Transcript 课题十三不定积分的概念和性质

第三章
一元函数积分学
课题十三
不定积分的概念和性质
【授课时数】
总时数：2 学时.
【学习目标】
1、知道不定积分的定义、性质和基本公式；
2、会用定义求函数的原函数或不定积分；
3、会用直接积分法求函数的不定积分。
【重、难点】
重点：不定积分的定义和基本公式，由已知一个
函数的导数（或微分），求这个函数引出原函数的定
义及不定积分的定义和基本公式 。
难点：正确使用直接积分法求积分，由实例讲解
方法。
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不定积分的概念和性质
[引例] 已知真空中自由落体在任意时刻 t 的运动
速度为 v(t )  s(t )  gt ，且当时间 t  0 时，位移
s  0 ，求自由落体的运动规律？
解 设自由落体的运动规律为 s  s(t ),
根据题意知 v(t )  s(t )  gt
1 2
由导数知识知 : ( gt  C )  s(t )  gt
2
1 2
即s  s(t )  gt  C , 将s |t 0  0代入前式得C  0
2
1 2
故该自由落体的运动规 律是 : s  gt .
2
对于已知函数的导数（或微分）,求该函数这样的
问题就是我们要研究的积分！为此我们有如下定义：
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不定积分的概念和性质
一、原函数
1. 原函数的概念
定义： 如果在区间 I 内，可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ，即x  I ，都有 F ( x )  f ( x )
或dF ( x )  f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数.
例如


sin x 
 cos x, sin x 是cos x 的原函数.
1
1
ln x   ( x  0), ln x 是 在区间(0, )内的原函数.
x
x
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2. 原函数存在定理
如果函数 y  f (x) 在闭区间 [a , b] 上连续，那
该函数的原函数一定存在。
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？


例如 sin x   cos x, sin x  2   cos x
sin x  2.51  cos x,
sin x  10   cos x,
sin x  C   cos x
（ C为任意常数）
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sin x  sin x  2.51  2.51,
sin x  10  (sin x 
2 )  10  2 ,
结论 如果某函数有一个原函数，那么它有无限多个
原函数，并且其中任意两个原函数之间相差一个常数。
其中，不含常数项的原函数称为最简原函数。
3. 原函数族定理
若 F (x ) 是 f (x ) 的最简原函数，则 F ( x)  C （ C
是任意常数）是 f (x ) 的全部原函数，称为原函数族。
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关于原函数的说明：
（1）若 F ( x )  f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x )  C 都是 f ( x ) 的原函数.
（2）若 F ( x ) 和 G ( x )都是 f ( x )的原函数，
则 F ( x )  G ( x )  C （C为任意常数）
证 

F ( x )  G ( x )
 F ( x )  G ( x )
 f ( x)  f ( x)  0
 F ( x )  G ( x )  C （C为任意常数）
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二、不定积分
1. 不定积分的定义
若 F (x ) 是 f (x ) 的一个原函数，则 f (x ) 的全部原

函数 F ( x)  C 叫做 f (x ) 的不定积分，记为 f ( x )dx .
 f ( x )dx  F ( x )  C
积 被
分 积
号 函
数
被
积
表
达
式
积
分
变
量
最
简
原
函
数
任
意
常
数
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5
x
[例1] 求  dx .
6
x
5

) x ,
解 (
6
[例2] 求

6
x
  x 5 dx 
 C.
6
1
dx .
x
解  (ln | x |)  (ln x ) 
2

1

( x ) 
2
2
x
x 2 x
1
1
2
1
  dx  ln | x | C.
x
1
x
( x )
2
2
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[例3] 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线
斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解
设曲线方程为 y  f ( x ),
dy
根据题意知
 2x ,
dx
即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数.
  2 xdx  x  C ,
2
 f ( x)  x  C ,
由曲线通过点（1，2） C  1,
2
所求曲线方程为 y  x  1.
2
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2. 不定积分的几何意义
从上例知，y  x2  1 表示一条抛物线，而 y  x 2  C
是表示一族抛物线。
几何意义：若 F (x) 是 f (x)
的一个原函数，则 y  F (x) 所
表示的曲线为 f (x) 的一条积分
曲线。 f ( x ) dx 表示为一族曲线
y  F ( x )  C ，即 f (x) 的积分曲
线族。
y
y  F ( x)  C1
y  F (x)
y  F ( x)  C2
o
x
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3. 不定积分的性质
由不定积分的定义，可知
 f ( x)dx   f ( x),
性质1:
d
dx
性质2:
 F ( x)dx  F ( x)  C,
d [  f ( x )dx]  f ( x )dx
 dF( x)  F ( x)  C.
结论：求导数(或微分)运算与求不定积分的运算
是互逆的.
1 3
2
[例4] 验证等式  ( x  sin x )dx  x  cos x  C成立.
证
3
(
x
 cos x  C )  x 2  sin x,
3
3
1 3
  ( x  sin x )dx  x  cos x  C成立.
3
2
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[例5] 计算下列各式
x sin x
4
(2)  ( x sin x )dx
(1 ) d [  2
dx ]
x 1
x sin x
x sin x
解 (1 ) d [  2
dx ]  2
dx
x 1
x 1
(2)  ( x 4 sin x )dx  x 4 sin x  C
做一做:
(3)  d (sin 2 x)  (
(4) (  e 2 x dx)  (
sin 2 x  C
e
2 x
).
).
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4. 不定积分的基本公式

 1
x



实例  x
(



1
)

x
dx


C
.


x

   1
 1


 1
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论
既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
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不定积分的基本公式
(1)  dx  x  C
 1
x
1

(2)  x dx 
 C (  1);  dx  ln | x | C
 x 1
x
a
x
(3)  a dx 
 C ,  e x dx  e x  C
ln a
(4)  sin xdx   cos x  C;
 cos xdx  sin x  C;
 tan xdx   ln | cos x | C  ln | sec x | C;
 cot xdx  ln | sin x | C   ln | csc x | C;
 sec xdx  ln | sec x  tan x | C
 csc xdx  ln | csc x  cot x | C
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(5)  sec 2 xdx  tan x  C;
2
csc
 xdx   cot x  C;
 sec x tan xdx  sec x  C;  csc x cot xdx   csc x  C
1
(6) 
dx  arcsin x  C   arccos x  C;
1 x
2
1
 1  x 2 dx  arctan x  C
 arc cot x  C
5. 不定积分的运算法则
(1)
 [ f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx;
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
( 2)
 kf ( x )dx  k  f ( x )dx . （k 是常数，k  0)
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[例6] 求积分 (
(
 3
解
3
1 x
1
3
1  x2
不定积分的概念和性质
 2 cot2 x )dx.
 2 cot x )dx
2
2
dx  2 csc xdx  2 dx
2
1  x2
 3 arcsin x  2 cot x  2 x  C
x x
[例7] 求积分  3 e dx.
x
x x
(
3
e
)
3
e
x
x x
C 
解  3 e dx   (3e) dx 
 C.
ln(3e)
1  ln 3
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不定积分的概念和性质
1  x  x2
dx .
[例8] 求积分 
2
x(1  x )
1  x  x2
x  (1  x 2 )
dx  
dx
解 
2
2
x(1  x )
x(1  x )
1
1
1
 1
 
 dx  
dx   dx
2
2
x
1 x
x
1 x
 arctanx  ln | x | C.
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不定积分的概念和性质
1  2x2
dx .
[例9] 求积分  2
2
x (1  x )
解
2
2
1  2x2
1

x

x
dx
 x 2 (1  x 2 )dx   2
2
x (1  x )
1
1
  2 dx  
dx
2
x
1 x
1
   arctan x  C .
x
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不定积分的概念和性质
1
dx.
[例10] 求积分 
1  cos 2 x
1
1
dx
解
dx
 1  cos 2 x  
2
1  2 cos x  1
1
1
1
 
dx  tan x  C .
2
2 cos x
2
注意：以上几例中的被积函数都需要进行代数或
三角恒等变形，才能使用积分基本公式积分。像这种
经过适当恒等变形，再用积分法则和基本公式积分的
方法叫做直接积分法。
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不定积分的概念和性质
小结
原函数的概念：F ( x )  f ( x )
不定积分的概念： f ( x )dx  F ( x )  C
积分基本公式表
不定积分的性质
求微分与求积分的互逆关系
直接积分法
第三章
课题十三
一元函数积分学
不定积分的概念和性质
练习题
填空题：
3
3
2
x
x
C
1． 3x 的最简原函数是________，原函数族是__________；
2．在积分曲线族 y  F ( x )  C ( C是任意常数) 上横坐标
平行
相同的点处作切线，这些切线彼此是____________的；
 23
3．
x
dx
2
x

2x

C
3
_________；
x2
dx 
4． 
2
1 x
x  arctan x  C ；
_________
cos 2 x
dx 
5． 
2
2
cos x sin x
 cot x  tan x  C .
_________
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一元函数积分学
课题十三
不定积分的概念和性质
【授课小结】
通过本课题学习，学生应该达到：
1．熟记积分的基本公式；
2．会求函数的原函数和不定积分；
3．会用不定积分的直接积分法求函数的不定积
分．
【课后练习】
P053习题3.1 ．