Transcript 对流换热系数
第五章
对流换热的理论基础
Convection Heat Transfer
第五章 对流换热的理论基础
1
§5-1 对流换热概述
1 对流换热的定义和性质
研究单纯的对流并无意义,工程中把流体流过固体壁面
情况下所发生的热量交换称为对流换热 。
● 对流换热与热对流不同,既有热对流,也有导热;不
是基本传热方式
● 对流换热实例:1) 暖气管道; 2) 电子器件冷却;3)电
风扇
第五章 对流换热的理论基础
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2 对流换热的特点
(1) 导热与热对流同时存在的复杂热传递过程
(2) 必须有直接接触(流体与壁面)和宏观运动;
也必须有温差
(3) 由于流体的粘性和受壁面摩擦阻力的影响,紧
贴壁面处会形成速度梯度很大的边界层
3 对流换热的基本计算式
牛顿冷却式:
Φ hA(t w t ) W
q Φ A
h(t w t f ) W m 2
第五章 对流换热的理论基础
3
4 表面传热系数(对流换热系数)
h Φ ( A(t w t )) W (m2 C)
—— 当流体与壁面温度相差1度时、每单位壁面面
积上、单位时间内所传递的热量
如何确定h及增强换热的措施是对流换热的核心问题
研究对流换热的方法:
(1)分析法
(2)实验法
(3)比拟法
(4)数值法
第五章 对流换热的理论基础
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(1)分析法主要是指对描写某一类对流换热问题的偏微分方程
及相应的定解条件进行数学求解,从而获得速度场和温度场的
分析方法。分析解能深刻揭示各个物理量对对流换热系数的依
变关系,是平价其他方法所得结果的标准与依据。
(2)应用相似理论,将众多的影响因素归并成位数不多的几个
无量纲准则,通过实验确定h的具体关系式。它是目前获得对流
换热系数的主要途径。
(3)比拟法是通过动量传递和热量传递的比拟理论,建立起对
流换热系数与阻力系数间的相互关系的方法。通过比较容易用
实验测定的阻力系数来获得相应的对流换热系数的计算公式。
比拟理论对理解与分析对流换热过程很有帮助。
(4)对流换热的在仅20年内得到了迅速发展,与导热问题的数
值解法相比,对流换热的数值求解增加了两个难点,即对流项
的离散及动量方程中的压力梯度的数值处理。本章将不作介绍。
但对平直等截面管道中层流充分发展的对流换热,因其控制方
程为导热型的方程,将在练习中有所涉及。
第五章 对流换热的理论基础
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5 对流换热的影响因素
对流换热是流体的导热和对流两种基本传热方式共同作用的
结果。其影响因素主要有以下五个方面:(1)流动起因; (2)
流动状态; (3)流体有无相变; (4)换热表面的几何因素; (5)
流体的热物理性质
6 对流换热的分类:
(1) 流动起因
强制对流:强制对流换热是由于泵、风机或其他外部动力
源所造成的。自然对流换热是由于流体内部的密度差所引
起。两种流动的成因不同,速度场也有差别,所以换热规
律不一样。
h强制 h自然
第五章 对流换热的理论基础
6
(2) 流动状态
h湍流 h层流
h相变 h单相
粘性流体存在着两种不同的流态—层流及湍流。层流时流体微
团沿主流方向作有规则的分层流动,而湍流时流体各部分之间发生
剧烈的混合,因而在其他条件相同时湍流换热的强度自然要较层流
强烈。
(3) 流体有无相变
在流体没有相变时对流换热中的热量交换是由于流体显热的变
化而实现的,而在有相变的换热过程中(凝结或沸腾),流体相变
热(潜热)的释放或吸收常常起主要作用,因而换热规律与无相变
时不同。
第五章 对流换热的理论基础
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(4) 换热表面的几何因素:
内部流动对流换热:管内或槽内
外部流动对流换热:外掠平板、圆管、管束
第五章 对流换热的理论基础
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(5) 流体的热物理性质:
3
密度 [kg m ]
热导率 [ W (m C) ]
2
比热容 c [J (kg C) ]
动力粘度 [ N s m ]
2
运动粘度 [m s] 体胀系数 [1 K ]
1 v
1
v T p
T p
h
(流体内部和流体与壁面间导热热阻小)
、c h (单位体积流体能携带更多能量)
h (有碍流体流动、不利于热对流)
自然对流换热增强
第五章 对流换热的理论基础
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综上所述,表征对流换热强弱的对流换热系数是取决
于多种因素的复杂的函数。
h f (v, t w , t f , , c p , , , , l , Ω)
第五章 对流换热的理论基础
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对流换热分类小结
如习题(1-3)
第五章 对流换热的理论基础
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7 对流换热过程微分方程式
当粘性流体在壁面上流动时,
由于粘性的作用,在靠近壁
面的地方流速逐渐减少,而
在贴壁处流体将被滞止而处
于无滑移状态 ;即贴壁处流
体没有相对于壁面的流动
(贴壁处无滑移条件)
壁面与流体间的热量传递必须穿过这个不流动的流体层,
而穿过不流动的流体层的热量传递只能是导热。因此,对流
换热量就等于贴壁流体层的导热量。
第五章 对流换热的理论基础
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根据傅里叶定律:
qw, x
t
y w, x
流体的热导率
t
W (m C)
y w, x — 在坐标( x,0) 处流体的温度梯度
根据牛顿冷却公式:?
qw, x hx (tw-t ) W m2
hx — 壁面x处局部表面传热系数 W(m 2 C)
由傅里叶定律与牛顿冷却公式:
t
hx
t w t y w, x
W (m C)
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对流换热过程
微分方程式
13
对流换热过程微分方程式 h
x
t
t w t y w, x
hx 取决于流体热导系数、温度差和贴壁流体的温度梯度
温度梯度或温度场取决于流体热物性、流动状况(层流或
紊流)、流速的大小及其分布、表面粗糙度等 温度场
取决于流场
速度场和温度场由对流换热微分方程组确定:
质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程
第五章 对流换热的理论基础
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以上就是对流换热微分方程式,它把对流换热系数与流体的温
度场联系起来,无论分析解法、数值解法还是实验法都要用到它。
在分析解法及数值解法中,第一类边界条件是已知壁温求壁面
法线方向的温度变化率。第二类边界条件是已知壁面换热的热流密
度,即壁面法线方向的温度变化率:求壁温tw。所有这两类边界条
件问题的共同点就是要解出流体内的温度分布,即温度场。在第三
类边界条件时,α是未知量,λ是流体的导热系数。
式(5-4)中的h是局部换热系数,而整个换热表面的对流换热
系数采用在作用区间上的积分平均值。
第五章 对流换热的理论基础
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§5-2 对流换热问题的数学描述
对流换热问题的数学描写包括对流换热微分方程组及定解条件,
前者包括质量守恒、动量守恒及能量守恒这三大守恒定律的数学表
达式。
为了揭示常见对流换热问题的基本方程,将忽略一些次要因
素。为便于分析,只限于分析二维对流换热
假设: a) 流体为连续性介质
b) 流体为不可压缩的牛顿型流体
即:服从牛顿粘性定律的流体;
u
而油漆、泥浆等不遵守该定
y
律,称非牛顿型流体
c) 所有物性参数(、cp、、)为常量
4个未知量::速度 u、v;温度 t;压力 p
需要4个方程:
连续性方程(1)、动量方程(2)、能量方程(3)
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1 质量守恒方程(连续性方程)
流体的连续流动遵循质量守恒规律:从各方向流入、
流出微元体质量流量差值的总和等于零。
从流场中 (x, y) 处取出边长为 dx、dy 的微元体
M 为质量流量 [kg/s]
单位时间内、沿x轴方向、
经x表面流入微元体的质量
单位时间内、沿x轴方向、经
x+dx表面流出微元体的质量
M x udy
M x
M x dx M x
dx
x
单位时间内、沿x轴方向流入微元体的净质量:
M x M x dx
M x
( u )
dx
dxdy
x
x
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My
M x udy
M y
y
dy
M x
Mx
dx
x
M y vdx
第五章 对流换热的理论基础
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单位时间内、沿 y 轴方向流入微元体的净质量:
M y M y dy
单位时间内微元体
内流体质量的变化:
M y
( v)
dy
dxdy
y
y
( dxdy)
dxdy
微元体内流体质量守恒:
(单位时间内)
流入微元体的净质量 = 微元体内流体质量的变化
( u )
( v)
dxdy
dxdy
dxdy
x
y
第五章 对流换热的理论基础
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( u )
( v)
dxdy
dxdy
dxdy
x
y
( u ) ( v)
0
y
x
二维连续性方程
三维连续性方程
对于二维、稳态流动、密度为常数时:
u v
0
x y
第五章 对流换热的理论基础
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2 动量守恒方程
动量微分方程式描述流体速度场
牛顿第二运动定律: 作用于微元体表面和内部的所有外力之
和等于微元体中流体动量的变化率。
作用力 = 质量 加速度(F=ma)
作用力:体积力、表面力
体积力: 重力、离心力、电磁力
法向应力 中包括了压力 p 和法
向粘性应力 ii
压力 p 和法向粘性应力 ii的区别:
a) 无论流体流动与否, p 都存在;而 ii只存在于流动时
b) 同一点处各方向的 p 都相同;而 ii与表面方向有关
第五章 对流换热的理论基础
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动量微分方程 — Navier-Stokes方程(N-S方程)
u
u
u
p
2u 2u
( u v ) Fx ( 2 2 )
x
y
x
x
y
v
v
v
p
2v 2v
( u v ) Fy ( 2 2 )
x
y
y
x
y
(1)
(2) (3)
(4)
(1)— 惯性项(ma);(2) — 体积力;(3) — 压强梯度;
(4) — 粘滞力
u
v
0;
0
对于稳态流动:
只有重力场时:
Fx g x ; Fy g y
第五章 对流换热的理论基础
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3 能量守恒方程
微元体(见图)的能量守恒:
——描述流体温度场
[导入与导出的净热量] + [热对流传递的净热量] +
[内热源发热量] = [总能量的增量] + [对外作膨胀功]
Q = E + W
Q — Q导热 Q对流 Q内热源
E — U 热力学能 U K(动能)
W — 体积力(重力)作的功、表面力作的功
假设:(1)流体的热物性均为常量,流体不做功
(2)流体不可压缩
(3)一般工程问题流速低
(4)无化学反应等内热源
第五章 对流换热的理论基础
W=0
UK=0、=0
Q内热源=0
23
Q导热 + Q对流 = U热力学能
2t
2t
Q导热 2 dxdy+ 2 dxdy
x
y
单位时间内、 沿 x 方向热对流传递到微元体的净热量:
"
"
Q
Q
(ut)
"
"
" "
x
x
Qx Qx dx Qx Qx
dx
dx c p
dxdy
x
x
x
单位时间内、 沿 y 方向热对流传递到微元体的净热量:
"
"
Q
Q
(vt)
y
y
"
"
" "
Q y Q y dy Q y Q y
dy
dy c p
dydx
y
y
y
第五章 对流换热的理论基础
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2t
2t
Q导热 2 dxdy+ 2 dxdy
x
y
Q对流
(ut )
(vt)
c p
dxdy c p
dxdy
x
y
t
u
v
t
c p u v t
t dxdy
y
x
y
x
t
t
c p u v dxdy
y
x
能量守恒方程
t
U cpdxdy
d
2t 2t
t
t t
+ 2 u
v
2
c p x
x
y
y
第五章 对流换热的理论基础
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对流换热微分方程组:(常物性、无内热源、二维、不可
压缩牛顿流体)
u v
0
x y
u
u
u
p
2u 2u
( u v ) Fx ( 2 2 )
x
y
x
x
y
v
v
v
p
2v 2v
( u v ) Fy ( 2 2 )
x
y
y
x
y
2
2t
t
t
t
t
c p
u
v
2
2
x
y
y
x
第五章 对流换热的理论基础
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4个方程,4个未知量 —— 可求得速度场(u,v)和
温度场(t)以及压力场(p), 既适用于层流,也适用
于紊流(瞬时值)
前面4个方程求出温度场之后,可以利用牛顿冷却
微分方程:
hx
t
t y w, x
计算当地对流换热系数 hx
第五章 对流换热的理论基础
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4 表面传热系数的确定方法
(1)微分方程式的数学解法
a)精确解法(分析解):根据边界层理论,得到
边界层微分方程组
常微分方程
求解
b)近似积分法:
假设边界层内的速度分布和温度分布,解积分方程
c)数值解法:近年来发展迅速
可求解很复杂问题:三维、紊流、变物性、超音速
(2)动量传递和热量传递的类比法
利用湍流时动量传递和热量传递的类似规律,由湍流时
的局部表面摩擦系数推知局部表面传热系数
(3)实验法
第五章 对流换热的理论基础
用相似理论指导
28
5 对流换热过程的单值性条件
单值性条件:能单值地反映对流换热过程特点的条件
完整数学描述:对流换热微分方程组 + 单值性条件
单值性条件包括四项:几何、物理、时间、边界
(1) 几何条件
说明对流换热过程中的几何形状和大小
平板、圆管;竖直圆管、水平圆管;长度、直径等
(2) 物理条件
说明对流换热过程的物理特征
如:物性参数 、 、c 和 的数值,是否随温
度和压力变化;有无内热源、大小和分布
(3) 时间条件 说明在时间上对流换热过程的特点
稳态对流换热过程不需要时间条件 — 与时间无关
(4) 边界条件 说明对流换热过程中边界上与速度、压力及温
度有关的条件。
可以规定边界上流体的温度分布,或给定边界上加热或
冷却流体的热流密度。由于求解对流换热系数是最终目的,
因此一般地说求解对流换热问题时没有第三类边界条件。但
流体通过一层薄壁与另一种流体发生热交换,则另一种流体
的对流换热系数可以出现在所求解问题的边界条件中。
对流换热问题的定解条件的数学表达式比较复杂,本书
仅给出外掠平板的边界层流动时的定解条件的表达式。
上述共4个方程,其中包含了4个未知数(u、v、p、t)。方程
封闭,原则上可以求解,然而由于N-S方程复杂性和非线性,要针
对实际问题在整个流场内求解上述方程组是非常困难的。直到1904
年普朗特提出著名的边界层概念,对N-S方程进行了实质的简化后
才有改观,是数学分析解得到很大的发展。后来泼尔豪森又把边界
层概念推广应用于对流换热问题,提出了热边界层的概念,是对流
换热问题的分析解也得到了很大的发展。
§5-3 边界层概念及边界层换热微分方程组
普朗特在仔细观察了粘性流体流过固体表面的特性后提出
了突破性的见解。认为粘滞性起作用的区域仅局限在靠近壁
面的薄层内。(1)在这个薄层以外,由于速度梯度很小,粘
性力可以忽略不计,于是该区域中的流动可以作为理想流体
的无旋流动,采用伯努利方程。(2)在这个粘性力不能忽略
的薄层之内,运用数量级分析的方法对N-S方程做实质性的简
化,从而获得许多粘性流动问题的分析解。这种在固体表面
附近流体速度发生剧烈变化的薄层称为流动边界层(又称速
度边界层)。
第五章 对流换热的理论基础
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1 流动边界层(Velocity boundary layer)
(1)定义:
当具有粘性且能润湿壁面的流体通过壁面时,由于粘性的作
用,流体流速在靠近壁面处随离壁面的距离的缩短而逐渐降低;
在贴壁处被滞止,处于无滑移状态。测得的其速度分布为:
第五章 对流换热的理论基础
32
从y=0 处u=0开始,流体的速
度随着离开壁面距离y的增加
而急剧增大,经过一个薄层
后u增长到接近主流速度,这
个速度剧烈变化的薄层即为
流动边界层。在薄层内有明
显的速度梯度。通常规定达
到主流速度的99%处的距离y
作为流动边界层的厚度
(δ)。由图5-6知:δ是一
小:空气外掠平板,u=0.5m/s:
个比L小一个数量级以上的
小量。在δ薄层内,流体在
x100mm 2.8mm; x110mm 3mm
垂直于主流方向上的速度变
化十分剧烈。
第五章 对流换热的理论基础
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由牛顿粘性定律:
u
y
速度梯度大,粘滞应力大
边界层外: u 在 y 方向不变化, u/y=0
粘滞应力为零 — 主流区
流场可以划分为两个区:边界层区与主流区
边界层区:流体的粘性作用起主导作用,流体的运动可用
粘性流体运动微分方程组描述(N-S方程)
主流区:速度梯度为0,=0;可视为无粘性理想流体;
欧拉方程
——边界层概念的基本思想
第五章 对流换热的理论基础
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(2)边界层的形成和发展
流体的流动可分为层流和湍流两类,在边界层内也会出现层流
和湍流两类状态不同的流动。图5-7示出了流体掠过平板时边界层
的发展过程。
流体以u∞的速度沿平板流动,在平板的起始阶段,δ很薄,随
着x的增加,沿程受到壁面阻力的作用,粘性力的影响逐渐向流体
内部传播,边界层逐渐加厚,但在某一距离xc以前一直保持层流的
性质。此时流体各层互不干扰,分层流动。这时的边界层称为层流
边界层 。
沿流动方向随着边界层厚度的增加,惯性力的影响相对地增大,
促使边界层内的流动出现不稳定,此时流体质点在沿x方向流动的
同时,又作着紊乱的不规则脉动,称为湍流边界层。边界层由层流
向湍流过渡的距离xc 由临界雷诺数Rec=u∞xc/γ确定。对于平板,
Rec 处于2×105~3×106 之间。来流强烈、壁面粗糙时,雷诺数甚至
在低于下限时即发生转变。一般取Rec=5×105。
第五章 对流换热的理论基础
35
临界距离:由层流边界层开
始向湍流边界层过渡的距离,
xc
临界雷诺数:Rec
惯性力 u xc
Rec
粘性力
u x
c
平板:Re c 2 105 ~ 3 106 ; 取 Re c 5 105
Rec
xc
u
在湍流边界层紧靠壁面处粘性力仍占主导地位,致使紧贴壁面
的极薄层内仍保持层流的性质。这个极薄层称为层流底层。在湍流
核心与层流底层之间存在着起过渡性质的缓冲层。
第五章 对流换热的理论基础
36
层流边界层的速度分布为抛物线。在湍流边界层中,层流底层
的速度梯度较大,近于直线,而在湍流核心,质点的脉动强化了动
量传递,速度分布较为平坦。
(3)流动边界层的几个重要特性
①流场可划分为主流区和边界层区,只有在边界层区才考虑粘
性对流体的影响,用粘性流体流动的微分方程组来描述,在主流区
可视为理想流体流动(伯努利方程)
②边界层的厚度δ与壁面尺寸L相比是个很小的量。
③在边界层 内流动状态分为层流和湍流,湍流边界层内紧靠壁
面处仍有极薄层保持层流状态,称为层流底层。
边界层类型的流动仅当流体不脱离固体表面时才存在。对园柱
后半周出现的脱体流动(流体离开固体表面而形成旋涡),边界层
的概念不再适用,此时采用完全的N-S方程来描述。
下面把边界层的概念推广到对流换热流体的温度场中。
第五章 对流换热的理论基础
37
2 热边界层(Thermal boundary layer)
在对流换热条件下,主流与壁面之间存在着温度差。实验观察
同样发现,在壁面附近的一个薄层内,流体温度在壁面的法线方向
上发生剧烈的变化,而在此薄层以外,流体的温度梯度几乎等于零。
流体的边界层的概念可以推广到对流换热中去,固体表面附近温度
剧烈变化的这一薄层称为温度边界层或热边界层 ,其厚度记为δt。
对于外掠平板的对流换热,一般以过余温度为来流过余温度的99%
处定义为δt的外边界。除液态金属及高粘性的流体外,δt是与δ
相当的小量。
于是对流换热问题的温度场也可区分为两个区域:热边界层区
与主流区。在主流区流体中的温度变化率可视为零,这样我们就可
把研究的热量传递的区域集中到热边界层之内。见图5-8示出固体
表面附近速度边界层及热边界层的情况。
第五章 对流换热的理论基础
38
Tw
y 0, w T Tw 0
y t , T Tw 0.99
t — 热边界层厚度
厚度t 范围 — 热边界层
或温度边界层
与t 不一定相等
流动边界层与热边界层的状况决定了热量传递过程和边
界层内的温度分布
第五章 对流换热的理论基础
39
层流:温度呈抛物线分布
湍流:温度呈幂函数分布
湍流边界层贴壁处的温度
梯度明显大于层流
T
T
故:湍流换热比层流换热强!
y w,t y w, L
与 t 的关系:分别反映流体分子和流体微团的动量
和热量扩散的深度
t Pr 1 3
(层流、 0.6 Pr 50)
第五章 对流换热的理论基础
40
3 边界层换热微分方程组
根据速度边界层和热边界层的特点,运用数量级分析的方法来
简化对流换热微分方程组。
数量级分析法
是指通过比较方程式中各项数量级的大小,把
数量级较大的项保留下来,而舍去数量级较小的项,实现方程的合
理化。
各项的数量级大小采用各量在作用区间的积分平均绝对值的确
定方法。例如:在速度边界层内,从壁面到y=δ处,主流方向流速
u的积分平均绝对值>>垂直主流方向的流速v的积分平均绝对值。
因而,如果u的数量级为1,则v的数量级必是个小量(δ)。
导数的数量级可将因变量及自变量的数量级代入导数的表达式
而得出。
例:二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力
第五章 对流换热的理论基础
41
u沿边界层厚度由0到u:
u ~ u ~ 0(1)
由连续性方程:
v u u
~
~ 0(1)
y x
l
u v
0
x y
v ~ 0( )
u
u
p
2u 2u
(u v ) Fx ( 2 2 )
x
y
x
x
y
v
v
p
2v 2v
(u v ) Fy ( 2 2 )
x
y
y
x
y
2
2t
t
t
t
c p u v 2 2
y对流换热的理论基础
y
x 第五章
x
42
u v
0
x y
(a)
1
1
u
u
p
2u 2u
(u v ) ( 2 2 )
x
y
x
x
y
1
1
1
1
2
1(1
) 1 ( 2
)
2
1
1
v
v
p
2v 2v
(u v ) ( 2 2 )
x
y
y
x
y
1(1
1
)
(
2
第五章 对流换热的理论基础
2
1
)
2
(b)
(c)
43
u v
0
x y
u
u
p
2u
(u v ) 2
x
y
x
y
t
t
2t 2t
c(
v ) ( 2 2 )
p u
x
y
x
y
1
1 (1
1
1
) t(
2
1
2
1
1
2
(d)
)
t
t
t
c(
v ) 2
p u
x
y
y
2
第五章 对流换热的理论基础
44
p
~ 0( )
y
p
~ 0(1)
x
表明:边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化,而边界层内
法向的压力梯度极小。
边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力
p dp
x dx
u
u
p
2u
(u v ) 2
x
y
x
y
dp
du
由上式:
u
dx
dx
p
~ 0( ) 可视为边界层的又一特性
y
第五章 对流换热的理论基础
45
u v
0
x y
u
u
1 dp
u
u v
2
x
y
dx
y
2
t
t
2t
u v a 2
x
y
y
du
dp
u
dx
dx
层流边界层对流换
热微分方程组:
3个方程、3个未知
量:u、v、t,方程
封闭
如果配上相应的定解
条件,则可以求解
du
dp
若
0,则 0
dx
dx
第五章 对流换热的理论基础
46
例如:对于主流场均速 u 、均温 t ,并给定恒定壁温的
情况下的流体纵掠平板换热,即边界条件为
y 0 u 0, v 0, t t w
y u u , t t
求解上述方程组(层流边界层对流换热微分方程组),
可得局部表面传热系数 hx 的表达式
1
x 2
1
3
u
hx 0.332
x a
注意:层流
1
x 2
1
3
u
0.332
a
hx x
Nu x 0.332Re1x 2 Pr1 3
第五章 对流换热的理论基础
47
1
x 2
1
3
u
0.332
a
hx x
特征数方程
Nu x 0.332Re1x 2 Pr1 3
或
一定要注意上面准则方程的适用条件:
准则方程
外掠等温平板、无内热源、层流
式中: Nu x
hx x
努塞尔(Nusselt)数
Re x
u x
雷诺(Reynolds)数
Pr
a
普朗特数
第五章 对流换热的理论基础
注意:特征尺
度为当地坐标
x
48
与 t 之间的关系
对于外掠平板的层流流动: u const,
dp
0
dx
u
u
2u
动量方程: u
v
x
y
y 2
此时动量方程与能量方程的形式完全一致:
t
t
2t
u
v
a 2
x
y
y
表明:此情况下动量传递与热量传递规律相似
特别地:对于 = a 的流体(Pr=1),速度场与无量纲温
度场将完全相似,这是Pr的另一层物理意义:表示流动边
界层和温度边界层的厚度相同
第五章 对流换热的理论基础
49
可见比值γ/a可以表征热边界层与速度边界层的相对厚度。
把γ/a=cpμ/λ称为普朗特数(Pr),它反映了流体中动量扩散与
热扩散能力的对比。除液态金属的Pr数为0.01的数量级外,常用流
体的Pr数在0.6~4000之间,各种气体的Pr数在0.6~0.7之间。(运
动粘性反映了流体中由于分子运动而扩散动量的能力,这一能力越
大,粘性的影响传递的越远,因而流动边界层越厚)因而Pr数反映
了流动边界层与热边界层厚度的相对大小。在液态金属中δ<<
δt ;对空气,两者大致相等;而对高Pr数的油类,δ>>δt 。
§5-4 边界层积分方程组及比拟理论
1 边界层积分方程
1921年,冯·卡门提出了边界层动量积分方程。
1936年,克鲁齐林求解了边界层能量积分方程。
近似解,简单容易。
第五章 对流换热的理论基础
50
用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想:
(1) 建立边界层积分方程 针对包括固体边界及边界层外
边界在内的有限大小的控制容积;
(2) 对边界层内的速度和温度分布作出假设,常用的函数
形式为多项式;
(3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常数,然后将
速度分布和温度分布带入积分方程,解出 和 t 的计
算式;
(4) 根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的
u
y
y 0
t
及
y
c f 和 Nu
y 0
第五章 对流换热的理论基础
51
(1) 边界层积分方程的推导
——以二维、稳态、常物性、无内热源的对流换热为例
建立边界层积分方程有两种方法:
控制容积法和积分方法,
我们采用前者,控制体积见图
所示,
X 方向 dx
y方向 l > , z
方向去单位长度,在边界层数
量级分析中已经得出
t
2
x 2
y
u t
b
d
dx
u
t
2
t
l
d
y 2
因此,只考虑固体壁面在y方向
的导热。
a
第五章 对流换热的理论基础
c
x
52
a 单位时间内穿过ab面进入控制容积的热量:
l
ab c p 0 tudy
b 单位时间内穿过cd面带出控制容积的热量:
cd
ab
ab
dx
x
l
ab c p tudy dx
x 0
第五章 对流换热的理论基础
53
d l
0 tudy
dx
净热流量为: c p
dx
c 单位时间内穿过bd面进入控制容积的热量:
bd c ptvt dx
这里假设:Pr 1
u v
d l
l u
0 v t
dy udy
0 x
x y
dx 0
bd
d l
c pt udydx
dx 0
d 单位时间内穿过ac面因贴壁流体
层导热进入控制容积的热量:
第五章 对流换热的理论基础
ac
t
f dx
y
y 0
54
d l
c p tudy dx
dx 0
ac
t
f dx
y
y 0
bd
d l
c pt udydx
dx 0
bd ac 0
d l
d l
t
c p tudy dx c p t udy dx f dx
dx 0
dx 0
y
0
y 0
整理后:
d l
t
(t t )udy a
0
dx
y
y 0
d t
t
(t t )udy a
即:
0
dx
y
第五章 对流换热的理论基础
y 0
55
能量积分方程:
d t
t
(t t )udy a
dx 0
y
相似地,动量积分方程:
y 0
d
u
(u u)udy
0
dx
y
y 0
两个方程,4个未知量:u, t, , t 。要使方程组封闭,
还必须补充两个有关这4个未知量的方程。这就是关
于u 和 t 的分布方程。
第五章 对流换热的理论基础
56
(2) 边界层积分方程组求解
在常物性情况下,动量积分方程可以独立求解,即
先求出,然后求解能量积分方程,获得t 和 h
边界条件:
y0
y
u 0 and
u u
假设速度u为三次多项式,即
u
and
0
y
u a by cy 2 dy3
u
3 u
由边界条件可以得出: a 0, b
, c 0, d 3
2
2
u
3 y 1 y
u 2 2
3
第五章 对流换热的理论基础
57
u
3 y 1 y
u 2 2
du
dy
y 0
3 u
2
d
u
(u u)udy
0
dx
y
带入动量积分方程:
4.64
3
x
u
or
x
y 0
4.64
Re x
X处的局部壁面切应力为:
du
w
dy
y 0
u 0.323u2
3
1
u
2
4.64 x
Re x
第五章 对流换热的理论基础
58
在工程中场使用局部切应力与流体动压头之比这个无量
纲量,并称之为范宁摩擦系数,简称摩擦系数
w
1 2
cf
平均摩擦系数:
1
u
2
0.646 Re x
c fm 1.292Re x1 2
上面求解动量积分方程获得的是近似解,而求解动量微分
方程可以获得 x and c 的精确解,分别为:
f
x
x
5.0
4.64
Re x
Re x
c f 0.664Re x1 2
c f 0.646Re x1 2
第五章 对流换热的理论基础
可见二者非常接近
59
可以采用类似的过程,并假设
求解能量积分方程,可得
无量纲过余温度分布:
t a by cy 2 dy4
t tw
3 y 1 y
t t w 2 t 2 t
3
Pr1 3
3
t
4.52 Pr Re 2 x
热边界层厚度:
1.026
再次强调:以上结果都是在 Pr 1 的前提下得到的
1
1
局部对流换热系数:
t
hx
t w t y
hx x
3
2 3
0.332 Re x Pr
2 t
x
1
y 0
Nu x
1
0.332 Re x2
第五章 对流换热的理论基础
1
1
Pr 3
60
hx x
Nu x
1
0.332Re x2
1
Pr 3
Nu
hl
1
0.664 Re 2
1
Pr 3
计算时,注意五点:
a
b
c
d
e
Pr 1 ;
Nu 与 Nu
,
hx 与 h
两对变量的差别;
x 与 l 的选取或计算 ;
Re 5 105
定性温度:
t t t w 2
第五章 对流换热的理论基础
61
第五章 对流换热的理论基础
62
2 比拟理论求解湍流对流换热方法简介
比拟理论是获得湍流对流换热近似解的一种方法。当流体作湍
流运动时,除了主流方向的运动外,流体中的微团还作不规则的脉
动。因此,当流体中的一个微团从一个位置脉动到另一个位置时将
产生两个作用:(1)不同流速层之间有附加的动量交换,产生了
附加的切应力。(2)不同温度层之间的流体产生附加的热量交换。
这种由于湍流脉动而产生的附加切应力及热量传递称为湍流切应力
及湍流热流密度。既然湍流中的附加切应力及热流密度都是由于流
体中的微团脉动所致,所以湍流中的热量传递与流动阻力之间一定
存在内在联系。比拟理论试图通过较易测定的阻力系数来获得相应
的换热Nu数的表达式。
微团脉动所造成的切应力可采用类似于分子扩散所引起的切
应力的计算式。
而湍流中的总热流密度也可采用类似的公式
第五章 对流换热的理论基础
63
这里以流体外掠等温平板的湍流换热为例。
湍流边界层动量和能量方程为
u
u
2u
u
v
( m) 2
x
y
y
2
t
t
t
u
v
( a t ) 2
x
y
y
湍流动量扩散率
湍流热扩散率
引入下列无量纲量:
x
x
l
*
y
y
l
*
u
u
u
*
v
v
u
*
第五章 对流换热的理论基础
t tw
t tw
64
则有
*
*
2 *
u
v
1
u
*
*
u
v
( m )
*
*
u l
x
y
(y * ) 2
2
1
*
*
u
v
(a t )
*
*
u l
x
y
(y * ) 2
雷诺认为:由于湍流切应力 t 和湍流热流密度
脉动所致,因此,可以假定:
q t 均由
Prt 1
m t
湍流普朗特数
当 Pr = 1时,则
u * 与 应该有完全相同的解,此时:
u*
y *
y* 0
y *
y * 0
第五章 对流换热的理论基础
65
而
u *
y*
类似地:
y* 0
u
y
y*
l
u
u
y
y 0
l
l
Re
w
cf
u
u
2
y 0
y* 0
t
(t w t ) y
Nu x
cf
2
l
y 0
hx l l
Nu x l
Re x
实验测定平板上湍流边界层阻力系数为:
c f 0.0592Re x1 5
Nu x 0.0296Re 4x 5
(Re x 107 )
这就是有名的雷诺比拟,它成
立的前提是Pr=1
第五章 对流换热的理论基础
66
当 Pr 1时,需要对该比拟进行修正,于是有
契尔顿-柯尔本比拟(修正雷诺比拟):
cf
St Pr 2 / 3 j
2
(0. 6 Pr 60)
式中,St 称为斯坦顿(Stanton)数,其定义为
Nu
St
Re Pr
j
称为 j 因子,在制冷、低温工业的换热器设
计中应用较广。
第五章 对流换热的理论基础
67
当平板长度 l 大于临界长度xc 时,平板上的边界层由层
流段和湍流段组成。其Nu分别为:
1
2
x xc时,层流,
Nux 0.332 Re Pr
1
3
4
5
x xc时,湍流,
Nux 0.0296 Re Pr
1
3
则平均对流换热系数 hm 为:
12
45
1
1
x
l
u
u
c 2
3
hm 0.332
0 x dx 0.0296
x x dx
c
l
Num 0.664Re1c 2 0.037(Re 4 5 Re c4 5 ) Pr1 3
如果取 Re c 5 105 ,则上式变为:
Num 0.037Re 4 5 871 Pr1 3
第五章 对流换热的理论基础
68
作业:
5-2,5-3,5-8,5-16,5-18,
第五章 对流换热的理论基础
69