§

3. X

射线衍射的几何原理

§ 3.1 布拉格定律 § 3.2 倒易点阵 § 3.3 衍射矢量方程和厄瓦尔德几何图解

§

3.1

布拉格定律

• •

一、布拉格方程的导出 2dsinθ=nλ

二、 布拉格方程的讨论

1 选择反射 X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之间 的干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对 入射线的反射，所以才借用镜面反射规律来描述X射线的 衍射几何。这样从形式上的理解并不歪曲衍射方向的确定， 同时却给应用上带来很大的方便。但是X射线的原子面反 射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角度投射 到镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射并不 是任意的，只有当λ、θ和d三者之间满足布拉格方程时 才能发生反射。所以把X射线的这种反射称为选择反射。 在以后的学习中，我们经常要用“反射”这个术语来描述 一些衍射问题。有时也把“衍射”和“反射”作为同义语 混合使用。但其本质都是说明衍射问题。

2 产生衍射的极限条件 • • • 在晶体中产生衍射的波长是有限度的。在电磁波的宽阔波 长范围里，只有在X射线波长范围内的电磁波才适合探测 晶体结构。这个结论可以从布拉格方程中得出。 由于sinθ不能大于1，因此， nλ/2d=sinθ＜1 ,即 nλ﹤2d,对衍射而言，n的最小值为1（n=0相当于透射方 向上的衍射线束，无法观测）。所以在任何可观测的衍射 角下，产生衍射的条件为λ﹤2d。 当X射线波长一定时，晶体中可能参加反射的晶面族也是 有限的，它们必须满足d﹥λ/2,即只有那些晶面间距大于 入射X射线波长一半的晶面才能发生衍射。我们利用这个 关系来判断一定条件下所能出现的衍射数目的多少。

3 干涉面和干涉指数 • • • 为了应用上的方便，经常把布拉格方程中的n隐含在d中得 到简化的布拉格方程。为此，需要引入干涉面和干涉指数 的概念。布拉格方程可以改写为2d hkl sinθ/n =λ,令d HKL ＝d hkl /n 则 2 d HKL sinθ=λ 这样，就把n隐函在d HKL 之中，布拉格方程变成为永远是一 级反射的形式。这也就是说，我们把（hkl）晶面的n级反 射看成为与（hkl）晶面平行、面间距为d HKL ＝d hkl /n的晶 面的一级反射。

• 面间距为d HKL 的晶面并不一定是晶体中的原子面，而是为 了简化布拉格方程所引入的反射面，我们把这样的反射面 称之为干涉面。把干涉面的面指数称为干涉指数，通常用 HKL来表示。根据晶面指数的定义可以得出干涉指数与晶 面指数之间的关系为：H=nh；K=nk；L=nl。干涉指数与晶 面指数之间的明显差别是干涉指数中有公约数，而晶面指 数只能是互质的整数。当干涉指数也互为质数时，它就代 表一族真实的晶面。所以说，干涉指数是晶面指数的推广， 是广义的晶面指数。

4 衍射花样和晶体结构的关系 • • • • • 从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的 方向是晶体面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉 格方程式，则得： 立方晶系： 四方晶系： sin 2    2 2 (

H

2 

K

2 

L

2 ) sin 2   4 (

H

2

a

 2

K

2 

L

2

c

2 ) 六方晶系： 斜方晶系： sin 2    2 4 4

a

( 4 3

H

2 

HK a

2 

K

2 

L

2

c

2 ) sin 2    2 4 (

H a

2 2 

K b

2 2 

L

2

c

2 ) • 从这些关系式可明显地看出，不同晶系的晶体，或者同一 晶系而晶胞大小不同的晶体，其衍射花样是不相同的。由 此可见， 布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形 状的变化。

§

3.2

倒易点阵

• 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系建立 起来的空间几何图形。每种空间点阵都存在着与其相对应 的倒易空间点阵，它是晶体点阵的另一种表达方式。自从 1921年德国物理学家厄瓦尔德（Ewald,P.P）把倒易点阵 引入衍射领域之后，用倒易点阵处理各种衍射问题就逐渐 地成为主要的研究方法。用倒易点阵处理衍射问题时，能 使几何概念更清楚，数学推演简化。

• • • • 如果用a、b、c表示晶体点阵（相对倒易点阵而言，把晶 体点阵称为正点阵）的基本平移矢量；用a﹡、b﹡、c﹡ 来表示倒易点阵的基本平移矢量。则倒易点阵与正点阵的 基本对应关系为： a﹡﹒b= a﹡﹒c=b﹡﹒a=b﹡﹒c=c﹡﹒a=c﹡﹒b=0 a﹡﹒a=b﹡﹒b=c﹡﹒c=1 从这个基本关系出发，可以推导出倒易点阵的基本平移矢 量a﹡、b﹡、c﹡的方向和长度。

• • • • • • 从（矢量“点积”关系知道，a﹡同时垂直b和c、因此， a﹡垂直b、c所在的平面，即a﹡垂直（100）晶面。同理 可证，b﹡垂直（010）晶面，c﹡垂直（001）晶面。 从上式可以确定基本平移矢量的长度a﹡、b﹡、c﹡。

a

*  1

a

cos  ；

b

*  1

b

cos  ；

c

*  1

c

cos  式中 a﹡﹒a间的夹角； b﹡﹒b间的夹角； c﹡﹒c间的夹角。

• • • • • • 从右图中可以看出，c在 c﹡方向的投影OP为（001） 晶面的面间距，因此， OP=ccosω=d001。同理， acos=d100,bcos=d010。 所以：

a

*

d

100 ；

b

* 

d

1 ；

c

* 

d

1 001 a*︱a, a*=1/a b*︱b b*=1/b c*︱c c*=1/c

• • 正点阵和倒易点阵的阵胞体积也互为倒易关系，这点在直 角坐标晶系中是很容易证明的。 正点阵的阵胞体积V=abc,而倒易点阵的阵胞体积为:V﹡= a﹡b﹡c﹡=1/abc=1/V，所以，V﹡V＝1。这个结论同样也 适合其它晶系。

• • • 作出倒易点阵之后，将倒易阵胞在空间平移便可绘制出倒 易空间点阵。倒易空间点阵中的阵点称为倒易结点。从倒 易点阵原点向任一个倒易结点所连接的矢量称为倒易矢量， 用符号r﹡表示。 r﹡=Ha﹡+Kb﹡+Lc﹡ 式中 H、K、L为整数。

§

3.3

衍射矢量方程和厄瓦尔德几 何图解

• 由倒易点阵概念导入X射线衍射理论, 倒易点落在Ewald 球上是产生衍射必要条件。