Transcript 第六节欧拉-柯西近似法

一、方向场
一阶微分方程
定义1
积分曲线
y  f ( x , y )
(1)
设(1)中右端的函数 f ( x , y ) 在区域D 内
有定义，那么过 D 内每一点 M ( x , y ) 作一条以
f ( x , y ) 为斜率的直线，并把向量
 ( x , y )  { 1, f ( x , y ) }
所指的方向定义为直线的方向.这样，对于D 内
每一点( x , y ) ,方程(1)都确定一个方向与之对应，
于是我们说方程(1)在 D 内确定了一个方向场．
过 D 内任一点 M ( x , y ) ,做一个以 M 为起点
长度等于 的向量
 ( x , y ) 

0
1  [ f ( x , y )]
2
{ 1, f ( x , y ) }
y
如图所示,
可形象地表示方向场.
o
x
定义2 方向场中具有同一方向( y  C ) 的点
的轨迹叫做方程(1)的等斜线．
等斜线的方程为
f ( x, y)  C .
在这条等斜线上的各点处  
0

1C
2
{ 1, C }
方向场画法 适当画出若干条等斜线,再在每条
等斜线上适当选取 若干个 点画出对 应的向 量
 0 ,这样即可画出这个方向场.
例1 画出方程 y 
x 2  y 2 所确定的方向
场示意图.
解 方程的等斜线为 x 2  y 2  C ,
取 C  0, 0.5, 1, 1.5, 2,
y
画出五条等斜线, 再在
每条等斜线上适当选取
若干个点画出对应的向
量  0 ,如图方向场.
o
x
定义3
如果 D 内的一条曲线在任一点处的切
线方向都和方向场在该点处的方向一致，这样
的曲线就是方程(1)的积分曲线．
根据方向场即可大致
描绘出积分曲线． 如图，
经过点 (0,1), (0,0), (0,1)
的三条积分曲线．
y
o
x
二、欧拉-柯西近似法
一阶微分方程的初值问题
 y  f ( x , y ),

 y x x0  y0 ,
的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办？
问题:
方法：近似积分法——欧拉—柯西近似法．
一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的
充分条件如下定理：
定理 设方程(1)右端的函数 f ( x , y ) 在闭区域
D 上连续，点 M 0 ( x0 , y0 ) 是 D 的内点，那末在
闭区域 D 上，微分方程(1)通过点 M 0 的积分曲
f
线一定存在．如果
在 D 上也连续，那末这
y
样的积分曲线是唯一的．

注意 下面总假定函数 f ( x , y ) 及
f ( x, y) 在
y
闭区域 D 上连续．
设方程(1)经过点 M 0 ( x0 , y0 ) 的积分曲线为
y   ( x )，并设当 x0  H  x  x0  H 时，对应
的一段积分曲线位于 D 内．
在 [ x0 , x0  H ] 上作欧拉折线:
H
把区间 [ x0 , x0  H ] n等分，记 h  ，h称
n
y
为步长；记 xi  x0  ih，
作平行于 y 轴的直线
x  xi ( i  0,1,2,, n)，如图
o x0 x1 x2
xn1H
x
在直线 x  x0 上取点 M 0 ( x0 , y0 )．求出函数
值 f ( x0 , y0 )  y0，过点 M 0 作以 y0 为斜率的直线
段 M 0 M 1，与直线 x  x1 交于点 M 1 ( x1 , y1 )，
则 y1  y0  hy0；
求出函数值
f ( x1 , y1 )  y1，过点 M 1
作以 y1为斜率的直线段
M 1 M 2，交直线 x  x2
y
M2
M1
M0
o x0 x1 x2
xn1H
x
于点 M 2 ( x2 , y2 )，则 y2  y1  hy1  y0  h( y0  y1 )；
如此一段接一段地
y
M2
作下去，得一条折线，
称欧拉折线．
方程为
M1
M0
o x0 x1 x2
xn1H
 y0  y0 ( x  x0 ), x0  x  x1 ,
 y  y ( x  x ), x  x  x ,
 1
1
1
1
2
y  n ( x)  
  
 yn1  yn1 ( x  xn1 ), xn1  x  xn .
x
其中 xi  x0  ih,
yi  yi 1  yi 1h  y0  ( y0    yi 1 )h,
H
h  , yi  f ( xi , yi ).
n
可列出 xi , yi 的一个表（函数表）来表示
函数 y   n ( x )．
初值问题的近似解
注意 折线 y   n ( x ) ( x0  x  x0  H ) 应位
于 D 内，且 lim  n ( x )   ( x )．
n 
例2 在 [0,1] 上求初值问题
 y  x 2  y 2
,

 y x  0  1
的近似解(取步长 h  0.1，计算到四位小数)．
解
h  0.1，xi  0.1i，y0  1，
yi  yi 1  0.1 yi 1，
y 
x y .
2
i
2
i
列表计算如下
其中 xi , yi 两列就表示近似解的函数表.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
0.0
0 .1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 .7
0.8
0.9
1 .0
yi
 1.0000
 0.9000
 0.8094
 0.7260
 0.6474
 0.5713
 0.4954
 0.4176
 0.3361
 0.2493
 0.1559
yi
1.0000
0.9055
0.8337
0.7855
0.7610
0.7592
0.7781
0.8151
0.8677
0.9339
三、小结
基本概念
方向场、等斜线、积分曲线、
欧拉－柯西近似法．
欧拉－柯西近似法是图形与分析相结合的
近似积分方法．
练 习 题
求下列各题所给微分方程初值问题在指定区间
上的近似解（计算到三位小数）：
1．y  x  y , y
x0
 1；按 h  0.1 在 [0.5,0] 上求
近似解.
2．y  3 x  y 2 , y
求近似解.
x0
 1；按 h  0.02 在 [0,0.1] 上
练习题答案
1． x
y
2．
x
y
0 .0
1.000
0.00
1.000
 0. 1
0.900
0.02
1.020
 0. 2
0.820
0.04
1.042
 0. 3
0.758
0.06
1.066
 0. 4
0.712
0.08
1.092
 0. 5
0.681
0.10
1.121