Transcript 对流换热系数

第五章
对流换热的理论基础
Convection Heat Transfer
第五章 对流换热的理论基础
1
§5-1 对流换热概述
1 对流换热的定义和性质
研究单纯的对流并无意义，工程中把流体流过固体壁面
情况下所发生的热量交换称为对流换热 。
● 对流换热与热对流不同，既有热对流，也有导热；不
是基本传热方式
● 对流换热实例：1) 暖气管道; 2) 电子器件冷却；3)电
风扇
第五章 对流换热的理论基础
2
2 对流换热的特点
(1) 导热与热对流同时存在的复杂热传递过程
(2) 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；
也必须有温差
(3) 由于流体的粘性和受壁面摩擦阻力的影响，紧
贴壁面处会形成速度梯度很大的边界层
3 对流换热的基本计算式
牛顿冷却式:
Φ  hA(t w  t ) W 
q Φ A

 h(t w  t f ) W m 2
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
3
4 表面传热系数（对流换热系数）
h  Φ ( A(t w  t  )) W (m2  C)
—— 当流体与壁面温度相差1度时、每单位壁面面
积上、单位时间内所传递的热量
如何确定h及增强换热的措施是对流换热的核心问题
研究对流换热的方法：
（1）分析法
（2）实验法
（3）比拟法
（4）数值法
第五章 对流换热的理论基础
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（1）分析法主要是指对描写某一类对流换热问题的偏微分方程
及相应的定解条件进行数学求解，从而获得速度场和温度场的
分析方法。分析解能深刻揭示各个物理量对对流换热系数的依
变关系，是平价其他方法所得结果的标准与依据。
（2）应用相似理论，将众多的影响因素归并成位数不多的几个
无量纲准则，通过实验确定h的具体关系式。它是目前获得对流
换热系数的主要途径。
（3）比拟法是通过动量传递和热量传递的比拟理论，建立起对
流换热系数与阻力系数间的相互关系的方法。通过比较容易用
实验测定的阻力系数来获得相应的对流换热系数的计算公式。
比拟理论对理解与分析对流换热过程很有帮助。
（4）对流换热的在仅20年内得到了迅速发展，与导热问题的数
值解法相比，对流换热的数值求解增加了两个难点，即对流项
的离散及动量方程中的压力梯度的数值处理。本章将不作介绍。
但对平直等截面管道中层流充分发展的对流换热，因其控制方
程为导热型的方程，将在练习中有所涉及。
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5 对流换热的影响因素
对流换热是流体的导热和对流两种基本传热方式共同作用的
结果。其影响因素主要有以下五个方面：(1)流动起因; (2)
流动状态; (3)流体有无相变; (4)换热表面的几何因素; (5)
流体的热物理性质
6 对流换热的分类：
(1) 流动起因
强制对流：强制对流换热是由于泵、风机或其他外部动力
源所造成的。自然对流换热是由于流体内部的密度差所引
起。两种流动的成因不同，速度场也有差别，所以换热规
律不一样。
h强制  h自然
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6
(2) 流动状态
h湍流  h层流
h相变  h单相
粘性流体存在着两种不同的流态—层流及湍流。层流时流体微
团沿主流方向作有规则的分层流动，而湍流时流体各部分之间发生
剧烈的混合，因而在其他条件相同时湍流换热的强度自然要较层流
强烈。
(3) 流体有无相变
在流体没有相变时对流换热中的热量交换是由于流体显热的变
化而实现的，而在有相变的换热过程中（凝结或沸腾），流体相变
热（潜热）的释放或吸收常常起主要作用，因而换热规律与无相变
时不同。
第五章 对流换热的理论基础
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(4) 换热表面的几何因素：
内部流动对流换热：管内或槽内
外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束
第五章 对流换热的理论基础
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(5) 流体的热物理性质：
3
密度  [kg m ]
热导率  [ W (m C) ]

2
比热容 c [J (kg C) ]
动力粘度  [ N  s m ]
2
运动粘度    [m s] 体胀系数  [1 K ]

1  v 
1   
      
v  T  p
  T  p
  h 
(流体内部和流体与壁面间导热热阻小)
、c  h  (单位体积流体能携带更多能量)
  h  (有碍流体流动、不利于热对流)
  自然对流换热增强
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综上所述，表征对流换热强弱的对流换热系数是取决
于多种因素的复杂的函数。
h  f (v, t w , t f ,  , c p ,  ,  , , l , Ω)
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对流换热分类小结
如习题(1-3)
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7 对流换热过程微分方程式
当粘性流体在壁面上流动时，
由于粘性的作用，在靠近壁
面的地方流速逐渐减少，而
在贴壁处流体将被滞止而处
于无滑移状态 ；即贴壁处流
体没有相对于壁面的流动
（贴壁处无滑移条件）
壁面与流体间的热量传递必须穿过这个不流动的流体层，
而穿过不流动的流体层的热量传递只能是导热。因此，对流
换热量就等于贴壁流体层的导热量。
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根据傅里叶定律：
qw, x
 t 
   
 y  w, x
  流体的热导率
t
W (m C)

y w, x — 在坐标( x,0) 处流体的温度梯度
根据牛顿冷却公式：?
qw, x  hx (tw-t ) W m2 
hx — 壁面x处局部表面传热系数 W（m 2  C)
由傅里叶定律与牛顿冷却公式：

 t 
 
hx  
t w  t  y  w, x
W (m  C)
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2 
对流换热过程
微分方程式
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对流换热过程微分方程式 h  
x

 t 
 
t w  t  y  w, x
hx 取决于流体热导系数、温度差和贴壁流体的温度梯度
温度梯度或温度场取决于流体热物性、流动状况（层流或
紊流）、流速的大小及其分布、表面粗糙度等  温度场
取决于流场
速度场和温度场由对流换热微分方程组确定：
质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程
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以上就是对流换热微分方程式，它把对流换热系数与流体的温
度场联系起来，无论分析解法、数值解法还是实验法都要用到它。
在分析解法及数值解法中，第一类边界条件是已知壁温求壁面
法线方向的温度变化率。第二类边界条件是已知壁面换热的热流密
度，即壁面法线方向的温度变化率：求壁温tw。所有这两类边界条
件问题的共同点就是要解出流体内的温度分布，即温度场。在第三
类边界条件时，α是未知量，λ是流体的导热系数。
式（5-4）中的h是局部换热系数，而整个换热表面的对流换热
系数采用在作用区间上的积分平均值。
第五章 对流换热的理论基础
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§5-2 对流换热问题的数学描述
对流换热问题的数学描写包括对流换热微分方程组及定解条件，
前者包括质量守恒、动量守恒及能量守恒这三大守恒定律的数学表
达式。
为了揭示常见对流换热问题的基本方程，将忽略一些次要因
素。为便于分析，只限于分析二维对流换热
假设： a) 流体为连续性介质
b) 流体为不可压缩的牛顿型流体
即：服从牛顿粘性定律的流体；
u
而油漆、泥浆等不遵守该定   
y
律，称非牛顿型流体
c) 所有物性参数（、cp、、）为常量
4个未知量:：速度 u、v；温度 t；压力 p
需要4个方程:
连续性方程(1)、动量方程(2)、能量方程(3)
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1 质量守恒方程(连续性方程)
流体的连续流动遵循质量守恒规律：从各方向流入、
流出微元体质量流量差值的总和等于零。
从流场中 (x, y) 处取出边长为 dx、dy 的微元体
M 为质量流量 [kg/s]
单位时间内、沿x轴方向、
经x表面流入微元体的质量
单位时间内、沿x轴方向、经
x+dx表面流出微元体的质量
M x  udy
M x
M x  dx  M x 
dx
x
单位时间内、沿x轴方向流入微元体的净质量：
M x  M x  dx
M x
( u )

dx  
dxdy
x
x
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My 
M x  udy
M y
y
dy
M x
Mx 
dx
x
M y  vdx
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单位时间内、沿 y 轴方向流入微元体的净质量：
M y  M y  dy
单位时间内微元体
内流体质量的变化:
M y
 ( v)

dy  
dxdy
y
y
( dxdy) 

dxdy


微元体内流体质量守恒：
(单位时间内)
流入微元体的净质量 = 微元体内流体质量的变化
( u )
( v)


dxdy 
dxdy 
dxdy
x
y

第五章 对流换热的理论基础
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( u )
( v)


dxdy 
dxdy 
dxdy
x
y

 ( u )  ( v)

0

y

x
二维连续性方程
三维连续性方程
对于二维、稳态流动、密度为常数时：
u v

0
x y
第五章 对流换热的理论基础
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2 动量守恒方程
动量微分方程式描述流体速度场
牛顿第二运动定律: 作用于微元体表面和内部的所有外力之
和等于微元体中流体动量的变化率。
作用力 = 质量  加速度（F=ma）
作用力：体积力、表面力
体积力: 重力、离心力、电磁力
法向应力  中包括了压力 p 和法
向粘性应力 ii
压力 p 和法向粘性应力 ii的区别：
a) 无论流体流动与否， p 都存在；而 ii只存在于流动时
b) 同一点处各方向的 p 都相同；而 ii与表面方向有关
第五章 对流换热的理论基础
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动量微分方程 — Navier-Stokes方程（N-S方程）
u
u
u
p
 2u  2u
（  u  v )  Fx    ( 2  2 )

x
y
x
x
y
v
v
v
p
 2v  2v
（  u  v )  Fy    ( 2  2 )

x
y
y
x
y
(1)
(2) (3)
(4)
(1)— 惯性项（ma）；(2) — 体积力；(3) — 压强梯度；
(4) — 粘滞力
u
v
 0；
0
对于稳态流动：


只有重力场时：
Fx  g x ; Fy  g y
第五章 对流换热的理论基础
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3 能量守恒方程
微元体（见图）的能量守恒：
——描述流体温度场
[导入与导出的净热量] + [热对流传递的净热量] +
[内热源发热量] = [总能量的增量] + [对外作膨胀功]
Q = E + W
Q — Q导热  Q对流  Q内热源
E — U 热力学能  U K（动能）
W — 体积力(重力)作的功、表面力作的功
假设：（1）流体的热物性均为常量，流体不做功
（2）流体不可压缩
（3）一般工程问题流速低
（4）无化学反应等内热源
第五章 对流换热的理论基础
W＝0
UK=0、=0
Q内热源=0
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Q导热 + Q对流 = U热力学能
 2t
 2t
Q导热   2 dxdy＋ 2 dxdy
x
y
单位时间内、 沿 x 方向热对流传递到微元体的净热量：
"
"



Q

Q
(ut)
"
"
"  "
x
x

Qx  Qx  dx  Qx  Qx 
dx  
dx   c p
dxdy


x
x
x


单位时间内、 沿 y 方向热对流传递到微元体的净热量：
"
"



Q

Q
(vt)
y
y
"
"
"  "

Q y  Q y  dy  Q y  Q y 
dy  
dy   c p
dydx


y
y
y


第五章 对流换热的理论基础
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 2t
 2t
Q导热   2 dxdy＋ 2 dxdy
x
y
Q对流
 (ut )
 (vt)
  c p
dxdy  c p
dxdy
x
y
t
u
v 
 t
  c p u  v  t
 t  dxdy
y
x
y 
 x
t 
 t
  c p u  v  dxdy
y 
 x
能量守恒方程
t
U  cpdxdy
d

   2t  2t 
t
t t
＋ 2 u
v


2
c p  x
x
y 
y 
第五章 对流换热的理论基础
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对流换热微分方程组:(常物性、无内热源、二维、不可
压缩牛顿流体)
u v

0
x y
u
u
u
p
 2u  2u
（  u  v )  Fx    ( 2  2 )

x
y
x
x
y
v
v
v
p
 2v  2v
（  u  v )  Fy    ( 2  2 )

x
y
y
x
y
2
  2t
 t
t
t 

t

c p 
u
 v   
 2
2

x
y 
y
 
 x
第五章 对流换热的理论基础




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4个方程，4个未知量 —— 可求得速度场(u,v)和
温度场(t)以及压力场(p), 既适用于层流，也适用
于紊流（瞬时值）
前面4个方程求出温度场之后，可以利用牛顿冷却
微分方程：
hx  
  t 
 
t  y  w, x
计算当地对流换热系数 hx
第五章 对流换热的理论基础
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4 表面传热系数的确定方法
（1）微分方程式的数学解法
a）精确解法（分析解）：根据边界层理论，得到
边界层微分方程组
常微分方程
求解
b）近似积分法：
假设边界层内的速度分布和温度分布，解积分方程
c）数值解法：近年来发展迅速
可求解很复杂问题：三维、紊流、变物性、超音速
（2）动量传递和热量传递的类比法
利用湍流时动量传递和热量传递的类似规律，由湍流时
的局部表面摩擦系数推知局部表面传热系数
（3）实验法
第五章 对流换热的理论基础
用相似理论指导
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5 对流换热过程的单值性条件
单值性条件：能单值地反映对流换热过程特点的条件
完整数学描述：对流换热微分方程组 + 单值性条件
单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
(1) 几何条件
说明对流换热过程中的几何形状和大小
平板、圆管；竖直圆管、水平圆管；长度、直径等
(2) 物理条件
说明对流换热过程的物理特征
如：物性参数 、 、c 和  的数值，是否随温
度和压力变化；有无内热源、大小和分布
(3) 时间条件 说明在时间上对流换热过程的特点
稳态对流换热过程不需要时间条件 — 与时间无关
(4) 边界条件 说明对流换热过程中边界上与速度、压力及温
度有关的条件。
可以规定边界上流体的温度分布，或给定边界上加热或
冷却流体的热流密度。由于求解对流换热系数是最终目的，
因此一般地说求解对流换热问题时没有第三类边界条件。但
流体通过一层薄壁与另一种流体发生热交换，则另一种流体
的对流换热系数可以出现在所求解问题的边界条件中。
对流换热问题的定解条件的数学表达式比较复杂，本书
仅给出外掠平板的边界层流动时的定解条件的表达式。
上述共4个方程，其中包含了4个未知数（u、v、p、t）。方程
封闭，原则上可以求解，然而由于N-S方程复杂性和非线性，要针
对实际问题在整个流场内求解上述方程组是非常困难的。直到1904
年普朗特提出著名的边界层概念，对N-S方程进行了实质的简化后
才有改观，是数学分析解得到很大的发展。后来泼尔豪森又把边界
层概念推广应用于对流换热问题，提出了热边界层的概念，是对流
换热问题的分析解也得到了很大的发展。
§5-3 边界层概念及边界层换热微分方程组
普朗特在仔细观察了粘性流体流过固体表面的特性后提出
了突破性的见解。认为粘滞性起作用的区域仅局限在靠近壁
面的薄层内。（1）在这个薄层以外，由于速度梯度很小，粘
性力可以忽略不计，于是该区域中的流动可以作为理想流体
的无旋流动，采用伯努利方程。（2）在这个粘性力不能忽略
的薄层之内，运用数量级分析的方法对N-S方程做实质性的简
化，从而获得许多粘性流动问题的分析解。这种在固体表面
附近流体速度发生剧烈变化的薄层称为流动边界层（又称速
度边界层）。
第五章 对流换热的理论基础
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1 流动边界层（Velocity boundary layer）
（1）定义：
当具有粘性且能润湿壁面的流体通过壁面时，由于粘性的作
用，流体流速在靠近壁面处随离壁面的距离的缩短而逐渐降低；
在贴壁处被滞止，处于无滑移状态。测得的其速度分布为：
第五章 对流换热的理论基础
32
从y=0 处u=0开始，流体的速
度随着离开壁面距离y的增加
而急剧增大，经过一个薄层
后u增长到接近主流速度，这
个速度剧烈变化的薄层即为
流动边界层。在薄层内有明
显的速度梯度。通常规定达
到主流速度的99％处的距离y
作为流动边界层的厚度
（δ）。由图5-6知：δ是一
小：空气外掠平板，u=0.5m/s：
个比L小一个数量级以上的
小量。在δ薄层内，流体在
 x100mm  2.8mm;  x110mm  3mm
垂直于主流方向上的速度变
化十分剧烈。
第五章 对流换热的理论基础
33
由牛顿粘性定律：
u
 
y
速度梯度大，粘滞应力大
边界层外： u 在 y 方向不变化， u/y=0
粘滞应力为零 — 主流区
流场可以划分为两个区：边界层区与主流区
边界层区：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动可用
粘性流体运动微分方程组描述（N-S方程）
主流区：速度梯度为0，=0；可视为无粘性理想流体；
欧拉方程
——边界层概念的基本思想
第五章 对流换热的理论基础
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（2）边界层的形成和发展
流体的流动可分为层流和湍流两类，在边界层内也会出现层流
和湍流两类状态不同的流动。图5-7示出了流体掠过平板时边界层
的发展过程。
流体以u∞的速度沿平板流动，在平板的起始阶段，δ很薄，随
着x的增加，沿程受到壁面阻力的作用，粘性力的影响逐渐向流体
内部传播，边界层逐渐加厚，但在某一距离xc以前一直保持层流的
性质。此时流体各层互不干扰，分层流动。这时的边界层称为层流
边界层 。
沿流动方向随着边界层厚度的增加，惯性力的影响相对地增大，
促使边界层内的流动出现不稳定，此时流体质点在沿x方向流动的
同时，又作着紊乱的不规则脉动，称为湍流边界层。边界层由层流
向湍流过渡的距离xc 由临界雷诺数Rec=u∞xc/γ确定。对于平板，
Rec 处于2×105~3×106 之间。来流强烈、壁面粗糙时，雷诺数甚至
在低于下限时即发生转变。一般取Rec=5×105。
第五章 对流换热的理论基础
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临界距离：由层流边界层开
始向湍流边界层过渡的距离，
xc
临界雷诺数：Rec
惯性力 u xc
Rec 

粘性力

u x
  c

平板：Re c  2 105 ~ 3 106 ; 取 Re c  5 105
Rec 
xc 
u
在湍流边界层紧靠壁面处粘性力仍占主导地位，致使紧贴壁面
的极薄层内仍保持层流的性质。这个极薄层称为层流底层。在湍流
核心与层流底层之间存在着起过渡性质的缓冲层。
第五章 对流换热的理论基础
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层流边界层的速度分布为抛物线。在湍流边界层中，层流底层
的速度梯度较大，近于直线，而在湍流核心，质点的脉动强化了动
量传递，速度分布较为平坦。
（3）流动边界层的几个重要特性
①流场可划分为主流区和边界层区，只有在边界层区才考虑粘
性对流体的影响，用粘性流体流动的微分方程组来描述，在主流区
可视为理想流体流动（伯努利方程）
②边界层的厚度δ与壁面尺寸L相比是个很小的量。
③在边界层 内流动状态分为层流和湍流，湍流边界层内紧靠壁
面处仍有极薄层保持层流状态，称为层流底层。
边界层类型的流动仅当流体不脱离固体表面时才存在。对园柱
后半周出现的脱体流动（流体离开固体表面而形成旋涡），边界层
的概念不再适用，此时采用完全的N-S方程来描述。
下面把边界层的概念推广到对流换热流体的温度场中。
第五章 对流换热的理论基础
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2 热边界层（Thermal boundary layer）
在对流换热条件下，主流与壁面之间存在着温度差。实验观察
同样发现，在壁面附近的一个薄层内，流体温度在壁面的法线方向
上发生剧烈的变化，而在此薄层以外，流体的温度梯度几乎等于零。
流体的边界层的概念可以推广到对流换热中去，固体表面附近温度
剧烈变化的这一薄层称为温度边界层或热边界层 ，其厚度记为δt。
对于外掠平板的对流换热，一般以过余温度为来流过余温度的99％
处定义为δt的外边界。除液态金属及高粘性的流体外，δt是与δ
相当的小量。
于是对流换热问题的温度场也可区分为两个区域：热边界层区
与主流区。在主流区流体中的温度变化率可视为零，这样我们就可
把研究的热量传递的区域集中到热边界层之内。见图5-8示出固体
表面附近速度边界层及热边界层的情况。
第五章 对流换热的理论基础
38
Tw
y  0,  w  T  Tw  0
y   t ,   T  Tw  0.99 
t — 热边界层厚度
厚度t 范围 — 热边界层
或温度边界层
与t 不一定相等
流动边界层与热边界层的状况决定了热量传递过程和边
界层内的温度分布
第五章 对流换热的理论基础
39
层流：温度呈抛物线分布
湍流：温度呈幂函数分布
湍流边界层贴壁处的温度
梯度明显大于层流
 T 
 T 
故：湍流换热比层流换热强！

  

 y  w,t  y  w, L
 与 t 的关系：分别反映流体分子和流体微团的动量
和热量扩散的深度
 t   Pr 1 3
(层流、 0.6  Pr  50)
第五章 对流换热的理论基础
40
3 边界层换热微分方程组
根据速度边界层和热边界层的特点，运用数量级分析的方法来
简化对流换热微分方程组。
数量级分析法
是指通过比较方程式中各项数量级的大小，把
数量级较大的项保留下来，而舍去数量级较小的项，实现方程的合
理化。
各项的数量级大小采用各量在作用区间的积分平均绝对值的确
定方法。例如：在速度边界层内，从壁面到y=δ处，主流方向流速
u的积分平均绝对值＞＞垂直主流方向的流速v的积分平均绝对值。
因而，如果u的数量级为1，则v的数量级必是个小量（δ）。
导数的数量级可将因变量及自变量的数量级代入导数的表达式
而得出。
例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力
第五章 对流换热的理论基础
41
u沿边界层厚度由0到u:
u ~ u ~ 0(1)
由连续性方程：
v u u


~
~ 0(1)
y x
l
u v

0
x y

v ~ 0( )
u
u
p
 2u  2u
（u  v )  Fx    ( 2  2 )
x
y
x
x
y
v
v
p
 2v  2v
（u  v )  Fy    ( 2  2 )
x
y
y
x
y
2 
  2t
 t
t 

t

c p  u  v     2   2 
y对流换热的理论基础
y 
 x 第五章

 x
42
u v

0
x y
(a)
1

1

u
u
p
 2u  2u
（u  v )     ( 2  2 )
x
y
x
x
y
1
1
1
1
2
1（1
 ） 1 （ 2
）
2
1

1

v
v
p
 2v  2v
（u  v )     ( 2  2 )
x
y
y
x
y
1（1

1

 ）

（
2
第五章 对流换热的理论基础

2
1

）
2

(b)
(c)
43
u v

0
x y
u
u
p
 2u
（u  v )     2
x
y
x
y
t
t
 2t  2t
c（
 v )  ( 2  2 )
p u
x
y
x
y
1
1 （1
1

1

） t（
2
1
2
1
1

2
(d)
）
t
t
 t
c（
v ) 2
p u
x
y
y
2
第五章 对流换热的理论基础
44
p
~ 0( )
y
p
~ 0(1)
x
表明：边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边界层内
法向的压力梯度极小。
边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力
p dp


x dx
u
u
p
 2u
（u  v )     2
x
y
x
y
dp
du
由上式： 
  u
dx
dx
p
~ 0( ) 可视为边界层的又一特性
y
第五章 对流换热的理论基础
45
u v

0
x y
u
u
1 dp
 u
u v

 2
x
y
 dx
y
2
t
t
 2t
u v a 2
x
y
y
du
dp

 u
dx
dx

层流边界层对流换
热微分方程组：
3个方程、3个未知
量：u、v、t，方程
封闭
如果配上相应的定解
条件，则可以求解
du
dp
若
 0，则  0
dx
dx
第五章 对流换热的理论基础
46
例如：对于主流场均速 u 、均温 t ，并给定恒定壁温的
情况下的流体纵掠平板换热，即边界条件为
y  0 u  0, v  0, t  t w
y   u  u , t  t 
求解上述方程组(层流边界层对流换热微分方程组)，
可得局部表面传热系数 hx 的表达式
1
x  2 
1
3
  u
hx  0.332 
  
x   a

注意：层流
1
x  2 
1
3
 u
 0.332
  



 a



hx x
Nu x  0.332Re1x 2  Pr1 3
第五章 对流换热的理论基础
47

1
x  2 
1
3
 u
 0.332
  



 a



hx x
特征数方程
Nu x  0.332Re1x 2  Pr1 3
或
一定要注意上面准则方程的适用条件：
准则方程
外掠等温平板、无内热源、层流

式中： Nu x 
hx x

努塞尔(Nusselt)数
Re x 
u x
雷诺(Reynolds)数
Pr 

a

普朗特数
第五章 对流换热的理论基础
注意：特征尺
度为当地坐标
x
48
 与 t 之间的关系
对于外掠平板的层流流动: u  const,

dp

0
dx
u
u
 2u
动量方程： u
v

x
y
y 2
此时动量方程与能量方程的形式完全一致:
t
t
 2t
u
v
a 2
x
y
y
表明：此情况下动量传递与热量传递规律相似
特别地：对于  = a 的流体（Pr=1），速度场与无量纲温
度场将完全相似，这是Pr的另一层物理意义：表示流动边
界层和温度边界层的厚度相同
第五章 对流换热的理论基础
49
可见比值γ/a可以表征热边界层与速度边界层的相对厚度。
把γ/a=cpμ/λ称为普朗特数（Pr），它反映了流体中动量扩散与
热扩散能力的对比。除液态金属的Pr数为0.01的数量级外，常用流
体的Pr数在0.6~4000之间，各种气体的Pr数在0.6~0.7之间。（运
动粘性反映了流体中由于分子运动而扩散动量的能力，这一能力越
大，粘性的影响传递的越远，因而流动边界层越厚）因而Pr数反映
了流动边界层与热边界层厚度的相对大小。在液态金属中δ＜＜
δt ；对空气，两者大致相等；而对高Pr数的油类，δ＞＞δt 。
§5-4 边界层积分方程组及比拟理论
1 边界层积分方程
1921年，冯·卡门提出了边界层动量积分方程。
1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程。
近似解，简单容易。
第五章 对流换热的理论基础
50
用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想:
(1) 建立边界层积分方程 针对包括固体边界及边界层外
边界在内的有限大小的控制容积；
(2) 对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数
形式为多项式；
(3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将
速度分布和温度分布带入积分方程，解出  和  t 的计
算式；
(4) 根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的
u
y
y 0
t
及
y
 c f 和 Nu
y 0
第五章 对流换热的理论基础
51
(1) 边界层积分方程的推导
——以二维、稳态、常物性、无内热源的对流换热为例
建立边界层积分方程有两种方法：
控制容积法和积分方法，
我们采用前者，控制体积见图
所示，
X 方向 dx
y方向 l > ， z
方向去单位长度，在边界层数
量级分析中已经得出
 t
2
x 2

y
u t
b
d
dx
u
 t
2
t
l
d
y 2
因此，只考虑固体壁面在y方向
的导热。
a
第五章 对流换热的理论基础
c
x
52
a 单位时间内穿过ab面进入控制容积的热量：
l
 ab   c p 0 tudy
b 单位时间内穿过cd面带出控制容积的热量：
 cd
 ab
  ab 
dx
x
  l
  ab   c p   tudy dx

x  0
第五章 对流换热的理论基础
53
d  l
 0 tudy 
 dx
净热流量为：    c p

dx 
c 单位时间内穿过bd面进入控制容积的热量：
bd  c ptvt dx
这里假设：Pr 1
u v
d  l
l u

 0  v t   
dy     udy 
0 x

x y
dx  0
bd
d  l
 c pt   udydx

dx  0
d 单位时间内穿过ac面因贴壁流体
层导热进入控制容积的热量：
第五章 对流换热的理论基础
 ac
t
  f dx
y
y 0
54
d  l
   c p   tudy dx

dx  0
 ac
t
  f dx
y
y 0
bd
d  l
 c pt   udydx

dx  0
  bd   ac  0
d  l
d  l
t


  c p   tudy dx   c p t   udy dx   f dx


dx  0
dx  0
y
0
y 0
整理后：
d l
t
(t  t )udy  a

0
dx
y
y 0
d t
t
(t  t )udy  a
即：

0
dx
y
第五章 对流换热的理论基础
y 0
55
能量积分方程：
d t
t
(t  t )udy  a

dx 0
y
相似地，动量积分方程：
y 0
d 
u
(u  u)udy  

0
dx
y
y 0
两个方程，4个未知量：u, t, , t 。要使方程组封闭，
还必须补充两个有关这4个未知量的方程。这就是关
于u 和 t 的分布方程。
第五章 对流换热的理论基础
56
(2) 边界层积分方程组求解
在常物性情况下，动量积分方程可以独立求解，即
先求出，然后求解能量积分方程，获得t 和 h
边界条件：
y0
y 
u  0 and
u  u
假设速度u为三次多项式，即
u
and
0
y
u  a  by  cy 2  dy3
u
3 u
由边界条件可以得出： a  0, b 
, c  0, d   3
2 
2
u
3 y 1 y

  
u 2  2   
3
第五章 对流换热的理论基础
57
u
3 y 1 y

  
u 2  2   
du
dy

y 0
3 u

2 
d 
u
(u  u)udy  

0
dx
y
带入动量积分方程：
  4.64
3
x
u
or

x

y 0
4.64
Re x
X处的局部壁面切应力为：
du
 w 
dy
y 0
u 0.323u2
3
1
  u

2
4.64 x
Re x
第五章 对流换热的理论基础
58
在工程中场使用局部切应力与流体动压头之比这个无量
纲量，并称之为范宁摩擦系数，简称摩擦系数
w
1 2
cf 
平均摩擦系数：
1
u
2
 0.646 Re x
c fm  1.292Re x1 2
上面求解动量积分方程获得的是近似解，而求解动量微分
方程可以获得  x and c 的精确解，分别为：
f

x

x

5.0

4.64
Re x
Re x
c f  0.664Re x1 2
c f  0.646Re x1 2
第五章 对流换热的理论基础
可见二者非常接近
59
可以采用类似的过程，并假设
求解能量积分方程，可得
无量纲过余温度分布：
t  a  by  cy 2  dy4
t  tw
 3 y 1 y 


  
t  t w   2  t 2   t 
3


Pr1 3
3
t 
  4.52 Pr Re 2  x
热边界层厚度：
1.026
再次强调：以上结果都是在 Pr 1 的前提下得到的
1
1
局部对流换热系数：

t
hx  
t w  t y
hx x

3
 2 3

 0.332 Re x Pr
2 t
x
1
y 0
 Nu x 
1
0.332 Re x2
第五章 对流换热的理论基础
1
1
Pr 3
60
hx x

 Nu x 
1
0.332Re x2
1
Pr 3

Nu 
hl


1
0.664 Re 2
1
Pr 3
计算时，注意五点：
a
b
c
d
e
Pr 1 ；
Nu 与 Nu
，
hx 与 h
两对变量的差别；
x 与 l 的选取或计算 ；
Re  5  105
定性温度：
t  t   t w  2
第五章 对流换热的理论基础
61
第五章 对流换热的理论基础
62
2 比拟理论求解湍流对流换热方法简介
比拟理论是获得湍流对流换热近似解的一种方法。当流体作湍
流运动时，除了主流方向的运动外，流体中的微团还作不规则的脉
动。因此，当流体中的一个微团从一个位置脉动到另一个位置时将
产生两个作用：（1）不同流速层之间有附加的动量交换，产生了
附加的切应力。（2）不同温度层之间的流体产生附加的热量交换。
这种由于湍流脉动而产生的附加切应力及热量传递称为湍流切应力
及湍流热流密度。既然湍流中的附加切应力及热流密度都是由于流
体中的微团脉动所致，所以湍流中的热量传递与流动阻力之间一定
存在内在联系。比拟理论试图通过较易测定的阻力系数来获得相应
的换热Nu数的表达式。
微团脉动所造成的切应力可采用类似于分子扩散所引起的切
应力的计算式。
而湍流中的总热流密度也可采用类似的公式
第五章 对流换热的理论基础
63
这里以流体外掠等温平板的湍流换热为例。
湍流边界层动量和能量方程为
u
u
 2u
u
v
 (   m) 2
x
y
y
2
t
t
t
u
v
 ( a  t ) 2
x
y
y
湍流动量扩散率
湍流热扩散率
引入下列无量纲量：
x
x 
l
*
y
y 
l
*
u
u 
u
*
v
v 
u
*
第五章 对流换热的理论基础
t  tw
 
t   tw
64
则有
*
*
2 *

u

v
1

u
*
*
u
v

(   m )
*
*
u l
x
y
(y * ) 2
2




1


*
*
u
v

(a   t )
*
*
u l
x
y
(y * ) 2
雷诺认为：由于湍流切应力  t 和湍流热流密度
脉动所致，因此，可以假定： 
q t 均由
  Prt  1
m t
湍流普朗特数
当 Pr = 1时，则
u * 与  应该有完全相同的解，此时：
u*
y *
y* 0


y *
y * 0
第五章 对流换热的理论基础
65
而
u *
y*
类似地：
y* 0
u

y

y*

l
u
 
u
y
y 0 
l
l
Re

w
 cf
u
u
2
y 0

y* 0
t

(t w  t ) y
Nu x 
cf
2
l
y 0


hx l l

 Nu x l
Re x
实验测定平板上湍流边界层阻力系数为：
c f  0.0592Re x1 5

Nu x  0.0296Re 4x 5
(Re x  107 )
这就是有名的雷诺比拟，它成
立的前提是Pr=1
第五章 对流换热的理论基础
66
当 Pr  1时，需要对该比拟进行修正，于是有
契尔顿－柯尔本比拟（修正雷诺比拟）：
cf
 St Pr 2 / 3  j
2
(0. 6  Pr  60)
式中，St 称为斯坦顿（Stanton）数，其定义为
Nu
St 
Re Pr
j
称为 j 因子，在制冷、低温工业的换热器设
计中应用较广。
第五章 对流换热的理论基础
67
当平板长度 l 大于临界长度xc 时，平板上的边界层由层
流段和湍流段组成。其Nu分别为：
1
2
x  xc时，层流，
Nux  0.332 Re Pr
1
3
4
5
x  xc时，湍流，
Nux  0.0296 Re Pr
1
3
则平均对流换热系数 hm 为:
12
45
1
1

x
l
u
u

 
 
c 2
3
hm  0.332
 0 x dx  0.0296
 x x dx
c
l 
 
 



Num  0.664Re1c 2  0.037(Re 4 5  Re c4 5 )  Pr1 3
如果取 Re c  5 105 ，则上式变为：


Num  0.037Re 4 5  871  Pr1 3
第五章 对流换热的理论基础
68
作业：
5-2，5-3，5-8，5-16，5-18，
第五章 对流换热的理论基础
69