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坐標幾何的基本概念


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怎樣求出在一個
坐標平面上兩點
之間的距離?

可利用畢氏定理!


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平面上任意兩點間的距離

兩點 A(x1, y1) 與 B(x2, y2) 之間的距離可寫成:
AB 

x2  x1    y2  y1 
2

2


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直線的斜率和傾角
若 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) 是
直線 L 上的兩點，則 L 的
斜率 m 可用以下公式求得:
y2  y1
m
x2  x1


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直線 L 的傾角是直線與 x 軸的正方向所形成的角 θ
(從 x 軸按逆時針方向旋轉至直線 L 所得的角)。

若直線 L 的斜率是 m，我們可證得
m = tan 


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課堂研習
求連接 A(–1, 2) 和 B(3, 5) 兩點的線段的長度、斜
率和傾角。
AB 

3   12  5  22

 16  9
5
52
斜率 
3   1
3

4


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設該線段的傾角是 θ。
3
tan θ 
4
θ  36.9 (準確至三位有效數字)


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平行線
對於兩條斜率分別是 m1 和 m2 的直線 L1 和 L2 ，
我們知道：

(a)

若 L1 // L2，則
m1 = m2。

(b)

若 m1 = m2，則
L1 // L2。


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垂直線
對於兩條斜率分別是 m1 和 m2 的直線 L1 和 L2 ，
我們知道：

(a)

若 L 1 ⊥ L 2，
則 m1m2 = –1。

(b)

若 m1m2 = –1，
則 L1 ⊥ L2。


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課堂研習
已知直線 L 通過 A(0, 1) 和 B(x, 4) 兩點，及其斜
率為 1，根據下列的條件，求 x 的值。

(a)
(a)

AB // L

(b)

4 1
3
AB 的斜率 =
=
x0
x

∵ AB // L
∴
∴

3
1
x
x3

AB⊥ L


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課堂研習
已知直線 L 通過 A(0, 1) 和 B(x, 4) 兩點，及其斜
率為 1，根據下列的條件，求 x 的值。

(b)
(b)

AB⊥ L
AB 的斜率 =
∵ AB⊥ L
3
1  1
∴
x
∴ x  3

3
x


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中點公式
若 M(x, y) 是連接 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) 兩點的
線段的中點，則
x1  x2
y1  y2
x
及 y
。
2
2


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內分點的截點公式
若 P(x, y) 是連接 A(x1,
y1) 和 B(x2, y2) 兩點的線
段的內分點，且
AP : PB = r : s，則
sx1  rx2
sy1  ry 2
x
及 y
。
rs
rs


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你有沒有察覺到中點是
內分點的一個特殊情況?

當 r : s = 1 : 1 時，內分點的截點
公式可簡化成中點公式!


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課堂研習
已知 P 內分連接 A(–2, 1) 和 B(3, 11) 兩點的線段，
其中 AP : PB = 2 : 3，求 P 的坐標。

設 P 的坐標是 (x, y)。
3(2)  2(3)
x
23
0

及

∴ P 的坐標是 (0, 5)。

3(1)  2(11)
y
23
5