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第一章 直线和平面 两个平面平行的判定
教学目标
1．使学生理解和掌握两个平面平行的判定定理及应用；
2．加深学生对转化的思想方法的理解及应用．
教学重点和难点
重点：两个平面平行的判定定理；
难点：两个平面平行的判定定理的证明．
教学设计过程
一、复习提问
师：上节课我们研究了两个平面的位置关系，请同学们回忆一下，两个平面
平行的意义是什么？
生：两个平面没有公共点．
师：对，如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线与另一个平面具
有怎样的位置关系呢？
生：平行．
师：为什么？
生：用反证法，假设不平行，则这些线中至少有一条和另一个平面有公
共点或在另一个面内，而此两种情况都说明这两个平面有公共点，与两
个面平行矛盾．
师：证得很好．反过来，如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平
行，那么这两个平面平行．由以上结论，就可以把两个平面平行的问题
转化为一个平面内的直线和另一个平面平行的问题．但要注意：两个平
面平行，虽然一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，但这两个平
面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线也可能是异面
直线，但不可能是相交直线．
〔对旧知识复习，又有深入，同时又点出了“转化”的思想方法，为引
入新课作铺垫〕
二、新课
师：接下来，我们共同对两个平面平行作定性研究，先来研究两个平面
平行的判定——具有什么条件的两个平面是平行的呢？
生：根据两个平面平行的定义，只要能证明一个平面内的任意一条直线
与另一个平面平行，就可得出两个平面平行．
师：很好，实质就是由线面平行来得到面面平行．而实际上，判定两个
平面平行，并不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面．
下面我们共同研究判定两个平面平行的其它方法，请大家思考以下几
个命题．
（1）平面α内有一条直线与平面β平行，则α∥β，对吗？
（2）平面α内有两条直线与平面β平行，则α∥β，对吗？
〔学生讨论回答，并举出反例，得（1），（2）不对，教师接着问〕
（3）平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β，对吗？
〔教师对学生的回答，作出适当评述〕
师：以上三个命题均为假命题，那么，怎样修改一下命题的条件，就
可得出正确结论？
〔学生讨论后，教师请一名同学回答〕
生：把条件改为：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面．
师：说说你的想法．
生：我想，两条相交直线确定一个平面，若它们分别与另一个平面
平行，则所确定的平面也一定与这个平面平行．
此是学生的猜想，教师给予肯定，并引导学生进行严格论证］
师：下面我们来证明．先把命题完整的表述出来．
生：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两
个平面平行．
［教师板书，画图，并请一位学生写出已知，求证］
已知：在平面β内，有两条相交直线a，b和平面α平行．
求证：α∥β．
师：欲证α∥β，而我们只知两个平面平行的定义，显然，若直接用定义
证明，不很方便，大家看怎么办？
生：用反证法．
〔学生并未证明，只提出方法．教师先复习反证法的步骤：
（1）否定结论，（2）推出矛盾，（3）得出结论．然后提出问题，让
学生讨论，以引导学生用反证法得出结论〕
师：问，（1）如果平面α与平面β不平行，那么它们的位置关系怎样？
（2）如果平面α与平面β相交，那么交线与平行于平面α的直线a和b有
什么关系？
（3）相交直线a和b都与交线平行合理吗？错误结论是如何产生的？
［教师根据学生回答，依次提出问题，同时板书该命题的证明过程］
证明：假设α∩β＝c．
因为 a∥α，a β，
所以 a∥c，同理b∥c，所以 a∥b．
这与题设a与b是相交直线矛盾．
故 α∥β．
师：以上我们用反证法证明了命题的正确性．我们就把这一命题
作为两个平面平行的判定定理之一．该定理是用来判定两个平面平行
的，应用时关键是在一个平面内寻找两条相交直线，并证明与另外一
个平面平行．也就是说：欲证面面平行，要先转化为线面平行．而转
化的思想方法是数学思维的重要方法之一，也是立体几何中，解决问
题常用的方法．
［教师在该命题前写上：两个平面平行的判定定理，以强调本节课的重点］
师：在现实生活中，该定理应用比较广泛，比如：木工师傅为了检查一个
平面是否水平时，往往用水准器在这个平面上交叉放两次，水准器的气泡
如果两次都是居中的，就可以判定这个平面是水平的，否则就不是水平
的．其理论根据就是这一判定定理．
［通过实例，证明定理在现实生活中的具体应用，贴近学生生活，更激发
了学生探求知识的积极性，活跃思维］
师：大家还能发现哪些判定两个平面平行的定理呢？（教师巡视，找一名
学生回答）
生：我想，如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面一定是平行
的．
师：想法很好，能否谈一谈如何得出的？
生：在学习平面几何时，曾有一个定理：垂直于同一条直线的两条直线平
行．我就想，若把其中的两条直线改为两个平面，那么这两个平面会不会
是平行的．
师：这位同学用到了一个重要的研究数学问题的方法——类比．就是从已
经学过的定理出发，对其中的某些条件作修改，得出一个新的命题．当然，
这只是一种猜想，正确与否，还要大家进一步证明．
这位同学的猜想简单的说就是：垂直于同一条直线的两个平面平行．下面
我们就来证明这一命题．
已知：AA′⊥平面α于A，AA′⊥平面β于A′．
求证：α∥β．
师；本题要证的是两个平面平行，有哪些工具呢？
生：两个面平行的判定定理．
师：应用该定理的条件是什么？
生：是其中一面中必须有两条相交直线与另一面平行．
师：显然，题目中并不具备这一条件，我们是否改用其它方法？
［学生激烈讨论］
生甲：直接在平面β内作直线a∩b＝O，如图2（教师画图，使O与A′不重
合，突出矛盾）
生乙：这样做不好，没有充分利用题目的已知条件，不妨直接在平面α内作
直线a∩b＝A．而直线a与AA′确定一平面γ，设γ∩β＝a′．能证：a′∥a，则a∥β，
得出线面平行．同理也可证b∥β．所以α∥β．
师：不错．能够充分的利用题目中的条件，为解决问题带来大的方便．下面
我们把作辅助线的方法，稍作改进，写出证明．
证明：设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β交于直线a，a′和b，
b′．
因为 AA′⊥α，AA′⊥β，
所以 AA′⊥a，AA′⊥a′，
故 a∥a′．则a′∥α．
同理 b′∥α，
又因为 a′∩b′＝A，
所以 α∥β．
师：通过类比的方法，证明得到了两平面平行的又一个判定定理，
它是在上一个判定定理的基础上得到的．要注意的是，为了得到
两条相交直线，并未直接在一个面内作，而是过AA′作两个相交平
面δ，γ，它们分别与α，β相交，得到相交直线．由线线平行，得
线面平行，最后证明面面平行．这一证明方法是转化的思想方法
的又一体现．
生：在上题的证明过程中，我发现：“如果一个平面内两条相交
直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面
平行．”这样就可直接由线线平行证面面平行，不知对不对？
师与生：对．
［在授课过程中，学生往往能根据所研究问题，思考得到自己的
想法，这是学生溶入课堂，积极思维的一种体现，也是课堂上的
一种反馈，教师应抓住机会，热情鼓励，同时给出肯定或否定的
答复］
师：想法很好，大家能证明吗？（学生议论）对，用第一个判定
定理很快就能证明．但此命题不易作为判定定理直接应用．不过
这一命题为我们今后判定两个平面平行提供了一条思路．
小结
1．由学生用文字语言和符号语言两种形式表述面面平行
的两个判定定理．教师指出，两个判定定理是判定面面平
行的两个基本的理论工具．
2．空间两条直线平行，直线与平面平行，以及两个平面
平行，三类平行关系的联系十分密切，它们相互依赖，相
互转化．在实际运用中，我们可以通过线线平行，或线面
平行来推论平面与平面平行．
3．转化的思想方法，是数学思维的重要方法．解决数学
问题的过程实质就是一个转化的过程，同学们要认真掌
握．
布置作业
课本p．38习题五1，3．