Transcript 第7节倒易点阵(Reciprocal lattice).

材料电子显微分析
7. 倒易点阵
燕山大学
材料电子显微分析
本节开始，我们用4节课，来讲“晶体衍射学基础”的内容。
射线照射到晶体上，产生相干散射和非相干散射。相干
散射中，干涉加强的散射波即为衍射波。由于晶体中原子（即
散射体）呈周期性排布，故衍射波在空间的分布（衍射花样）
与晶体中原子排布规律相关。所以，每种晶体产生的衍射花样
都反映该晶体内部的原子排布规律——晶体结构。概括地讲，
衍射花样的特征包含2方面的内容：
1. 衍射几何。即衍射线在空间的分布规律。它由晶体的晶胞大
小、形状和位向决定。
2. 衍射强度。由原子的种类和它们在晶胞中的位置及晶体的不
完整性决定。
衍射几何包括：
• 1. 倒易点阵(Reciprocal lattice)：为了方便理解衍射而引入
• 2. 衍射必要条件（衍射几何条件）
布拉格定律（Bragg’s Law）
衍射条件的矢量方程——劳厄( Laue )方程
衍射条件图解法——厄瓦尔德( Ewald)图解
衍射强度包括：
• 3. 结构因子、系统消光与倒易阵点权重
• 4. 晶体散射强度与衍射积分强度
这些内容分四节讲授， 本节（第7节）讲“倒易点阵”。
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7.1 倒易点阵的定义
随着晶体学的发展，为了更清楚地说明晶体衍射现象和
晶体物理学方面的某些问题，厄瓦尔德(P.P. Ewald)在1920年
引入了倒易点阵的概念。
倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系建
立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。其
所以被称为倒易点阵，是因为它的许多性质与晶体点阵存在
着倒易关系。为了便于区别，有时将晶体点阵称为正点阵。
利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射问题，能使几何概念
更清楚，数学推演更简化。我们所观察到的衍射花样实际上
是满足衍射条件的倒易阵点的投影。可见，衍射花样是倒易
空间的形象。所以，从这个意义上讲，倒易点阵本身就具有
衍射属性。
7.1 倒易点阵的定义
设有一正点阵S＝S(a,b,c)，由3个基矢a、b、c来描述。现引入
另一点阵S*＝S*(a*,b*,c*)，由3个新的基矢a*、b*、c*来描述，
并满足如下关系：
a*  b = a* c = b*  a = b*  c = c*  a = c* b = 0
(7-1)
a* a = b*  b = c*  c =1
(7-2)
则把点阵S*称为正点阵S的倒易点阵。
这个基本关系给出了倒易基矢量的方向和长度。由式(7-1)可知，
a*垂直于b、c构成的平面，即a*垂直(100)晶面。同理，b*垂直
于(010)，c*垂直于(001)。给出了倒易基矢的方向
设、、分别为a*与a、b*与b、c*与c之间的夹角。由式(7-2)
可得：
7.1 倒易点阵的定义
a*·a cos =b*·b cos =c*·c cos =1，则
(7-3)
右图示出a*与正点阵的关系。其中OP
为a在a*上的投影，同时也是b和c构成
的晶面(100)的晶面间距d100，故
OP= a cos=d100 。同理b cos =d010，
c cos = d001。代入式(7-3)得：
(7-4)
给出了倒易基矢的大小
以上分别给出了倒易基矢的方向和大小——标量形式
7.1 倒易点阵的定义
倒易基矢的方向和长度还可以用统一的矢量方程来表达。
由式(7-1)：a*垂直于b和c，故a*∥(bc)，设a*＝1(bc)。
由式(7-2)：a* a＝11(bc)a=1。又(bc) a为正点阵单胞
的体积V，因此，a* a＝1V＝1，那么1＝1/V，所以
7.2 倒易点阵与正点阵的倒易关系
根据倒易点阵的定义关系式(7-1)和(7-2)可知，倒、正点阵的
基矢是完全对称的。故实际上它们之间是互为倒易的关系，
即S是S*的倒易点阵，那么，倒易点阵的倒易点阵即为正点
阵。按此道理，可以得到如下关系：
V*——倒易点阵单胞体积。
7.2 倒易点阵与正点阵的倒易关系
由式(7-5)和(7-7)：
VV*=1
(7-8)
下面推导倒、正点阵参数中基矢夹角之间的关系：
设、、 分别为b和c、c和a、a和b之间的夹角；
*、*、*分别b*和c*、c*和a*、a*和b*之间的夹角。则有
b * c *
cos  * 
，将式(7-5)代入，得
b*  c*
c a ab
(
)(
)
(c  a)  (a  b) (c  a)  (a  b)  (c  b)  (a  a)
V
cos  *  V


c a ab
c a  ab
c  a sin   a  b sin

V
V
c  a cos   a  b cos   c  b cos   a  a cos  cos   cos 


2
sin  sin
a bc sin  sin
7.2 倒易点阵与正点阵的倒易关系
同理可求得cos*和cos* 的表达式，共同列为下式：
(7-9)
上面的所有倒正点阵间的关系式是普遍适用的，对三斜以外
的晶系均可简化。
7.3 倒易矢量的性质
从倒易点阵原点向任意一个倒易阵点所连接的矢量称为倒易矢量，
用符号r*表示。设
r*=Ha*+Kb*+Lc*
(7-10)
式中H、K、L为整数。
该倒易矢量具有以下2个基本性质：
1.倒易矢量r*垂直于正点阵中的(HKL)晶面。 r*⊥(HKL)
2.倒易矢量长度 r*等于(HKL)晶面间距dHKL的倒数。r*=1/dHKL
下面证明以上两个性质。
7.3 倒易矢量的性质
如右图，ABC为HKL面族中靠近原点
的晶面，则它在坐标轴上的截距为：



AB  OB OA  b K  a H


(7-11)

BC  OC OB  c L  b K
(7-12)
将式(7-10)的两端分别乘以(7-11)和
(7-12)的两端，得


r*同时垂直于AB

和 BC，那么
r*(HKL)晶面
7.3 倒易矢量的性质
用n代表r*方向的单位矢量，
n = r*/r*。ON为HKL面间距dHKL。



由于ON是 OA(或 OB、OC) 在r*上的投
影，所以

ON  d HKL  OA n 
a r * a Ha *  Kb *  Lc * 1

 

H r* H
r*
r*
r*=1/dHKL
(7-13)
从倒易矢量的基本性质可看出，如正点阵与倒易点阵有共同
的坐标原点，则正点阵中的晶面在倒易点阵中可用一个倒易阵点
则
来表示。倒易阵点的指数用它所代表的晶面的指数标定。晶体点
阵中晶面取向和晶面间距这两个参数在倒易点阵中只用倒易矢量
一个参数就能综合地表示出来。
7.3 倒易矢量的性质
利用这种对应关系，可由任何一个正点阵建立起一个相应的倒易
点阵，反过来，由一个已知的倒易点阵运用同样的对应关系又可
以重新得到原来的晶体点阵。例如，图(a)中画出了(100)及(200)晶
面族所对应的倒易阵点；图(b)是单斜晶体点阵中ac面的4个阵胞，
b与图面垂直，虚线表示它的倒易点阵。若将b轴方向的倒易点阵
平面也画出，就可以得到一个倒易空间点阵。
前面讲的是第7节——倒易点阵，下面将
讲第8节——衍射必要条件。