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
条
件 类
型 一 般 情 况 特
殊
情
况
B2-4AC<0
椭圆型
椭圆
一点或没有轨迹
B2-4AC>0
双曲线型
双曲线
两条相交直线
B2-4AC=0
抛物线型
抛物线
两条平行线或一条直线或没有轨迹
课堂训练题
选择题
回主页
点的坐标是：
1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在 y轴上的 椭圆， A.(4,2 2 )或（4,-2 2 ）B.(5, 5 )或（5,- 5 )
那么实数k 的取值范围是：
C.(4.5,3)或（4.5,-3) D(6,2 3 )或（6,-2 3 )
A.(0, ＋∞）B.(0,2) C(1,＋∞）D（0，1）
6.以坐标轴为对称轴，中心在原点，实轴长为
2.焦点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线
方程是：
A.y2=8(x+1)
B. y2=-8(x+1)
继
续
C. y2=8(x-1)
D. y2=-8(x-1)
10，焦距为12 的双曲线方程是：
3.椭圆x2+9/5 y2=36的离心率为:
A.1/3 B.2/3 C.1/2
D.3/4
D. x2/61 -y2/25 =1 或y2/25 –x2/11 =1
x2
y2
4. 设椭圆

 1 的两个焦点分别是F1和
5
4
F2, 3短轴的一个端点是B,则△B
F1 F2的周长是:
 5
A.
B. 1 5 C. 2  5
D. 2  2 5
5.若抛物线y2=2x上一点到焦点距离为5，则该
A.x2/25 -y2/11 =1 或.y2/25 –x2/61 =1
B. .x2/25 -y2/11 =1 或y2/25 –x2/11 =1
C. x2/61 -y2/25 =1 或y2/25 –x2/61 =1
7.若方程
x2
y2

1
25  k
k  16
表示双曲线，则
k 的值的范围是：
A.k<16 B.k>25 C.16<k<25
D.k<16或k>25
你能做对多少题？
圆的目标诊断题
1. 写出圆心在（0，-3），半径是 3 的
圆方程。(A1)
2. 下列方程表示社么图形：
(1) (x-3)2+y2=0;
(2) x2+y2-2x+2y-2=0;
(3) x2+y2+2ab=0。(B1)
3. 写出过圆x2+y2-25=0上一点M(-2 ,1)
6
的切线的方程。(B2)
4.求下列条件所决定的圆的方程：
（1）圆心在（3，4），且与直线
6x+8y-15=0相切；（C1)
(2) 经过点A(2,-1),与直线x-y-1相切；
且圆心在直线y=-2x上；
（3）经过A(5,1), B(-1,2), C(1,-3)三点。
5. 求经过点P(0,10),且与x轴切于原点的圆
的方程，并判断点A(-5,5)， B( 2 ,6),
继续
, C(3，-10），在圆内，在圆外，还
是在圆上。
6.判断直线3x+4y-24=0与圆x2+y2+6x4y-12=0的位置关系。
7. 求证：两圆x2+y2+-4x-4=0与
x2+y2+6x+10y+16=0互相外切。
8.求圆的切线方程：
（1）与圆（x+1）2+（y-3）2=25切
于点A（3，6）的切线方程。
（2）若圆x2+y2=13的切线平行于直
线4x+6y-5=0,求这切线的方程。
（3）过点A（4，0）向圆x2+y2=1引
切线，求这切线的方程。
9.一圆拱桥跨度长12米，拱高3米，
以拱弦所在的直线为x 轴，弦的
中点为原点建立直角坐标系，
求这圆拱曲线的方程。
圆的目标诊断题答案













1. x2+（y-3）2=3
2.（1）点（3，0）（2）以（1，-1）
为圆心、2为半径的圆（3）x2+
（y+b）2=b2
3. 2 6x  y  25  0
4 .（1）（x-3）2+（y-4）2=49/4
（2）（x-1）2+（y+2）2=2或
（x-9）2+（y+18）2=338
（3）7x2+7y2 –25x-3y-54=0
5. x2+（y-5）2=25,A点在圆上，B点
在圆内，C点在圆外
6.直线与圆相切
7. o1o2  5 2  r1  r2 故两圆外切
8.(1)4x+3y-30=0,(2)2x+3y±=13=0
15
( x  4)
（3）y   15
9 . x2+（y+9/2）2=225/4（y≥0）
椭圆目标诊断题













答案
回主页
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程

焦点坐标是（0，-4），（0，4）
（1） a= 3 ,b=1,焦点在x轴上

且经过点（ 5,3 3 ）
（2）a=5,c= 17,焦点在y轴上

5.求直线x-y+ 5 =0和椭圆x2/4+
（3）a=6,e=1/3,焦点在x轴上

y2 =1的交点
（4）b=4,e=3/5,焦点在y轴上
6.点P与一定点F（4，0）的距离
和它到一定直线x=25/4的距离之
2.利用椭圆的面积公式 S= πab,求下
比是4／5，求点P 的轨迹方程。
列椭圆的面积
7 .地球的子午线是一个椭圆，两
（1） 9x2+25y2 =225
个半轴之比是299/300，求地球
（2）36x2+5y2 =180
子午线的离心率。
3.求下列椭圆长轴和短轴的长，离心
率，焦点坐标，顶点坐标和准线方
继
程，并画出草图。
续
（1）4x2+9y2 =36
（2）9x2+y2 =81
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）长轴是短轴的5倍， 且过点
（7，2）焦点在x轴上
椭圆目标诊断题的答案
前
1.(1)x2 /3+y2=1,(2) x2 /8+y2 /25=1
一
(3) x2 /36+y2 /32=1,(4) x2 /16+y2 /25=1
页
2.(1)15 π，（2）6 5π
3. （1）2a=6,2b=4,e= 5 ,F(± 5 ，0）
3
顶点（±3，0），（0，±2）准线方程
2
9
2
（2）2a=18.2b=6,e=
x
5
3
5
F(0,  6 2 )顶点（±3，0），（0，±9）
27
准线方程：y   4 2
4. (1)x2 /149+25y2 /149=1
(2) x2 /20+y2 /36=1
5. ( 4 5 , 5 )
5
5
6. x2 /25+y2 /9=1
7. 599
300
双曲线目标诊断题
1.求适合下列条件的双曲线标准方程：
(1)a=3,b=4,焦点在x轴上
（2）a= 5 ,c=3,焦点在 y轴上
（3） a=6,e=3/2 ，焦点在x轴上
(4) b= 14 ,e=3/2,焦点在x轴上
2. 求下列双曲线的实轴和虚轴长，顶点和
焦点坐标，离心率，渐近线和准线方
程，并画出草图。
继
（1） x2 -4y2=4
续
（2） 9x2 -16y2=-144
3.求双曲线的标准方程
（1）实半轴是 2 5 ，经过点 (2,3 5)
焦点在y 轴上
（2）两渐近线方程是y=±3/2x,经过
点 ( 2,  2)






答案
4.求直线3x-y+3=0和双曲线x2 y2 /4=1的交点
5.点P与定点（6，0）及定直线
x=16/3的距离之比是 3 2 : 4
求点P的轨迹方程
6.求以椭圆x2 /25 +y2/9=1 的焦点
为顶点，顶点为焦点的双曲线
方程。
7.两个观察点的坐标分别是A
（200，0）、B（-200，0），
单位是米，A点听到爆炸声比B
点早1.08秒，求炮弹爆炸点的曲
线方程。
8.求证：当k<9,k≠4时，方程
x
y

1
所表示的圆锥曲
9k 4k
线有共同的焦点。
2

回主页
2
双曲线目标诊断题答案

1.（1）x2 /9-y2/16=1

（2) y 2/5 -x2/4=1
（3）x2 /36-y2/45=1
(4) y 2/2-x2/14=1
2.(1)2a=4.2b=2,顶点(±2，0）
F（ ，0），e= 5 ,渐近线方
 5
2
程 y=±1/2x,准线方程x=±
4
5
5
（2）2a=6,2b=8,顶点（ 0，±3）
F（0，±5），e=5/3,渐近线方程：
Y=±3/4x，准线方程 y=±9/5
3.（1）y 2/20 -5x2/16=1
（2）9x2 -4y2=2
4.(-1,0)和(-13/5,-24/5)
5. x2 -8y2=32
6. x2/16-y2/9=1
x2
y2
7.

 1( x  183.6)
2
2













183.6
79.3
前
一
页
8. （1）当k<4时 ，方程表示椭
圆，焦点在x轴，此a2=9-k,

b2=4-k,c2=a2-b2=5,F(  5,0)
(2) 当4<k<9时，方程表示双曲线，
焦点在x轴，a2=9-k, b2= k -4,

c2=a2+b2=5，F（  5 ，0）所以
方程表示的椭圆和双曲线有共
同的焦点。

抛物线目标诊断题
1.抛物线y2=-2px(p>0)上一点M到焦点的距
离是4，求点M到准线的距离。
2. 写出适合下列条件的抛物线方程
（1）焦点是F（-3，0）
（2）准线方程是x=-1/2
(3)焦点到准线的距离是1/2
3. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1） y2+4x=0
(2) 2x2-3y=0
4.推导抛物线的标准方程y2=-2px(p>0)
5.根据下列条件，求抛物线的方程，并描
点画出图形
（1）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点
与焦点的距离等于2
（2）顶点在原点，对称轴是x轴，且经过
（-3，2）点
答案
回主页

6. 已知一等边三角形内接于抛
物线y2=2x，且一个顶点在原点，
求其他两个顶点的坐标。
7. 已知抛物线型的拱桥的顶点
距水面2米时，量得水面宽为8
米，当水面升高1米后，求水面
的宽。

8 .抛物线顶点是椭圆16x2

+25y2=-400的中心，焦点是
椭圆的右焦点，求这抛物线
的方程
9.把抛物线通径的两端分别
与准线和抛物线轴的交点连
接，证明这两条直线互相垂
直。

抛物线目标诊断题答案
前一页
1，4
2，（1） y2=-12x ，（2） y2=2x

（3） y2=-±x，或x2=±y
3，（1）F（-1，0），准线方程：x=1,
(2)F(0,3/8), 准线方程y=-3/8
5, (1) x2=±8y, (2) y2=--4/3x
6, (6,2 3)
7, 4 2米
8, y2=12x ,
9,通径两端为（p/2,p),(p/2,-p),准线与抛物
线轴的交点（-p/2,0),kAC*kBC=-1
回主页
概
念
精
细
化
抛
物
线
双
曲
线
椭
圆
除课本的定义外
还有准线定点，
极坐标、圆锥截
线等定义
定
义
直线与双曲线的位置关系
再说说曲线与方程的两句话
曲线方程与函数的关系
Excel画
共性
JAVA 请你探索网络上的
曲线图形
性质
范围
范围
范围
对称性
对称性
对称
性
顶点
顶点
顶点
回
主
页
双曲线与渐近线的定量分析
二次曲线图形，归
纳为几句话.
实际应用
求曲线轨迹
1.力学结构 拱桥 散热塔
网络结构 储槽容器
椭圆、双曲线、抛物线
定义和参数的题目
2. 光学性质 卫星天线 雷
达 激光器 光学器件
点、直线与曲线的位置
关系
曲线作图
线
二次曲线的实际应用
都是二次曲线
圆锥截线
3.运动轨迹 弹道 天体轨
道
对称性
准线定点
4. 测量定位 卫星定位GPS
离心率
极坐标
曲线的切
B超 声纳
都有焦点
纲要信号图表
学生小结
竞
争
又
合
作
概念的精细化
在“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义中
为什
么要作两条规定？
我们可以从集合的观点来认识这个问题。大家
知道，一条曲线和一个方程 f (x,y)=0可以是同
一个点集在“形”和“数”两方面的反映，只
有当
曲线所表示的点集C与方程 f (x,y)=0的解所表
示的点集F是同一个点集，也就是C=F时，曲
线才叫做方程的曲线，方程叫曲线的方程。而
两个集合C=F，必须从两个方面说明：
1，C中的任何一点属于F，记曲线上任一点的
坐标是f (x,y)=0的解
2，F中的任何一点也属于C，即以 f (x,y)=0的
解为坐标的点在曲线上。
说明了：曲线上的点与方程的解满足一一对应
的关系。
求曲线方程的依据，适合方程的解一
定在曲线上，不适合条件的点一定不在
曲线上。
直线视作曲线的特殊情况
回主页







曲线方程与函数的关系?
曲线方程与函数的主要不同在于：
(1)曲线方程反映了 x,y 的数量上的
相互制约关系,无“依从”关系,取定
一个x, y不一定唯一确定,同样取定
一个y后x 也不一定唯一确定,x与y无
“自变量”“应变量”的“主从”
关系。
（2）函数则反之，取定义域中每一
个x, 都有唯一的y与之对应。
就曲线而言，称x, y的取值范围，
对函数而言，分别趁x ,y的定义域
和值域。
（3）函数表达式y=f(x)
曲线方程表达式为f(x,y)=0
二次曲线题型之一
1，曲线与方程
1）判断已知点是否在曲线上
2）已知方程可分解为f1(x,y)=0,f2 (x,y)=0,….fn
(x,y)=0,那么这方程的曲线由n个f1(x,y)=0，
f2 (x,y)=0, ……. fn (x,y)=0 来确定。
2，求两条曲线交点
代入或加减法消元，用Λ判别几个解。
3，点、直线、圆与圆的位置关系
点与圆 点在圆上，圆外，圆内（点与圆心距
离和半径比较或点坐标代入方程>0,=0,<0
直线与圆 直线方程代入圆方程Λ判别，特别
是切线，圆上点和圆外点的 切线
例题1从点P（2，3）向圆（x-1)2+(y-1)2=1引切
线，求切线方程？
解：设切线斜率k，切线方程y-kx+2k-3=0。圆
方程的圆心（1，1），r=1,圆心到直线的
距离等于半径 1  k  2k  3
1 k 2
1
前一页
继续
K=3/4,切线方程 3x-4y+6=0还有一条切线
x=2
例题2：判断直线ax-by=0与圆x2+y2ax+by=0的位置关系。
解：圆x2+y2-ax+by=0 即（xa/2)2+(y+b/2)2=(a2+b2)/4
1
圆心(a/2,-b/2),
r= a 2  b 2
2
圆心到直线的距离为d,
a
d
a
b
 b(  )
2
2
a b
2
2

a2  b2
r
2
∴直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0相切。
有关曲线的
切线详情
二次曲线题型之二
例题3：已知圆的方程为（x+1)2+(y-2)2=13
求过 A（1，-1）且与已知圆相切的切线方程？
解：以A（1，-1）代入圆方程得（1+1）2+（1-2）2=13，即A（1，-1）在圆上，可用
切线公式（x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2写出切
线方程（1+1）（x+1)+(-1-2)(y-2)=13 即
2x-3y-5=0
*例题4：求圆心为（2，1）且与已知圆x2+y23x=0的公共弦所在的直线过点（5，-2）
的圆方程。
解：设所求的圆方程为（x-2)2+(y-1)2=r2
即： x2+y2-4x-2y+5-r2 =0……①
已知圆方程为： x2+y2-3x=0 ……②
由②- ①：得公共弦所在的直线方程为
x+2y-5+r2 =0 又直线过（5，-2）点∴ r2 =4
所求的圆方程（x-2)2+(y-1)2=4
圆与圆的位置关系
判断方法：一般是两圆心距离与两圆半径和或
差作比较。（略）
前一页
继续
当两圆方程联立成方程组，消去x2，y2
项得一次方程，当两圆相交，则表示为
两圆的公共弦所在的直线，当两圆外切
时，则表示两圆外公切线方程，当两圆
内切时，则表示两圆的内公切线方程。
例题5：求以相交的两圆x2+y2 +4x+y+1
=0及 x2+y2 +2x+2y+1=0的公共弦为
直径的圆方程。
解：联立两圆方程 x2+y2 +4x+y+1=0 .①
x2+y2 +2x+2y+1=0 ②
①-② :y=2x
……..③
③代入① x2+（2x)2 +4x+2x+1=0
解之，x1=-1/5 x2=-1 y1=-2/5 y2=-2
两圆的交点（-1/5，-2/5），（-1，-2）
所求圆心是两圆交点的中点（-3/5，-6/5）
r
1
1
2
2 5
(  1) 2  (  2) 2 
2
5
5
5
所求圆方程（x+3/5)2+(y+6/5)2=4/5
二次曲线题型之三
椭圆、双曲线、抛物线的题型
例题6：已知椭圆的焦距为6，长轴为10，求椭
圆的标准方程
解：因为椭圆的焦点位置未定，所以分步讨论。
1）焦点在x轴椭圆的标准为
x2
y2

 1(a  b  0)
a 2 b2
2a=10,a=5,2c=6,c=3,b2=a2-c2=16,b=4
x2
y2

所以椭圆的标准方程是 25 16  1
2）焦点在y轴椭圆的标准为
x2 y2
  1    (a  b  0)
b2 a 2
2
2
A=5,c=3,b=4 所求椭圆方程 x  y  1
16
25
例题6：若抛物线的焦点为（2，2）准线方程
为
x+y-1=0， 求此抛物线？
解：设抛物线上任一点p(x,y), 焦点F（2，2）
由抛物线定义|PF|=d（d为P到准线的距离）
( x  2) 2  ( y  2) 2 
x  y 1
2
前一页
继续
整理得x2-2xy+y2-6x-6y+15 =0
椭圆双曲线混合题
例题7：当k在什么范围内，下面的方程
表示的是椭圆或双曲线？
x2
y2

1
9k
4k
x2
y2
解：1）若 9  k  4  k  1 表示椭圆
9-k>0
k<9
则
4-k>0
k<4 2 即k<4
2
x
y

 1 表示双
2）若
9k
4k
曲线
则 9-k>0 或
9-k<0
4-k<0
4-k>0
解之4<x<9， 方程表示是双曲线
二次曲线题型之四
作图题
1，用课本介绍的列表，描点，对称的方法
2，用Excel作图法
坐标平移题
例题1：平移坐标轴，把原点移到o’(3,-4)求曲线
x2+y2 –6x+8y=0在新坐标系的方程
解： x=x’+3 代入方程x2+y2 –6x+8y=0得
y=y’-4
（x’+3）2+（y’-4）2 –6（x’+3）+8（y’-4）=0
化简x’2+y’2 =25
例题2：已知双曲线虚轴为8，顶点坐标（1，2）
（-5，2）求双曲线的方程和渐近线方程
解：顶点（1，2）（-5，2），曲线中心（-2，2）
焦点在y=2上， x’=x+2, y’=y-2 ,2a=6,2b=8
x '2
y '2
A=3,b=4,双曲线方程是

1
9
16
4
新坐标系中的渐近线方程
y '   x'
3
前一页
继续
求轨迹方程
1 .直接法求轨迹方程
例题9：动点P与二定点F1，F2的连线互
相垂直，试求动点P的轨迹方程
解：1）建系 取F1，F2所在的直线为x轴，
F1，F2的中点为原点，建立直角坐标系，
F1（-a，0)F2(a,0)
2)设动点P(x,y)为所求轨迹上任意点
3）kPF1·KPF2 =-1，
y0 y0

 1
4）化简整理
xa xa
x2+y2=a2 (x≠± a)
2.间接法求轨迹方程
例题10：已知圆方程x2+y2=22 及点N（6，6）
求圆上的点与N点连线中点的轨迹。
解：设圆方程x2+y2=22 上一点M（a,b)有
a2+b2=22 ,设P(x,y)为轨迹上任意一点动点坐
标， x  a  6 , y  b  6 ，a=2x-6,b=2y-6代入
2
2
圆方程得： x2+y2-6x-6y+68=0
*3 .参数方程
二次曲线题型之五
二次曲线的实际应用问题
1.选择适当的标准方程和坐标系
一般曲线顶点在原点,与x,y轴对称
2.输入已知坐标点(或其他条件)求出曲线
方程。
3.输入要求的一点f(x0,y0)的值，解决问题。
一般应用有：
力学结构：拱桥，散热塔，储槽容
器，建筑结构等。
光学性质：会聚和发散电磁波，卫
星天线，激光器，雷达
抛物线、双曲线、椭圆的光学性质。
（学生简叙）
运动轨迹：弹道，天体轨道，物理
运动。
测量定位：卫星定位GPS，声纳等检
测仪器。
继续
前一页
二
次
曲
线
的
应
用
回
主
页
直线与双曲线的位置关系
我们举例说明直线与双曲线的位置关系。
双曲线
x2 y2
16

9
1
1.当y=±3/4 x时，直线与双曲线不相交
（ y=±3/4 x 代入双曲线方程， Δ判别
式为0）
2. 当y=kx+b时，-3/4<k<3/4时，直线与双曲线
的两支有两个交点
3.当y=kx+b 时，k< -3/4 或k>3/4时，y=kx+b
代入双曲线方程，Δ判别式为0，直线与
双曲线的两支曲线各有一个切点。 Δ判
别式 >0，直线与双曲线的一支有两个交
点。
4.当y=kx+b，k=3/4 时,b不等于0，直线与双曲
线的一支有一个交点，但并不相切。直
线与双曲线只有一个交点，是直线与双
曲线相切的必要而非充分条件
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用Excel绘制二次曲线

用Excel绘制二次曲线图形直观，
有益于熟悉二次曲线标准方程，
你想学学吗？
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回
习
题
二次曲线的切线
切点(x0,y0)在曲线上
圆: (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r
椭圆： xx0/a2+yy0/b2=1
双曲线：xx0/a2-yy0/b2=1
抛物线： yy0 =p(x+ x0 )或xx0= p(y+y0)
焦点在y轴的曲线的切线依此类推。
回
主
页
2
2 2
椭圆x2/ b2 +y2/ a2 =1的切线 y  kx  a  b k
2 2
2
双曲线x2/a2-y2/b2=1的切线 y  kx  a k  b
2
2 2
双曲线x2/ b2 -y2/ a2 =-1的切线 y  kx  a  b k
抛物线y2=2px的切线y=kx+p/2k
抛物线x2=2pyd 的切线y=kx-k2p/2
过已知曲线外一点（ x0,y0)，与曲线相
切的切线方程
一般求已知切点的切线方程，把原二次曲线
的x2 项用xx0代替， y2项用yy0代替，x项用
1/2（ x+ x0 ）,y用1/2（y+y0)即可。
设切线斜率为k，切线方程为y-y0=k(x-x0)
代入二次曲线，成为关于x 的一元二次方程，
令判别式Δ=0，求得k,获得切线方程。
一般判别式Δ=0能推得直线与曲线相切，反
依然，但对双曲线而言，这是充分而不必要
条件。
上述内容由汪槛同学提供。
已知切线的斜率k，求切线方程
椭圆x2/a2+y2/b2=1的切线方程 y  kx  a 2k 2  b2
回题型一
浏览网上动态曲线

用引导探索法让学生们观察英国University of St Andrews MT网
站的二次曲线，改变a,b 值可观看动态的二次曲线的变化。
网址：
http://138.251.192.92