Transcript Schwarzschild时空测地线

广义相对论课堂20
Schwarzschild时空测地线
2011.11.21
课程安排
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复习内容：标正基构造
新内容：Schwarzschild时空应用
下次课：续
学习目标分课堂，每课堂最多6个
调查表
草稿纸——助教
复习、回顾、总结
重点
初始条件
• 几何=位置+方向——四速度
• 区分3维位形空间（3速度）——四维时空
（四速度）
• 实现WEP
Killing矢量场
• 单独一个Killing矢量可能无意义
– 整体“平移”
• 黎曼几何的对称性数目=相互独立的Killing
矢量场的数目
• 多个Killing矢量场之间独立性
Killing矢量场独立性问题
• 原点平移后转动Killing矢量场变化了
– 新的Killing矢量场？
– 线性组合
• 系数——自由度
运动常数=守恒量
• d/dτ
• 沿着测地线=自由粒子运动过程中
• 有一个物理量
复习、回顾、总结
重点
三种理论4种钟尺网格
理论
参考系和坐标系
符号
各个钟、各把尺
牛顿
SR
惯性系Lorentz坐标 t,x,y,z
惯性系skew坐标
t',x,y,z或t,x',y,z
加速系正交
加速系非正交
GR
任意正交：史瓦西 t,r,θ,Φ
任意非正交：Cook
相对静止
无非是将平直时空（事件集合）
用网格点标记
• 数学的威力——Einstein求助
• 重要的是数学表达了什么物理
线元与度规
• Δx2+Δy2=Δx'2+Δy'2
• -Δt2+Δx2=-Δt'2+Δx'2
– Δx''=0，=-Δt''2=-Δτ2
– Δt''=0，=Δx2=Δs2
–0
测量意义？
测验
• 习题7.21
• 惯性系skew坐标下平直时空线元和度规
从惯性到加速
• Δ——》d
从全局惯性到全局坐标
• 平直时空匀加速系
• 弯曲时空
– 比较异地钟尺运动态无意义——相对于LIF
– 时间总有膨胀=弯曲
– 空间至少2维有弯曲——你的时间是我的时间
和空间的组合
史瓦西时空为例
2维空间必然弯曲
• r的意义=约化周长——角向
• r——》rho
– 仅有1维
– 2维时
球面
• Φ——测地线
• θ——非测地线，除赤道圈
– θ换成Φ'
– 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O'
– 相对于北极点O
– OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非
全局！
– 对比极点（θ，Φ）坐标简并
简单回顾史瓦西时空
静态：静止观者、ξ
球对称：
第一点 静止观者四速度
基准、固定钟尺
四速度
• 分量（γ，γV）？
• 固定静止==》
• 归一化==》
物理时间
构造空间标正基
• 通常正交坐标系
• 对于静止观者归一化即可
• 对于运动观者标正条件
物理长度
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用
的是什么？
– 如果不是，请问哪些你没学到？
– 如果不确定，请解释原因。
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？
• 3、不清楚的原因是
–
–
–
–
–
讲课不够清楚？
缺少提问的机会？
你事先没有准备？
缺乏课堂讨论？
其他？
第二点：运动常数（守恒量）
的测量意义
重点：e的测量意义
测量者（观者、钟尺）u
obs
1
1
静止钟尺u obs 
ξ
ξ
- g 00
1  2M/r
 ξ，当r  
ξ
本人思考结果
• 前面讨论的钟尺网格——不同态
• 时间平移不变——全局时间——仅在无穷
远对应基准钟
e的取值范围
• 径向+固定地点、相对于静止观者
守恒角动量l的物理意义
• 单位质量粒子角动量L(因为L=rv)
• 牛顿万有引力（有心力）守恒量h=r2(dΦ/dt) =Kepler第二
定律
第三点：利用守恒量得到
引力红移
测量公式
重点：固定钟——纯粹引力红移
• 固定——静止观者
非固定的一般钟
第四点：测地线方程（组）
径向方程
测试粒子和光线的测地运动
三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义!
• 单位质量粒子角动量L(因为L=rv)
• 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地
看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称
• 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处
为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上
• 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404
• 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回
• 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2
• 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元
• 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用
e,L表达
第五点：有效势能曲线
分析原理
第六点：轨道类型
史瓦西几何
• 球对称曲率源（引力源），例如球对称星球，地
球和太阳可近似，忽略自转和扁率
• 最大对称，与物质径向分布无关，牛顿定理GR版
• 静态，但是星体不一定静止，球对称塌缩，
Birkhoff定理
• 外部真空的几何，内部非真空解取决于物态方程，
平滑地在星体表面相接，图
• 渐近平直；星体中心相对于遥远静止观者(t,dr)静
止.与宇宙学R-W度规衔结是另一种几何
史瓦西线元
• 史瓦西坐标、史瓦西度规，几何化单位.7428
• 静态，时间t平移不变，Killing矢量ξ=(1,0,0,0)
• 球对称，球极坐标角：φ平移不变，Killing矢量η =(0,0 0,1)
θ
• r=P/2π，约化周长，约化Planck常数h，面积；半径不可
以直接测量（到中心）,Δr可测，在长度上意义见下页
• 静态弱场，Weiberg3.4gtt， M是质量，可以证明M是星体
及其引力场的总能量Weinberg8.2，也就是说利用Kepler
定律测到的引力质量不仅仅是牛顿力学认为的组成粒子质
量之和，22.4节;M=0平直时空
• 几何只取决于M，与物质径向分布无关，牛顿定理GR版
• 度规仅仅依赖于r,r->∞渐进平直时空
史瓦西坐标r
• r=0, r=2M（史瓦西半径，引力半径）在星体内，
除非（球对称）黑洞,此线元可以描述2M>r>0
• r在无穷远，固有长度，微分（利用local光速为1
得到，因为等效原理），潮汐径向拉伸，越近拉
伸越厉害, r->2M；反看则为潮汐横向挤压
• 有限固有长度(物理,默认) ，公式，数值举例
• 给定t，空间部分，嵌入图（三维欧式透视），大
r侧近似为抛物面方程，投影到平面
史瓦西坐标t
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t在无穷远far-away time，固有时，越深势阱时钟越慢
微分时间，用dt过渡，r->2M
脉冲duration（持续时间）和频率关系=>红移，数值举例
引力场中两个不同地点，静止观者，否则含运动时间膨胀
教材，u*u=-1注意观者非测地运动，为什么定义u=dx/dτ是
四速度，沿袭自LIF中标准正交基下，E=-p*u， u用ξ表达，
利用沿着光线（测地线）守恒量
• 弱场下和等效原理推导的近似结果一致
• 光线可以非径向传播（例如后面讲的散射轨道），没有碰
撞散射（有可能改变频率）等自由运动，以上分析适用于
任意度规g_00
有效势与径向方程
• 量纲,t, τ*c,M*G/c*c,L/c引入M为单位的r,L;粒子
• 写成牛顿力学机械能守恒的形式9.32,系列方程对非测地线
运动也成立，即-1=u*u，只是e,L不再是守恒量，无法利
用势能曲线简单分析
• 第二项为横向动能=离心势能,由离心力导出，方向与引力
相反,dτ->dt
• 第四项为相对论修正项，吸引，相对论引力比牛顿强，本
质因为光速极限（由EP=>-1=u*u)
• 利用（有效）势能曲线分析运动轨道及其稳定性，平方项
总是大于等于0
• 图形，牛顿（二三项）和相对论的有效势，分别主导小、
中、大R曲线形状，R->0,R->∞
• 特殊点，微分画出曲线
给定M，首先按照角动量分类
• 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面
阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析；
径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)，
E<0会回落
• L≠0不可到达r=0，
• 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0)
• 2。E<0椭圆束缚轨道
• 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定
GR情况
• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V>L^2/2R^2
• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数
>4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大
Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
• 4. d^2V/dR^2><=0
• 按单位质量角动量分类L=l/M
• 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落
• 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道
• 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚
(Vmin<ε<0)
• 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用
的是什么？
– 如果不是，请问哪些你没学到？
– 如果不确定，请解释原因。
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？
• 3、不清楚的原因是
–
–
–
–
–
讲课不够清楚？
缺少提问的机会？
你事先没有准备？
缺乏课堂讨论？
其他？
势能曲线的分析原理
• d/dτ径向方程后，得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’=
有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由
d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力；
问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运动
？答：不会－－
• 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高
度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（
小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线
方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2Γ^r_rr(u^r)^2
续
• 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从
变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来
），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始
三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条
测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则
只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分）
• 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡
（无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重
力＝有效力，即所谓势能曲线分析
六个量
• 四个变量τ,t,r,φ,两两组合数6种，5个速度
（三个固有速度＋两个坐标速度）＋1个
形状量（写成杨辉三角4层4321）
• 仅取决于三个方程：e,L,径向方程
径向运动
• dφ／dτ＝0，φ＝Const. ，无角动量L=0,V=-1/R仅牛顿
势，dτ=±dr/√2(ε+1/r)，ε≥1/2
• 径向自由下落，取负号，ε=0, e=1,无穷远e=dt/dτ=γ=1静
止，解得
• 教材用r=0定标，到黑洞讲；从某个r到2M，粒子固有
时有限；从无穷远无限
• 坐标时间，从某个r到2M无限，r->2M，9.40最后一项>+∞，这是史瓦西坐标在近2M出错的一个迹象
• 例子9.1，径向逃逸（到无穷远0渐近静止,e=1）速度，
在施瓦希坐标半径R处静止观者（只有u^t不为零）测
量V,E=γmV(LIF中消除引力影响，观者自身标架为LIF
中随动标架），g_tt*u^t=e=1
圆周轨道
• 不稳定圆周轨道3M<r_max<6M随L增大而减
• 稳定圆周轨道r_min>6M随L增大而增，L=3.46
最小，三个施瓦西半径
• 定义坐标角速度，实测设计：遥远一圈静止钟(
同步化），接受圆周运动粒子径向光脉冲，因
为圆对称，不同φ光线受的引力时间膨胀一样
，测出Δt；Δφ＝圆弧长/圆周长
• V’=0+ε=V=>9.45，也适用于非稳定圆周轨道
• 得到与Kepler第三定律（圆周轨道）相同形式
，不是固有时角速度，在无穷远回到Kepler
束缚轨道的形状
• 方程，椭圆函数，u=1/R后，补齐量纲，常数
项为牛顿能量＋高阶小量
• 从内转折点r_1（近星点）到外转折点r_2 （远
星点） ，再回到内转折点＝1圈turn
• 一般1圈后Δφ≠2π不闭合，顺着轨道转动方向进
动（相对论修正项为正），每圈进动角相同（
因为球对称）δφ＝Δφ－2π，不闭合的主轴进动
椭圆；但对一组E(L)，m圈后Δφ=n(2π)闭合，
m≠n，习题13
近日点进动
• 图9.5不同L（勘误）和E，参数取值边界为稳
定和不稳定圆周轨道之间，大角动量离星体远
、相对论效应小－－太阳系行星近日点进动
• 类似Binet方程, 微扰方法求解，D’inverno 15.3
节
• 习题15方法，反比于L^2 （L越小，越接近引
力体越大）,用天文测量数据表达，半主轴a越
小、偏心率，小行星Icarus、水星依次为最.
Einstein: 不但牛顿理论从GR中作为一级近似导
出，水星进动作为二级近似