Transcript 直线的法向量和点法式方程1

直线的法向量和点法式方
程
青岛外事服务学校
杨卫新
知
识
回
顾
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
直线的方向向量 通常用 v 表示
知
l2
B
识
回
l
顾 1
A
概
念
形
垂直 的非零向量叫做这
与一条直线 平行
法
条直线的方向向量
通常用 n 表示
思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？
成
3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
的位置关系是怎样的？
两向量a( a1, a2 ) ,b( b1, b2 ) 垂直
问
题
探
究
的充要条件是
a1b1+a2b2  0
直线 的一个法向量n=( A, B) ,
则直线 的一个方向向量v如何表示？
设方向向量v  ( x, y)
nv
 Ax  By  0
整理得
x
B

y
A
v  (B,  A)
或v  (B, A)
口
答
练
习
n
v
(2,3)
(4,5)
口
答
练
习
画出符合要求的直线
y
1、经过点P0
P0
o
图1
x
画出符合要求的直线
2、垂直于非零向量 n
y
n
o
图2
x
画出符合要求的直线
3、既经过点P0又垂直于非零向量
y
n
P0
o
图3
x
n
公
y
l
已知直线经过点P(
0 x0 , y 0 ) ，
式
一个法向量n=( A, B) ，
推
导
n   A, B 
o
P0(x0 , y0)
求直线的方程
x
直 线 的 点 法 式 方 程
熟
y
l
直线经过点P(
0 x0 , y 0 ) ，
记
n   A, B 
公
式
o
P0(x0 , y0)
x
一个法向量n=( A, B) ，
则直线的点法式方程
A(x-x0)+B(y-y0)=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
根据直线 l 的方程，写出直线 l 经过的一个
熟 已知点P0和直线 l 的一个法向量 n 的坐标.
记⑴
2(x-3)+4(y-5)=0
P0 (3,5)
公⑵
2(x+3)-4(y－5)=0
P0 (3,5) n  (2, 4)
式
⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5)
n  (2, 4)
n  (2, 4)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
致
用
解：代入直线的点法式方程,
得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
整理得 3x+ 4y-11 =0
练习1. 求过点p，且一个法向量为n 的直线方程.
(1) p(－1，2)，
=(3，－4)
(2)
n
= (－3,2),
n
P(1，－5)，
学
以
致
用
例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
解：中点c的坐标
y
1 24
 3分析：
,


2
2


l
 1, 1
用 点 法 式求直线方程
o
B
c
法向量 AB
  点c
1  3，
 4  2法向量
  4
，
 6
AB
x
中点坐标公式
代入直线的点法式方程,
y
 x  x , y =0
-4 (x-1)-6(y+1)
x2 y1  y2 
 x1 得
,


2
2 

整理得
2
1
2
2x+3y+1 =0
1
学
以
致
用
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？)
求线段AB的垂直平分线方程。
三角形ABC,A(-5,6),B(-1,-4),C(3,2)
求BC边上的高所在的直线方程
自 求AB边上的高所在的直线方程
主
E
探
A (-5,6)
究
C (3,2)
B
(-1,-4)
D
反
1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
结
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
3、利用直线的点法式方程可以解决
（1）已知直线上一点和直线的法向量
（2）求线段的垂直平分线方程
（3）求三角形一边的高线所在直线方程
布
必做：P86
练习4、5、6
置
作
业
A
补充（附加）
三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)
求（1）BC边中垂线方程
（2） BC边高线方程
（3）BC边中线方程
B
D
E C
敬请指导
直 线 的 点 法 式 方 程
公
y
式
(x-x0 , y-y0 )
,
P(x, y)
n   A, B 
推
导
(1)向量P0 P 的坐标为：
(2)
与n=(A,B)的位置关系
P0 P
是： 垂直 ,
P0(x0 , o
y0 )
x (3)
P0 P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
公
v  ( B,  A)
（）法向量
1
n  ( A, B)，则
方向向量v （B,-A)
y
式
(2)代入点向式方程得
n   A, B 
推
导
( x  x0 ) ( y  y0 )

B
A
即A(x-x0)+B (y-y0)=0
P0(x0 , o
y0 )
x
知
识
回
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
直线的方向向量
通常用v表示
y
顾
o
x
y
概
念
形
成
o
x