Transcript 圆与圆的位置关系教学课件

问题1：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系应有
几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？
提示：五种，相离，外切，相交，内切，内含.
问题2：用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时
能否准确判定两圆的位置关系？
提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解时，
两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时，两
圆有相离、内含两种可能情况．
圆与圆的位置关系及判定
已知两圆 O1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，
O2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，
则圆心分别为 O1(x1，y1)，O2(x2，y2)，半径分别为 r1，
2
2
x
－x

＋y
－y

1
2
1
2
r2，圆心距 d＝|O1O2|＝
则两圆 O1，O2 有以下位置关系
.
无公共点 4条公切线
无公共点 无公切线
R r
O1
O2
外离
d>|R+r|
唯一公共点 3条公切线
R
O1
R
r
O1 O2
内含
0≤d<|R-r|
圆与圆
的位置
关系
唯一公共点 1条公切线
R
r
O1 O2
内切
d=|R-r|
r
O2
外切
d=|R+r|
两个公共点 2条公切线
R
O1
r
O2
相交
|R-r|<d<|R+r|
2
2
2
2
例2：已知圆C1： x  y  2 x  8 y  8  0 圆C2： x  y  4 x  4 y  2  0
判断圆C1与圆C2的位置关系。
y
解法一：圆C1： ( x  1)2  ( y  4) 2  25
圆心坐标（-1，-4），r1=5
A
●
o
圆C2： ( x  2)  ( y  2)  10
圆心坐标（2，2），r2= 10
2
2
|C1C2|= 3 5
r1-r2= 5  10
r1+r2= 5  10
5  10 < 3 5 < 5  10
∴C1和C2相交，它们有两个公共点
●
C2
x
B
C1
2
2
2
2
例1：已知圆C1： x  y  2 x  8 y  8  0，圆C2： x  y  4 x  4 y  2  0，
判断圆C1与圆C2的位置关系。
解法二：圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组：
 x 2  y 2  2 x  8 y  8  0 ①
 2
2
 x  y  4 x  4 y  2  0 ②
（①-②）/6 得 x  2 y  1  0
由 ③ 得 y
③
1 x
2
2
把上式代入①，并整理，得 x  2 x  3  0 ④
2
方程④根的判别式  =（-2）
-4 1 (3)
 16  0
所以，方程④有两个不相等的实数根，则方程组有两组不同的实数
解，因此圆C1与圆C2相交。
变式 1、判断下列各题中两圆的位置关系：
1C1 : x 2  y 2  2 x  6 y  26  0, C 2 : x 2  y 2  4 x  2 y  4  0
2C1 :  x  22   y  22  13, C 2 :  x  42   y  22  13
2、圆C1 : x 2  y 2  2mx  4 y  m 2  5  0, 圆C 2 : x 2  y 2  2 x 
2my  m 2  3  0，当m 
两圆内含
时，两圆外切，当m 
时，
例2：已知圆C1： x 2  y 2  4  0 与圆C2：x 2  y 2  4 x  4 y  12  0 相交于
A、B两点。
（1）求C1与C2的公共弦所在直线的方程。
解：（1） 联立方程得
2
2

x  y  4  0
 2
2

 x  y  4 x  4 y  12  0
x y20
(① - ②)/4 得：
公共弦所在直线方程为：
y  x2
①
②
③
x y20
将此式代入①得
x 2  2 x  0  x1  2; x2  0
代入③得
y1  0; y2  2
即两圆交点坐标是A(-2,0)；B(0,2)
例2：已知圆C1： x 2  y 2  4  0 与圆C2：x 2  y 2  4 x  4 y  12  0 相交于
y B
A、B两点。
（1）求C1与C2的公共弦所在直线的方程。
（2）求C1与C2的公共弦的长度。
A
o
x
解：(2) 法一： ∵两圆交点坐标是A(-2,0)；B(0,2)
∴公共弦长即|AB|= (2  0) 2  (0  2) 2  2 2
法二：∵两圆公共弦所在直线方程为 l AB : x  y  2  0
圆心C1到直线AB的距离 d  2
∴公共弦长即|AB|= 2 r12  d 2  2 4  2  2 2
变式：判断两圆C1 : x 2  y 2  2 x  0与C 2 : x 2  y 2  4 y  0的位置关系
若相交，求其公共弦长
例3 求经过两圆x 2  y 2  6 x  4  0和x 2  y 2  6 y  28  0的交点，
且圆心在直线x  y  4  0上的圆的方程。