Transcript 卡諾圖(Karnaugh Maps)

電腦科學的理論基礎
空大面授教師
何 秀 蘭
第一章簡單的數學與邏輯理論
認識電腦系統
電腦
硬體
作業系統 應用程式
使用者
電腦簡要結構圖
主記憶體
程式
CPU
中央處理器
儲存設備
算術運
算單元
邏輯運
算單元
列印設備
資料
系統
週邊設備
資料暫存區
資料匯流區
網路設備
運算理論方法

建構式証明（proof by construction）

矛盾證明法（proof by contradiction）

歸納式証明（proof by induction）
基礎事實、推演步驟
離散數學 (discrete mathematics)







代數
邏輯
組合數學（計數 、圖型理論 ）
圖論
有限狀態機
運算性 (computability)
演算法分析
Q
∩
Z
∩
N
∩
P
∩
認識「數」 (numbers)
正整數的集合
正整數的集合 所有整數集合 有理數集合
（不含0）
（包含0）
R
實數集合
P={n：n是一個正整數}
N={n：n是一個自然數}
Z={n：n是一個整數}
Q={a/b：a與b為整數，b=0}
R={x：x是一個實數}
2補述表示負數的方式
10進位制的數值
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
2補述的表示法
100
101
110
111
000
001
010
011
數學基礎
集合 (set)
函數 (function)
關聯 (relation)
序列 (sequence)
集合 (sets)
一群物件的組合
成員都是該集合的成員（元素
element）
集合中沒有重複的成員
集合元素可以用波浪括弧框起來
Power set
p (s)
一個集合的所有子集合所形成的集合
S為集合，用 p (s) 表示
n
假如 s有 n個元素，則 p（s）有2 個元素
集合的運算
聯集（union）A∪B
交集（intersection）A∩B
相對互補（relative complement）A\B
對稱差（symmetric difference）A⊕B
A⊕ B =（A∪B）\ （A∩B）=(A\B) ∪(B\A)
集合相關的定律
定律名稱
定律
Commutative laws 交換律
A∪B=B ∪A，A∩B=B ∩A
Associative laws結合律
(A ∪B) ∪ C= A ∪(B ∪ C )
Distributive laws分配律
A ∪(B ∩ C)= (A ∪B) ∩(A∪ C )
Idempotent laws等募定律
A∪A=A，A ∩A=A
Identity laws相等定律
A ∪ψ=A，A ∪U=U ，A ∩ψ=ψ， A ∩ U=U
Double complementation
雙重互補
（AC）C= A
De Morgan laws笛摩根定
律
(A ∪B)
C
C
C
= A ∪ B ， (A ∩ B)
C
C
C
= A ∩B
關聯(relation)
二元關聯的定義：
S與T為集合，從 S到T的二
元關聯(binary relation) 是
SxT的子集合，以R來表示。所以
R是由有序數對(ordered pairs)
組成的集合，有序數對可以用(S，
t)來表示。
函數（functions）




運算式
含有變數
變數的值會決定函數的值
函數代表某種對應，存在於變數與函數
的輸出值之間
函數的結合
S
f
X
T
€
f(X)
u
g
g(f(X))
gof
(g
o
f )(x)=g (f (x)) ，x€s
F (x) = 3x-4，g (y)=2y+5，則 g
g o f (x)=g (f (x))
=2(3x-4)+5
=6x-3
f o g(y)=f (g (y))
=3(2y+5)-4
=6y+11
o
f (x) 與 f
o
g (x)為何?
函數特性
1對多
1對1
1對1(每各均都對應到)
多對1，不是函數
序列（sequences）
函數可以看成一種序列
序列中變數很適合用下標表示
序列表示法：
加總：
20
N=1
=1+4+9+…..+400
階乘 ：n!=1x2x3x4x…x n
n
=Π K
N-1
邏輯理論
表達論述(arguments)
區分有效的或無效的
發展出嚴謹的証明
探討命題（propostions）之間邏輯關係
命題可能是真（true）或是偽（false）
命題邏輯（propositional logic）
命題演算
發展正式規則，用來分析與處理命題
看成一種命題代數
快速算出命題真值
命題可能是真（true）或是偽（false）
命題邏輯連接符號表示法
﹁：代表not 或否定
：代表and
：代表 or
：代表暗示，有條件推論
：代表若且唯若
⊕ ：代表 or（exclusive）
真假值
﹁p P
q P
q P
q P⊕q
p
q
q P
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
第二章問題的表示與解決方法
解決問題方法
數學歸納法
遞迴
計數
資料結構
資料結構是資料的表示法
資料結構簡化解決問題程序
資料結構離不開演算法
演算法是解決問題方法
經由演算法分析後，可以某種程式語言撰寫演
算法所代表程式資
必須以適當資料結構來描述問題中抽象或具體
事實
資料結構分類
基本資料型式（整數、浮點數、字串、布林值 )
系統內定或使用者自訂的資料型態
抽象資料型式
資料結構表示方法
代數（c=5/9*（f-32）
表格式
資料流程圖（DFD）
控制流程圖
資料流程圖（Data Flow Diagram）
資料流
輸入
輸出
功能
DFD偏重 於資料被處理方式與順序
描述演算表功能
說明資料操作之間交換資料
( x+y+a)*( a+b*c)
請参閱p42 圖2-5
控制流程圖（CFD）
控制流程與資料流程是演算法一體兩面
說明各功能是如何達成
操作
條件
false
true
資料結構、演算法、程式語言之關係
解決問題
資料
結構
程式
具體化
演算法
資料結構內涵
資料結構的用途
儲存結構
功
能
定
義
演算法
演算法
程
式
語
言
字典
儲存成對資料
成對值的序列或樹
集合（set）
關聯 （relations) ：有序對的集合
映射 (mapping) ：集合之間特殊的關聯
映射與關聯的差異
有效關聯但不是有效的映射
有效關聯也是有效的映射
解決問題的方法
解決問題要先了解問題
解決問題的方法不只一種
解決問題時需要分析思考
理論根基可幫助有系統的分析思考
CRC
CRC 內涵 類別、責任、合作
物件導向分析方法
是用小型開發群組
配合漸進式軟體開發程序
第三章布林代數
一個含有0與1的集合B，兩個二元運算元
「 」or 與 「 」and
一個單元運算元，及「-」或「ˋ」
基本的定理
定理名稱
定理
Commutative laws 交換律
X
Associative laws結合律
X (y z)=（x
Distributive laws分配律
X
(y z)=（x
Idempotent laws等募定律
X
x =x = x
De Morgan’s laws笛摩根定律
y=y
-（x
Double negation雙重否定
- -x = x
Identity laws相等定律
0
1
complementation laws
互補
x ，x
y=y
x
y） z
y） （x
x
y）=(-x) (-y)
x =0，0 x=1 x=x ，
x=1
0≠1，1= -0
x （-x）=1，
x (-x)=0
z）
二值布耳代數
定義在一個二元素集合上，即 B={0，
1}
x y
x .y
x y
0 0
0
0 0
0 1
0
1 0
1 1
x+y
x
x’
0
0
1
0 1
1
1
0
0
1 0
1
1
1 1
1
布耳代數的基本定義與性質

基本定理
公設2
(a) x+0=x
(b) x.1=x
公設5
(a) X +x’=1
(b) x. x’=0
定理1
(a) X +x=x
(b) X .x=x
定理2
(a) x+1=1
(b) x.0=0
定理3,乘方性
(x’)’=x
公設3,交換性
(a) X +y=y +x
(b) X y=y x
定理4,結合性
(a) X +( y+z)=(x +y)+z
(b) X (y z)=( x y) z
公設4,分配性
(a) X ( y+ z)= x y+ x z
(b) X +y z=(x +y) (x +z)
定理5,第摩根
(a) ( x +y)’= x ’y’
(b) (x y)’=x’ +y’
定理6,吸收性
(a) X + x y=x
(b) X (x +y)=x
布耳函數
布耳函數即由二進位變數，OR、AND兩
個二進位運算元，及單一運算子NOT，括
弧，以及一各等號所組成表示式。
可以藉由代數運算而加以簡化
例：
x + x’y=(x + x’)(x + y)=1*(x + y)=x + y
x(x’ + y)=xx’ + xy =0 + xy =xy
真值表
Boolean expression E=(x v y z') (y z)'

邏輯電路設計
基本電路元件（gates）
名稱
AND
OR
NOT
NAND
NOR
XOR
圖示符號
代數函數
xy
X
Y
xVy
X
Y
x
X
Y
X
Y
X
Y
x’
(XY)’
(XVY)’
X⊕Y
X
Y
Z
W
(X y)’ v z v (x
z’ w)
卡諾圖( karnaugh maps)
成本考量得到最適合設計
是布林代數venn diagram 與真假值混合
尋找 optimal desing 的步驟如下:
1.依據所描述的函數+號放入卡諾圖中
2.劃分區域:
(1)畫出8個方塊有涵蓋有+號的地方,假如8個方塊都有
+號,則Boolean function為1
(2)畫出4個方塊有涵蓋+號但之前沒有被涵蓋的地方
(3)畫出2個方塊來涵蓋有+號但之前沒有被涵蓋的地方
(4)畫出剩下有+號但之前沒有被涵蓋的地方
3.選擇一組畫出來的區域:
(1)整體上要包括所有含有+號的地方
(2)越少方塊越好
4.使越少literals越好
Yz Yz’ Y’z’ Y’z
x
x’
+
+ +
Yz Yz’ Y’z’ Y’z
x +
x’
Xyz’ v x’ y’
Yz Yz’ Y’z’ Y’z
x
x’
+
+
Z’
+
+
+ +
+
x
Yz Yz’ Y’z’ Y’z
x +
x’ +
+
x’ y’ v z
+
+
Yz Yz’ Y’z’ Y’z
x + + +
x’ + +
+
Y v xz’ v x’z
Yz’ Y’z’ Y’z
x +
x’ +
+
+
+
+
X v y v z’
+
第四章 認識數理邏輯
(predicate calculus)
也稱為數理演算，跟命題演算不太一樣。
邏輯程式設計與人工智慧，主要是以數理演算
為基礎的。
數理邏輯 (predicate calculus)導入量詞
(quantifiers)的使用。
量詞(quantifiers) ：所有量詞
A
存在量詞
E
﹂
V
運算子（OPERATOR）：
多重量詞用法
與
E
A
同時使用
現順序
的情況，必須注意量詞出
例： P(X，Y)=「X是Y的上司」
A
X P(X，Y) 意思是所有的人都是Y的上司
E
A
Y P(X，Y) 意思是X是所有的人的上司
Y P(X，Y) 意思是X是某人所有的上司
E
X P(X，Y) 意思是某人是Y的上司
認識命題演算
(propositional calculus)
命題演算使用的命題符號(propositional
symbols)是英文的大寫字母
命題符號用來表示命題
有關於現實世界的敘述，可能為真(true)或偽
(false)，
這些符號用來組成句子(sentences)，合法的句
子(legal sentences)也稱為WFFs (wellformed formulas)。
認識數理演算(predicate calculus)
數理演算特點來自量詞(quantifier)的導入
能處理述詞以及述詞中的成員，推理出其他的
句子
可以從語法(syntax)與語意(semantics)上來認
識數理演算
數理演算中的符號包括真值符號(truth
symbols)、常數符號(constant symbols)、變
數符號(variable symbols)與函數符號
(function symbols)，
數理演算很像一種邏輯程式語言(logic
programming language)。
邏輯程式設計 (logicprogramming)
邏輯程式設計 (logic programming) 的
基礎就是數理邏輯
邏輯程式語言算是非程序式的程式語言
透過事實 (facts) 與推理規則
(inference rules) 的描述，電腦就可以
回答一些問題，或是推理出其他的事實
邏輯程式設計
邏輯程式設計的思考跟一般程序式的程式語言
很不一樣
因為邏輯程式設計不必描述推理的過程，只要
把事實與規則列出來
語言本身有固定的推理機制，而程序式的程式
語言 (procedural programming language) 則
需要把詳細的步驟寫出來，越複雜的運算或邏
輯，往往需要越複雜的描述
C++ 、 Java 與 Visual Basic 都算是程序式
的程式語言
了解PROLOG尋找與執行流程
兩種不同推演過程：
向前推演（現有子句推演出目標）
向後推演(從目標開始，試著反解出現有的子句)
Prolog 是後向推演
單一化作業是推演主要過程，包括型式比對與
變數連結
單一化之後可以為目標比對到現有事實或規則
的頭部，則代表成功
Pro log的直譯程式
必須確定所有可能路徑都有被搜尋過
搜尋事實與規則的順序是由上而下
規則中好幾個子目標須證明，處理順序式由左
而右
子目標證明方式與目標證明方式一樣
第五章演算法的分析
函數值的成長率
函數
函數名稱
1
Log n
n
N log n
2
n
3
n
n
2
n!
constant
logarithmic
linear
Log linear
Quadratic
cubic
Exponential
factorial
大
演算法基本概念
演算法 (algorithm)是一步一步地
解決問題的程序。
電腦程式算是演算法。
用某種語言寫成，內含解決問
題的步驟。
演算法應該具有通用性
。
演算法的特性
完整性：每個程序要清楚定義
明確性：含義明確，結果一致
可決定性(Deterministic )：執行
後結果可預期
有限的(finite)：有限步驟完成，
資料量亦有限
健全結構
一般通用性(generality)
效率(Efficiency)
演算法的結構
問題的描述
功能1
操作1
功能n
操作n
功能m
操作m
次功能1
主要功能
達到的結果
次功能n
功能x
需
求
面
由需求到詳細操作的設計
由上而下的設計
操
由詳細操作到一般需求的設計 作
面
由下而上的設計
操作x
演算法的分析（效率）
空間複雜度(Space complexity)
使用記憶體空間大小
時間複雜度(Time complexity)
演算法執行完成所用的時間
時間複雜度(Time complexity)
漸近式表示法
定義:
f (n)=O (g (n))
若且惟若存在2個正整數c和n0,當n≧n0時，
f (n) ≦c g(n),g(n)代表f(n)的漸近式。
g(n)必須是n最小的函數
g(n)可以看成f(n)最悲觀情況下執行時間
O(1)<O(logn)< O(n)< O(n logn)< O(n2)< O(n3)< O(2n)
時間複雜度(Time complexity)
定義:
f (n)=Ω (g (n))
若且惟若存在2個正整數c和n0,
當n≧n0時，f (n) ≧ c g(n),
g(n)為f(n)的的下限。
g(n)必須是n最大的函數
時間複雜度(Time complexity)
定義:
f (n)=θ (g (n))
若且惟若存在3個正整數c1、c2和n0,
當n≧n0時，c1g(n)≦f(n) ≦c2g(n)
g(n)為f(n)的的下限。
g(n)同時為f(n)的上、下限。
比 O(f(n))、 Ω (f(n))更精確
空間複雜度(Space complexity)
固定空間需求
變動空間需求
效率分析與效率計量
效率分析：與機器無關的時間
performance analysis
與空間分析
效率計量：取得與機器的執行
Performance measurement
時間，用來找出程式中沒有效率
的程式碼。
效率分析與效率計量
程式所需時間(TP)=編譯時間+執行時間
TP(m)=c1ADD(m)+c2SUB(m)+c3LAD(m)
+c4STA(m)
程式步驟(program step) 執行時間與實體變數
性質無關
迴圈與遞迴次數相同，但因遞迴負擔大，速度
比迴圈慢
效率分析與效率計量
程式步驟(program step)
計算
s/e * F = total_step
敘述步驟
頻率
全部步驟
效率分析與效率計量
表1 簡單的迴路加總程式
敘述(statement)
計算程式步數
T fSum(T a[], int n)
{
T msum=0;
for (int i=0; i<n;
i++)
msum = a[i]+msum;
return msum;
}
總
計
s/e
執行次數 步數
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
n+1
n+1
1
n
n
1
1
1
0
0
0
2n+3
效率分析與效率計量





Big “O” 為時間複雜度理論上限
Ω 為時間複雜度理論下限
θ為函數同時是上限也是下限
NP problem表示指數時間的解法但無法
證明是否有多項式時間的解決
Un-decidable problem 表示沒有演算法
可解
第六章常見的資料結構
陣列(array)基本觀念
1.相同形式(type)元素組合
2.依索引(index) 加以編號，大小
固定(靜態陣列)
3.可以配合控制迴路語法來描述
反覆運算
動態陣列
元素可有不同型態(type)
大小可以變動
索引(index)必須用特定方法存取
效率高
空間節省
陣列與動態陣列差異
大小固定
陣列A
大小可變動
動態陣列B
……….
A[0]……………………A[4]
元素有固定的型態
B.element()
元素可又不同的型態
陣列的表示方法
5
3
F(x)=12x +2x +4
第一種表示法：
array f(7)=(7,12,0,2,0,0,4)
第二種表示法
array f(7)=(3,5,12,3,2,0,4)
堆疊(stack)
一群同質元素的組合
後進先出(LIFO)
中序轉後序表示法(先乘除後加減)
x/y+5-a*3+6*p
後序
xy/5+a3*-6p*
佇列(queue)
先進先出(FIFO)
相同型式(TYPE)○
最大堆積(max heap)
55
一個數節點不小於自己二個子節點(完整二元樹)
5
15
最小堆積(min heap)
一個數節點不大於自己二個子節點(完整二元樹)
15
12
22
鏈結串列(linked list)
相當有效率的資料結構
關鍵在於指標(pointer)的觀念
記憶體空間的運用
元素的搬移效率
頭(head)
5
7
鏈結(link)
節點(node)
14
2 null
尾(tail)
從不同的抽象層次來看資料結構
資料結構的層次
array
list
queue
tree
set
Stack graph
聚集
循序表示
array
vector
資料結構
的分類
鏈結表示
pointer reference
程式語言的層次
樹(tree)
非線性的資料結構
由一個或多個節點組成有限集合
具有一個樹根(root) ,不會是空集合
其他節點可看成樹根的子樹(subtree)也是樹
第n個層次(level)最多有2n-1個節點，n≧1。
以深度d(depth)二元樹，最多節點樹是2 d-1，
d ≧1。
樹的表示法
a
b
鏈結串列表示法
d
c
h
j
e
f
g
i
A(b(e) ，c(f，g) ，d(h(i，j)))
樹的表示法
儲存位置
二元陣列表示法
儲存位址
a 1
b 2
c 3
4 4
e 5
f 6
7
儲存順序
1
2
3
5
6
實際的樹
a
7
c
b
e
f
樹的基本運算
二元樹追蹤
1.層序追蹤（level-order traversal）
樹根
上
下
左
右
abdefghij
2.前序追蹤（Preorder traversal）
節點
左
右
abefdghij
3.中序追蹤（Inorder traversal） e
左
節點
右
右
節點
b
f
d
g
ebfagdihj
4.後序追蹤（Postorder traversal）
左
a
efbgijhda
i
h
j
圖型
包含一組頂點和一組邊
頂點可稱作節點
邊是有方向性的,則所形成的圖型為
有向圖型
圖型允許迴路的存在
圖形常見表示法
a
圖型表示法
鄰接矩陣
表示法
c
b
d
鄰接串列
表示法
a
bbb
c
d
a
b
c
d
b
a
a
a
a
b
c
d
c
d
nil
b
nil
d
nil
abcd
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
nil
1
1
0
0
圖型的應用
最小費用擴張樹(Minimum Spanning Tree)
普林演算法
克魯斯克爾演算法
最短路徑演算法(Shortest-Path Algorithm)
拓樸分類(Topological Sort)
最小費用擴張樹(Minimum Spanning Tree)
包含圖型內所有的頂點的樹
樹是沒有迴路
費用是所有邊的權重之總和
採用貪心法則(Greedy method)找尋
最小費用擴張樹
拓樸分類(Topological Sort)
不包含迴路的有向圖型
有向圖型中節點的線性排列
去除頂點
謝 謝 聆 聽