Transcript 非稳态导热

工程热力学与传热学
传热学
第九章
导热
第九章
导热
内容要求

1.导热的基本定律（Fourier定律）

2.导热微分方程及相应的单值性条件

3.几种最典型的稳态导热问题的分析和求解
重点：一维稳态导热（平壁，圆筒壁，肋片）
了解：二维稳态导热

4.非稳态导热及集总热容系统的分析方法

5.导热问题的数值求解方法
9-1 导热的理论基础
9-1-1 导热的基本概念
1. 导热（conduction ）
物体的各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、
原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传
递过程。
2. 分类：
单纯的导热只能发生
在密实的固体中。
温度场（Temperature field）：
在某一时刻τ，物体内所有各点的温度分布。
直角坐标系下： t  f ( x , y , z ,  )
t  f ( x , y , z , )
（1）按温度场是否随时间变化
 稳态导热 ：
 非稳态导热：
t

t

 0
t
 0
（2）按温度场随空间坐标的变化
 三维导热： t  f ( x , y , z ,  )
 二维导热： t  f ( x , y ,  )
 一维导热： t  f ( x ,  )
t f (x)
t w1 t (x)
t w2
0
Φ
δ
x
大平壁的稳态导热
一维稳态温度场
(one dimensional steady state temperature field）
t
3. 比较
t
x
t
x
t
n
x
:
,
t
x
t
,
n
n
表示温度差 ∆t 与距离 ∆x 的比值
 lim
x  0
t
x
:
表示x方向上的温度变化率
n
n  grad t :
表示温度梯度
4. 温度梯度（temperature gradient）
是沿等温面法线方向的向量，
其正方向指向温度增加的方向。
t+∆t
∆n
gradt t
t-∆t
x
∆x
dA
q
等温线，温度梯度，热流
温度变化率
最大的方向？
9-1-2 导热基本定律
1. 导热基本定律（Fourier’s law of heat conduction）
    A grad t    A
t 
n
n
t 

q    grad t   
n
n
式中 Φ— 热流量（heat flow） w
单位时间内通过某一给定截面的热量
q — 热流密度（heat flux） w/m2
单位时间内通过单位面积的热量
 — 导热系数 （thermal conductivity）
t 
n
n
— 温度梯度（temperature gradient）
  A
2. 关于Fourier定律的几点说明
（1）物理意义
导热现象中，热流量其大小正比于温度梯度
和截面面积，其方向与温度梯度方向相反。
（2）Fourier定律又称为导热热流速率方程。
t 
n
n
t 

q
n
n
向量形式
（3）适用范围：
各向同性物体的稳态导热和非稳态导热。
不适用于：
 各向异性材料：Q的方向与温度梯度的方向和
λ的方向性有关。
 极低温（接近于0K）的导热问题。
 极短时间产生大热流密度的瞬态导热问题。
（4）直角坐标系中热流密度的表示
温度梯度 ：
热流密度：
t 
t 
t 
grad t 
i 
j
k
 x
 y
 z
t 

q    grad t   
n
n
t 
t 
t 

i 
j
k
x
 y
z



q xi q y j q z k
 大小：
q
t
n
 方向：温度降落的方向
 单位： w/m2
qx   
q y  
qz  
t
 x
t
y
t
z
举例
t
一维稳态导热的傅里叶定律：
qx 

A
q y  0,
 
dt
dx

t
w1
t

w2
W /m
2
t w1 t (x)
t w2
qz  0
0
Φ
δ
x
大平壁的稳态导热
9-1-3 导热系数（thermal conductivity ）
1. 定义：
q

W /mK
grad t
数值上等于温度梯度的绝对值为1K/m时的热流密度。
2. 影响因素：
（1）物体的种类
（2）物体的结构和物理状态（密度，成分，湿度等）
（3）物体的温度
实验指出，对大多数材料, 与 t 呈线形关系；
 =  0 （1+ b t ) （附表15, P392）
3. 不同物体的导热系数
气体 ~ 绝热材料 < 液体 << 金属
（1）气体
 最小，数值：0.006—0.6 W/(m.K)
 机理：气体分子不规则的热运动和相互碰撞而
产生的热量传递。
 影响因素
温度：随温度升高而增大。
、
气体分子量；分子量越小，导热
系数越大。
气体中氢，氦的
导热系数高。
（2）固体
导电性能好的金属，导热性能也好
机理：分子运动表现为晶格的振动。
 金属的导热主要依靠自由电子迁移完成
 非金属导热主要依靠分子或晶格振动完成
金属
 值：常温 2.2--420 W/m.K
 纯金属：导热系数很大
常温：银>紫铜>黄金>铝>铂>铁等
 影响：纯金属的温度 t , 
掺入杂质（合金）  （黄铜）
非金属
耐火材料，建筑材料
 值：0.025—3.0 W/m.K
 影响：温度，材料气孔率，密度，湿度
绝热材料：平均温度在350℃以下时导热系数小于
0.12 W/m.K的材料。（GB4272-92）
例如；玻璃纤维，矿渣棉，聚乙烯泡沫塑料。
各向异性材料 — 导热系数的数值与方向有关。
例如：木材，石墨，晶体等
（3）液体
 值：0.07—0.7 W/m.K
 机理：类似于气体，非金属固体
 影响因素：温度：大多数液体 t ， 
（水，甘油除外）
9-1-4 导热微分方程
是描述物体内温度分布的微分关系式。它是根据傅里叶
定律和能量守恒定律建立的。
1. 直角坐标系下的导热微分方程
假设：物体各向同性连续介质, λ,ρ,с为常数，
物体有内热源（吸热放热的化学反应，
电阻通电发热等）。
λρс
内热源强度фv ：
单位时间，单位体积的
内热源生成热。
фV
y
z
x
选取微元六面体，应用能量守恒方程
导入微元体
的总热流量
微元体内热
源生成热
+
-
导出微元体
的总热流量
=
微元体储存
能的变化
d  in  d  V  d  out  dU
dU
dфy+dy
dz
λρс
dx
фV
dфx
dy dфv
y
z
x
dфz+dz
dфy
dфz
dфx+dx
d  in  d  V  d  out  dU
导入微元体的总热流量 dфin
 X方向：
 y方向：
 z方向：



x
y
z
 
 
 
t
dфy+dy
dydz
x
dz
t
dxdz
y
dфx
t
x  dx
 y方向：  y  dy
 

 
z方向： 
z  dz
dфx+dx
dфz+dz
dxdy
z
 
dy dфv
dU
dфy
导出微元体的总热流量 dфout
 X方向：
dфz
dx

x

y

z
(t 
(t 
(t 
y
z
t
x
t
y
t
z
dx ) dydz
dy ) dxdz
dz ) dxdy
x
d  in  d  V  d  out  dU
单位时间内热源生成热 dфv
dфy+dy
d  V   V dxdydz
dz
单位时间热力学能的增加 dU
dU   c
t

dфz
dx
dфx
dy dфv
dфx+dx
dU
dxdydz
dфz+dz
dфy
y
因此：
z
d in
d V
d out
 x   y   z   V dxdydz  (  x  dx   y  dy   z  dz )   c
x
dU
t

dxdydz
c
t

[

x
t
(
x

)
y
(
t
y
)

z
(
t
z
)]   V
—— 导热微分方程
导温系数 a 
当λ=常数时
t



 t
2
(
c x
2
 t
2

y
2
 t
2

z
2
)

c
V
c
—— 直角坐标系下非稳态，有内热源，常物性的
导热微分方程。
说明
导热微分方程揭示了导热过程中物体的
温度随空间和时间变化的函数关系。
导温系数（热扩散率）
 a的定义： a


c
 a的大小取决于λ和ρc的综合影响。
导热系数
容积比热
 表示了物体传播温度变化的能力。
 对稳态导热：不出现a。
 非稳态导热：a的高低，表示温度传播的快慢。
 数值范围：油1×10 -7 ＿ 银2×104 m2/s。
几种简化形式的导热微分方程
 导热系数λ=常数
t
 a(
t
 稳态导热

 0
 稳态导热，无内热源
x
 a(
 t
x
 t
2
2
x

2
 t
x
2
a(
2
y
2
 t
 t
2


2
y
y
2

2
y
2

2

z
 t
z
2
2
 t
z
2
2
)
2

z
)
V
c
2
 t
2

2
 t
2
 t
2

t
 t
2

 无内热源фV=0
 t
 0
2
)
V
c
 0
z
2. 圆柱坐标系下的导热微分方程
r
圆柱坐标系中
x  r cos  ,
(r , , z )
y  r sin  ,
z
z  z
导热微分方程
c
t


1 
r r
( r
x
t
r
)
1
r
2


(
t

)

z
无内热源，稳态，一维导热微分方程
d
dr
(r
dt
dr
)0
(
t
z
φ
)  V
y
3. 球坐标系下的导热微分方程
z
球坐标系中
(r , , )
x  r sin  cos  ,
θr
y  r sin  sin  ,
z  r cos 
y
φ r
x
导热微分方程
c
t


1 
r r
2
( r
2
t
r
)

1
r sin   
2
2
(
t

)
1
r sin   
无内热源，稳态，一维导热微分方程
d
dr
(r
2
dt
dr
)0

2
(  sin 
t

)  V
9-1-5 导热问题的单值性条件
t



 t
2
(
c x
2
 t
2

y
单值性条件
使导热微分方程获得特解即唯一解的条件。
导热微
分方程
+
单值性
条件
单值性条件包括四个方面：
 几何条件
 物理条件
 时间条件
 边界条件
=
确定的
温度场
2
 t
V
z
c
2

)
2
1. 几何条件：
参与导热过程的物体的几何形状及尺寸大小。
2. 物理条件：
导热物体的物理性质（ρсλ）,有无内热源。
3. 时间条件：
导热过程进行的时间上的特点。
 稳态导热：无初始条件
 非稳态导热： t   0  f ( x , y , z )
4. 边界条件：
说明了导热物体边界上的热状态以及与周围环境
之间的相互作用。
第一类边界条件
给出物体边界上的温度分布及随时间的变化规律。
t
w
 f ( x , y , z , )
恒壁温边界条件（Constant temp B.C）
t
w
tw (τ)
 const
0
t
举例
x  0 , t x  0  0 C
x   , t x    100  C
t w1
t (x)
t w2
0
Φ
δ
x
大平壁的稳态导热
t (x,τ)
x
第二类边界条件
给出物体边界上的热流密度分布
及其随时间的变化规律。
q
w
t (x,τ)
qw(τ)
 f ( x , y , z , )
0
或：
q
  (
w
t
n
)w
恒热流边界条件（Constant heat rate B.C）
q
w
 const
绝热边界条件（Adiabatic B.C）
q
w
0
绝热边界条件
x
第三类边界条件
给出与物体表面进行对流换热的流体温度 t f 及
表面传热系数 h。
 (
t
n
)
w
 h ( t w t f )
tf h
0
举例
x  0 , h1 ( t f 1  t w 1 )   
x ,
t (x,τ)
tw (τ)
 ( x , )
x
t ( x , )
x
t
x0
 h2 (t w 2  t f 2 )
x
t
f1
t
λ
w1
h2
h1
t
Φ
x 
0
δ
w2
t
x
f2
第三类边界条件在一定情况下会自动转化为
第一类或第二类边界条件。
 h非常大： 第三类 — 第一类边界条件
 h非常小： 第三类 — 第二类边界条件
t (x,τ)
tw (τ)
tf h
0
x
总结
导热数
学模型
 导热微分方程
 单值性条件
物体
温度场
• 分析解法
• 数值解法
• 实验方法
热流密度
 Fourier定律
思考题
1. 描述傅里叶定律的一般表达式，并说明式中各量
和符号的物理意义。
2. 白天晒被子，晚上盖时会觉得很暖和，为什么？
例题
1. 如图，由某种材料组成的大平壁，厚度为0.5m，具有
强度等于 103 w/m3 的内热源。在某一瞬时的温度场为
t=450-320x-160x2。
已知λ=24.38W/m.k , c=116J/kg.K ,ρ=18070kg/m3。
求（1）x=0m 和 x=0.5m 两处的热流密度； t
（2）该平壁热力学能的变化速率；
λсρ
（3）x=0m和x=0.5m两处温度
t w1 t=450-320x-160x2
随时间的变化速率。
0
ΦV
t w2
δ
0.5 x
9-2 稳态导热
h  ( 8 ~ 10 )
9-2-1 平壁的一维稳态导热
1. 第一类边界条件下单层平壁的导热
假设；大平壁λ=常数，表面积A，
厚度δ，无内热源，平壁两侧
温度 tw1, tw2，且tw1> tw2
确定:（1）平壁内的温度分布
（2）通过此平壁的热流密度
t
A
λ
tw1
tw2
ф
0
x dx
δ x
导热数学模型（导热微分方程+边界条件）
2
d t
dx
B.C
2
t
 0
x0
t  t w1
x
t  tw2
A
λ
tw1
tw2
ф
求解微分方程，得通解：
0
t  C1 x  C 2
由边界条件，求 C1，C2：
C 2  t w1 , C 1  
t w1  t w 2

x dx
δ x
平壁内的温度分布
t  t w1 
t w1  t w 2

t
x
A
λ
tw1
温度梯度
dt
 
t w1  t w 2
tw2
ф

dx
通过平壁的热流密度
q  
dt

dx
0
Q  A
dx
δ x
t w1  t w 2

通过平壁的总热流量：
dt
x dx
 A
大小和方向
t w1  t w 2

t  t w1 
结论
t w1  t w 2

q
x
t w1  t w 2

 当λ=常数时，平壁内温度分布呈线性分布，
且与λ无关。
t
 通过平壁内任何一个等温面的
热流密度均相等，与坐标x无关。
A
λ
tw1
 导热热阻（Conductive resistance）
q 
t w1  t w 2

 总热阻： R  


A
tw2
ф
t w1  t w 2

0

x dx
δ x
Φ
K /W
tw1
Rλ
t w2
2. 第一类边界条件下多层平壁的导热
按照热阻串联相加原则
t
（1）热流密度
q 
tw1
t

 R
t w1  t w 4
1
1

2
2

3
3

i 1
i
i
tw3
A
tw4
ф
0 δ1
δ2 δ3
x
Φ
t
n
λ2 λλ3
tw2
（2）n层平壁热流密度
q 
λ1
tw1
R λ1
tw2
R λ2 t w3 R λ3
tw4
3. 第三类边界条件下多层平壁的导热
（1）热流密度
q 
t
 Rt

t
tf1  tf 2
1
h1
n


i 1
i
i
λ1 λ2 λλ3
1

tw1
h2
tw2
t f1
如何求解两侧壁面温度
及夹层中间温度？
tw3
h1 A
tw4
ф
0 δ1
δ2 δ3
t f2 h2
x
Φ
t f1
R h1
tw1
R λ1
tw2
t
R λ2t w3 R λ3 w4 R h2
t f2
4. 复合平壁的导热
t
t1
λA
λC
λB1
λB2
t2
A
ф
ф
0
δA
δB
δC
x
Φ
t1
R
R
λB1
R
λA
R
λB2
t2
λC
9-2-2 圆筒壁的一维稳态导热
l
d
1. 单层圆筒壁的导热
 10
假设；空心圆筒壁 l，内外径 r1, r2, 且 l >> d2，
λ=常数，无内热源，内外表面
t
温度 tw1, tw2，且tw1> tw2
确定：（1）圆筒壁的温度分布
（2）通过径向的热流量
λ
tw1
tw2
选取坐标系为圆柱坐标
ф
t  f (r )
r1
r
r2
dr
r
导热数学模型（导热微分方程+边界条件）
d
(r
dr
B.C
dt
t
) 0
dr
r  r1
t  t w1
r  r2
t  tw2
λ
tw1
tw2
求解微分方程，得通解：
ф
t  C 1 ln r  C 2
r1
由边界条件，求 C1，C2：
C1  
t w1  t w 2
ln(
r2
r1
)
,
C 2  t w1  ( t w1  t w 2 )
r
r
dr
r2
ln r1
ln(
r2
r1
)
圆筒内的温度分布
t
ln(
r
)
r1
t  t w1  ( t w1  t w 2 )
ln(
r2
λ
)
tw1
r1
tw2
温度梯度
dt
 
dr
ф
t w1  t w 2 1
ln(
r2
)
r1
r2
r
r1
圆筒壁沿 r 方向的热流密度
q  
dt
dr
 
r
t w1  t w 2 1
ln(
r2
r1
)
r
dr
r
q
通过整个圆筒壁的总热流量
ln(
r2
)
r1
dt
  Aq    A
t w1  t w 2 1
t
dr
t w1  t w 2 1
 ( 2  rl )  
ln(
r2
r
)
λ
r1

t w1  t w 2
1
2  l
ln(
r2
t w1  t w 2

)
1
2  l
r1
ln(
d2
tw2
ф
)
d1
r1
R 
2  l
ln(
d2
d1
)
r
r
dr
r2
整个圆筒壁的导热热阻
1
tw1
ф
K /W
tw1
R 
1
2  l
ln(
d2
d1
)
t w2
r
单位长度圆筒壁的热流量
l 

фL
t w1  t w 2

1
l
2 
ln(
d2
tw1
)
1
R .L 
2 
d1
2. 第一类边界条件下，多层圆筒壁的导热
ln(
d2
)
t w2
d1
t
通过多层圆筒壁的总热流量
 
t w1  t w 2
n

i 1
1
2  i l
ln(
tw1
d i 1
tw2
tw3
)
ф
r1
t w1  t w 2
n

i 1
1
2  i
tw4
di
单位长度的热流量
l 
λ1 λ2 λ3
ln(
ΦL
d i 1
di
)
tw1
R λl，1
tw2
R λl,2
r2 r
3
r
r4
tw4
t w3 R
λl,3
3. 第三类边界条件下，多层圆筒壁的导热
通过多层圆筒壁的总热流量
 
t
tf1  tf 2
1
2  r1lh 1
n


i 1
1
2  i l
ln(
d i 1
)
di
1
2  rn  1lh 2
tw1
单位长度的热流量
tw2
t f 1 h1
l 
λ1 λ2 λ3
tw3
tw4
t f1  t f 2
1
2  r1 h1
n


i 1
1
2  i
ln(
d i 1
di
t f2 h2
ф
)
0
1
r
2  rn  1 h 2
ΦL
t f1
R h1
tw1
R λl,1
tw2 R
tw4
t w3 R
R h2
λl,2
λl,3
t f2
结论
对比平壁
关于圆筒壁导热的几点结论
t
（1）一维圆筒壁导热，壁内的温度分布
成对数分布（沿径向）。
λ
tw1
（2）圆筒壁的温度梯度沿径向变化。
tw2
ф
（3）对稳态导热，通过圆筒壁径向热流密度
不是常数，随r的增加，热流密度逐渐减小，
但通过整个圆筒壁的总热流量不变。
r1
r
dr
r2
（4）对无内热源的一维圆筒壁导热，单位长度圆筒壁
的热流量是相等的。圆筒壁按单位长度管长而不是
单位面积来计算热流密度。
r
9-2-3 变导热系数
对大多数材料，可近似认为随 t 线性变化。
   0 (1  bt )
温度分布与
b的关系？
一维稳态导热微分方程
d
(
dx
即是：
d
dx
dt
t
2
b>0
tw1
)0
dx
[  0 (1  bt )
dt
b<0
]0
bt  
2
0

tw2
dx
0
温度分布的表达式：
1
t
( t w 1  t w 2 )[ 1 
温度分布为二次曲线
1
2
b ( t w1  t w 2 )] x  t w1 
δ
1
2
2
bt w 1
x
   0 (1  bt )
根据Fourier定律的表达式：
q  
dt
dx
   0 (1  bt )
dt
dx
热流密度
q
或：
既：
q 
0
( t w 1  t w 2 )[ 1 

t w1  t w 2
q  m

b
2
( t w 1  t w 2 )]
  0 (1  bt m )
t w1  t w 2

平均导热系数：  m   0 (1  bt m )
算术平均温度：
tm 
1
2
( t w1  t w 2 )
思考题
1. 图示三层平壁中，若λ为定值，过程为稳态，试分析
三条温度分布曲线所对应的导热系数的相对大小。
t
tw1
λ1 λ2 λλ3
tw2
tw3
A
0 δ1
tw4
ф
δ2 δ3
x
思考题
2. 厚度为δ的单层平壁，两侧温度维持为 t1 和 t2，平板
材料导热系数    0 (1  bt ) （其中a，b为常数），
试就 b>0， b=0， b<0 画出平板中的温度分布曲线，
并写出平板某处热流的表达式。假设无内热源。
t
tw1
b>0
b<0
0
tw2
δ
x
例题
2. 一烘箱的炉门由两种保温材料A和B 组成，且δA=2δB。
已知λA=0.1W/(m.K)，λB=0.06W/(m.K)，烘箱内空气
温度tf1=400℃,内壁面的总传热系数h1=50W/（m2.K）。
为安全起见，希望烘箱炉门的外表面温度不得高于50℃。
设可把炉门导热作为一维问题处理。试决定所需保温材
料的厚度。环境温度 tf2=20℃ ，外表面总换热系数
h2=0.5W/（m2.K）
例题
3. 一蒸汽管道，内外径各为150mm和159mm。为了减少
热损失，在管外包有三层保温材料，内层为石棉白云石
λ2=0.11W /（m.K），δ2=5mm，中间石棉白云石瓦状
预制块λ3=0.1W/（m.K），δ3=80mm，外壳石棉硅藻
土灰泥λ4=0.14W/（m.K），δ4=5mm。钢管壁
λ1=52W/（m.K）， 管内表面和保温层外表面的温度分
别为170℃和30℃，试求该蒸汽管道每米管长的散热量。
9-2-4 通过肋片的导热
 
t
 Rt

t f1  t f 2
1
h1 A


A
1

A
λ
h2 A
如何增强传热？
t f1 h1
t f2 h2
Φ
增大传热温差
δ
减小传热热阻
 扩展传热面
 改变表面状况
 改变流体的流动状况
减少哪一侧热阻
效果最显著？
肋片 (Fins) 或扩展面 (Extended surface) 的形式
通过肋片传热的特点
 沿肋片伸展方向有导热
 与肋片伸展方向垂直的方向存在肋表面与周围流体
（环境）的对流或对流加辐射散热。
1. 等截面直肋片的稳态导热
假设；长肋片, 肋高H，厚度δ，宽度l，设H>>δ,
面积A，周长U。温度分布 t=f (x)，一维导热，
λ=常数，表面传热系数h=常数，
Φ
忽略肋片端面的散热量。
（端面绝热）
c
确定（1）肋片的温度分布
t0
Фx
Фx+dx
x
dx
（2）通过肋片的散热热流量
H
x
分析通过肋片的传热过程
t∞ h
λ
δ
l
导热数学模型（导热微分方程+边界条件）

2
d t
dx
B.C
2



 0
x  0
t  t0
x  H
dt
 0
dx
 引入过余温度：θ= t - t∞
Φc
t∞ h
λ
t0
Фx
Фx+dx
x
dx
H
x
 相应温度分布：θ= f (x)
• 肋片根部 x=0，过余温度 θ= θ0 = t 0 - t∞
• 肋片端部 x=H，过余温度 θ= θH = tH - t∞
δ
l


2
肋片单位体积的散热量 
d t
dx
• 微元体散热热流量
 c  (U  dx )  h  ( t  t  )
2
t0

• 肋片单位体积的散热量 
c

Uh  dx
Adx

dx
2

hU
A

A
m 
dx
x
• 将θ和 代入微分方程
2
Фx+dx
H
hU 
Adx
Фx
x

d 
0

t∞ h
λ
• 微元体的体积 Adx
 

Φc
 Uh  dx


hU
A
δ
l
过余温度表示的导热微分方程+边界条件
d 
2
dx
B.C
2
x 0
x  H
Φc
m 
2
λ
  0
d
t0
0
Фx
Фx+dx
x
dx
dx
求出通解：
t∞ h
H
  C 1e
d
dx
求出积分常数：
mx
 C 2e
 C 1 me
mx
x
 mx
 C 2 me
C1   0
C2  0
e
e
mH
 mH
e
e
e
mH
 mx
 mH
mH
e
 mH
δ
l
肋片过余温度的分布函数
  0
e
m(H x)
e
mH
e
m(H x)
e
 mH
 0
ch [ m ( H  x )]
ch ( mH )
Φc
说明
θ0
 肋片的过余温度从肋根开始
沿高度方向按双曲余弦函数
的规律变化。
 肋端的过余温度
H  0
1
ch ( mH )
Фx
x
Фx+dx
dx
H
t
θ0
t∞
θx
矩形肋过余温度分布
θH
x
 实际肋端的边界条件可有四种不同的情况：
• Convection from tip
θ0
h H  
d
dx
θ0
xH
• Tip temperature =θH
θ0
  H
• Negligible heat loss from tip
d
dx
0
xH
• Tip temperature =
Fluid temperature
θ0
 0
通过肋片的散热热流量
  A
d
dx

h  UA  0 th ( mH )
x0
2. 肋片效率
（1）肋片效率：肋片的实际散热量ф与假设整个肋片
都具有肋基温度时的理想散热量ф0之比。
对等截面直肋：  t 
h  UA  0 th ( mH )
hUH  0

th ( mH )
mH
（2）影响肋片效率的因素（图9-20，9-21，P207）
例题
4. 不锈钢实心圆杆的直径为10mm，长0.2m。从 t0=120℃
的基面上伸出，周围的空气保持 t∞=20℃，杆表面与空气
间的表面传热系数 h=25W /(m2.K)。求杆的远端温度和杆
的散热量。并考虑这根杆能否近似当作“无限长”的杆对待。
如果杆的材料换成铜材，上述情况会发生什么变化？
9-2-5 接触热阻（Thermal contact resistance）
ф
接触热阻 Rc
Rc 
t A  tB
总温差相同时：
t w1  t w 2
1
1
 Rc 
2
2
A

t

t w1  t w 2
1
1

Δt c
B
tA
Rc
tB
2
2
0
主要影响因素：粗糙度，硬度，压力。
减小接触热阻的方法：
施压，加铜箔（银箔），涂导热油等。
x
t
9-3 非稳态导热

9-3-1 基本概念
1. 非稳态导热的类型
 周期性导热（Periodic unsteady conduction）
 瞬态导热（Transient conduction）
2. 瞬态非稳态导热的基本特点
 右侧面参与换热和不参与
换热两个不同阶段；
 每一个与热流方向相垂直的
截面上热流量处处不相等。
t
tf
t0
H
A
B
C
瞬态导热
G
F
E
D
x
 0
9-3-2 一维非稳态导热问题的分析解
t



 t
2
(
c x
 t
2

2
y
2
 t
2

z
2
)
V
c
t
λ ΦV
t
λ
tw1
ΦV
λ
tw1
tw1
x
t  f ( x , )
ΦV
tw1
r1 r
2
t  f ( r , )
tw2
r
tw2
δ
0
t
r
t  f ( r , )
1. 无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介
问题：无限大平壁，2δ，λ，a，фV=0，初始温度t0，
突置流体中 t∞，且 t∞ < t0, h。
确定：温度分布 t  f ( x ,  )
分析 x  0 的半个平壁
导热微分方程：
t

 t
2
a
I .C
 0
B.C
x  0
x 
x
(0  x   ,   0)
2
t  t0
t
x

t
τ1
(0  X   )
τ2
τ3
 0
t
x
t0
τ=0
t∞
 h (t  t  )
t∞
-δ
0
δ
 引入过余温度：θ= t - t∞
过余温度表示的导热微分方程：


I .C
B.C
 
t
2
 a
x
 0
  0

x  0
x 
(0  x   ,   0)
2
x

x
τ1
τ2
(0  X   )
τ3
 0

t0
τ=0
t∞
t∞
-δ
 h
δ
0
用分离变量法求解，直接给出求解结果：
 ( x , )
0



n 1
2 sin  n
 n  sin  n cos  n
  n Fo
2
e
cos(  n
x

)
说明
解是无穷级数的和
 特征值  n
是超越方程
tan  n 
Bi
n
的根。
 无量纲温度分布：
 ( x , )
0

t  t
t0  t
 f ( Bi , Fo ,
 原导热微分方程的温度分布：
t  f (a,  ,  ,  , h, x)
x

)
简化未知数个数
 ( x , )
2. 对分析解的讨论
0

t  t
t0  t
 f ( Bi , Fo ,
傅里叶数 Fo对温度分布的影响
（1）定义：
a
Fo 

（2）物理意义： Fo

非稳态导热的
无量纲时间
2
a

2



2
a
 分子：非稳态导热过程从 0 ~τ的时间
 分母：温度变化波及到δ2面积的时间
（3）傅立叶数对温度分布的影响：

 Fo增加时，
逐渐减小，t 越接近于 t∞。
0
 Fo≥0.2 时，取级数的第一项作解。
x

)
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
（1）定义：
Bi 
h

（2）物理意义： Bi 
h




1
h
 分子：物体内部的导热热阻  
 分母：物体外部的对流换热热阻 1 h
（3）Bi对温度分布的影响：
 Bi的数值范围：０～∞
Bi  
Bi  0
τ=0
τ1
τ=0
t0
τ2
τ3
t∞
t∞
-δ
0
Bi  0 (1)
t
t
δ
x
内部导热热阻
趋于零；
t  f ( )
集总热容系统。
Bi 
τ=0
t0
τ1
τ2
τ3
τ2
t0
τ3
t∞
t∞
0
δ
t∞
x
外部对流换热
热阻趋于零；
tw  t
第一类边界条件．
t∞
-δ
0

1
h
t
τ1
-δ

δ
x
内部导热热阻和
外部对流换热热
阻相当；
t  f ( x , )
3. 诺模图（Nomo-chart）
当Fo≥0.2时，可利用式（9-63），（9-66），（9-67）
计算物体的过余温度分布。
将式（9-66）,（9-67）绘制成线算图——诺模图。
诺模图的使用方法：
（1）首先计算Bi 和Fo的数值。
（2）由线算图
m
0
（3）再由线算图
 f ( Fo , Bi ) ，确定

m
 f ( Bi ,
x

m
0
) ，确定

m
，再计算  m 。
，计算   t  t  。
（4）从而确定温度分布和交换的热量。
9-3-3 特殊多维非稳态导热的简易求解方法
一维非稳态导热温度分布：
 ( x , )
0

t  t
t0  t
 f ( Bi , Fo ,
x

)
多维非稳态导热温度分布：
 数值计算方法；
 特殊几何形状物体简易求解。
无限长方柱：
 ( x , y , )
0

 ( x , )  ( y , )
0

0
短圆柱：
 ( x , r , )
0

 ( x , )  ( r , )
0

0
垂直六面体：
 ( x , y , z , )
0

 ( x , )  ( y , )  ( z , )
0

0

0
9-3-4 集总参数法的简化分析
毕渥数 Bi
（1）定义：
Bi 
h

（2）物理意义： Bi 
h




集总热容系统
1
t
h
τ=0
τ1
 分子：物体内部的导热热阻  
 分母：物体外部的对流换热热阻
（3）Bi的数值范围：０～∞
t0
τ2
1
h
τ3
t∞
t∞
-δ
0
Bi  0
δ
x
集总参数法（Lumped parameter analysis method）：
Bi≤0.1时，物体内部的导热热阻远小于外部对流换热
热阻，忽略物体内部导热热阻的简化分析方法。
物体内部温度分布： t  f ( )
分析： Bi≤0.1
Bi 
h

 导热系数λ相当大
 几何尺寸δ相当小
 表面传热系数h很小
分析问题
任意形状物体，体积V，表面积A，物性参数ρ，λ，c
为常数。初始温度t0，突然放置于温度t∞（恒温）的流体
中，表面传热系数h为常数。
A
求 解
t∞ h
ρ，λ，c
t
0
（1）物体冷却过程中温度随时间的变化规律；
（2）物体放出的热量。
1. 物体在冷却过程中温度随时间的变化规律
根据能量守恒：
  cV
dt
d
A
 h A (t  t  )
t∞ h
引入过余温度：   t  t 
  cV
I .C
d
d
 0
 h A
   0  t0  t
求得温度分布：

0
 e

hA
 cV

 e
 Bi V Fo V
ρ，λ，c
t0

说明
0
（1）采用集总参数法，过余温度分布随 时间呈
指数规律衰减。
（2）关于特征长度的选取：
 一般形状物体：
l V
A
 厚度为2δ的无限大平壁： l  
 半径为R 的圆柱：
lR
 半径为R的圆球：
lR
 边长为b的立方体：
lb
2
3
6
 e

hA
 cV

 e
 Bi V Fo V
（3）判断是否采用集总参数法的依据：

0
 e

hA
 cV

 e
 Bi V Fo V
Bi V  0 . 1M
其中；无限大平壁 M=1，无限长圆柱 M=1/2，球 M=1/3。
2. 时间常数τc
当
 c 
说明
 cV
hA
时，   36 . 8 %  0
（1）时间常数反映了导热物体对外界温度瞬间
变化响应的快慢程度。
（2）热电偶的时间常数说明热电偶对流体温度
变化响应快慢的程度。
3. 瞬时热流量及总换热量
（1）瞬时热流量Qτ
Q  hA ( t  t  )  hA   hA  0 e
 Bi V Fo V
（2）总热流量Q
Q 


0
Q d  


0
hA  0 e
Q   cV  0 (1  e
Q   cV  0 (1  e

hA
 cv

hA
 cV
d
Qτ

 Bi V Fo V

)
hAθ0
Q   hA  0 e

hA
 cV
)
0
τ
τ

例题
5. 有一直径为5cm的钢球，初始温度为450℃，被突然
置于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围流体间
的总换热系数为24W/（m2.K），试确定钢球冷却到
300℃所需的时间。（已知钢球的ρ=7753kg/m3,
cp=0.48kJ/（kg.K），λ=33W/（m.K））