Transcript Bai_tap_Giai_tich_2_co_dap_so_x

Bài tập Giải tích 2
Đạo hàm riêng và vi phân hàm tường minh
1. cho
2. cho
f ( x , y )  x 2  xy  y 2  4ln x  10ln y , tìm: df (1,2), d 2f (1,2)
f ( x , y )  arctan
3. Tìm vi phân cấp 4 của:
4. cho
xy
,
1  xy
chứng minh rằng:
  0
fxy
f ( x , y )  x 4  y 4  x 3  2 x 2 y  3xy
y
f ( x , y )  arctan ,
x
chứng minh rằng:
5. Tìm hàm khả vi u = u(x, y) sao cho
  fyy
  0.
fxx
1
x
du  dx  2 dy
y
y
ĐÁP SỐ
1 2
1/ df (1,2)  4dy , d f (1,2)  6dx  2dxdy  dy
2
2
2
3 / d 4f ( x , y )  24dx 4  24dy 4
2 xy
  2

4 / fxx
 fyy
2 2
(x  y )
x
1
x
5 / ux   u   C ( y )  uy   2  C( y )
y
y
y
x
 C( y )  0  C ( y )  const
Mặt khác: u y  
2
y
x
Vậy: u 
 const
y
Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, hàm ẩn
1
2
2
1. Cho z  ln , trong đó r  ( x  a)  ( y  b) , cmr:
r
2. Cho hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ hệ pt:
Biết rằng f và 
 x cos   y sin   ln z  f ( )

 x sin   y cos   f ( )
= (x,y) là những hàm khả vi cho trước, chứng minh :
 zx 2   zy   z 2
2
3. Cho hàm ẩn
Biết
zxx  zyy  0.
z  z( x , y )
z (1,0)  ln 2
, tìm
thỏa
xz  ln(1  yz  x )
dz(1,0)
Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, hàm ẩn
4. Cho
z  f (r , ), trong đó x  r cos  , y  r sin  , tính
zx , zy .
HD: tìm dx, dy để có dr và d, sau đó thay vào dz.
5. Cho phương trình:
dy x  y

,
dx x  y
bằng cách đặt
x  r cos  , y  r sin  ,
dr
r
d
chứng minh rằng, cmr phương trình đã cho được viết lại ở dạng:
6. Cho
tại
z   (t ), trong đó t  x 2  y 2 , tìm d 2z theo dx , dy
( x , y )  (1, 1)
7. Cho hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương trình: ( x  y )  3( x  y )  1  0
2
tìm
y ( x ), y ( x ).
2 3
2
2
Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, hàm ẩn
x, y   0

z z
8. Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định từ phương trình: F 
cmr:
x.zx  y .zy  z
z  f ( x , y ), trong đó y  y ( x ) là hàm ẩn xác định từ pt F ( x , y )  0.
dz
Tính
theo f , F .
dx
9. Cho
ĐÁP SỐ

r 2  2( x  a)2
r 2  2( y  b)2
, zyy 
zxx 
4
1/ 
r
r4
( x  a ) 2  ( y  b ) 2  r 2

cos   x x sin   y x cos   f ( ). x
2 / zx  
1
z
 z cos 
zy  z sin 
1
ln 2


3 / dz(1,0)    ln 2  dx 
dy
2
2

ĐÁP SỐ
4 / zx  fr.r .cos  f .sin  , zy  fr.r .sin   f .cos 
5/
Làm giống câu 4, thay vào phương trình rồi chia tử mẫu vế trái cho d.
Gom gọn pt.
6 / d 2z   (t )(2 xdx  2ydy ) 2   (t )(dx 2  dy 2 )
x
x2  y 2
7 / y ( x )   , y ( x )  
3
y
y
z.Fu
z.Fv
8 / zx 
, zy 
x.Fu  y .Fv
x.Fu  y .Fv
 Fx 
dz
9/
 fx  fy .  
dx
 Fy 
Khai triển Taylor
1. Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3:
f ( x , y )  arctan
2. Viết khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận điểm
f ( x , y )  sin( x  y )
3. Viết khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận (1,0)
f ( x , y )  ln(1  xy )
Từ đó suy ra
 (1,0)
fxyy
y
1 x
 0,  


 2
ĐÁP SỐ
1 3
1 / f ( x , y )  y  xy  x y  y  o (  3 )
3
2
x
  1


2 / f ( x, y )  1   x  y     y    o(  2 )
2
2  2
2

3
y2
y
2
3
3 / f ( x , y )  y  ( x  1) y   ( x  1) y   o(  )
2
3
 (1,0)  2
fxyy
2
2
Cực trị, giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
1. Tìm cực trị của hàm số sau:
f ( x, y ) 
1 x  y
1 x2  y 2
2. Tìm cực trị của hàm số sau:
f ( x , y )  x 3  3xy 2  15x  12y
3. Tìm cực trị của hàm số sau:
f ( x , y )  ( x  y ).e  xy
4. Tìm cực trị của
f ( x , y )  6  4 x  3y thỏa điều kiện x 2  y 2  1
5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
f ( x , y )  x  y trên miền 0  y  1  x 2
ĐÁP SỐ
1/ fcd  f (1, 1)  3
2 / fcd  f (2,1), fct  f (2,1)
f không đạt cự trị tại điểm dừng (1,2).
3/ Hàm số không có cưc trị
1 3
1 3


4 / fct  f  ,  ,   10; fcd  f   ,   ,   10
 5 20 
 5 20 
5/
fmin  f (1,0)  1, fmax
1 3 5

f , 
 2 4 4
Tích phân kép
1. Biểu diễn miền D theo các tích phân sau và vẽ các miền đó:
I
I
1
2 x 2
0
x
2
x 3
 dx 
 dx 
1
I
I
1
x
2
f ( x , y )dy
2 x 2
1dx x
2
f ( x , y )dy
f ( x , y )dy
4 y 2
0 dy 2y
f ( x , y )dx
Tích phân kép
2. Đổi thứ tự trong tích phân sau:
I
I
I
I
1 y
1
0 dy  1y
7
3
3
9
x
2
f ( x , y )dx
9
10 x
7
9
x
 dx  f (x, y )dy   dx 
4
16  x 2
0
4xx
 dx 
1
1 y 2
0
y 1
 dy 
2
2
f ( x , y )dy
f ( x , y )dx
f ( x , y )dy
Tích phân kép
3. Tính
I
D
x2
dxdy
2
y
với D là miền giới hạn bởi:
y  x , x  2, xy  1
4. Tính
I
D
x2
dxdy
2
y
5. Tính
I

( x 2  y 2 )dxdy với D là miền giới hạn bởi: y  x , x  y  2, x  0.
với D là miền giới hạn bởi:
D
6. Tính I 
D
xdxdy
x2  y 2
y  x , y  x tan x , x 
với D là miền giới hạn bởi:


x



8
8
y  x , x  2, xy  1, y  0
Tích phân kép
7. Tính
I

e x  y dxdy với D là miền giới hạn bởi:
D
8. Tính
I
 xydxdy
với D là miền giới hạn bởi:
D
y  x  2, x 2  y 2  2y ( x  0)
9. Tính
I

6
2
dx

0
3 12 4x  x
2
xdy
y  e x , y  2, x  0.
Tích phân kép
10. Chuyển các tích phân sau đây trong tọa độ cực
I
I
3
4 dx
0
xx2
  23
a
 dx 
a a2  x 2
ax
0
11. Tính :
3
x
4
f
2


x 2  y 2 dy
f  x , y  dy
I
D
I
4
16 x 2
0
4xx
x x 2  y 2dxdy
 dx 
( x  r cos  , y  r sin  )
2
ydy
Với

D: x y
2

2 2
 x2  y 2, x  0
ĐÁP SỐ
1 x 2
0
2 / a/ I   dx 
f ( x , y )dy 
1
0
3
10 y
2
2 4 y 2
1
1 x
0
0
 dx 
f ( x , y )dy
b/ I  1 dy 9/ y f ( x , y )dx
c/ I   dy 
0

f ( x , y )dx 
0
16 y 2
4
 dy 
2
16  y 2
0
2 4 y
 dy 
2
f ( x , y )dx
f ( x , y )dx
0
0
d/ I   dx 
1
2
0
x 1
f ( x , y )dy 
1
0 dx 0
1 x
f ( x , y )dy
ĐÁP SỐ
9
3/I 
4
6/
2
128
4/ Hàm dưới dấu tp không xác định trên D
7/I e
1
8/I 
4
4
5/I 
3
9 / 48  16