Transcript 低气压射频等离子体的混合模拟方法

第二届低温等离子体数值模拟暑期培训班
低气压射频等离子体的混合
模拟方法
张钰如
大连理工大学 物理与光电工程学院
Plasma Simulation and Experiment Group (PSEG)
http://pseg.dlut.edu.cn
题
 仿真的必要性
 商业软件的介绍
 混合模型的建立
 混合模拟的数值方法
 混合模拟算例
纲
一、仿真的必要性
非平衡等离子体的特性
1、等离子体化学反应的复杂性
在等离子体刻蚀工艺中，用于放电的工作气体一般是具有化学活
性的反应性气体或混合气体。刻蚀不同的材料，所采用的工作气
体是不同的。
复杂的反应过程 —— 电子与分子碰撞
2、等离子体工艺腔室的多尺度变化及多场耦合现象
 等离子体腔室中发生的过程极为复杂：多空间尺度、多时
间尺度变化；多物理、化学过程耦合。
多空间尺度
反应腔室
（m）
鞘层区
（mm-mm）
多时间尺度
多场耦合
刻蚀的特征时间
等离子体流场
（s）
中性基团输运的
特征时间（ms）
RF电源的周期
（m s）
表面原子运动
（原子尺度）
温度场
电磁场
刻蚀微槽
（nm）
中性气体流场
电子运动特征时
间（ns）
原子碰撞的特征
时间（ ps）
化学反应
表面过程
 工艺腔室中的等离子体状态受外界多参数控制：
1）腔室结构及材料
 腔室的纵向尺寸
 腔室的横向尺寸
 腔室的材料（上下电极、器壁、静电卡盘、芯片、玻璃）
 腔室的形状：圆柱状、方形
2）电源参数
 电源的个数及施加方式
 电源的频率及模式（连续波或脉冲）
 电源的功率
3）工艺气体的参数
 气体的种类及组分
 气压及流量
 进气及泵气方式
3、等离子体工艺腔室仿真的重要性
对于这样一个多空间尺度变化、多时间尺度变化、多物理化学过程耦合、
多外界参数控制的复杂系统，只有采用理论分析、计算机仿真模拟及实验
诊断手段相结合的方法，才能对等离子体工艺腔室内部的物理、化学过程
进行详细的了解，特别是计算机仿真模拟是不可替代的研究手段。
开展等离子体工艺腔室仿真的作用：
1）优化工艺腔室物理设计的参数；
2）优化工艺参数及预测工艺结果。
尽管这种模拟给出的结果在定量上不是太可靠，但它可以给出一种变化的
趋势，揭示产生问题的内在原因。这样可以缩短一个产品研发所用的周期。
模拟仿真的必要性 ——
半导体加工设备与工艺设计的理论与计算工具
过去…试错法
•基于经验的设计
•对实际工艺过程中基本物理
与化学过程缺乏全面的了解
优化反应腔室物理设计的参数；
优化工艺参数及预测工艺结果。
现在…不断出现的新
的技术挑战
•新材料的应用
•更窄的线宽
•新工艺
•试错法过于昂贵而且耗时
•对物理和化学过程更好的了解
•与实验研究互相促进和补充
仿真模拟：虚拟实验
•极大的减少研究成本和时间
仿真模拟虽然定量上不太可靠，但可以给出变化趋势，揭示问题的内在原因
因此能取代50%以上的工艺实验研究，从而极大的降低新设备的开发成本和时间
二、商业软件介绍
1.Vsim
VSim（早期版本称为VORPAL）是基于PIC算法的电磁粒子仿真软件，是
等离子体、微波与真空电子器件、脉冲功率与高电压、加速器、放电
等离子体等领域的尖端仿真工具。应用包括：

激光等离子体与快点火

微波源与真空电子器件

脉冲功率与高电压

加速器

放电等离子体

航天电推进与空间等离子体

复杂介质电磁场
2. USim
USim是包含化学反应的等离子体流体仿真软件。可以仿真
高能量密度等离子体、高超声速磁流体（再入、黑障）、天
体物理、热等离子体与电气工程等领域的高端科研模型。应
用包括：

高能量密度物理：Laser ICF，Z-Pinch，FRC，稠密等离子
体焦点

高超声速流体：再入、黑障、导流、减阻

热/放电等离子体：助燃、风洞、喷涂

天体物理：磁重联、吸积盘
3. PEGASUS
PEGASUS软件专注于稀薄气体的直接蒙特卡洛模拟和低温等离子体
放电模拟，是真空技术、等离子体技术、薄膜技术、微电子技术、
微细加工技术的专业数值模拟软件，应用于稀薄气体动力学、微电
子中刻蚀沉积与溅射、材料表面改性等领域的研究：

真空设备与稀薄气体：稀薄气体动理学和粘性流模拟、真空蒸镀设
备中的气体流动和薄膜厚度演化、

稀薄气体中的纳米粒子、微尺度下的原子与分子行为

等离子体设备与工艺：等离子体沉积/刻蚀设备中的气体/带电粒子/
自由基的分布及剖面演化

低温等离子体放电：DBD/空心阴极放电/表面放电/CCP/ICP,等离子
体表面改性,微放电
4.NAUTILUS
NAUTILUS软件是专业的电磁流体仿真软件包，
求解含化学反应的等离子体流体模型。可以
求解惯性约束聚变、磁约束聚变、高超音速
磁流体、放电等离子体、天体物理等高端科
研模型。
5.ANSYS-FLUENT
ANSYS FLUENT软件拥有模拟流动，湍流，热传递和反应等广泛物理现象
的能力，在工业上的应用包括：

流过飞机机翼的气流

炉膛内的燃烧

钻井平台

血液流动

半导体生产

无尘室设计

污水处理装置

空气声学

涡轮机械

多相流系统
6. OOPIC: 2d Plasma Simulation
 OOPIC (Object-Oriented Particle-in-Cell) is a 2D plasma simulation
code. The applicability of this code ranges from plasma discharges
such as glow discharges and RF discharges to microwave-beam devices
such as klystrons, Cerenkov devices, etc. It is also useful for studying
basic plasma physics in two dimensions.
 OOPIC includes x-y and r-z models, electrostatic and electromagnetic
fields, relativistic particles, and many more features.
 The boundaries can be determined at runtime, and include many
models of emitters, collectors, wave boundary conditions,
equipotentials, etc. The code can handle an arbitrary number of
species, particles, and boundaries, limited only by memory and speed.
http://ptsg.eecs.berkeley.edu.
7.COMSOL
http://www.comsol.com/products/multiphysics/
8.CFD-ACE+
 CFD-ACE+是最先进的CFD及多物理场软件。它采用最先进的数值计
算方法并融入多年工程咨询的经验，结合各个专业的特点，是最全面、
最丰富、最强大的多物理场耦合分析软件。它能够模拟流体、热、化
学、生物学、电学、结构现象。广泛应用于几乎所有工业领域。
 CFD-ACE+ 求解器包括下列模块：
流体动力学模块、传热/辐射模块、湍流模块、化学模块、电化学模
块、生物化学模块、自由表面（VOF）模块、喷雾/颗粒模块、气蚀
模块、两相流模块、电磁模块、等离子模块、波尔兹曼动力学模块、
结构力学和动力模块、用户子程序模块、微电子及MEMS专用仿真自
动建模工具——CFD-Micromesh
主要的大学/研究所的ICP/CCP基础研究
国别
机构
主要研究者
模拟方法
气体
解析理论
赞助商
USA
U.C.Berkeley
M. A. Lieberman
1D/2D PIC
Ar
鞘层/IEDF/
加热机制等
Lam
USA
Illinois Univ.
M. J. Kushner
2D/3D流体
粒子MC
多种气体
无
AM SRC等
Korea
POSTECH
Jae Koo Lee
1D PIC
Ar
鞘层
Lam
三星电子
Japan
Tohoku Univ.
K. Nanbu
1D/2D PIC
Ar/CF4
无
TEL?
Ireland
DCU
M. M. Turner
1D PIC
Ar
鞘层
加热机制
Lam
Intel Ireland
Belgium
Antwerp Univ.
A. Bogaerts
1D PIC
Ar/CF4/N2
无
?
三、混合模型的建立 —— 射频感性耦合等离子体源
柱状线圈
ICP源参数特点
盘香线圈
刻蚀参数
ICP源具有低压高密、
• 工作气压低( < 2Pa )
• 提高各向异性刻蚀
均匀性好、装置简单
• 等离子体密度高
(1011 cm-3~1012cm-3)
• 提高离子流密度
和性价比高等优点，
• 提高刻蚀率
在半导体制造和材料
• 产生等离子体的射
频源与基片台射频源
独立控制
• 提高刻蚀的选择性
科学领域内得到广泛
• 降低晶圆介质损伤
应用。
在感性耦合等离子体工艺腔室中，存在着多种物理化学过程：
电磁场：包括射频电源产生的电磁场、外加的静磁场、等离子
体产生的自洽电磁场；
等离子体输运：包括电子、正负离子的迁移、扩散及热输运；
化学活性基团的产生及输运（工作气体的化学反应）；
中性气体的流动与传热；
表面化学反应等。
这些物理、化学过程的变化时间尺度差别很大！
等离子体的流体力学模拟方法
流体力学描述的基本思想是：把等离子体看成是一个多组分（电子、离
子、中性粒子）的流体。对于每一个组分，可以用密度、流速及温度三
个宏观状态物理量来描述：
na (r,t)
粒子密度
ua (r,t)
粒子的流速
Ta(r,t)
粒子的温度
等离子体的宏观状态
关键问题：

理论模型方面：关键问题是建立上述物理量所满足的流体力学方程组，
及对应的边界条件。注：这些方程是相互耦合。

数值模拟方面：关键问题是数值求解的稳定性、收敛性及计算速度，
如要考虑不同的时间尺度来加速计算。
等离子体的流体力学模拟方法的局限性
低气压时：
• 电子具有非局域性
• 双极势垒的束缚
EEDF偏离
Maxwellian分布
流体力学模型失真
• Ramsauer效应
• 随机加热
电子MC模块：
流体力学模块：
• 考察等离子体动力学行为的微观细节
• 考察等离子体的宏观行为
• 计算粒子密度及电磁场的空间分布
• 统计EEDF
• 计算反应系数和动力学温度
等离子体的Fluid/MC混合模拟方法
等离子体的Fluid/MC模拟的基本思想是：
在选定碰撞截面之后，输入预先给定的电磁场分布，采用Monte-Carlo
方法，跟踪电子、离子与中性气体分子或原子的碰撞过程，计算出电子、
离子的能量分布及对应的反应系数；甚至直接计算出电子的温度分布。
将这些反应系数输入到流体力学模块，计算出等离子体的状态参数（密
度、温度）的空间分布
关键问题：

MC模拟与流体力学模拟的耦合技术；

数值的稳定性、收敛性及计算速度。
流体/电子MC混合模型流程图
纯流体模型
计算初始电场
射频电场
静电场
~10τrf
电子蒙特卡罗模块
诊断电子温度
及EEDF
场
静
场
诊断等离子体密度
电
流体力学模块
~50 τrf
频
电
射
速
率
电 系
子 数
温 和
度
~50 τrf
电子电导率
电磁理论
诊断射频电场

在相同的放电条件下，用纯流体模型计算初始电场，并将其保存为备用
文件，输入MC模型；

模拟从电子MC部分开始。选择一定数目的粒子进行跟踪，将其随机地分
布在放电空间内，并由麦克斯韦分布抽样给出粒子的初始速度。加热电
场采用相同放电条件下的纯流体模型预先计算出的结果；

电子MC部分用来描述电子在运动过程中与中性粒子之间发生碰撞的细节，
通过对粒子状态的信息进行统计获得EEDF，并对瞬时的EEDF积分计算粒
子的输运和速率系数。另外，为了提高程序的稳定性能，在流体模型中
忽略了刚性较强的电子能量守恒方程，而将电子动力学温度的计算改由
电子MC部分来完成；

流体模块采纳电子MC部分计算的反应系数和电子温度，模拟了等离子体
在放电空间的输运过程，计算了等离子体参数，如密度和通量等在空间
的特征分布，以及净余电荷密度激发的静电场和电磁场；

将电磁模块和流体模块计算的射频电场和静电场输入到电子MC模块，在
速度和坐标空间内通过牛顿定律来更新粒子的瞬时速度和位置。
流体力学模块
粒子数守恒方程
ne、n和nn分别表示电子、正负离子和中性粒子的密度
ne
   Γ e  Se
t
Se、S和Sn分别表示电子、正负离子和中性粒子的源项
n
   n u ±  S 
t
Γe表示电子通量，u±表示正负离子速度
nn
 （ Dnnn） Sn
t
Dn表示中性粒子扩散系数
以电子源项为例：Se   ka n1n2   kb n1ne
a
b
其中k代表碰撞概率。角标a表示电子产生碰撞过程，如电离、反附着等。角
标b表示电子消耗碰撞过程，如复合、附着等；密度为发生碰撞的各粒子密度。
大部分情况下，我们只考虑二体碰撞。
电子动量方程 —— 漂移扩散近似
考虑到电子的质量很小，通常忽略电子速度随时间加速项以及惯性项
ene
1
Γe  
(ne kBTe ) 
E
me en
me en
其中me、Te分别为电子质量和电子温度； en为电子弹性碰撞频率
离子动量方程
n mu 
    n mu u    p  Z  en E  M 
t
其中m、Z 分别为离子质量和带电量
假设放电产生的等离子体是理想气体，则气压为p =n kBT
M   
n
m mn
nu ± in 表示由离子与中性粒子碰撞引起的动量转移
m  mn
其中，mn是中性粒子质量； in 表示碰撞频率
电子能量守恒方程（CCP）
 3

 ne k BTe     qe  eE  Γe  We
t  2

5
5 ne kBTe
能流密度矢量：qe  kBTe Γe 
(kBTe )
2
2 me en
其中，表达式右侧第一项为电子流动所产生的对流项，
第二项为温度梯度产生的热传导项。
能量损失项：We    j k j Nne
j
 j 表示电子在碰撞反应j中的能量交换，k j 表示该反应的系数
当 j 为正时，表示电子通过碰撞过程损失能量，如电离反应等
当 j 为负时，表示电子通过此次碰撞过程获得能量，如退激发反应等
电子能量守恒方程（ICP）
 3

 ne k BTe     qe  eE  Γe  We  Ptot
t  2

Ptot 表示在ICP放电中，通过线圈耦合的功率
H模式：Ptot =
1
T

T
0
J E dt
1 T
( J E  J r Er  J z Ez )dt

0
T
其中，E 、Er、Ez 表示由线圈激发的感性电场
E/H模式共存：Ptot =
离子温度 Ti  Tn  室温
由于离子和中性粒子碰撞频繁，因此离子的温度可认为和中性粒子的温度相
同，即无需求解离子能量方程
静电场模块
静电场是产生原因：
等离子体迁移扩散
基片台上的射频偏压
射频线圈两端的电位差（容性耦合部分）
静电场满足泊松方程
E  
2  e( n  ne ) /  0
Vdc 是自偏压，由等效回路方法确定
  Vdc  VRF sin(2t )
介质窗下   V0 (r )sin(1t )
侧壁接地   0
边界条件 电极上
线圈的电压降
电磁场模块
采用FDTD方法求解麦克斯韦方程组
E  
B
t
  B  m 0 J   0 r m 0
E
t
J e 2 ne

E  en J
t
me
 III Br E


t
z

1  (rE )
 Bz



t
r r

1 Br Bz
 E

(

)
 t
m0 0 z r

 II
Br E


t
z

Bz
1  (rE )




t
r r

Br Bz
1
 E

(

)
 t
m0 0 r z r

Br E
I


t
z

Bz
1  (rE )



t
r r
 E
1 Br Bz
1
(

)  j
  
m0 0 z r
0
 t

2

j
n
e


 e E  en j
t
me

电子MC模块
根据牛顿方程更新粒子轨迹：
采用伪碰撞技术判断：
电子在三维速度和两维坐标的相空间
在(0,1)之间任意选取随机数r，通
内运动；在射频电场和静电场的加速
过r与碰撞几率数组之间的比较来
下，电子在该空间内的轨迹不断更新；
确定碰撞是否发生及类型。如果
射频场包含幅度和相位信息
电子发生的是伪碰撞，则它的能
量和速度均不受影响，直接由牛
Vir  Vir 0 
e
( Er rf  Er st )ti，
me
Viz  Vir 0 
e
( Ez rf  Ez  st )ti，
me
e
Viθ  Viθ0 
Eθ rf ti，
me
ri  ri 0  Vir 0 ti 
e
( Er rf  Er st )ti2，
2me
zi  zi 0  Viz 0 ti 
e
( Ez rf  Ez  st )ti2。
2me
顿定律对其轨迹进行更新
r  pi ,1
(类型一)
pi ,1  r  pi ,2
(类型二)
.
.
.
pi , N type  r
(伪碰撞)。
以Ar放电为例
弹性碰撞：
碰撞后粒子的速度 v '  v 
M
[g(1  cos  )  h sin  ]，
Mm
1
cos


[  2  2(1   ) R1 ]
碰撞过程中的散射角

非弹性碰撞：
第一步为能量损失机制，根据能量守恒原理，对碰撞后入射粒子的能量进
行修正；然后在能量修正基础上为电子定义新的入射粒子速度，并认为它
以该速度和中性粒子发生了弹性碰撞。
'
2
激发碰撞 v  v 
2 Eexc
me

Einc  Eion 

 2B 

电离碰撞 Ecrea  B tan  R arctan 

v crea 
v
v
2 Ecrea
me
统计电子能量分布函数
f ( i , rj , zk ) 
Ni (rj , zk )
N (rj , zk )
ΔNi为放电空间内(rj,zk)处能量分布在εi ~ εi+Δε之间的电子数目，
N为整个放电空间和能量范围内ΔNi的总和
计算电子反应速率系数和动力学温度
当MC模块执行结束后，需要根据统计的EEDF计算处电子温
度和反应速率的空间分布，并代回到流体模块中。电子的各
类反应速率系数和电子温度通过积分空间分辨的EEDF得到
k r ( r, z )  

0

Te ( r, z )   f ( , r, z )   d 
0
1/ 2
 2 
f ( , r, z )     r ( )d 
 me 
边界条件
对称边界
由于对称性，认为对称轴处电子通量和能流密度为零
e _ axis  0
qe _ axis  0
axis n  0
电极/导体壁边界
对于电子流的边界条件，考虑电子服从Maxwell分布，
即 e _ R  
neut
1   
4
e _ Z  
neut
1   
4
其中 ut  8Te /  me 为电子热速度，反射系数   0.25
电子能流密度可忽略热传导影响，只考虑对流项
离子密度以及离子流在壁面处恒定
5
qe  Te Γe
2
R n  0 Z n  0
四、混合模拟的数值方法
u
u
 0, a为不为零的常数
差分格式，以对流方程为例：  a
t
x
迎风格式
蛙跳格式
at n
(uk  ukn1 )
x
at n
当a  0时，ukn 1  ukn 
(uk 1  ukn )
x
x
稳定性条件t 
|a|
当a  0时，ukn 1  ukn 
at n
(uk 1  ukn1 )
x
x
稳定性条件t 
|a|
ukn 1  ukn 1 
1 n
at n
n 1
n
u

(
u

u
)

(uk 1  ukn1 )
Lax格式 k
k 1
k 1
2
2x
x
稳定性条件t 
|a|
a t
[ (ukn11  ukn11 )  (1   )(ukn1  ukn1 )]
2 x
1
稳定性条件 
2
两层加权平均格式 ukn 1  ukn 
at n 1 n 1
(uk 1  uk 1  ukn1  ukn1 )
4x
两层算数平均格式是恒稳定的
ukn 1  ukn 
两层算数平均格式
是两层加权平均格式的特例，即 =
全隐格式
at n 1 n 1
u u 
(uk 1  uk 1 )
2x
全隐格式是恒稳定的
n 1
k
n
k
是两层加权平均格式的特例，即 =1
1
2
一维——空间网格划分
采用交错网格技术，即粒子密度，温度等标量形式物理量置
于格点处 ，粒子速度（粒子流）、能流等矢量置于半格点处
泊松方程
k 1  k k  k 1

 xk 1e( n ,k  ne,k )
 xk
 xk 1
电子连续性方程
dne,k
dt

1
(e,k 1/2  e,k 1/2 )  Se,k
xk 1
电子能量方程
3 d
1
1
ne,k kBTe,k   
(qe,k 1/2  qe,k 1/2 )  (eEk 1/2  e,k 1/2  eEk 1/2  e,k 1/2 )  We,k  Ptot ,k

2 dt
xk 1
2
qe,k 1/2
5
5 ne,k 1/2 kBTe,k 1/2 1
 kBTe,k 1/2e,k 1/2 
(kBTe,k 1  kBTe,k )
2
2
me en
 xk
Te,k 1/2  (
Te,k  Te ,k 1
2
) ne ,k 1/2  (
ne,k  ne,k 1
2
)
电子动量方程
中心差分
e,k 1/2  
1
ne,k 1kBTe,k 1  ne,k kBTe,k
me en
 xk

e
me en
(
ne,k  ne,k 1
2
) Ek 1/2
迎风格式
 e,k 1/2

1 ne,k 1k BTe,k 1  ne,k k BTe ,k
e


ne,k Ek 1/2 , if Ek 1/2  0
 m
 xk
me en

e en

 1 ne ,k 1k BTe ,k 1  ne ,k k BTe ,k  e n E
e , k 1 k 1/2 , if Ek 1/2  0
 me en
 xk
me en
Scharfetter–Gummel格式
平均速度通量格式
Hammond et al, J. Comput. Phys. 176 402 (2002)
二维——空间网格划分
以柱坐标表示方法为例，采用格子中心网格技术，即粒子
密度，温度等标量形式物理量置于体积元中心格点处 ，粒
子速度（粒子流）、能流等矢量置于半格点处，即面积元
中心位置
泊松方程
 i , j 1  i , j
Az  
 z
j


 i , j  i , j 1 
 i 1, j  i , j 
 i , j  i 1, j 
e
  Az  
  Ar  
  Ar  
  Vcell   Z  n  ne i , j
 ri
0


  ri 1 

  z j 1 
电子连续性方程
Vcell
dne,i , j
dt
  Az   z ,i , j 1/2  Az   z ,i , j 1/2  Ar   r i 1/2, j  Ar  er i 1/2, j  Vcell Se,i , j
电子能量方程
Vcell
3 d (neTe )i , j
  Az  qezi , j 1/2  Az  qez i , j 1/2  Ar  qer i 1/2, j  Ar  qer i 1/2, j
2
dt
1
 Vcell e(ez i , j 1/2 Ezi , j 1/2  ez i , j 1/2 Ezi , j 1/2  er i 1/2, j Er i 1/2, j  er i 1/2, j Er i 1/2, j )
2
VcellWei , j  Vcell Ptot i , j
电子能流密度
5
5 (neTe )i , j 1/2  Tei , j 1  Tei , j
qezi , j 1/2  ezi , j 1/2Tei , j 1/2 

2
2 me ei , j 1/2 
 zj
5
5 (neTe )i 1/2, j  Tei 1, j  Tei , j
qeri 1/2, j  eri 1/2, jTei 1/2, j 

2
2 me ei 1/2, j 
 ri






电子通量方程——迎风格式
 ezi , j 1/2  
 
 nei , j 1Tei , j 1  nei , jTei , j

me ei , j 1/2 
 zj

  if Ezi , j 1/2  0

 nei , j 1Tei , j 1  nei , jTei , j
nei , j 1 Ezi , j 1/2 

me ei , j 1/2 
 zj

  if Ezi , j 1/2  0

e
me ei , j 1/2
e
nei , j Ezi , j 1/2 
1
1
me ei , j 1/2
 nei 1, jTei 1, j  nei , jTei , j 

  if Eri 1/2, j  0
me ei 1/2, j
me ei 1/2, j 
 ri

 nei 1, jTei 1, j  nei , jTei , j 
e
1
 
nei 1, j Eri 1/2, j 

 , if Eri 1/2, j  0
me ei 1/2, j
me ei 1/2, j 
 ri

 eri 1/2, j  
e
nei , j Eri 1/2, j 
1
YEE 元胞——时域有限差分
Yee元胞，主要思想为电场分量
和磁场分量在空间上交替排布。
每一个电场分量周围有四个磁
场分量环绕；同样的，每一个
磁场分量周围有四个电场分量
环绕。这种电磁场分量的空间
取样方式不仅符合法拉第感应定律和安培环路定律的自然结构，
而且电磁场各分量的空间相对位置能够恰当的描述电磁场的传
播特性，并适合对麦克斯韦方程进行差分计算。
以真空区为例

Br E


t
z

1  (rE )
 Bz


t
r r

1 Br Bz
 E

(

)
 t
m0 0 z r

Brn1 (i, j )  Brn (i, j ) 
t
[ En1 (i, j )  En1 (i, j  1)  En (i, j )  En (i, j 1)]
2 z j
Bzn1 (i, j )  Bzn (i, j ) 
t
1
[ri 1En1 (i, j )  ri En1 (i  1, j )  ri 1En (i, j )  ri En (i  1, j )]
2 ri (ri 1  ri ) / 2
En1 (i, j )  En (i, j ) 

0.5  t
[ Brn 1 (i, j  1)  Brn 1 (i, j )  Brn (i, j  1)  Brn (i, j )]
 z j m0 0
0.5  t
[ Bzn1 (i  1, j )  Bzn1 (i, j )  Bzn (i  1, j )  Bzn (i, j )]
 ri m0 0
五、混合模拟算例
不同气压下电子密度随放电模式发生转化的特征
(b) HM
(a) PFM
100
20 mTorr
10
-3
ne(×10 cm )
10
20 mTorr
50 mTorr
100 mTorr
10
10
-3
ne(×10 cm )
10
1
50 mTorr
1
1
100 mTorr
0.1
0
10
20
30
40
i(A)
纯流体模型结果
0.1
0
10
20
30
40
50
i(A)
混合模型结果
由于只考虑了欧姆加热机制，故流体力
由于同时考虑高低气压时电子的欧姆加热和
学模型在考察不同气压时等离子体随模
随机加热机制，混合模型能够模拟出不同气
式转化的特征时失效，表现在三个气压
压时模式转化的特征，表现在跳变点是否连
下电子密度随线圈电流的演化趋势一致
续以及跳变区域的宽度之间的差异。
20mTorr电子密度分布
100mTorr电子密度分布
混合模型计算的电子
密度随模式转化的演
化情况与纯流体模型
有较大差异，表现在E
模式下密度较为均匀，
等跳变到H模式后，在
介质窗附近的加热区
域出现极值分布这种
趋势在气压较高时愈
加明显
20mTorr电子温度分布
100mTorr电子温度分布
气压较低时，在E模式下
的温度分布中在靠近放电
轴心处的位置出现极小值，
且随着模式跳变的发生，
该谷值的位置向介质窗下
移动；气压较高时电子温
度分布较为均匀。
由于混合模型考虑了电子
的非局域特性，计算的电
子温度分布整体上要比纯
流体模型结果偏高，且在
高气压下Te的空间分布要
更为平滑些
20mTorr电势分布
100mTorr电势分布
等离子体电势随线圈
电流的演化趋势和密
度相似；E模式下在
放电中心电势最高，
H模式下势垒移到介
质窗附近，可以用来
解释低气压时电子温
度出现的极小值现象
0.5
Lee et al, Appl. Phys. Lett. 90 191502 (2007)
(a) 20 mTorr
-1
EEDF(eV )
0.4
0.3
E mode
H mode
0.2
0.1
0.0
0
5
10
15
20
 (eV)
0.15
0.10
-1
EEDF(eV )
(b) 50 mTorr
E mode
H mode
0.05
0.00
0
5
10
15
20
(eV)
0.15
(c) 100 mTorr
峰出现；
 高气压时H模式下EEDF中低能粒子数目
-1
 低气压下E模式中EEDF较强的低能电子
EEDF(eV )
0.10
E mode
H mode
0.05
0.00
0
5
10
15
20
 (eV)
增多，且高能尾衰减
20、50和100mTorr时EEDF的分布
50A
40A
30A
25A
20A
15A
10A
I=5A
10
10
9
8
10
EEPF (eV
-3/2
-3
cm )
10
7
10
6
10
5
10
0
5
15
10
20
25
E (eV)
20mTorr时EEPF随线圈电流的演化
Seo et al, J. Phys. D: Appl. Phys. 39 3821 (2006)
低气压时，随模式转化，在弹性碰撞能量范围内，EEPF由双温的
Maxwellian分布趋向于单温的Maxwellian分布，且在激发碰撞阈
值能量附近出现拐点
45A
40A
35A
30A
25A
20A
15A
I=10A
10
10
9
10
EEPF (eV
-3
8
10
-3/2
cm )
10
7
6
10
5
10
4
10
3
10
0
6
12
18
24
E (eV)
100mTorr时EEPF随线圈电流的演化
Tsai et al, J. Phys. D: Appl. Phys. 39 3821 (2006)
模拟结果显示EEDF始终是Druyvesteyn分布，且随着模式转化高能尾衰减很
严重，是由于H模式下气体电离度高，且发光强，非弹性碰撞能耗增加所致