Transcript 第5章資料結構

資電學院
計算機概論
F7810
第五章
資料結構
陳邦治編著
旗標出版社
本章重點




2
通常資料結構所包含的主題有二大類，一類是表示資
料的基本工具，另一類則是常用的演算法
在設計程式的過程中經常被用來表示資料的基本工具
例如陣列、鏈結串列、堆疊、樹狀結構及圖形等都算
是資料的結構
在撰寫程式的過程中所經常使用的演算法例如搜尋法
、排序法、樹及圖形的追蹤法等都是資料結構所含括
的內容
資料結構、演算法及程式設計這三個主題彼此間具有
密不可分的關係
大綱
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





3
陣列(array)
鏈結串列(linked list)
堆疊與佇列(stack and queue)
樹(tree)
搜尋作業(searching)
排序作業(sorting)
圖形(graph)
陣列


陣列主要是由陣列的名稱，維度(dimension)，
元素型態以及陣列註標(index)組成
陣列有二項特別的限制
–
–
4
必須配置連續的記憶體空間給陣列元素使用
陣列中所有元素的型態必須完全相同，也就是說每
個元素所佔用的記憶體空間必須是相同的
範例

5
若A是一個包含5個元素的陣列，元素的型態為整數。若整數型
態資料佔用記憶體的空間為2個位元組，假設配置給陣列A的記
憶體位址由100開始，利用A[1]、A[2]、A[3]、A[4]及A[5]來表示
陣列的5個元素，則陣列A的所有元素之記憶體空間使用情形將
如下圖所示
由上圖知A[1]、A[2]、A[3]、A[4]及A[5]佔用了連續的記憶體空間且因為元
素的型態相同，因此使用的記憶體空間也相同
陣列儲存方法




6
陣列在記憶體中的儲存方式可分為「以列為優先」
(row major ordering)及「以行為優先」(column major
ordering)二種
「以列為優先」是在編排陣列中元素之順序時，由最
右邊的註標值開始進位
「以行為優先」則是在編排陣列中元素之順序時，由
最左邊的註標值開始進位
一般來說，由於以列為優先法較符合人類的習慣，因
此除了FORTRAN採用「以行為優先」外，其他的程
式語言多是採用「以列為優先」
範例

7
請針對二維陣列X[1:3, 1:5]，說明「以列為優
先」陣列元素在記憶體中排列的順序
範例

8
請針對二維陣列X[1:3, 1:5]，說明「以行為優
先」陣列元素在記憶體中排列的順序
陣列求址公式


對於陣列中特定的元素若要知道儲存該元素的
記憶體空間之位址，必須利用陣列求址公式來
計算
陣列求址公式分為
–
–
–
9
一維陣列
二維陣列
多維陣列
一維陣列求址公式
陣列為X(l:u)，其中l為陣列之註標下限，u為
陣列之註標上限，w為每個元素所使用的記憶
體空間大小
 陣列元素個數：(u- l+1)。
 陣列佔用記憶體空間量：(u- l+1)×w。
 陣列X的位址函數L：L(X[i])=α＋w×(i-l)
其中α為陣列X在記憶體中之起始位址

10
一維陣列求址範例

11
假設一陣列規格如下：int X [1:100]；陣列起始為20，
一個整數佔用二個記憶體空間，則X這個陣列佔用的
記憶體空間的計算方法如下
二維陣列求址公式




陣列為X(l1:u1, l2:u2)，其中l1為陣列左方維度之註標下限，u1為陣
列左方維度之註標上限，l2為陣列右方維度之註標下限，u2為陣
列右方維度之註標上限
陣列元素個數：(u1- l1+1)×(u2- l2+1)
陣列佔用記憶體空間量：(u1- l1+1)×(u2- l2+1)×w
陣列X的位址函數，分為「以列為優先」及「以行為優先」二種
，假設α為陣列X在記憶體中之起始位址：
–
「以列為優先」位址函數：

–
「以行為優先」位址函數：

12
Lrow (X[i,j])=α＋w×[(i-l1)×(u2- l2+1)+(j-l2)]
Lcolumn (X[i,j])=α＋w×[(j-l2)×(u1- l1+1)+(i-l1)]
二維陣列求址範例

13
假設一陣列規格如下：int X [1:100, 5:90]；陣列起始為
20，一個整數佔用二個記憶體空間，則X陣列佔用的
記憶體空間的計算方法如下
二維陣列求址範例 (cont.)
14
多維陣列求址公式
15
多維陣列求址公式 (cont.)
16
多維陣列求址範例
三維陣列A[1:4;0:5;2:6]，共有幾個元素？
 解：120
分別計算各個維度元素的個數：
「1:4」：有4個元素，「0:5」：有6個元素，「2:6」：
有5個元素。
將各個維度元素的個數相乘即為所求：4×6×5＝120。
由以上說明可知，題意的三維陣列A共有120個元素

17
特殊矩陣表示法


矩陣便是二維陣列
介紹三種特殊矩陣表示法
–
–
–
18
稀疏矩陣(sparse matrix)
下三角矩陣(lower triangular matrix)
上三角矩陣(upper triangular matrix)
稀疏矩陣

19
稀疏矩陣是指矩陣中非零的元素數量很少，常
用的表示法有「直接表示法」及「列-行索引
表示法」(row-column indexing)二種
稀疏矩陣--直接表示法
直接利用二維陣列A來表
示稀疏矩陣。因稀疏矩陣
共有25個元素， A便需宣
告為有25個元素的二維陣
列，一個陣列元素存在一
個矩陣元素，對應關係如
下頁
20
稀疏矩陣--直接表示法 (cont.)
21
稀疏矩陣--列-行索引表示法

int A[S] [3];
–
–
–
–

第i個非零項相關資料如下(由左而右，由上而下)：
–
–
–
22
S : 總非零項個數
A [0] [0] : 總列數
A [0] [1] : 總行數
A [0] [2] : 非零項總個數
A [i] [0] : 所在列數
A [i] [1] : 所在行數
A [i] [2] : 值
下三角矩陣


「下三角矩陣」是指矩陣內
對角線以上(不含對角線)所
有元素之值皆為0，如右圖
以列為主序(即依照第一列，
第二列，…，第n列之順序)
，將「下三角矩陣」依序儲
存則，aij元素代表第i列第j行
的元素，相當於「下三角矩
陣」中第[1+2+…+(i-1)]+j =
個元素

23
以行為主序(即依照第一行，第二行，…，第n行之順序)把「下
三角矩陣」則aij元素代表第i列第j行的元素，相當於「下三角矩
陣」中第[n+(n-1)+…+(n-(j-2)]+(i-j)+1 =
個元素
上三角矩陣



24
「上三角矩陣」是指矩陣內對
角線以下(不含對角線)所有元
素之值皆為0，如右圖所示
以列為主序，將「上三角矩陣
」依序儲存則，aij元素代表第i
列第j行的元素，相當於「上三
角矩陣」中第
個
元素
以行為主序把「上三角矩陣」
則aij元素代表第i列第j行的元
素，相當於「上三角矩陣」中
第[1+2+…+(j-1)]+i =
個元素
鏈結串列

鏈結串列(linked list)是寫作程式時，常用的一
種資料結構。在鏈結串列中是利用指標來表示
元素之下一個元素的位址。常用的格式如下
上圖中「資料欄位」用來存放資料內容，若資
25
料項目有多個則可以有多個「資料欄位」，而「
鏈結欄位」則是用來存放下一筆資料的位址
鏈結串列實例

26
最後一筆資料的「鏈結欄位」內容為「nil」代
表該筆資料的後方已無資料
使用鏈結串列資料結構的理由
27
理由
說明
記憶體空間的
管理較有彈性
因為陣列元素存放在記憶體中，需佔用連續的記憶
體空間，而鏈結串列的元素不需佔用連續的記憶體
位置來存放，只需透過指標值即可得下一個元素的
位置，因此鏈結串列對於記憶體空間的管理比較有
彈性
資料的插入或
刪除較容易
若要對陣列中的元素執行插入(insert)或刪除(delete)
的動作，由於可能會牽涉大量資料的搬移，所以需
要耗費較多的時間，難度較高；若是對鏈結串列中
的元素執行插入或刪除的動作，由於不會涉及資料
搬移的動作，只需變動指標的指向即可，所以比較
節省時間，難度較低
鏈結串列與陣列的比較
28
堆疊



29
堆疊(stack)是指一有序
串列(ordered list)
僅能由一端做加入(add)
與刪除(deletion)的動作
，此端稱作開口端(或頂
端)，而另一端則稱為封
閉端(或底端)，
堆疊具有先進後出(First
In Last Out--FILO)或後
進先出(Last In First Out-LIFO) 的特性
堆疊的操作

堆疊有下列五項主要操作
–
–
–
–
–
30
create (新建一個堆疊)
push (加入一新資料項進入堆疊)
pop (由堆疊中刪除一個資料項)
top (讀取出堆疊中最頂端的資料項，但堆疊內容未
被破壞)
isempty (檢查是否為空堆疊)
堆疊的操作 – create, 建立一個新的堆疊
31
堆疊的操作 – push, 加入一新資料項進入堆疊
32
堆疊的操作 – pop, 從堆疊中取出一個元素
33
堆疊的操作 – top,從堆疊中讀取最靠近開口
端元素之值，但不破壞堆疊之結構
34
堆疊的操作 – isempty,檢驗堆疊是否為空堆疊
35
範例


36
若有一堆疊，其內的資料為
ABCDEF，其中堆疊頂端的資料
是F。假設push(X)代表將資料X
壓入堆疊中，而pop代表從堆疊
頂端取出資料，試問當堆疊的操
作順序是push(X)，pop，pop，
push(X)，pop，pop，push(X)，
push(X)，pop，pop時，完成此
序列操作後，堆疊頂端的資料應
為何？
ANS: D
運算式的轉換

運算式是用來表達計算過程的表示法
–


37
例如「a+b」便是對運算元(operand) a與b執行加法運算子
(operator)之計算
運算式常見的表示法有中置式(infix)、前置式(prefix)
及後置式(postfix)三種
人類習慣採用中置式來表示運算式，但計算機的運算
則是採用前置式或後置式較為方便；因此一般來說，
程式設計師利用中置式來表達計算過程，但這些以中
置式寫成的敘述，在計算機處理前會先被轉換成前置
式或後置式
中置式

將運算子擺放在對應運算元的中間
–
38
<運算元> <運算子> <運算元>；如：x＋y。
前置式(prefix)

將運算子擺放在對應運算元的前面，又稱
polish notation
–
39
<運算子> <運算元> <運算元>；如：＋xy
後置式(postfix)

將運算子擺放在對應運算元的後面，又稱
reverse polish notation
–
40
<運算元> <運算元> <運算子>；如：xy＋
中置式轉換為前置式



41
將運算式中的運算子以左小括號「(」及右小
括號「)」分隔開來，分隔之方式是對每一個
運算子加入一組相對應的「(」，「)」且分隔
時需考慮運算子運算的優先順序
依照運算子的優先順序對「(」，「)」加入編
號
將運算子取代相對應的「(」，並去除剩餘的
所有「)」
中置式轉為後置式



42
將運算式中的運算子以左小括號「(」及右小
括號「)」分隔開來，分隔之方式是對每一個
運算子加入一組相對應的「(」，「)」且分隔
時需考慮運算子運算的優先順序
依照運算子的優先順序對「(」，「)」加入編
號
將運算子取代相對應的「)」，並去除剩餘的
所有「(」
範例

43
若有一中置式
為A+B-C*D/E
請將其轉換為
對應的前置式
及後置式
範例


44
請利用堆疊對以下前置式
作求值動作： - + A B / * C
DE
利用堆疊對「前置式」作
求值動作時，必須由右至
左來處理，遇到運算元時
將運算元push到堆疊中，遇
到運算子時由堆疊中pop出
二個運算元執行該運算子
之運算後，再將結果push回
堆疊中
範例


45
請利用堆疊對以下後
置式作求值動作：
AB+CD*E/利用堆疊對「前置式
」作求值動作時，必
須由左至右來處理，
遇到運算元時將運算
元push到堆疊中，遇
到運算子時由堆疊中
pop出二個運算元執
行該運算子之運算後
，再將結果push回堆
疊中
範例


考慮下面這一個遞迴
公式，其中n是正整數
f(n)=f(n-1)×n，f(1)=1
請問f(100)是什麼？
解：100!
–
46
本題為求階層值的重
要範例，建議由最小
的輸入值1開始往目標
值100的方向來處理，
處理步驟如右
佇列

47
佇列(queue)是一個有序串列，元素的加入與刪
除是在不同端進行，所以佇列有先進先出
(FIFO)的特性，元素的刪除由前端(front)進行
，而元素的插入則由後端(rear)進行
範例


48
若有一佇列，初始時為空佇
列。假設Add(X)代表將資料X
加入佇列後端，而Delete代表
從佇列前端取出資料，試問
當佇列的操作順序是Add(A)
，Add(B)，Delete，Add (C)
，Add (D)，Delete，Add (E)
，Add (F)，Delete時，完成此
序列操作後，佇列內的資料
應為何？
解：C
佇列的操作

佇列有下列五項主要操作，分別是：
–
–
–
–
–
49
create (新建一個佇列)
add (加入一新資料項進入佇列)
delete (由佇列中刪除一個資料項)
front (讀取出佇列中最頂端的資料項，但佇列內容
未被破壞)
isempty (檢查是否為空佇列)
佇列的操作– create, 新建一個佇列
50
佇列的操作

51
上圖中的佇列有9個元素，編號由4~12，，因
此front指標會指向佇列第3個元素處，而rear指
標則會指向佇列最後一個元素處(即第12個元
素)
佇列的操作--add , 加入一新資料項
52
佇列的操作-- delete , 刪除一個資料項
53
佇列的操作-- front , 讀取出佇列中最頂端
的資料項，但佇列內容未被破壞
54
佇列的操作-- isempty, 檢查是否為空佇列
55
佇列結構在電腦上的應用

56
佇列結構在電腦上的應用有作業系統的工作排
程(job scheduling)，如印表機之列表工作、輸
入出之緩衝區及圖形之寬度優先追蹤(BreadthFirst-Search)等應用
樹

57
樹(tree)是由一個或多個節點(node)構成，其中一個節
點稱為樹根(root)，若移去樹根節點，剩下的節點可分
為n個互斥集合，n  0，每個集合也是一棵樹，稱為
樹根節點的子樹(sub-tree)
樹的特性

樹具有三項必要特性
–
–
–
58
必須是連通圖(connected graph)
不允許迴路(cycle)
樹中節點數目必須恰比邊的數目多1(假設樹中有x
個節點，y個邊，則x = y+1)
相關名詞
59
相關名詞(cont.)
60
樹的表示法

常見的樹的表示法有
–
–
–
61
鏈結串列表示法
串列表示法
范氏圖表示法
樹的表示法-- 鏈結串列表示法
62
樹的表示法-- 鏈結串列表示法(cont.)
→
63
上圖中「nil」代表該欄位並未指到一存放有資料的節點，也就是「空的」欄位。
上圖共有14個節點，鏈結欄位共有14×4=56個，其中只有13個鏈結欄位指到一個真
正節點之位置，相當於只有13/56比例的鏈結欄位是存放有意義的資訊，其他鏈結
欄位的空間因為存放了「nil」，相當於是一種空間的浪費
樹的表示法--串列表示法

串列表示法主要的作法是利用小括號來表示樹
狀結構中上、下階層的關係
→
64
樹的表示法--范氏圖表示法

范氏圖法類似數學之集合表示法，樹狀結構中
的所有節點都會利用一個圓形來代表。樹狀結
構中的子節點的圓形必須在父節點圓形的內部
→
65
二元樹


在樹狀結構中如果每個節點的分支度皆小於或
等於2，則此類的樹狀結構可被稱為二元樹
(binary tree)
二元樹的定義
–
–
–
–
66
可為空集合
有限節點的集合
由一個樹根以及左右兩個子樹所構成的
左右兩個子樹必須是二元樹
二元樹與樹的差別




67
樹不得為空集合，因此「二元樹」不一定是「
樹」
二元樹節點的數目大於或等於0個，而樹節點
的數目則是大於或等於1個
二元樹有左、右子樹之分，樹則無
樹無子節點個數之限制而二元樹則限制任一節
點之子節點個數最多為二個
二元樹的定理
68
實例
69
特殊二元樹
70
特殊二元樹
71
二元樹表示法

二元樹表示法
–
–
72
陣列表示法
鏈結串列表示法
二元樹表示法 --陣列表示法 (1/3)



73
將二元樹依完滿二元樹
的節點編號後，以一維
陣列來儲存此二元樹
儲存方式為以二元樹節
點的編號做為陣列的註
標值，將節點依編號儲
存在陣列中
假設有一個二元樹，其
結構如右
二元樹表示法 --陣列表示法 (2/3)

74
由上圖中知節點的編號最大
值為15，因此需要一個具有
15個元素的一維陣列來儲存
，在二元樹中節點之編號值
有1、2、3、5、6、7、12及
15共有8個，因此陣列中僅
註標值為1、2、3、5、6、7
、12及15的8個項目中會存
放二元樹節點之資料，其他
項目則是未存放任何資訊
二元樹表示法 --陣列表示法 (3/3)


75
陣列表示法最大的缺點是可能
會使得空間利用率不佳。若二
元樹為n層右歪斜樹 則空間利
用率為n/(2n-1)
如二元樹為七層右歪斜樹，
由於一層只有一個節點，因此
七層右歪斜樹共有7個節點，
編號分別是1、3、7、15、31
、63及127，所以需要一個具
有127個元素的一維陣列來儲
存具有7個節點的七層右歪斜
樹，只有7/127的空間被使用
，其他的空間並未被使用
二元樹表示法--鏈結串列表示法


76
二元樹若以鏈結串列表
示法表示其節點結構如
右
其中「data」代表資料
欄位，「L-link」代表左
子樹鏈結欄位，而「Rlink」則是代表右子樹鏈
結欄位
二元樹表示法--鏈結串列表示法 (cont.)
→
77
二元樹追蹤


二元樹追蹤之目的是要依照某種規定的順序來
處理二元樹中的所有節點
依照處理順序的不同，二元樹追蹤法可分為
–
–
–
78
前序追蹤法
中序追蹤法
後序追蹤法
前序追蹤法(preorder traverse)

79
先追蹤樹根，再追
蹤左子樹，最後再
追蹤右子樹
中序追蹤法(inorder traverse)

80
先追蹤左子樹，再追
蹤樹根，最後再追蹤
右子樹
後序追蹤法(post-order traverse)

81
先追蹤左子樹，再
追蹤右子樹，最後
再追蹤樹根
範例


請就右方的二元樹T作
前、中、後序追蹤
解：
–
–
–
82
前序追蹤之結果為：
ABDCEGFH
中序追蹤之結果為：
BDAGECFH
後序追蹤之結果為：
DBGEHFCA
範例


若一二元樹是以一維陣
列來儲存，資料依序儲
存，內容分別為：
1,2,3,4,5,6,7。請對該二
元樹作前、中、後序追
蹤並寫出結果
解：
–
–
–
83
前序追蹤：1245367
中序追蹤：4251637
後序追蹤：4526731
範例


某二元樹的前序追蹤為
ABDCEGFH，而中序
追蹤為BDAGECFH ，
試繪出此二元樹
解：
–

84
二元樹的前序追蹤結果
的第一個符號必定是樹
根
結論：已知前序表示式
與中序表示式，可唯一
決定出一棵二元樹
範例


某二元樹的後序追蹤為
DBGEHFCA，而中序追蹤
為BDAGECFH ，試繪出此
二元樹
解：
–

85
二元樹的後序追蹤結果的最
後一個符號必定是樹根
結論：已知後序表示式與
中序表示式，可唯一決定
出一棵二元樹
範例


86
某二元樹的前序追蹤
為ABC，而後序追蹤
為CBA，試繪出此二
元樹
已知前序表示式與後
序表示式，對應的二
元樹不一定唯一
運算式的二元樹表示法

將運算式轉換成相對應的二元樹表示法的主要目的是
對此二元樹執行前、中後序追蹤時可得到相對應的前
置式、中置式或後置式表示法。轉換法介紹如下：
–
–
將運算式依運算子的運算優先順序，適當地加上左右小括號
，並依運算順序加上編號
將每一組左右小括號內的運算子及運算元依以下原則處理


87
運算子做為樹根，左運算元做為左子樹及右運算元做為右子樹
若運算子為單一運算子(unary operator)則該運算子所代表之節點
，可只有一子節點
範例


請將下列式子轉
換成二元樹表示
法：(a+b)*c(d+e)/f
解：
–
88
(1)
首先，將運算式
依運算子的運算
優先順序，適當
地加上左右小括
號，並依運算順
序加上編號
(2)
(3)
二元樹排序法


89
二元樹除了可以用來作為撰寫程式時的資料結
構外，也可使用二元樹來執行排序作業
可執行排序作業的二元樹稱為二元搜尋樹
(binary search tree)
二元搜尋樹的建立方式


將欲排序的資料依序輸入，第一個輸入的資料做為二元樹的樹根
第二個到最後一個輸入的資料皆會由樹根值開始做比較動作，可
能情形有二種
–
–


90
若小於或等於樹根值則輸入資料將往左子樹方向移動，若無左子樹
則輸入資料將成為左子樹的樹根節點，否則將繼續與左子樹之樹根
值比較大小，移動方向同第一次與二元樹的樹根節點值比較時處理
方式相同
若大於樹根值則輸入資料將往右子樹方向移動，若無右子樹則輸入
資料將成為右子樹的樹根節點，否則將繼續與右子樹之樹根值比較
大小，移動方向同第一次與二元樹的樹根節點值比較時處理方式相
同
依此法反覆處理，直到所有輸入資料處理完畢為止
依照上述方式建立的二元樹稱為二元搜尋樹，利用中序追蹤法追
蹤二元搜尋樹，輸出的結果即為由小到大之排序結果
範例

91
若輸入資料依序為：5，3，7，6，4，8，2，9，1。
請建立相對應的二元搜尋樹
若對此二元搜尋樹執行中序
追蹤法得到的結果值為1、2
、3、4、5、6、7、8、9恰為
由小到大之排序結果
二元樹計數問題

92
「二元樹計數
」問題是指當
給定二元樹之
節點數後，決
定二元樹種類
個數之問題
二元樹計數問題(cont.)
93
樹的二元樹表示法


若有一個節點總數為n的K元樹(K-ary tree)，若每個節
點均有K個鏈結欄位，則共有n ×(K-1)＋1個鏈結欄位
會指向nil。由於二元樹比一般樹較節省儲存空間(因為
可減少nil鏈結欄位之個數)，而且二元樹的追蹤法比較
容易處理，所以在實際應用上，一般樹都會轉成二元
樹來處理
樹轉成二元樹的作法稱為leftmost-child-next-rightsibling
–
–
–
94
將各節點的兄弟節點相連。
就某一節點而言，僅保留其與最左的子節點之鏈結欄，其餘
子節點的鏈結欄全數刪除
順時針旋轉45度
範例

95
將下列的樹轉換
成相對應的二元
樹
引線二元樹

96
引線二元樹觀念的提出主要是為了解決大部份的二元
樹鏈結欄位會指向「nil」的問題。二元樹的鏈結欄位
大約有一半的比例指向「nil」(若二元樹有n個節點，
則共有2×n個鏈結欄位，其中有(n-1) 個鏈結欄位會指
向子節點之位址，因此將有(n+1) 個鏈結欄位所儲存的
內容是「nil」)，「nil」只是代表「沒有子節點」，並
非有意義的資訊，若能妥善加以利用，將鏈結欄指向
特定節點，便可讓原本未存放有意義資訊的節點的內
容，變為可被利用的資訊
引線二元樹的節點結構


97
其中L-tag與R-tag為boolean值，當其值為1時代表對應的L-link或
R-link欄位指向子節點；當其值為0時則代表對應的L-link或R-link
欄位原本內容為「nil」，此時的L-link或R-link欄位便被稱為引線
(thread)，且L-link欄位將指向該節點之中序追蹤結果的前繼節點
的位置，而R-link欄位將指向該節點之中序追蹤結果的後繼節點
的位置
若使用引線二元樹用途則不需使用堆疊就可作中序追蹤
引線二元樹的表示法


98
若引線二元樹為空集合
則表示法如右圖
若二元樹非空集合則將
右圖中的「L-tag」欄位
設為1，「L-link」欄位
則指向二元樹的樹根節
點
引線二元樹範例 (1/3)

請將下列的二
元樹轉換成相
對應的引線二
元樹
二元樹的鏈結串列表示法
99
引線二元樹範例(2/3)
10
0
引線二元樹範例(3/3)
10
1
搜尋


搜尋(searching)是指根據某個鍵值在表格或檔
案中找出相對應的資料
依照資料存放位置的不同將搜尋分為二大類：
–
–
10
2
內部搜尋(internal searching)：可將表格或檔案直接
放置在主記憶體中
外部搜尋(external searching)：無法將表格或檔案直
接放置在主記憶體中
常見的搜尋法

10
3
循序搜尋法(sequential search) 、二元搜尋法
(binary search) 、雜湊搜尋法(hashing search) 、
費氏搜尋法(Fibonacci search)、內插搜尋法
(interpolation search)、m路搜尋樹搜尋法，Btree搜尋法，B+-tree搜尋法，等方法
循序搜尋法



循序搜尋法適用於小型檔案且不需要事先排序好資料
由檔案的第一筆(也可是最後一筆)記錄開始搜尋的動
作，依照順序一一的比對鍵值直到找到相同的鍵值為
止或找完整個檔案未發現符合者為止
優點
–

缺點
–
10
4
作法簡單易懂且資料不需事先排序
當檔案較大時，處理效率不佳
循序搜尋演算法







10
5
/* 欲搜尋的檔案名稱F。*/
/* 檔案中記錄的個數n。*/
/* 存放資料鍵值的一維陣
列X，元素個數有n個。*/
/* 目前搜尋動作處理的記
錄編號i。*/
/* 欲搜尋的鍵值key。*/
/* result=true：找到欲搜尋
的鍵值。*/
/* result=false：未找到欲
搜尋的鍵值。*/
假設檔案中的資料筆數有n筆，則利用循
序搜尋法最少比較次數為1次，最多比較
次數為n次，平均比較次數為n/2次
範例
假設有一批資料存放在檔案中如以下的順序：
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70
若以循序搜尋法尋找「35」，請問必須比對幾
次資料才找到「35」
 解：7次資料比對動作
依5, 10, 15, 20, 25, 30, 35的順序作資料比對動
作，在第7次比對時找到資料35

10
6
二元搜尋法


10
7
二元搜尋法要求必須先將檔案中的資料事先排
序好
由檔案的中間開始做搜尋的動作，每次可除去
一半的資料
二元搜尋演算法



1.搜尋區間設定為所有資料。
2.取出搜尋區間中間位置的資料Dm，假設其鍵值為
keym
3.將欲搜尋的鍵值keyGOAL與檔案的中間鍵值 keym 比較
–
–
–

10
8
(1)如果keyGOAL＝ keym則Dm即為所要找的資料
(2)如果keyGOAL < keym則搜尋區間設定為原搜尋區間的前半部
(3)如果keyGOAL > keym則搜尋區間設定為原搜尋區間的後半部
重複步驟2和步驟3直到找到資料或搜尋區間的大小變
為0（表示該資料不存在）為止。
二元搜尋法程式段





10
9
/* 欲搜尋的檔案名稱F。*/
/* 檔案中記錄的個數n。*/
/* 欲搜尋的鍵值keyGOAL。
*/
/* result=true：找到欲搜尋
的鍵值。*/
/* result=false：未找到欲
搜尋的鍵值。*/
範例
假設有一批資料存放在檔案中如以下的順序：
1, 5, 10, 11, 14, 22, 23, 35, 48, 51, 56, 63, 65, 72, 77
試以二元搜尋法尋找「56」。請列出尋找的順序。
假設題意中的15筆資料存放於陣列X中，儲存方式如下

11
0
11
1
11
2
範例


若檔案中的資料筆數有n筆，請問二元搜尋法
的平均時間複雜度(time complexity)為何？空
間複雜度(space complexity)為何？
解：
–
–
11
3
(1)時間複雜度: O(log n)
(2)空間複雜度: O(1)
雜湊搜尋法


雜湊搜尋法是利用資料的鍵值透過雜湊函數(hashing
function)的轉換成為資料在儲存體中存放的位址。雜
湊搜尋法所建立的資料儲存在儲存體中並無一定的順
序，主要特點為搜尋速度極快但理想的雜湊函數不易
設計
雜湊搜尋法的作法
–
–
–
11
4
(1)將資料區切割成以bucket為單位。
(2)一個bucket中可包含有數個slot，每個slot中存放一筆記錄
(3)每筆記錄皆具有一個鍵值，可利用數學函式對該鍵值進行
計算以取得其存放在儲存裝置中的位址(bucket address)
雜湊函數範例

假設s為檔案存放在儲
存裝置起始位址，檔
案佔用的儲存區空間
為n，則雜湊函數f定
義如下
–
f(x)=s+(x mod n)

11
5
若s=1000, n=7時，記錄
鍵值x與對應的儲存區
空間位址如右表
若要搜尋鍵值為8的記錄時，此時必須執
行以下敘述：
f(8)=1000+(8 mod 7)＝1001
由於結果值為1001，因此到位址1001處便
可找到鍵值為8的記錄
碰撞現象(collision)


11
6
上表中當x=1及x=8時，對應的儲存區空間位址
皆為1001，代表鍵值為1及8的二筆不同記錄必
須存放在相同的記憶體空間，這個現象被稱為
鍵值為1及8的二筆不同記錄發生了碰撞現象。
即 if x1x2 then f(x1)=f(x2) ( 碰撞 )
碰撞現象會影響記錄在儲存區空間的存放位置
，因此在設計雜湊函數時應該儘量避免發生碰
撞的可能性
費氏搜尋法


11
7
利用費氏搜尋法(Fibonacci Search)計算一個資
料位置時，不需用到乘除的運算，只需要加減
運算即可，資料搜尋的順序是根據「費氏數列
」
「費氏數列」定義如下
中分的依據如下：
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，….
費氏搜尋法基本特性 (1/3)

11
8
若一樹為費氏樹，則就任一節點而言，其左右
子樹亦滿足費氏樹的限制；即任一子節點與父
節點的差值均相同(如下圖)，且此差值亦為一
費氏數
費氏搜尋法基本特性(2/3)

11
9
若由分支(branch)角度觀察結果如下圖
費氏搜尋法基本特性(3/3)

12
0
若由節點角度觀察結果如下圖
費氏搜尋法結論

當資料數目為(Fn-1)個時，搜尋資料key的過程如下：
–
–
–


12
1
(1)若key = 第Fn-1個資料值則結束
(2)若key < 第Fn-1個資料值，則繼續搜尋前半部資料(共Fn-1-1
個)
(3)若key > 第Fn-1個資料值，則繼續搜尋後半部資料(共Fn-2-1
個)
由於費氏搜尋法是利用二元樹結構來建置資料，當資
料為n筆時，二元樹的高度為log2 n，因此，費氏搜尋
法的時間複雜度為 O(log n)
平均花費時間少於二元搜尋法但最差情況比二元搜尋
法費時
內插搜尋法



內插搜尋法的作法是在已事先排序好的資料中利用線
性內插的原則來搜尋資料
若檔案中的鍵值分佈極為平均時，則內插搜尋法將有
不錯的效能
利用內插搜尋法搜尋資料，十分類似在英漢字典內搜
尋英文字彙的動作
–
12
2
例如要找「zoo」，因為第一個字母是「z」，所以「zoo」這
個字彙一定會在字典很後面的位置，所以翻查字典時可以略
過大半部字典，直接由字典的尾端來找即可
內插搜尋演算法





12
3
/* 存放資料鍵值的一維陣
列X，元素個數有n個。*/
/*X的註標值介於1~n 之
間*/
/* 欲搜尋的鍵值K。*/
/*found代表找到的資料在
陣列X中的註標值*/
/*但若found= 0則代表未
搜尋到資料*/
m路搜尋樹(m-way search tree)搜尋法



12
4
「m路搜尋樹」改進了傳統樹的結構中每一個
節點鍵值只限定一個的規定
若增加每一個節點中鍵值的數目，若鍵值總數
不變則所需的節點總數便會減少，如此一來樹
的高度就降低了
樹的高度一旦降低就代表做搜尋動作時所需的
比較次數相對地也就降低了
m路搜尋樹定義







12
5
m路搜尋樹為T的定義如下：
(1)T可以是 空集合
(2)若T非空集合，則T的節點結構為：n,I0,k1,k2,I2,…,kn,In
其中 Ia是指向T子樹的指標，其中0  a  n，且 kb是節點中的鍵值
，其中1  b  n
(3)節點中的鍵值是依由小到大的順序來排列，即 k1<k2…..<kn
(4)透過指標 Ii所指向的子樹中之所有鍵值均小於ki+1，其中0  i  n
(5)透過指標 Ii+1所指向的子樹中之所有鍵值均大於ki+1，即
ki<Ii所指向的子樹的所有鍵值 <ki+1
(6)所有指標Ii所指向的子樹均符合m路搜尋樹的特性，其中0  i  n。
m路搜尋樹注意事項

n  m-1
–

12
6
若為5路搜尋樹(即m=5)則n的值應小於等於4。
m路搜尋樹代表每一個節點最多有(m-1)個鍵值
與m個子樹
「4路搜尋樹」實例
12
7
以尋找鍵值為70的記錄為例
12
8
B-樹搜尋法


B-樹搜尋法是指利用B-樹結構來執行搜尋動作
級數(order)為m的B-樹之定義如下：
–
–
–
–
–
12
9
(1)m路搜尋樹的一種
(2)可以是空集合
(3)所有的失敗節點(failure node)均在同一階層上
(4)樹根至少有二個子節點
(5)除樹根及失敗節點外所有的節點之子節點數介於
m / 2及m之間
級數為3的B-tree(2-3 tree)實例
13
0
B-樹搜尋法的作法與m路搜尋樹搜尋法基本上是相同的，唯一的不同處是
當在B-樹中無法找到資料時會到達失敗節點，而m路搜尋樹中並無失敗節
點
B+樹(B+ Tree) 搜尋法



13
1
B+-tree是B-tree變形
所有的鍵值均放在終端節點上
非終端節點僅含有指標會指向資料真正存放的
位置(即索引指標)
實例

13
2
請按資料順序建立一個級數為3的B+樹：30，
50，20，60，40，10
(1)加入30：
(2)加入50：
(3)加入20：
(4)加入60：
(5)加入40：
(6)加入10：
13
3
(7)最後將所有樹葉節點用指標串聯起來，如此
一來所有的鍵值便會依照由小到大的順序加以
排列
13
4
範例


B樹或B+ 樹的最大缺點為何？
解：
–
–
13
5
B樹或B+ 樹的最大缺點為浪費儲存區空間。因為每
個節點的大小都是固定的，因此所需要的儲存區空
間都是相同的，但並非每個節點都會用到所有的空
間
B樹或B + 樹的最大缺點就是可能會浪費儲存區空
間
排序


排序(sorting)是指將一群資料根據資料中某個鍵值
(key)，將資料重新安排順序(由大到小或由小到大加以
排列)
排序法一般分為內部排序(internal sort)與外部排序
(external sort)二種
–
–
13
6
外部排序：又稱檔案排序(sorting of file)，將欲執行排序的資
料一部份存放在主記憶體中，一部份則存放在輔助記憶體中
。此種排序法必須同時利用主記憶體及輔助記憶體才能完成
工作
內部排序：又稱為陣列排序(sorting of array)，將欲執行排序
的資料置於全部主記憶體中進行排序
常用的內部排序法

常用的內部排序法
–

以下將介紹常用的內部排序法，所有的演算法均基於
以下的假設
–
–
13
7
「插入排序法」(insertion sort)、「選擇排序法」(selection
sort)、「泡沫排序法」(bubble sort)、「快速排序法」(quick
sort)、「合併排序法」(merge sort)、「堆積排序法」(heap
sort)
目標：完成將n個元素由小到大之排序作業
X : 代表欲排序的所有記錄之集合，X含有n 個待排序的記錄
分別是X1、X2、…及Xn，而其鍵值則分別是X[1]、X[2]、…
及X[n]
插入排序法


13
8
加一個虛擬記錄(dummy record)於所有資料的
前端，而此虛擬記錄的值為必須小於欲排序資
料中的最小值。
由左往右掃描，一次處理一個新的值，將此新
值插入左邊已排序好的資料中之適當位置
插入排序演算法
13
9
插入排序法實例


14
0
(1)先加入虛擬記錄：
－∞，5，6，7，8，6*，4，9，1，3，2
(2)由左往右掃描，一次處理一個新的值，將
此新值插入左邊已排序好的資料中之適當位置
。在插入排序法中每次處理一個新的值的動作
稱為一個pass
插入排序法實例

14
1
(3)各階段完成之工作如下所示：
穩定排序法/不穩定排序法

14
2
若一檔案中含有二個或二個以上相同的鍵值，
則這些相同的鍵值經由排序動作處理後若仍維
持原來的順序則可稱此排序法為穩定排序法，
否則即為不穩定排序法
時間複雜度


14
3
最差時間複雜度是指演算法執行時所需要的最
多執行步驟數
平均時間複雜度則是指所有可能狀況下的平均
執行步驟數
插入排序法結論



插入排序法為穩定排序法
平均時間複雜度為O(n2)及最差時間複雜度為O(n2)，而
空間複雜度則為 O(1)
時間複雜度分析：
–
14
4
若使用插入排序法排序n筆資料，執行第一次處理時，必須做
一次比較動作，執行第二次處理時，必須做二次比較動作，
依此類推，執行第n次處理時，必須做n次比較動作，所以總
比較次數為(1+2+…+n)。由以上分析知插入排序法之平均時
間複雜度及最差時間複雜度均為O(n2)
選擇排序法


選擇排序法的作法相當直覺而且簡單，但是由
於效率並不十分理想，所以當要處理的資料筆
數較多時，不建議採用選擇排序法
選擇排序法作法
–
–
–
14
5
1.由左往右掃描
2.每掃描一次就找出欲排序資料中具最小值的資料
，並與此資料列中最左邊的元素對調
重覆步驟1和2共n次，直到所有資料皆處理完畢為
止
選擇排序演算法
14
6
選擇排序法實例


14
7
請以選擇排序法來排序下列資料：
5，6，7，8，6*，4，9，1，3，2（以“*”來區分相同鍵
值）
14
8
選擇排序法結論


選擇排序法處理的檔案中若含有二個或二個以上相同
的鍵值(如本題中的6及6*)，由於這些相同的鍵值經由
排序動作處理後可能會改變原來的順序，因此選擇排
序法為不穩定排序法
平均時間複雜度為O(n2)及最差時間複雜度為O(n2)，而
空間複雜度則為 O(1)
–
–
14
9
若使用選擇排序法排序n筆資料，執行第一次處理(pass)時，
必須做(n-1)次比較動作，執行第二次處理時，必須做(n-2)次
比較動作，依此類推，執行第(n-1)次處理時，必須做1次比較
動作，所以總比較次數為(n-1)+(n-2)+…+1
由以上分析知選擇排序法之平均時間複雜度及最差時間複雜
度均為O(n2)
氣泡排序法


氣泡排序法的特色是每執行完一個階段的處理，便會
將待排序資料中的最大項資料「推」到待排序資料的
最右方，就像是氣泡由水底浮到水面的過程一樣
氣泡排序法作法
–
–
–
15
0
1.由左往右掃描。
2.將欲排序的資料作兩兩相鄰的比較動作，較小的元素在左
，較大的元素在右，當掃瞄完一次欲排序的資料後將至少有
一個資料已在正確的位置
3.重覆步驟1和2共 n-1次；或重覆步驟1和2直到資料無互換動
作為止
氣泡排序演算法
15
1
氣泡排序法實例

15
2
請以氣泡排序法來排序下列資料：
5，6，7，8，6*，4，9，1，3，2（以"*"來區分相同
鍵值）
15
3
15
4
15
5
15
6
15
7
15
8
氣泡排序法結論


氣泡排序法處理的檔案中若含有二個或二個以上相同
的鍵值(如本題中的6及6*)，由於這些相同的鍵值經由
排序動作處理後不會改變原來的順序，因此氣泡排序
法為穩定排序法
平均時間複雜度為O(n2)及最差時間複雜度為O(n2)，而
空間複雜度則為 O(1)
–
15
9
若使用氣泡排序法排序n筆資料，執行第一次處理(pass)時，
必須做(n-1)次比較動作，執行第二次處理時，必須做(n-2)次
比較動作，依此類推，執行第(n-1)次處理時，必須做1次比較
動作，所以總比較次數為(n-1)+(n-2)+…+1。由以上分析知氣
泡排序法之平均時間複雜度及最差時間複雜度均為O(n2)
快速排序法



快速排序法是一種具有最佳平均時間複雜度的排序法
，因此被廣泛使用
快速排序法又稱為partition exchange sort
快速排序法作法
–
–
–
16
0
1.先將欲排序資料中之第一筆資料的值做為定界比較標準
(Pivot)
2.每處理完一次處理後，所有比定界比較標準小的元素皆會
被搬移到定界比較標準的左邊，所有比定界比較標準大的元
素皆會被搬移到定界比較標準的右邊
3.在定界比較標準左邊的元素與在定界比較標準右邊的元素
分別再重複執行步驟1~步驟3，直到全部資料排序好為止
快速排序演算法




16
1
/* swap(A, B)的作用
為交換A與B的值*/
/*變數k 被設為定界
比較標準*/
/*由左向右找到第一
個X[i]  k，由右向左
找到第一個X[j]  k*/
/*若i<j則交換X[i]與
X[j]的位置，否則將
X[low]與X[j]的位置
交換*/
快速排序法實例

16
2
請以快速排序法來排序下列資料：
5，6，7，8，6*，4，9，1，3，2（以"*"來區分相同
鍵值）
16
3
16
4
快速排序法結論



16
5
快速排序法處理的檔案中若含有二個或二個以
上相同的鍵值(如本題中的6及6*，由於這些相
同的鍵值經由排序動作處理後可能會改變原來
的順序，因此快速排序法為穩定排序法
平均時間複雜度為O(n×log n)及最差時間複雜
度為O(n2)
快速排序法為「Divide and conquer」演算法的
一種
快速排序法時間複雜度分析
16
6
(二路)合併排序法

二路合併排序法可為內部或外部排序法。二路
合併排序法通常簡稱為合併排序法。作法如下
–
–
–
16
7
1.將資料中相鄰的兩個資料為一組互相排列合併。
2.每相鄰的兩組資料互相排列合併成較大的資料組
。
3.重覆1.和2.步驟直到所有的資料排列合併成一資
料組為止
合併排序法的處理原則


16
8
若合併排序法中每次合併的資料組數目不限定
為2，若每次合併的資料組數目為3則為三路合
併排序，若每次合併的資料組數目為4則為四
路合併排序
若每次合併的資料組數目為n則為n路合併排序
合併排序法範例

16
9
請以合併排序法來排序下列資料：
5，6，7，8，6*，4，9，1，3，2（以"*"來區分相同
鍵值）
合併排序法結論
17
0
時間複雜度分析：
若使用合併排序法排序n筆資料，約需log2n次處
理，而每次處理所須的處理時間為O(n)，因此共
需O(n log n)的時間。所以合併排序法的平均時
間複雜度與最差時間複雜度皆為O(n log n)
堆積排序法


堆積排序法採用完整二元樹的架構來表示資料，常被用來找出資
料中的最大或最小值
堆積排序法作法如下：
–
–
–
–
–
17
1
1.將所有欲做排序的資料建立成一完整二元樹。
2.將此完整二元樹轉換成堆積樹(heap tree)。堆積樹必須是完整二元
樹且每個節點的值均大於或等於子節點的值，因此，堆積樹中樹根
的值是所有節點中最大的。
3.將樹根與堆積樹中最後一個元素對調。將原樹根的值去除後將變
更後所得的新二元樹再調整成滿足堆積樹的特性，重覆此步驟直到
剩下一個節點時為止。(註：每次移去的值加入一個堆疊中)
重覆步驟2及3，直到堆積樹是空集合時為止。
4.輸出堆疊的值即可得一由小到大的排序結果
堆積排序演算法
17
2
堆積排序法實例

請以堆積排序法來排序下列資料：
5，6，7，8，4，9，1，3，2
1.建立成一完整二元樹
17
3
2.將此完整二元樹轉換成堆積樹
3.輸出9至stack, 將編號最大的節點調整為新樹根
4.輸出8至stack, 將編號最大的節點調整為新樹根
17
4
5.輸出7至stack, 將編號最大的節點調整為新樹根
6.輸出6至stack, 將編號最大的節點調整為新樹根
17
5
7.輸出5至stack, 將編號最大的節點調整為新樹根
8.輸出4至stack, 將編號最大的節點調整為新樹根
17
6
9.輸出3至stack, 將編號最大的節點調整為新樹根
10.輸出2至stack
11.輸出1至stack
12.輸出stack中所有的值
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
17
7
堆積排序法結論


堆積排序法為不穩定排序法
平均時間複雜度為O(n log n)及最差時間複雜
度為O(n log n)
–
17
8
若使用堆積排序法排序n筆資料，共需n次處理
(pass)，而每次處理所須的處理時間約為log2n，因
此共需O(n log n)的時間。所以堆積排序法的平均時
間複雜度與最差時間複雜度皆為O(n log n)
各種排序法的比較
17
9
圖形

圖形(graph)是由「端點」 (vertex)及「端點對
所構成的邊」(edge)二個非空集合所構成，一
般利用以下的符號來代表對應之元件：
–
–
–

18
0
V代表端點
E代表邊
G(V,E) 代表圖形
圖形中端點集合表示為V(G)，邊集合表示為
E(G)
無向圖與有向圖

圖形依邊的型態可分成下列兩類
–
–
18
1
無向圖(Undirected Graph)：E中的邊無方向性，(x,
y) = (y, x)，其中x及y為端點
有向圖(Directed Graph; Digraph)：E中的邊有方向
性，<x, y>  <y, x>，其中x及y為端點。在<x, y>
中，x是head，y是tail
無向圖範例


18
2
V(G) = {1, 2, 3, 4, 5}。
E(G) = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3,
5), (4, 5) }
有向圖範例


18
3
V(G) = {1, 2, 3, 4, 5}。
E(G) = {<1, 2>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3,
4>, <4, 5>, <5, 3> }
無向圖重要名詞 (1/10)

子圖(subgraph)
–
若G'為G的子圖，若且唯若(if and only if)：
V(G')  V(G) 且 E(G')  E(G)
18
4
上圖中G1、G2及G3均為G的子圖
無向圖重要名詞 (2/10)

相鄰(adjacent)
–

連接(incident)
–
18
5
圖形中一邊的二端點稱為相鄰。若邊(x, y)是E(G)中
的一邊，則端點x與y是相鄰的
若邊(x, y)是E(G)中的一邊，則邊(x, y)連接端點x與
端點y
無向圖重要名詞 (3/10)

路徑(path)
–
18
6
在圖形中，路徑是指一組由一連串端點所形成的連
續序列
1，2，4，5，3便是一組路徑
無向圖重要名詞 (4/10)

路徑長度(path length)
–
–

簡單路徑(simple path)
–

除起點和終點外，其餘節點均不可重覆的路徑
相連(connected)
–
18
7
路徑中包含的邊總數
上圖1，2，4，5，3路徑長度為4
兩個端點為相連，若且唯若，在這對端點間存在一
條路徑
無向圖重要名詞 (5/10)

相連圖(connected graph)
–
18
8
若一個圖形相連圖，若且唯若，圖形中之任二端點
均有路徑相連。如二元樹(binary tree)
相連圖
非相連圖
無向圖重要名詞 (6/10)

完全圖(complete graph)
–
18
9
一個具n個端點的無向圖中任何二端點間均恰有一
邊直接相連，則恰具有 n(n2-1) 個邊。完全圖圖必定是
連通圖
無向圖重要名詞 (7/10)

多重圖(multi-graph)
–

簡單圖(simple graph)
–
19
0
圖形中若有兩個端點間的邊數大於或等於2，則此
圖形即為多重圖
圖形中，任二端點間最大的邊數為1
無向圖重要名詞 (8/10)

分支度(degree)
–
19
1
一端點的分支度是指與該端點相鄰(adjacent)的端點
個數
無向圖重要名詞 (9/10)

尤拉路徑(Eulerian path)
–
19
2
在一無向圖中，若存在一條路徑可由起點出發，恰
經過所有邊一次，最後到達終點(終點與起點不同)
，則可稱此路徑為尤拉路徑。尤拉路徑的充分必要
條件為除了二個端點的分支度為奇數外，其餘必需
均為偶數。尤拉路徑又稱為尤拉鏈結(Eulerian
chain)
無向圖重要名詞 (10/10)

尤拉循環(Eulerian cycle)
–
19
3
在一無向圖中，若存在一條路徑可由起點出發，恰
經過所有邊一次，最後再回到起點(終點與起點相
同)，則可稱此路徑為尤拉循環。尤拉循環的充分
必要條件所有端點的分支度均為偶數
尤拉循環(Eulerian cycle)
19
4
有向圖重要名詞 (1/3)

完全圖(complete graph)
–

路徑(path)
–

在有向圖形中，路徑是指一組由一連串端點所形成
的連續序列，連接端點的邊皆為有向邊
相鄰(adjacent)
–
19
5
一個具n個端點的有向圖中任何二端點間均恰有一
邊直接相連，則恰具有n(n-1)個邊
端點x adjacent to 端點y，端點y adjacent from 端點x
有向圖重要名詞(2/3)

連接(incident)
–

強連結(strongly connected)
–
19
6
邊E連接端點x 與端點y
在一個有向圖中，任何兩個端點x和y間存在一條路
徑從x到y，且存在另一條路徑從y到x
有向圖重要名詞 (3/3)

入分支度(in degree)
–

出分支度(out degree)
–
19
7
端點被指向的邊數
由端點發出的邊數
圖形的表示法

圖形表示法有
–
–
–
–
19
8
相鄰矩陣(adjacency matrix)
相鄰串列(adjacency list)
相鄰多元串列(adjacency multi-list)
索引表格(indexed table)
相鄰矩陣 (1/3)







19
9
使用n×n的二維矩陣來表示n個頂點的圖形。假設矩陣名稱為X，
若X(i, j)=1則表示E(Vi, Vj)存在，若X(i, j)=0則表示E(Vi, Vj)不存
在
若圖形為無向圖時，矩陣為對稱。
端點1與端點2及4有邊相連，所以矩陣中元素X(1,2)=1、X(1,4)=1
端點2與端點1、3及4有邊相連，所以矩陣中元素X(2,1)=1、
X(2,3)=1、X(2,4)=1
端點3與端點2、4及5有邊相連，所以矩陣中元素X(3,2)=1、
X(3,4)=1、X(3,5)=1
端點4與端點1、2、3及5有邊相連，所以矩陣中元素X(4,1)=1、
X(4,2)=1、X(4,3)=1、X(4,5)=1
端點5與端點3及4有邊相連，所以矩陣中元素X(5,3)=1、X(5,4)=1
相鄰矩陣 (2/3)
→
20
0
相鄰矩陣 (3/3)



20
1
利用相鄰矩陣來表示圖形需要O(n2)空間，若
圖形為無向圖時，因為對稱，則只需一半之空
間
求所有端點分支度需要O(n2)時間
若圖形中邊數很少時則矩陣將為稀疏矩陣，十
分浪費空間
相鄰串列

相鄰串列的表示方法為每個端點利用一個連結串列，
將與端點相鄰的每個頂點連結起來。本表示法可以解
決稀疏矩陣的缺點
→
20
2
相鄰多元串列

在相鄰多元串列表示法中，圖形中的每個邊都以一個
節結來表示，其節點格式如下
–
–
–
20
3
–
其中「Tag」用來表示該邊是否已被找過
「V1」及「V2」代表邊的兩個端點
「Link 1」代表連結欄位，若有其他端點與V1相連，則「
Link 1」將指向該端點與「V1」所形成的邊節點，否則指向
nil
「Link 2」代表連結欄位，若有其他端點與V2相連，則「
Link 2」將指向該端點與「V2」所形成的邊節點，否則指向
nil
相鄰多元串列 (cont.)

對圖形的每一個端點建立一個串列首，端點對應的串
列首會指向第一個包含該端點的邊所形成之節點
→
20
4
索引表格

20
5
利用一維陣列儲存每個端點在圖形中所有相鄰
的端點
圖形追蹤


圖形追蹤的功能是走訪圖形中每個頂點恰好一
次
圖形追蹤法可分為
–
–
20
6
深度優先搜尋(Depth First Search--DFS)
廣度優先搜尋(Breadth First Search--BFS)
深度優先搜尋
20
7
廣度優先搜尋
20
8
範例

20
9
請就以下圖形分別求出DFS及BFS之結果

21
0
圖形對應的
相鄰串列表
示法如右
利用相鄰串列表示法且假設由端點V1開始做深度優先搜尋，結
果如下：
V1,，V2，V4，V8，V5，V6，V3，V7
若採廣度優先搜尋則結果如下：
V1,，V2，V3，V4，V5，V6，V7，V8
範例

請就以下圖形分別求出DFS及BFS之結果
→
圖形對應的相鄰串列表示法如右
21
1
若採深度優先搜尋，結果如下：1，2，3，4，5
若採廣度優先搜尋，結果如下：1，2，4，3，5