Transcript 精品课程《解析几何》 第三章 平面与空间直线 精品课程《解析几何》 §3.6 空间两直线的相关位置 精品课程《解析几何》 空间两直线的相关位置有异面与共面， 在共面中又有相交、平行于重合： 相交 共面 平行 重合 异面 精品课程《解析几何》 设两直线 x  x1 y  y1 z  z1 l1 :   X1 Y1 Z1 与 l2 : x  x2 y  y2 z  z2   X2 Y2 Z2 容易看出，两直线.

精品课程《解析几何》
第三章
平面与空间直线
精品课程《解析几何》
§3.6
空间两直线的相关位置
精品课程《解析几何》
空间两直线的相关位置有异面与共面，
在共面中又有相交、平行于重合：
相交
共面
平行
重合
异面
精品课程《解析几何》
设两直线
x  x1 y  y1 z  z1
l1 :


X1
Y1
Z1
与
l2 :
x  x2 y  y2 z  z2


X2
Y2
Z2
容易看出，两直线 l1 与 l2 的相关位置决定于三向量
M1M 2、 v1、v2
，
，
的相互关系。
精品课程《解析几何》
一、空间两直线的相关位置
定理3.7.1
l1 :
判定空间两直线
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y2 z  z2


, l2 :


X1
Y1
Z1
X2
Y2
Z2
的相关位置的充要条件为：
x2  x1 y2  y1
ⅰ 异面
ii
相交

z2  z1
X1
Y1
Z1
X2
Y2
Z2
0
  0, X1 : Y1 : Z1  X 2 : Y2 : Z2
ⅲ 平行 X1 : Y1 : Z1  X 2 : Y2 : Z2   x2  x1  :  y2  y1  :  z2  z1 
ⅳ 重合
X1 : Y1 : Z1  X 2 : Y2 : Z2   x2  x1  :  y2  y1  :  z2  z1 
精品课程《解析几何》
二、空间两直线的度量关系
1. 两直线的夹角公式
定义3.7.1 平行于空间两直线的两向量间的角，叫做
空间两直线的夹角。两直线 l1 , l2 的夹角记做   l1 , l2  。
定理3.7.2
l1 :
在直角坐标系里，空间两直线
x  x1 y  y1 z  z1


,
X1
Y1
Z1
l2 :
x  x2 y  y2 z  z2


X2
Y2
Z2
夹角的余弦为：
cos   l1 , l2   
X 1 X 2  Y1Y2  Z1Z 2
X 12  Y12  Z12  X 22  Y22  Z 22
精品课程《解析几何》
推论
两直线
l1 :
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y2 z  z2


, l2 :


X1
Y1
Z1
X2
Y2
Z2
垂直的充要条件是：
X1 X 2  YY
1 2  Z1Z 2  0
注：以上公式也适用于异面直线.
精品课程《解析几何》
例2
设 d 和 d '分别是坐标原点到点 M  a, b, c  和 M '  a ', b ', c '
的距离，证明：当 aa ' bb ' cc '  dd ' 时,直线 MM '
通过原点。
精品课程《解析几何》
2.两直线的交点
① l 1 , l 2 均变为参数式;
'
t,
t
②令同名坐标相等解出
;
③将 t 代入相应的方程中解出交点.
精品课程《解析几何》
三、两异面直线间的距离与公垂线方程
定义3.7.2
空间两直线上的点之间的最短距离，叫
做这两条直线之间的距离。
定义3.7.3
与两条异面直线都垂直相交的直线，
叫做两异面直线的公垂线，两个交点之间的线段的长叫
做公垂线的长。
精品课程《解析几何》
定理3.7.3
两异面直线间的距离等于它们公垂线的长。
精品课程《解析几何》
1、两异面直线的距离公式
定理3.7.4
l1 :
两异面直线
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y2 z  z2


, l2 :


X1
Y1
Z1
X2
Y2
Z2
之间的距离公式是：
M M ,v ,v 

d
1
2
1
v1  v2
2
精品课程《解析几何》
M M ,v ,v 

d
1
2
1
2
v1  v2
几何意义：两条异面直线 l1 , l2 之间的距离等于以 M1M 2 , v1 , v2
为棱的平行六面体的体积除以以 v1 , v2 为邻边的平行四边形
的面积。
精品课程《解析几何》
2、公垂线的方程
公垂线 l o的方向向量可以取作
v1  v2 ,而公垂线 l o 可以看做：
由过 l1 上的点 M 1 ,以 v1 ，v1  v2 为方位向量的平面与过
1  v2
上的点 M 2 ,以 v ， v
2
为方位向量的平面的交线。
l2
精品课程《解析几何》
公垂线的方程为:
 x  x1 y  y1 z  z1

Y1
Z1
 0,
 X1

Y
Z
X

 x  x2 y  y 2 z  z 2
X
Y2
Z2
 0,
 2
X
Y
Z

式中
X
Y1 Z1
Y2 Z 2
,Y 
Z1 X 1
Z2 X 2
, Z
X 1 Y1
X 2 Y2
是向量v1  v2 的分量，即
l o 的方向数。
精品课程《解析几何》
例3
已知两直线
l1 :
x y z 1
x 1 y  2 z 1


, l2 :


1 1
0
1
1
0
试证明两直线 l1 与 l 2 为异面直线，并求 l1 与 l 2 间的距离
与它们的公垂线方程。