Transcript 第8节衍射必要条件
材料电子显微分析 8 衍射必要条件 燕山大学 材料电子显微分析 8.1 布拉格定律（Bragg’s Law） （a）布拉格定律推导用图： 一个晶面内原子的衍射 图(a)中画出了垂直于纸面的一列晶面，其指数为(hkl)，晶面间 距为d。波长为的射线被晶面1上原子A、B、C散射，入射束的 波前在P、Q、R位相相同，当散射束的方向满足“光学镜面反 射条件”时，各原子的散射线位相相同，因为此时任意两相邻 原子的散射线的光程差为零： 此时为干涉加强——发生衍射。由此看来，一个晶面内原子对 射线的衍射可以在形式上看成是原子面对入射线的反射。 8.1 布拉格定律（Bragg’s Law） 射线穿入晶体多层原子面时，每一层上 相邻原子的散射线在满足“镜面反射” 时发生衍射，但对法线方向两层相邻的 原子A和A来说，则要满足散射线光程 差为射线波长的整数倍时才能干涉 而发生衍射。如图（b）。 (b)布拉格定律推导用图： 两层原子面法线方向相邻2原 子的衍射 (8-1) 其中n为反射级数，n＝0, 1, 2, , 称为半衍射角。该式为 1912年英国物理学家布拉格父子从实验中得出的，能说明晶体衍 射的基本关系，称为布拉格定律。它是衍射发生的必要条件。 注意：布拉格定律还要满足以下条件： 1.入射线、反射线和反射晶面法线须在同一平面内(三线共面）。 2.由于 ，故n≤ 2d，当n＝1时， ≤ 2d,或d≥/2，只有面 间距d≥/2的干涉晶面能得到衍射——衍射极限。 8.1 布拉格定律（Bragg’s Law） 由布拉格定律： 若d为(hkl)的面间距，则d /n为(nh nk nl)的晶面间距，(nh nk nl) 称为干涉晶面，其指数称为干涉指数，一般用（HKL）表示。 就是说晶面(hkl)的n级反射，可看成是与(hkl)平行、面间距为 dhkl /n的干涉晶面(nh nk nl)的1级反射。例如(100)晶面的2级反射， 可看作为(200)晶面的1级反射。因此引入干涉晶面后，布拉格方 程简化为2d sinθ =（d为干涉晶面的面间距）。 8.2 衍射条件的矢量方程－劳厄方程 如图，以s0和s分别表示入射和衍射方向的单位矢量，则s-s0必垂 直于衍射晶面(hkl)。设晶面 (hkl)的倒易矢量为r*=ha*+kb*+lc*， 则s-s0∥r* 。令 s-s0=Cr* （C为常数） （8-2） 将上式两端取绝对值，由图求出 s-s0=2s0sin， 而Cr*= Cr*=C·1/dhkl，则有 C=2dhklsin 。由布拉格定律知， C=，代入式(8-2)得： s-s0= r* ，改写成 s s0 s s0 r * 或 － ＝r * 衍射矢量图 (8-3) 此即倒易空间表示衍射条件的矢量方程，也称倒易空间的劳厄方 程。实质是布拉格方程的矢量形式。 8.2 衍射条件的矢量方程－劳厄方程 将式(8-3)两端分别乘以a、b、c得： (8-4) 设衍射束单位矢量s与点阵三个晶轴a、b、c间夹角分别为 1、2、3；入射束单位矢量s0与点阵三个晶轴a、b、c间夹 角分别为1、2、3。则式(8-4)化为 (8-5) 注：a 此即劳厄方程组 a ，b b，c c 8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 s s0 由衍射矢量方程 ＝r * 可知， 三个矢量构成等腰三角形，如图。它表明入射线 方向、衍射线方向和倒易矢量间的几何关系。当 一束射线以一定方向投射到晶体上时，可能有若 干个晶面满足衍射条件，可在若干方向上产生衍 衍射矢量三角形 射线。即以公共的腰s0/存在若干个等腰三角形， 这些三角形均以s0/矢量的起点为三角形的共同顶点，而末端点为 各三角形一个底角的公共顶点，也是倒易点阵的原点(因为它是倒 易矢量的起点)。那么三角形另一底角的顶点为倒易矢量的终点， 是满足衍射条件的倒易阵点。由几何关系可知，这些满足衍射条 件的倒易阵点必定位于以等腰三角形公共顶点为球心，以1/(s和 s0均为单位矢量)为半径的球面上。据此，厄瓦尔德提出了倒易点 阵中衍射条件的图解法，即厄瓦尔德图解法，作图方法如下： － 8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 沿入射线方向作长度1/（倒易点 阵周期与之采用同一比例尺度） 的矢量s0/，并使该矢量的末端落 在倒易点阵的原点O*。以该矢量 的起点C为中心，以1/为半径作 球，称为反射球，凡是与反射球 面相交的倒易阵点(如P1和P2)都能 满足衍射条件而产生衍射。则 P1O*C、P2O*C构成衍射三角形。 CP1 、 CP2 分别为倒易阵点P1和P2的衍射方向，而 O P1 r 和 O*P2 rP* 2 * 分别表示满足衍射条件晶面族的取向和面间距。 * P1 8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 要说明的是，厄瓦尔德图解、布拉格方程和劳厄方程 是描述衍射几何的等效表达方法。由其中任何一种表达式都 可以推出另外两种表达式，这由衍射矢量方程(8-3)容易得到。 该方程是图解法的根据，是布拉格方程的矢量形式，且两端 分别乘以a、b、c便可以得到劳厄方程组。 由上面讨论的产生衍射的条件可以看出，并非随便把一 个晶体置于射线下照射都能产生衍射现象。例如，一束单色 射线照射到一个固定不动的单晶体，就不一定能产生衍射， 因为在这种情况下，倒易阵点有可能不在反射球面上。 8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 讨论衍射极限条件：根据厄瓦 尔德图解，倒易矢量最大值即 为厄瓦尔德球的直径2 /λ，对 应最小的晶面间距λ/2 。故， 只有晶面间距d≥λ/2的晶面才 能给出衍射； d<λ/2的晶面不 能给出衍射。 8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 由前面所讲内容可知，衍射条件可以由三个方式给出： （1）布拉格方程，即衍射条件的标量方程。 （2）劳厄方程，衍射条件的矢量方程。 （3）厄瓦尔德图解。 由晶体散射的干涉加强，导出了布拉格方程，通过引入倒易点 阵，建立起劳厄方程，再由劳厄方程的几何矢量关系，建立了 衍射条件的厄瓦尔德图解法。这是衍射的必要条件，即：如果 不满足该条件，则不能产生衍射；满足该条件也不一定能产生 衍射！产生衍射必须在满足布拉格方程的前提下，还要满足其 它条件——下面要讲到的“结构因子不为0”。 前面讲的是第8节——衍射必要条件，下面将讲解第9节——结 构因子、系统消光与倒易阵点权重。