项目三 模具零件形体 认知及绘制 专题一 正投影法初识 一、投影法分类 画透视图 中心投影法 投影方法 画斜轴测图 斜角投影法 平行投影法 直角投影法（正投影法） 画工程图样 及正轴测图 中心投影法 投射中心 投射线 物体位置改 变，投影大 小也改变 物体 投影 投影面 思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小? 2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变? 3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求? 中心投影法的投影特性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对 距离对投影的大小有影响。 度量性较差 平行投影法 且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行 直角（正）投影法 且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行 斜角投影法 思考: 1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变? 2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形? 3 正投影能否满足绘制工程图样的要求? 投 影 特 性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。 平面和直线的投影特点 V V 1、物体上与投影面平行的平面的投 影反映实形；与投影面平行的线段的 投影反映其实长。 2、物体上与投影面垂直的平面的投 影成为一直线；与投影面垂直的直线 的投影成为一点。 3、物体上倾斜于投影面的平面的投 影成为缩小的类似形；倾斜于投影面 的直线的投影比实长短。 二、 多面正投影体系的建立和投影规律 1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小 9 三个投影 10 2、三视图的形成 规定 : V面保持不动，H面向下向后 绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ 轴旋转900。 俯视 z Z V x X y O 左视 y Y 主视 X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽 度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。 Z 长 O X 高 主视图长、 高 俯视图长、 宽 左视图高、 宽 高 V 长 （3 ）视图的度量性 H 宽 长 视图上物体的相对位置 Y 3、三面投影与三视图 2）三视图之间的度量对应关系 主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应 宽 长 宽 视图就是将物体向投影面 投射所得的图形。 主视图 —— 实体的正面投影 俯视图 —— 实体的水平投影 左视图 ——
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项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 2
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 3
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 4
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 5
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 6
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 7
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 8
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 9
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 10
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 11
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 12
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 13
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 14
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 15
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 16
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 17
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 18
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 19
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 20
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 21
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 22
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 23
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 24
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 25
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 26
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 27
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 28
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 29
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 30
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 31
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 32
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 33
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 34
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 35
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 36
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 37
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 38
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 39
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 40
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 41
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 42
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 43
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 44
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 45
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 46
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 47
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 48
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 49
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 50
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 51
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 52
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 53
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 54
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 55
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 56
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 57
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 58
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 59
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 60
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 61
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 62
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 63
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 64
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 65
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 66
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 67
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 68
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 69
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 70
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 71
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 72
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 73
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 74
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 75
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 76
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 77
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 78
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 79
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 80
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 81
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 82
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 83
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 84
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 85
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 86
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 87
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 88
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 89
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 90
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 91
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 92
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 93
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 94
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 95
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 96
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 97
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 98
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 99
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 100
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 101
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 102
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 103
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 104
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 105
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 106
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 107
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 108
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 109
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 110
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 111
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 112
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 113
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 114
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 115
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 116
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 117
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 118
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 119
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 120
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 121
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 122
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 123
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 124
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 125
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 126
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 127
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 128
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 129
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 130
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 131
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 132
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 133
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 134
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 135
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 136
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 137
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 2
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 3
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 4
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 5
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 6
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 7
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 8
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 9
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 10
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 11
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 12
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 13
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 14
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 15
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 16
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 17
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 18
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 19
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 20
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 21
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 22
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 23
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 24
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 25
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 26
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 27
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 28
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 29
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 30
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 31
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 32
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 33
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 34
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 35
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 36
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 37
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 38
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 39
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 40
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 41
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 42
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 43
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 44
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 45
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 46
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 47
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 48
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 49
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 50
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 51
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 52
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 53
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 54
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 55
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 56
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 57
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 58
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 59
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 60
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 61
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 62
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 63
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 64
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 65
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 66
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 67
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 68
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 69
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 70
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 71
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 72
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 73
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 74
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 75
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 76
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 77
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 78
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 79
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 80
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 81
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 82
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 83
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 84
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 85
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 86
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 87
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 88
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 89
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 90
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 91
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 92
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 93
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 94
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 95
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 96
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 97
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 98
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 99
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 100
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 101
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 102
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 103
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 104
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 105
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 106
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 107
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 108
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 109
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 110
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 111
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 112
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 113
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 114
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 115
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 116
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 117
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 118
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 119
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 120
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 121
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 122
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 123
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 124
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 125
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 126
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 127
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 128
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 129
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 130
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 131
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 132
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 133
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 134
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 135
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 136
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137
Slide 137
项目三
模具零件形体
认知及绘制
1
专题一 正投影法初识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
投影方法
画斜轴测图
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样
及正轴测图
2
中心投影法
投射中心
投射线
物体位置改
变，投影大
小也改变
物体
投影
投影面
思考: 1 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小?
2 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变?
3 中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
3
中心投影法的投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对
距离对投影的大小有影响。
度量性较差
4
平行投影法
且投
垂射
直线
于互
投相
影平
面行
直角（正）投影法
且投
倾射
斜线
于互
投相
影平
面行
斜角投影法
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变?
2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形?
3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
5
投
影
特
性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
6
平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投
影反映实形；与投影面平行的线段的
投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投
影成为一直线；与投影面垂直的直线
的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投
影成为缩小的类似形；倾斜于投影面
的直线的投影比实长短。
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
8
9
三个投影
10
2、三视图的形成
规定 : V面保持不动，H面向下向后
绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
俯视
z
Z
V
x
X
0
y
O
左视
y
Y
主视
11
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向作为度量物体宽
度的方向；Z方向作为度量物体高度的方向。
Z
长
O
X
高
主视图长、
高
俯视图长、
宽
左视图高、
宽
高
V
长
（3 ）视图的度量性
H
宽
长
视图上物体的相对位置
12
Y
3、三面投影与三视图
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正
主视左视高相等且平齐
俯视左视宽相等且对应
宽
长
宽
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
主视图 —— 实体的正面投影
俯视图 —— 实体的水平投影
左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
三等关系
长对正
高平齐
宽相等
13
3）三视图之间的方位对应关系
Z
V
上
左
右
下 后
X
上
上
后
O
左
后 下
左
前
前
右
前
右
下
14
Y
上
左
上
右
下
后
前
下
后
左
右
前
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
15
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影
面平行或垂直，进而确定主视图的投影方
向
• 整体和局部都要符合三视图的投影规律
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓
线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实
线
• 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方
位关系
16
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
17
线型
例2 画三视图
2
要注意宽相等
3
1
虚线
要画
18
19
20
专题二、平面体及点、线、面分析
一、体的投影
表面仅由平面围成的
基本体 平面体
表面包含曲面的
基本体 曲面体
构成该几何体的所有表面投影的总和
21
1 . 基本体的构形
（1）棱柱
正五棱柱可视为由正五边形底面ABCDE沿
其法线方向平移指定距离H所形成
22
（2）棱锥
四棱锥可视为由四边形底面ABCD沿其
法线方向向公共顶点S过渡所形成
23
（3）圆柱
圆柱可视为由四边形AA1O1O绕与OO1
重合的中心线旋转360°所形成；使圆形底
面沿其法线方向平移，也可形成圆柱。
24
（4）圆锥
圆锥面可视为由三角形SAO绕与SO重合的中心线旋转
360°所形成。
（5）圆球
圆球可视为由半圆形的轮廓绕与其直径OO1重合的中心
25
线旋转360°所形成。
（6）圆环
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平
面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
26
二、平面体的投影
1.棱柱
底边
侧棱面
底面
棱线
27
2 .棱锥
s"
s'
锥顶
a'
b'
a
c' a"(c")
b"
c
s
b
棱锥的棱线
相交于锥顶
28
三、投影面体系中点的投影
V
a
A
Z
a
a
W
a
X
O
YW
a
点A的水平投影 ——a
点A的正面投影 ——a
点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
29
重影点的投影
d(c)
a
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
30
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8
毫米，求点A的投影。
a
9
a
5
8
a
31
四、直线的投影
A
C
B
D
a
b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
32
1 . 各种位置直线的投影
一、特殊位置直线
1. 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜。
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线：垂直于一个投影面。
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
二、一般位置直线
33
（1） 水平线
a
z
a
b
a
b
b
A
a
B
O
X
b
a
YW
a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
b
YH
34
（2）正平线
Z
b
b
b
a
B
A
a
b
a
a
b
X
a
a
YW
O
b
YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
35
（3）侧平线
a
a
Z
a
a
A
b
b
O
X
b
YW
a
b
a
B
b
b
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
YH
36
（4）铅垂线
a
A
Z
a
a
b
a
b
b
X
YW
O
b
B
a(b)
a(b)
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW
3． a b = a b = AB
YH
37
（5）正垂线
(a )b
ab
z
a
b
a
A
B
b
X
YW
O
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
38
（6）侧垂线
a
a
b
Z
a (b)
b
ab
A
X
B
a
a
YW
O
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ
3． ab = ab =AB
b
YH
39
（7）一般位置直线
Z
b
a
b
B
b
a
a
X
O
A
a
b
Y
b
b
a
a
Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3．不反映 、 、 实角
40
2 直线上的点的投影
a) 立体图
41
[例] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、
F的另二面投影并连成直线。
•空间分析：
a)
42
解题过程
b) 作点D、E、F的投影
c) 运用定比分点求E点的投影
图 求作直线上的点投影
43
3 . 直线与直线的相对位置
空 间 情 况
投
d'
b'
平
Z
d'
b'
投 影 特 性
影 图
d ''
b ''
行
两
c'
a'
X
c
d
b
b'
相
直
d
b
YH
d'
b'
d'
Z
k
k
两
YW
c
a
a
线
a ''
O
直
交
c ''
c'
a'
d ''
k
b ''
c'
c'
K
a'
a'
O
X
线
a '' c ''
YW
相交两直线的所有同
面投影都相交，其交点符
合点的投影规律，且具有
定比性。
a
a
c
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
c
k
b
d
k
b
b'
b'
c'
c'
d'
1
a'
2
d
YH
Z
c ''
(1)
d'
1
b ''
44
2
d ''
c'
K
a'
两
c
k
(续)
d
k
b
投
b'
d'
c'b'
c'
c'
b ''
a'
c
a'
1
a'
O
2
d
b'
交
两
直
K
a'
Ca
1 3
c
线
D
4
2
c'
k
b
c
b'
B
Xc '
X
c
b
a
c'
2
a'
a
叉
Z
YH
c ''
1
a ''
X
交
b'
d'
a'
1
d
(1)
d'
2
O
a
1
c
b
YW
YW
YH
4 (3 )
1
b'
d
3
（ 3 ）相
重交
影两
点直
的线
可的
见所
性有
要同
根面据投它影们都另相外交的，投其影交来点判符
断合。点 的 投 影 规 律 ， 且 具 有
定比性。
O
b
k
2
b ''
4
a ''
2
a '' c '' 1
c ''
b ' b ''
c
d
c'
O
3
a
bd
a
a'
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
d ''
dk''
ca
' ' 1 (2 ) 4
a'
c'
d'
k
d'
ZZ
d'
b'
d'
k
YH
YH
直
平行两直线的所有同
面投影都互相平行，且具
有定比性。
（ 2） 交 叉 两 直 线 所 有 同
面投影可能都相交，但相
交处是重影点而不是交点。
d
b
d
相
线
YWYW
b
b
d
b
d ''
a '' a ''
c
ca
c
2
O
1
a
c '' 1
d'
c'
a'
XX a
2
a
两
投 影 特 性
b ''
c '' d ''
Z
d'
2 (b1' )
d 图
影
YH
Z
b'
d'
行
合点的投影规律，且具有
定比性。
c
b
空 间 情 况
平
YW
a
a
线
a '' c ''
O
X
直
两
交
直
叉
线
a'
b ''
2
d ''
YW
（ 1） 交 叉 两 直 线 的 某 个
投影可能会出现平行，但
不会三个投影都平行。
45
[例] 如图6所示，补出四棱锥棱线上的E、F、G的另两面投影，并
判别直线EF、FG与棱线SA、SB、SC、AB、BC的相对位置。
•空间分析：
46
解题过程
两直线
关系
平行
BC 交叉
AB
理由
且共面
EF SA
相交
交点为 E
SB
相交
交点为 F
SC
交叉
AB
交叉
BC
平行
SA
交叉
SB
相交
交点为 F
SC
相交
交点为 G
FG
图 判断直线的相对位置
无交点且不平行
且共面
无交点且不平行
47
五、 平面与投影体系的关系
一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)
平面
投影面垂直面：仅垂直于一个投影面的平面
特殊位置平面
(⊥V：正垂面；⊥H：铅垂面；⊥W：侧垂面)
投影面平行面：平行于一个投影面的平面
(∥V：正平面；∥H：水平面；∥W：侧平面)
a) 立体图
b) 三视图
图 平面的分类与倾角
c) 平面与平面的夹角
48
表
投影面垂直面的投影
Z
X
0
YW
YH
Z
0
X
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
49
表2.9
投影面平行面的投影
Z
S
0
X
YW
YH
Z
P
X
0
YW
YH
Z
X
0
YW
YH
50
3. 平面上的点和直线的投影
表 平面上的点和直线
51
表 平面上的点和直线(续)
52
表 平面上的点和直线(续)
53
在棱柱表面取点
a'
a"
A
已知a′，求a、a"
a
54
在棱锥表面上取点
s"
s'
k"
k'
K
a'
b'
c'
a"(c")
b"
c
a
s
k
已知k′,求k、k"
b
55
专题三、回转体及其表面点、线、面的投影
1 . 圆柱
O
O
对V面的侧
影轮廓线
对W面的侧
影轮廓线
56
2 . 圆锥
s'
s"
S
s
对V面的
轮廓线
对W面的
轮廓线
轮廓线投影
的对应关系
圆锥面投影
可见性判断
57
3 . 圆球
O
a'
O
c"
b
58
在圆柱表面上取点
O
m'
( m" )
M
O
已知m′求m ，m"
m
59
在圆锥表面上取点（素线法）
s'
S
s"
( m')
m"
M
m
s
已知m，求m′，m"
60
在圆锥表面上取点（辅助圆法）
s'
S
s"
m'
m"
M
s
S
已知m ′ ，求m，m"
m
61
在球表面上取点
O
N
(n" )
n'
O
已知n′ ，求n，n"
n
62
专题四、切割体及相贯体的投影分析
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
63
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每
条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
64
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
确定截交
★ 空间及投影分析
线的形状
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
确定截交线
的投影特性
65
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
s”
s’
具体步骤如下：
Pv
3’
3”
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、
2’
2”
s’c’的交点1’、2’、3’为
截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
a’
1
c’
b’
s
2
c”
a”
3
b” (2) 根据线上取点的方
法，求出1、2、3和1”、
2”、3”。
(3) 连接各点的同面投
影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
66
例2 求做立体被截切后的投影
1”
1’
2’
3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
67
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4)
1
4
1
●
●
2
3
●
●
4
●
1
3
●
●
2
●
2
3
★ 空间分析
截平面与体的
★
投影分析
交线的形状？
几个棱面相交？
截交线在俯、
★ 求截交线
左视图上的形
★ 分析棱线的投影
状？
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
68
棱线法！
我们采用的是
哪种解题方法？
69
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
●
2
●
1
注意：
三面共点：
要逐个截平面分析和
Ⅰ、Ⅱ两点分别
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
同时位于三个面
为整体被截切，求出截交
上。
线后再取局部。
70
71
72
例6 补全俯视图和左视图的投影
1”
1’
2’(3’)
3”
2”
5”
4”
4’(5’)
6’(7’)
6”
7”
6
7
73
例 7: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
4≡5
P
2≡3≡6≡7
1≡8
8
5
7
6 3
Ⅴ
2
Ⅶ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅲ
8
7
4
1
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
5
6
3
1
4
截交线的投影
检查截交
分析棱线的
截交线的形状？
求截交线
特性？
投影
线的投影
2
74
75
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
76
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形。
77
三、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交
线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出
截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
78
（一） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直
圆
倾斜
椭圆
平行
两平行直线
79
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
4’
3’
5”
5’
6”
7”
(7)’
2’
8”
1’
8
7
由于平面与圆柱的
具体步骤如下：
轴线斜交，因此截交线为一
4”
（2）再作出适当数量
（1）先作出截交线上的
（4）补全侧面投影中
椭圆。截交线的正面投影重
（3）将这些点的投影
3” 影为一直线，水平投影与圆
的一般点。
特殊点。
的转向轮廓线。
依次光滑的连接起来。
柱面的投影重影为圆。侧面
2”
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
6
Ⅴ
Ⅵ
5
1
Ⅳ
Ⅶ
Ⅲ
2
4
3
平面与圆柱相交
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
80
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
81
例2：求左视图
虚实分界点
82
83
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
84
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析：
该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后
形成的 。构成方槽的平
面为垂直于轴线的水平P
和两个平行于轴线的侧平
面Q 。它们与圆柱体和孔
的表面都有交线，平面P
与圆柱的交线为圆弧，平
面Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和Q彼此相交于直
线段。
平面与圆柱相交
85
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。
（2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
86
例3：求左视图
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
解题步骤：
●
●
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
87
88
例4：求左视图
●
●
●
●
89
90
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’
2’ (11)’
11’’
2’’
1’
7’
3’’
(10)’’
1’’
(8)’ 6’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(9)’ 5’
(8) 11
10 (9)
1
(7)
3 (5)
(6) 2
91
92
（二）圆锥体的截切
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
93
平面与圆锥相交
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
此种截交线为一
椭圆。由于圆锥前后对称，
故椭圆也前后对称。椭圆的
长轴为截平面与圆锥前后对
称面的交线——正平线，椭
圆的短轴是垂直与长轴的正
垂线。
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
94
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。
5’6’
3’4’
2’
6”
2”
5”
3”
4”
7’8’
（4）补全侧面转向轮廓线。
7”
8”
1’
（3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
1”
8
4
Ⅱ
6
Ⅳ
Ⅲ
2
1
7
3 5
平面与圆锥相交
正垂线
Ⅰ
正平线
95
96
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3’
2’
1’ 5” 4”
(4’) (5’)
3”
2”
1”
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
5
4
4
3
3
2
1
2
1
平面与圆锥相交
97
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线.
作图:
1 求特殊点。
最高点
最低点
2 求一般点。
3 连线。
98
99
100
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的
水平面截圆球的截交线
截交线的投影，在侧视
的投影，在俯视图上为
图上为部分圆弧，在俯
部分圆弧，在侧视图上
视图上积聚为直线。
积聚为直线。
101
102
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
（3）依次连接各点的水平投影。
2’
3’4’
3’4’
5’
1’ 6’
6
5
5’
1’ 6’
6
4
1
2’
2
3
4
1
5
2
2
4
3
3
1
平面与球相交
103
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。
104
105
两基本体的集合
由两基本体集合构成的几何体称“相贯体”；
两基本体边界面的交集称“相贯线”。
106
二、相贯体的投影及分析
1 . 相贯体的集合构形
相对位置相同的两基本体分别进行并、交、差
集合构形，生成形状不同的相贯体，但它们的相贯
线形态一致。
107
108
2 . 相贯体的投影
求相贯体的投影，实质是求相贯线的投影。
求相贯线投影时，应注意分析参与集合构形的两
基本体边界面的性质及其相对位置，明确相贯线
的构成及形态，相贯线的性质不同，求相贯线投
影的方法也有所不同。
（1）参与集合构形的基本体为两平面体的相贯线
（2）参与集合构形的基本体为平面体和回转体的
相贯线
（3）参与集合构形的基本体为两回转体的相贯线
109
相贯线
110
111
例题5 求两圆柱的相贯线
a'
a"
b" d"
e"
b'
e'
d'
解题步骤
c"
c'
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知，可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、
B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 光滑且顺次地连接各点，
作出相贯线，并且判别可见
性；
y
5 整理轮廓线。
y
y
b
y
a
d
c
e
112
(a) 两外表相交
(b) 外表面与内表面相交
(c) 两内表面相
图3-41 求正交两圆柱的相贯线
113
114
115
例3：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
●
●
●
●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
116
小 结：
无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面
相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是
一样的。
117
简单结构十一
118
专题五、形体轴测投影的绘制
1.轴测图的形成及分类
轴测投影图，简称轴测图，它是将物体连同其直角坐标体系，
沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在
单一投影面上所得到的图形。
a) 正投影图
图4.1
b) 轴测投影图
正投影图与轴测投影图
119
2.轴测图的形成及投影规律
1. 轴测图的形成
斜轴测图
轴测轴
wcg
1
正轴测图
1
轴测轴
1
1
1
1
1
1
轴测投影面
轴测投影面
a) 正轴测图
b) 斜轴测图
图4.2 轴测投影的形成
120
轴间角：轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠XOZ称为轴间角。
轴向伸缩系数：轴测轴OX、OY、OZ上的线段与坐标轴O1X1、
O1Y1、O1Z1上对应线段的长度比，分别用p1、q1、r1表示，称为
沿OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
2.轴测图的投影规律
（1）物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行。
（2）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比值，
在轴测图上保持不变。
（3）物体上平行于轴测轴的线段，在轴测图的长度等于沿
该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。
121
3.轴测图的分类
正轴测图：指轴测投射方向垂直于轴测投影面的轴测图
斜轴测图：指轴测投射方向倾斜于轴测投影面的轴测图
正轴测图
正等轴测图
正二轴测图
正三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
斜轴测图
斜等轴测图
斜二轴测图
斜三轴测图
（p1＝q1＝r1）
(p1＝r1≠q1 p1＝q1≠r1 p1≠q1＝r1)
（p1≠q1≠r1）
122
二、正等轴测图的画法
1.正等轴测图的形成及特点
正等轴测图
a) 正投影图
b) 物体绕O1Z1轴旋转45° c) 物体绕O1X1轴旋转35°16′
图4.3 正等轴测图的形成
123
正等轴测图的特点：
（1）轴间角∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°
（2）轴向伸缩系数 p1=q1=r1 ≈0.82
简化轴向伸缩系数 p=q=r=1
120
120
30
30
120
a)
b)
c)
d)
图4.4 正等轴测图的特点
a)正等测轴测轴 ; b) 视图; c) 采用轴向伸缩系数绘出的正等测
d) 采用简化轴向伸缩系数绘出的正等测
124
2.平面立体正等轴测图的画法
[例4.1] 根据投影图求作立体的正等轴测图。
a) 投影图
b) 画出四棱台底
c) 画出四棱台顶面
d) 整理、加深
图4 .5 运用坐标法画正等轴测图举例
125
[例4.2] 根据三视图画立体的正等轴测图。
b)
c)
d)
e)
a)
图4.6 运用方箱法画正等轴测图举例
a) 题图； b) 画长方体； c) 切割中间部分；
d) 切割斜角；
e) 整理、加深
126
3. 回转体正等轴测图的画法
1.平行于坐标平面的圆的正等轴测图画法
（1）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（2）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和
GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（3）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
G
C
D
F
H
B
A
C
D
O
X
Y
O
1
H
X
b)
2
E
C
D
O
H
F
B
A
E
a)
G
G
Y
c)
2
1
F
B
A
Y
E
d)
图4.7 圆的正等轴测图的画法 （之一）
127
圆的正等轴测图的画法 之二：（a）平行于H面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于H面，则OZ为椭圆短轴，即E、G为两大圆弧的圆心。将E、
G分别与C、D 和A、B相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以E、G、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
128
圆的正等轴测图的画法 之二：（b）平行于V面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于V面，则OY为椭圆短轴，即B、D为两大圆弧的圆心。将B、
D分别与A、G 和E、C相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以B、D、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
129
圆的正等轴测图的画法 之二：（c）平行于W面的圆
（1）作轴测轴OX、OY、OZ，在各轴上取圆的真实半径，得A、B、C、D、
E、G六点。
（2）圆平行于W平面，则OX为椭圆短轴，即A、C为两大圆弧的圆心。将
A、C分别与B、G 和D、E相连，所得到的1、2点即为两小圆弧的圆心。
（3）分别以A、C、 1、2为圆心，画对应段的圆弧，即完成作图。
G
D
C
B
A
E
图4.8 圆的正等轴测图的画法 （之二）
130
2. 回转体的正等轴测图的画法
a) 圆柱
b) 圆台
图4.9 圆柱和圆台的正等轴测图
131
3. 圆角的正等轴测图的画法
3
a) 平板的视图
b) 求作圆心及切点，并画圆弧
c) 整理、加深
图4.10 圆角的正等轴测图
132
4. 组合体正等轴测图的画法举例
[例4.3] 根据视图，画出该立体的正
等轴测图。
图4.11 组合体的视图
a) 画轴测轴及底板
b) 画支承板
c) 画支承板的半圆柱面
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
133
d) 画三角形肋板及底板圆角
e) 画三个圆孔
f) 整理、加深
图4.12 组合体的正等轴测图的画法
134
二、斜二等轴测图的画法
1 . 斜二等轴测图的形成及特点
斜二测
(d)
a)
b)
图4.13
c)
e)
斜二等轴测图的形成及特点
a) 视图; b)斜二测的形成过程; c) 斜二测轴测轴及轴向伸缩系数;
d) 斜二测作图特点;
e) 斜二测
135
斜二等轴测图的画法举例
[例4.4] 求作立体的轴测图
a) 题图
b) 作斜二测轴测轴
c) 画立体前表面的轴测图
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
136
d) 画立体后表面的轴测图
e) 整理、加深
图4.14 组合体的斜二等轴测图的画法
137