Transcript 第六节欧拉-柯西近似法
一、方向场
一阶微分方程
定义1
积分曲线
y f ( x , y )
(1)
设(1)中右端的函数 f ( x , y ) 在区域D 内
有定义,那么过 D 内每一点 M ( x , y ) 作一条以
f ( x , y ) 为斜率的直线,并把向量
( x , y ) { 1, f ( x , y ) }
所指的方向定义为直线的方向.这样,对于D 内
每一点( x , y ) ,方程(1)都确定一个方向与之对应,
于是我们说方程(1)在 D 内确定了一个方向场.
过 D 内任一点 M ( x , y ) ,做一个以 M 为起点
长度等于 的向量
( x , y )
0
1 [ f ( x , y )]
2
{ 1, f ( x , y ) }
y
如图所示,
可形象地表示方向场.
o
x
定义2 方向场中具有同一方向( y C ) 的点
的轨迹叫做方程(1)的等斜线.
等斜线的方程为
f ( x, y) C .
在这条等斜线上的各点处
0
1C
2
{ 1, C }
方向场画法 适当画出若干条等斜线,再在每条
等斜线上适当选取 若干个 点画出对 应的向 量
0 ,这样即可画出这个方向场.
例1 画出方程 y
x 2 y 2 所确定的方向
场示意图.
解 方程的等斜线为 x 2 y 2 C ,
取 C 0, 0.5, 1, 1.5, 2,
y
画出五条等斜线, 再在
每条等斜线上适当选取
若干个点画出对应的向
量 0 ,如图方向场.
o
x
定义3
如果 D 内的一条曲线在任一点处的切
线方向都和方向场在该点处的方向一致,这样
的曲线就是方程(1)的积分曲线.
根据方向场即可大致
描绘出积分曲线. 如图,
经过点 (0,1), (0,0), (0,1)
的三条积分曲线.
y
o
x
二、欧拉-柯西近似法
一阶微分方程的初值问题
y f ( x , y ),
y x x0 y0 ,
的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办?
问题:
方法:近似积分法——欧拉—柯西近似法.
一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的
充分条件如下定理:
定理 设方程(1)右端的函数 f ( x , y ) 在闭区域
D 上连续,点 M 0 ( x0 , y0 ) 是 D 的内点,那末在
闭区域 D 上,微分方程(1)通过点 M 0 的积分曲
f
线一定存在.如果
在 D 上也连续,那末这
y
样的积分曲线是唯一的.
注意 下面总假定函数 f ( x , y ) 及
f ( x, y) 在
y
闭区域 D 上连续.
设方程(1)经过点 M 0 ( x0 , y0 ) 的积分曲线为
y ( x ),并设当 x0 H x x0 H 时,对应
的一段积分曲线位于 D 内.
在 [ x0 , x0 H ] 上作欧拉折线:
H
把区间 [ x0 , x0 H ] n等分,记 h ,h称
n
y
为步长;记 xi x0 ih,
作平行于 y 轴的直线
x xi ( i 0,1,2,, n),如图
o x0 x1 x2
xn1H
x
在直线 x x0 上取点 M 0 ( x0 , y0 ).求出函数
值 f ( x0 , y0 ) y0,过点 M 0 作以 y0 为斜率的直线
段 M 0 M 1,与直线 x x1 交于点 M 1 ( x1 , y1 ),
则 y1 y0 hy0;
求出函数值
f ( x1 , y1 ) y1,过点 M 1
作以 y1为斜率的直线段
M 1 M 2,交直线 x x2
y
M2
M1
M0
o x0 x1 x2
xn1H
x
于点 M 2 ( x2 , y2 ),则 y2 y1 hy1 y0 h( y0 y1 );
如此一段接一段地
y
M2
作下去,得一条折线,
称欧拉折线.
方程为
M1
M0
o x0 x1 x2
xn1H
y0 y0 ( x x0 ), x0 x x1 ,
y y ( x x ), x x x ,
1
1
1
1
2
y n ( x)
yn1 yn1 ( x xn1 ), xn1 x xn .
x
其中 xi x0 ih,
yi yi 1 yi 1h y0 ( y0 yi 1 )h,
H
h , yi f ( xi , yi ).
n
可列出 xi , yi 的一个表(函数表)来表示
函数 y n ( x ).
初值问题的近似解
注意 折线 y n ( x ) ( x0 x x0 H ) 应位
于 D 内,且 lim n ( x ) ( x ).
n
例2 在 [0,1] 上求初值问题
y x 2 y 2
,
y x 0 1
的近似解(取步长 h 0.1,计算到四位小数).
解
h 0.1,xi 0.1i,y0 1,
yi yi 1 0.1 yi 1,
y
x y .
2
i
2
i
列表计算如下
其中 xi , yi 两列就表示近似解的函数表.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
0.0
0 .1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 .7
0.8
0.9
1 .0
yi
1.0000
0.9000
0.8094
0.7260
0.6474
0.5713
0.4954
0.4176
0.3361
0.2493
0.1559
yi
1.0000
0.9055
0.8337
0.7855
0.7610
0.7592
0.7781
0.8151
0.8677
0.9339
三、小结
基本概念
方向场、等斜线、积分曲线、
欧拉-柯西近似法.
欧拉-柯西近似法是图形与分析相结合的
近似积分方法.
练 习 题
求下列各题所给微分方程初值问题在指定区间
上的近似解(计算到三位小数):
1.y x y , y
x0
1;按 h 0.1 在 [0.5,0] 上求
近似解.
2.y 3 x y 2 , y
求近似解.
x0
1;按 h 0.02 在 [0,0.1] 上
练习题答案
1. x
y
2.
x
y
0 .0
1.000
0.00
1.000
0. 1
0.900
0.02
1.020
0. 2
0.820
0.04
1.042
0. 3
0.758
0.06
1.066
0. 4
0.712
0.08
1.092
0. 5
0.681
0.10
1.121