圆的极坐标方程--杨清孟
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Transcript 圆的极坐标方程--杨清孟
互化公式的三个前提条件:
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
y
极坐标是 (ρ,θ)
O
1、直角坐标是 (x, y)
M ( x, y )
θ
极坐标是 (ρ,θ)
y
x y , tan ( x 0)
x
2
2
2、极坐标是 (ρ,θ)
2
直角坐标是 (x, y)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
x
将下列直角坐标转化为极坐标
(1) (- 1,3)
(2) (- 2,- 2)
π
π
例3 已知两点(2, ),(3, )
3
求两点间的距离. B
π
解:∠AOB =
A
6
用余弦定理求
AB的长即可.
2
o
x
简单曲线的极坐标方程
探
究
如图,在极坐标系下半径为a的圆
的圆心坐标为(a,0)(a>0),你能用
一个等式表示圆上任意一点的极
坐标(,)满足的条件?
M
O
C(a,0)
x
曲线的极坐标方程
一、定义:如果曲线C上的点与方程
f(,)=0有如下关系
(1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中
至少有一个)符合方程f(,)=0 ;
(2)方程f(,)=0的所有解为坐标的点
都在曲线C上。
则曲线C的方程是f(,)=0 。
例1、已知圆O的半径为r,建立怎
样的坐标系,可以使圆的极坐标
方程更简单?
求下列圆的极坐标方程
(1)中心在极点,半径为r;
=r
(2)中心在C(a,0),半径为a;
=2acos
(3)中心在(a,/2),半径为a;
=2asin
(4)中心在C(a,0),半径为a
=2a cos( 0 )
圆
心
的
极
径
与
圆
的
半
径
相
等
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为
半径的圆的方程是
C
A. 2cos
4
C. 2cos 1
B. 2sin
4
D. 2sin 1
例3:
已知一个圆的方程是=5 3 cos 5sin
求圆心坐标和半径。
解:=5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
=5 3 cos-5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2
2
5 3 2
5 2
化为标准方程是( x
) ( y ) 25
2
2
5 3 5
所以圆心为(
, ),半径是5
练习:
1、曲线的极坐标方程=4sin 化为直角坐标
x ( y 2) 4
2
2
方程_________
2. 曲线极坐标方程cos( -
6
标方程_________
) =1化为直角坐
3x y 2 0
例2:
(1)直角坐标方程x y 2 x 3 y 0的极坐标
2
2
方程为_______
-2 cos
2
3 sin 0
(2)直角坐标方程2 x-y+1 0的极坐标
2 cos sin 1 0
方程为_______
(3)直角坐标方程x 2 y 2 9的极坐标
3
方程为_______
(4)直角坐标方程x 3的极坐标
cos 3
方程为_______
练习:说明下列极坐标方程表示什么曲线
(1) =2cos( ( 2)
=cos(
3
=3sin
(4) =6
( 3)
- )
4
)
例1: 极坐标方程分别是ρ=cosθ和
ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少
2
2