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广义相对论课堂15 等效原理和弯曲时空度规理论2 2011.11.4 课程安排 • 复习内容：引力红移实验、Einstein转盘、 等效原理之LPI • 新内容：等效原理=>度规理论、LIF条件、 7.6节、Einstein方程简介 • 下次课：物理时间和长度、Schwarzchild度 规 h——>0 第二个信号发出=第一个信号到达 • Doppler effect – 匀速 t t' P • 加速 – v= g(h/c) – SR匀加速系—— 7.6节 P' z 回顾 Einstein引力场=弯曲时空？ 四点 • 转盘——非欧几何——空间弯曲 • • • • • 闵氏时空一体几何 引力时间膨胀=时间弯曲 潮汐引力 (我补充Schild) 前3不一定时空弯曲 Einstein转盘：数量杆数目 • L0=桌面测得外围周长 • L=转盘系测得自身盘周长 -1/2 V 1 - 2 C 量杆rod=ruler尺子 L0 L L 0，L L 0 L 0 2 Einstein等效原理 WEP LLI=Local Lorentz Invariance LPI=Local Position Invariance LPI=Local Position Invariance • The outcome of any local nongravitational experiment is independent of where and when in the universe it is performed. – 局域非引力同LLI——EEP vs SEP – 何地——引力红移实验GRE – 何时——物理学常数 – 上两者合起来——时空position 火箭红移实验 同时检验LPI （自动）雷达异频收发机 ○ EEP—》Metric Theory Metric theory • 1、Spacetime is endowed with a symmetric metric gμν. • 2、测地线 – The trajectories of freely falling test bodies are geodesics of that metric. • 3、local SR = LLI – In local freely falling reference frames, the non-gravitational laws of physics are those written in the language of special relativity. 第一点：时空有一个度规结构 WEP+LLI 线元——度规 张量分量、函数 • Weinberg坐标变换讲 述——例：平面几何 极坐标——Hartle 2.6 – 习题7.7 张量的坐标变换定义 第一点之二：度规——坐标 度规张量g 度规分量 度规函数 度规=实对称矩阵 • 看成矩阵 • 实对称矩阵gμν=gνμ – ds2=gμνdxαdxβ=1/2(gμν+gνμ) dxαdxβ+1/2(gμνgνμ)dxαdxβ – 对角化归一化 – 习题7.8 – 四维时空独立分量几个？ • 10 度规函数相当于场的势函数 • 弱场 • 1+ • c=1 Metric theory讲了1，第8章2 下面讲3 • 1、Spacetime is endowed with a symmetric metric gμν. • 2、测地线 – The trajectories of freely falling test bodies are geodesics of that metric. • 3、local SR = LLI – In local freely falling reference frames, the non-gravitational laws of physics are those written in the language of special relativity. 局部惯性系 Local Inertial Frame 物理意义 条件 局部惯性系意义 • WEP自由下落 – preferred轨迹——测地线§8 – 力学起点IF： • LIF – local time! – 时间延伸——FFF——IF • 测试粒子——实验——LLI – =推导第一步 GR on SR 局部惯性系2个条件 Cartersian or Lorentz • 条件一：g'μν(x'p)=ημν – 局域平直时空 – 势的绝对值无意义——零点任意 • 条件二： g x – 意义：偏导数=势梯度=引力=0 0 x x p • 条件一+条件二！ • 非条件：二阶偏导数——不全为0 – 意义：20个独立的组合（第454页）曲率 Einstein方程 局部惯性系例子 • • • • • 极坐标(r=1,0) 习题2.7 球面球极坐标——例7.2 匀加速系(ξ1=0) 转动系——习题7.3 r=0 条件1 条件2 r=1 球面上的LIF Cartersian 图直观地看(极点俯视), x acos , y asin x 2 y 2 a , tan -1 ( y/x) d xdy ydx a x 2 y2 , d sin 3 / 3 ds 2 dx 2 dy 2 ...... 一点(极点)满足2条件 xdy ydx a x 2 y2 EEP—》Metric Theory 推导第一步 WEP给出LIF • WEP自由下落 – preferred轨迹——测地线§8 – 力学起点IF： • LIF – local time! – 时间延伸——FFF——IF • 测试粒子——实验——LLI – =推导第一步 推导第二步 LLI强烈约束 • 二阶张量场为例 – ψ(1)、ψ(2)...... – φ(1)(P)η、φ(2)(P)η...... – φ(1)(P)标量场—— Point • 例：boson、fermion、Faraday 推导第三步 LPI==》系数=1 • 第一种可能=最简单 – φ(A)(P)常数=》ψ(1)=φ(1)(P)η常系数 – 归一化——坐标+耦合常数（如单位电荷）rescaling 重新标度 • 第二种可能 – 所有标量场是不同比例的同一个标量场 • φ(A)(P)=C(A)φ(P) – 例：精细结构常数、长度测量 – 归一化——单位重新定义=耦合常数rescaling+场“共 形”conformal变换 ψ -1ψ η • 总结两种可能 ψ η（LIF rescaling ） 推导第四步 微分几何、张量分析 度规张量 ψ η（LIF rescaling ） g（任意坐标） 张量的坐标变换定义 Clifford Will • Thorne学生——精确解 • Will, C.M., Theory and experiment in gravitational physics, (Cambridge University Press, 1993), 2nd edition图书馆有第1版 • The Confrontation between General Relativity and Experiment – Living Rev. Relativity, 9, (2006), 3 • http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3 – Living Reviews in Relativity • Max Planck Institute for Gravitational Physics • (Albert Einstein Institute) • Am M¨uhlenberg 1, 14424 Golm, Germany 坐标 有印象就行 各种问题自然出现 （弯曲）时空的一般描述 Hartle第7章 也可 平直时空中的曲线、加速、转动系 （纯数学）空间 • 匀加速系(ξ1=0) • 转动系——习题7.3 不存在全局惯性系 global • 有局部，但与全局坐标变换非处处相同 • 全局笛卡尔直角坐标系——球面× • 没有全局的参考系（平直时空的惯性观者 ），但是有全局坐标系 • 参考系/观者=相同运动态的钟尺系统/网格= • 微分几何数学可严格证明——有曲率则不 存在 全局坐标系及其由来 • 任意、只要提供了几何点的独一无二的标 记，例如任意单值函数 • 可以从几何或物理角度，例如双曲极坐标 、同一匀加速的观者群 • 活动标架－－一条世界线＝一个观者（已 经确定了时间轴）＋三个空间轴 – 例：匀加速系 • 特定情况从对称性、Einstein方程解得vs任 意 • 奇性——坐标vs几何 坐标的意义 • 不要太在意名称 – Hartel (7.4) vs (7.5) – 一般约定 – 上下文 • 物理上某些坐标的意义在初始推导时设定 了，其他要从线元分析得出——第7.6节 光锥、世界线和因果结构7.5 • 局部惯性系－－平直时空 • 无穷小间隔——绝对 – 例如匀加速系 – 习题5.23(a) • • • • 类光－－局部光锥 类时－局部光锥内，速度小于当地光速 －世界线－固有时，公式 全局整体－－因果结构 7.6长度、面积、体积和四体积 重点 （固有）长度==>坐标意义！ 长度、面积、体积和四体积 • 非对角－－Landau+Cook • 对角＝正交 • 类似三维欧式空间面积和体积 – 矢量分析——直观Schey – 例：球面面积、球体体积 • 固有三体积和四体积 – Jacobian 四体元 • 推导 – 标正基下——Jacobian – 度规的行列式——度规的定义 • 张量密度——Weinberg • 类时×类空 – 物理上无意义 – 四维Gauss/Stokes定理 类时间隔长度 固有时vs坐标时 线元意义？ 取一个钟 坐标差值==》坐标意义——特定钟—— 非同地 匀加速系坐标变换和线元 回想推导过程：坐标怎么来的 • ξ0？ • ξ0=τ – 线元==>坐标钟的固有时 – 不同坐标钟 • ξ1 钟固有时≠坐标时 匀加速系坐标网格 Einstein方程简介 • Riemann曲率张量R——》Ricci曲率标量— —》Einstein张量G——g二阶偏导数 • 类似Maxwell方程组——Faraday——四势 矢量 引力时间膨胀 • 静态弱场——自由落体思想推论 • 一般度规 一般度规下引力时间膨胀 类空间隔长度 固有长度vs坐标长度 线元意义？ 同时线/面 雷达回波测距 正交时空坐标系下 类空长度 • 同时线/面 • 雷达回波 – 光速为1