Transcript 立体几何中的折叠问题

将一张矩形纸片对折后略为展开，竖
立在桌面上，我们可以观察到折痕与
桌面垂直，请用所学数学知识进行解
释。
折痕
桌面
折痕与桌面上两条
相交直线垂直
立体几何中的
折叠问题
执教：薛春卉
A
D
G
B
A
E
F
如图 ：E、F是边长为1的正方形ABCD
的边BC和CD的中点，分别沿 AE、EF、
AF将三角形 ABE、ECF、AFD折起使
B、C、D三点重合于P点。
C
（1）证：AP垂直于EF；
D （2）求：折叠后多面体的体积；
（3）求：二面角A－EF－P的大小；
（B、C、D） P
（4）求：点P到平面AEF的距离。
F
A
B
F
E
CH
E
G
如图表示一个正方体表面的一种展开图，
图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原
正方体中相互异面的有哪些？
A
C
（C）G
A
D
D
B
F
（B）
H
H
E
F
如图表示一个正方体表面的一种展开图，
棱长为1的正方体表面上有一只蚂蚁
图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原
从点D爬到点E，爬行的最短距离是多少？
正方体中相互异面的有哪些？
距离最短时可以有几种不同的爬行路径？
AB与CD、EF与GH、AB和GH
最短距离为 5
D
D
D
D
D
D
E
E
E
表面展开问题（折叠问题的逆过程）
D
D
D
D
E
E
E
E
E
棱长为1的正方体表面上有一只蚂蚁
从点D爬到点E，爬行的最短距离是多少？
距离最短时可以有几种不同的爬行路径？
最短距离为 5
可以有6种不同的爬行路径
 解决折叠问题的关键是辨析折叠前后位
置关系和度量关系的“变”与“不变”，
探求有利于解题的信息。
 正确作出直观图和展开图，才能更好的
解决折叠前后的相关问题。
作业（1-3为必做题，4、5为选做题）
1.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的
平面图，A、B、C是展开图上的三点，
求：在正方体盒子中∠ABC的度数。
2.一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，
过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，
沿EF将正方形的纸折起，使AE垂直于BE，
求∠BOD的大小。
3.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a ，
求三棱锥D-ABC的体积。
4.矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，
使点A在平面BCD上的射影落在BC上，求二面角A-BD-C的
大小。
5.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=2，
求沿长方体表面从A到C1的最短距离。