Transcript 圆的极坐标方程--杨清孟

互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
y
极坐标是 (ρ,θ)
O
1、直角坐标是 (x, y)
M ( x, y )

θ
极坐标是 (ρ,θ)
y
  x  y , tan  ( x  0)
x
2
2
2、极坐标是 (ρ,θ)
2
直角坐标是 (x, y)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
x
将下列直角坐标转化为极坐标
（1） （- 1，3）
（2） （- 2，- 2）
π
π
例3 已知两点（2， ），（3， ）
3
求两点间的距离. B
π
解：∠AOB =
A
6
用余弦定理求
AB的长即可.
2
o
x
简单曲线的极坐标方程
探
究
如图，在极坐标系下半径为a的圆
的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用
一个等式表示圆上任意一点的极
坐标(,)满足的条件？
M
O
C(a,0)
x
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程
f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中
至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点
都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎
样的坐标系，可以使圆的极坐标
方程更简单？
求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为r；
＝r
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos 
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin 
(４)中心在Ｃ(a,０)，半径为a
＝２a cos(  0 )
圆
心
的
极
径
与
圆
的
半
径
相
等
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是
C
 
A.  2cos    
4

C.  2cos   1
 
B.  2sin    
4

D.  2sin   1
例3：
已知一个圆的方程是＝5 3 cos   5sin 
求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos  5 sin 两边同乘以得
 ＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x  y  5 3x  5 y
2
2
5 3 2
5 2
化为标准方程是( x 
)  ( y  )  25
2
2
5 3 5
所以圆心为(
, ),半径是5
练习：
1、曲线的极坐标方程＝4sin  化为直角坐标
x  ( y  2)  4
2
2
方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2. 曲线极坐标方程cos(  -
6
标方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
) =1化为直角坐
３x  y  2  0
例２：
（１）直角坐标方程x  y  2 x  3 y  0的极坐标
2
2
方程为＿＿＿＿＿＿＿
 －２ cos
２
 3 sin   0
（２）直角坐标方程2 x－y＋１ 0的极坐标
２ cos    sin   1  0
方程为＿＿＿＿＿＿＿
（３）直角坐标方程x 2  y 2 ９的极坐标
 3
方程为＿＿＿＿＿＿＿
（４）直角坐标方程x ３的极坐标
 cos   3
方程为＿＿＿＿＿＿＿
练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线
（１）　＝２cos(  ( 2)
＝cos(

3
＝3sin 
(4) ＝６
( 3)

- )
4
)
例1: 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2
2