Transcript 试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？

专题探索课
趣谈立体图形中的“最短路程
"
湖州长兴县实验初中
江卫华
杜登尼(Dudeney,1857-1930年)是19
世纪英国知名的谜题创作者．“蜘蛛
和苍蝇”问题最早出现在1903年的
英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜
题之一．它对全世界难题爱好者的挑
战，长达四分之三个世纪．
A
B
如图，有一棱长为4m的立方体房间，一只蜘蛛在A
处. ⑴若一只苍蝇在B处，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最
短路程是多少？⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？
C
4m
C
4m
4m 上
4m
后
左
C
B
右
前
4m
下
A
4m
4m
如图，有一长方体的房间，地面为棱长4m的正方形，
房间高3m。一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在C处。
试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
C
3
A
4
4
如图，有一长方体的房间，地面为长为5m,宽为4m
的长方形，房间高3m。一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在
C处。试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多
少？
C
3
A
5
4
展开后让点A、点C处同一平面内的方法有几种？
C
不同展法有几种？
上
左
后
前
右
下
A
前+右
前+上
左+上
后+左
后+下
右+下
如图，有一长方体的房间，地面为长为5m,宽为4m
的长方形，房间高3m。一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在
C处。试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多
少？
C
3
A
5
4
如图，有一长方体的房间，地面为长为am,宽为bm
的长方形，房间高cm。一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在
C处。试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多
少？（若a>b>c）
E
C
B
F
c
H
A
a
G
D
b
直棱柱顶点间“最短路程”的一般
策略：
c
c
b
b
a
a
b
a
d1  a  (b  c)
2
2
d 2  b  (a  c)
2
c
2
d 3  c 2  ( a  b) 2
---- “蜘蛛和苍蝇”问题
在一长方体长、宽、高 分别为3m，2m，2m长方
体房间内，一蜘蛛在一面的中间，离天花板0.1m处
(A点)，苍蝇在对面墙的中间,离地面0.1m处(B点),
试问:蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少?
A
B
如图，一圆柱体木块的底面周长为24cm，高AB为
4cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体
的表面爬行到点C的最短路程大约是（
）
A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm
温馨提示：10  3.1625
B
A
C
B
C
B
C
B1
沿AB剪开
A
A
A1
∵ 底面圆的周长为24cm ∴BB1=24cm
又∵点C 是BB1 的中点 ∴BC=12cm
而∵AB=4cm ∴ 在Rt△ABC中，根据勾股定理得： AC2=AB2+B
cm
AC  AB2  BC2  42  122  12.65  13
∴选C
如图，一圆柱体木块的底面周长为24cm，高AB为
4cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体
的表面爬行到点C的最短路程大约是（
）
A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm
B
A
C
C
B
B1
(1)
s1=AC
(2)
s1=AB+BC
A1
A
C
B
A
B1
A1
如图，一圆柱体木块的底面周长为4cm，高AB为
24cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体
的表面爬行到点C的最短路程大约是多少？
B
B
C
A
A
C
如图，一圆柱体木块的底面半径为r，高AB为h ，BC
是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行
到点C的最短路程大约是多少？
B
B
C
A
A
C
解：设AB=h BC=2r
1. 如图（1）： 设 A
则S1=h+2r
B C路程为S1
2
2 2
S

h


r
则 2
2.如图（2）：设AC路程为S2
当S1=S2时 即h+2r = h 2   2 r 2
(h  2r )  h   r
2
2
B
C B
A
A
(1)
2 2
C
B1
A1
(2)
异面两点求最短；
降维化归成平面；
展开分类罗列全；
比较长短答案现；