Transcript 大数定律
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第六章 大数定律与中心极限定理
6.1 大数定律
6.2 中心极限定理
概率统计（ZYH）
本章理论：
大量客观现象
大数定律
随机事件频率的稳定性
大量测量
值的算术
平均值也
是稳定的
抽象
公理化体系
随机事件的概率
基础
概率论的结论 (前5章)
为数理统计
奠定基础
数理统计
概率统计（ZYH）
中心
极限
定理
大量随机
变量服从
正态分布
6.1 大数定律
定理1 （切比雪夫大数定律） 设X1, X2, … 相互独立且
分别有数学期望EXi 及有公共上界的方差 DX i K (k 1,2, )
1 n
作算术平均值 Yn X i , 则 对 0, 有
n i 1
lim P Yn EYn 1
n
或
P
Yn EYn
0 (n ) (称Yn EYn 依概率收敛于0)
1 n
其中 EYn EX i
n i 1
切比雪夫大数定律以严格的数学形式表明：随着n的增
大, 大量随机变量的算术平均值Yn稳定于它的期望值EYn
概率统计（ZYH）
为了证明切比雪夫定理，先证明切比雪夫不等式：
引理1（切比雪夫不等式）设随机变量 X 有数学期望EX
及方差DX, 则 对 0, 有
P X EX
或
DX
（切比雪夫不等式）
2
P X EX 1
DX
2
（切比雪夫不等式）
证（只就连续型证明）设密度为 f (x), 则有
P X EX
f( x ) d x
x EX
概率统计（ZYH）
1
2
x EX
x EX
2
2
DX
2
( x EX )2 f ( x ) d x
f ( x) d x
xn x
e , x 0,
f
(
x
)
用切比雪夫不等式证明
n!
例1 设X~
0
, x 0,
n
P{0 X 2( n 1)}
n1
证 EX
0
EX 2
0
x n1 x
xn x
x e dx
e
n!
n!
0
( n 1)
0
xn x
e d x n1
n!
n
n 2
n1
x
x
x
x 2 e x d x
e x 0 ( n 2)
e x d x ( n 1)( n 2)
0
n!
n!
n!
所以 DX EX 2 ( EX )2 ( n 2)( n 1) ( n 1)2 n 1
从而 P {0 X 2( n 1)} P {| X EX | n 1}
n1
n
1
(这里 n 1)
2
( n 1)
n1
概率统计（ZYH）
定理1的证明 这时, 对任意的正整数n, 有
1 n
1
EYn EX i，DYn 2
n i 1
n
n
DX i
i 1
K
n
故由切比雪夫不等式知, 对 0, 有
P Yn EYn 1
DYn
2
1
K
n 2
P Yn EYn 1，这就证明了定理1
令n , 即知 lim
n
如果把定理1中的Xi看成 n重伯努利试验中第 i 次试验
时A发生的次数（即Xi 服从0-1分布）并记 P(A)=p, 则
1 n
nA
EX i p, DX i p(1 p) , Yn X k
, EYn p
n k 1
n
于是定理1可表现为如下的定理 2的形式
概率统计（ZYH）
定理2（伯努利大数定律） 设nA是n重伯努利试验中A
发生的次数, p=P(A), 则对 0, 有
nA
limP
p 1
n
n
或
nA P
n
p ( n ) (称频率 A 依概率收敛于p)
n
n
伯努利大数定律以严格的数学形式表明：当试验在不
变的条件下重复进行很多次时, 事件的频率稳定于它的概率.
因此, 在实际应用中可用频率代替概率. 这也为概率的公理
化定义提供了理论支持.
概率统计（ZYH）
由伯努利大数定律可知，如果事件A的概率很小, 则事
件A发生的频率也很小 . 因此, 在实际问题中我们常采用
实际推断原理（小概率事件的实际不可能原理）
概率很小的事件在个别试验中几乎是不会发生的
概率很大的事件在个别试验中几乎一定会发生
如果概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，那
我们就有理由怀疑“概率很小”这一假定的正确性．
当然,无论事件概率多么小, 总是可能发生的. 因此,
所谓小概率事件的实际不可能原理仅仅适用于个别的或
次数极少的试验, 当试验次数较多时就不适用了．
概率统计（ZYH）
大数定律 是概率论中用来阐明大量随机现象平均结果
稳定性和事件频率稳定性的一系列定理, 条件较弱的还有
定理3（辛钦大数定律）设随机变量序列{Xn}相互独
立, 服从同一分布, 且 E( Xn )= , 则对任意的ε>0 , 有
1 n
lim P X i 1
n
n i 1
或
n
P
X 1 Xi
(n )
n i 1
辛钦大数定律以严格的数学形式表明：当n无限增大
时, 独立同分布的随机变量的平均值依概率收敛于它的期
望. 这为数理统计的矩估计奠定了理论基础.
概率统计（ZYH）