Transcript 98年2月第一次大單元國三基測數學分析ppt

親愛的同學們，美女樂團踏雲而來，為大家道聲午
安！距第一次基測時間不多。
建議:
• 每星期一至星期四功課較忙，可每天寫自買之題
本題10至15題。
• 假日可每天寫15至30題，隨個人時間決定。
• 歐拉（L. Euler，1707–1785）如果命運是頭
頑石，我就化作大鐵鎚，將它砸得粉碎。
• 笛摩根（Augustus De Morgan，1806–1871）
推動數學進展的力量不是推理，而是想像力。
• 柏拉圖（Plato，427–347 B.C.）上帝永遠將
一切幾何化。
• 畢達哥拉斯（Pythagoras，580–501 B.C.）
數統治著宇宙。
數統治宇宙？是的，
在美女身上看得見。
「數」統治著美女！
伊人紅妝，仙女下凡；
一對清澈明眸
一口豐潤櫻脣
一雙眉秀如山
一縷長髮飄逸
鼻秀俊挺，皓齒編貝；
十指相扣，芙蓉出水。
是誰把春天醉了？
•
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命題趨勢
1 、文字敘述冗長又多。
2 、去除冗雜的繁複計算與公式，考你
解題過程正確的閱讀與解題能力。
3 、考個人對國中數學基本能力的
了解程度。
4 、增加觀察與判斷的能力
即可作答之題目。
5 、學習看圖與分析圖形的能力。
•質數、互質與大因、小倍
１、Ａ＝９８２－１求其積後，
Ａ之所有正因數中，
共有多少個質數（即相異質因數）？
答：982-1＝
（98＋1）（98－1）＝32×11×97
共有三個相異質因數，最大者為９７
２、互質，就是兩數最大公因數
為 １，如：（４，９）＝１
３、見下頁：
１９
９５
Ｘ
５
Ｙ
答：最小公倍
數２８５
數學答案有一題短除法如上，有一部
分寫不清楚。請問到底是求９５與下
列哪個正整數的最小公倍數？
（Ａ）３９（Ｂ）５７
（Ｃ）７６（Ｄ）１１４
答：Ｂ
∵ １９×５×Y＝２８５
２８５÷１９÷５＝３…..Y
１９×３＝５７…..X
４、明德大樓有３部電梯，但各電梯
所停樓層有如下限制：
第一部只停：1、2、4、6、8、10…..
第二部只停：1、3、6、9、12…..
第三部只停：1、5、10、15、20…..
老鄧說：「我是公司最命苦的員工，
我所在的樓層，電梯都不到達！」
請問老鄧可能在下列哪一選項中的樓層上班？
（Ａ）53（Ｂ）54（Ｃ）55（Ｄ）57
• 答：（Ａ）５３
• ∵ ５３不是２，不是３，
也不是５之倍數！
53是一個質數,其正因數只有只有1與本身
５、
某校舉行童軍露營活動，共有男生108
人、女生84人參加，則：
（1）男、女生混合分組，每組中的男生
人數一樣，女生人數一樣，則最多
分
組，每組有
人。
（2）男、女生分開分組，每組的人數一
樣，則最少需分
組，每組有 人。
• 解：
12 108 84
9
7
（1）因混合分組，每組中的男生人數一樣，
女生人數一樣：共分1 2 組，每組男生
9 人、女生 7 人，每組1 6 人。
（2）因分開分組，每組的人數一樣：
每組12人，男生分９組，女生分７組。
最少需分1 6 組，每組1 2 人。
６、若Ｘ是正整數，
且５Ｘ２－１６Ｘ－１６是質數，
則此質數是
（A）37（B）29（C）19（D）41
-----------------------------------------------------------解：
５Ｘ２－１６Ｘ－１６十字交乘因式分解
＝（５Ｘ＋４）×（Ｘ－４）它是質數必＝本身×１
判斷為（Ｘ－４） ＝１，即Ｘ＝５
因此質數本身＝（５Ｘ＋４）＝２９選 （B）29
• 數學冷笑話：
• １、驗算
一位監考老師正納悶的盯著一位學生在擲骰子，
奇怪的是....
那學生同一題擲了好幾次....
便問那學生為什麼？
那學生無奈的回答說：難道不用驗算嗎？
• ２、０與８
有一天０遇到了８，０對８說了一句話：
「胖就胖嘛！幹嘛繫皮帶？....」
• 比與比例
1、
解：設甲杯可容Ｘ單位 乙杯可容Ｙ單位
2/7X＝1/5Y → X:Y＝7:10
令X＝7m，Y＝10m，5/7×7m＝5m，
5m/10m＝1/2
答：（Ａ）
甲
丙
丁
乙
Ａ
Ｂ
Ｃ
2、上圖為電腦設計之矩形網頁。切分為甲、
乙、丙、丁四矩形區，四矩形面積比為
甲、乙、丙、丁＝３：３：３：４，
求ＡＢ：ＢＣ＝？
甲
面積
３Ｘ
乙
面積
３Ｘ
丙面積
３Ｘ
丁
面積
４Ｘ
Ａ
Ｂ
Ｃ
矩形（甲＋乙）面積：矩形（丙＋丁）面積
＝６Ｘ：７Ｘ
＝６：７
但是（甲＋乙）矩形和（丙＋丁）矩形等高，
因此底ＡＢ與ＢＣ之比＝面積之比６：７………答
3
4、
令重疊區面積為ａ
Ａ面積的１／１５在Ｂ，所以Ａ面積＝１５ａ
Ｂ面積的１／６ 在Ａ，所以Ｂ面積＝ ６ａ
Ａ面積：Ｂ面積＝１５ａ：６ａ
＝１５：６
＝ ５：２。。。答：（Ｂ）
5、大明、中白、小智三人４００公尺同時競跑。
當大明跑完全程時，發現中白落後小智６０
公尺，而小智落後大明４０公尺，求大明、
中白、小智三人速率比為何？
分析：
中白
小智
大明
３００
３６０
４００
• 速率＝距離／時間
• ∵ 三人使用的時間是相同的，
相同時間內
∴ 三人速率比＝跑的距離之比
解：
• 相同時間內
• 大明跑了４００公尺
• 小智跑了３６０公尺
• 中白跑了３００公尺
• ４００：３００：３６０＝２０：１５：１８
題6：矩形ABCD切成 A
G
D
四塊區域面積
甲 乙
甲、乙、丙、丁，
a b
其面積分別為
E
F
丙
丁
a、b、c、d
c d
AB∥ GH∥DC
AD∥ EF∥BC，
B
H
C
下列關係式何者正確？
（A）a＋d＝b＋c（B）a＋b＝c＋d
（C）ad＝bc
（D）ab＝cd
解：
A
m G
n
甲
r
a
E
乙
b
丙
s c
丁
d
令m、n、r、s
D 分別為四邊長
如圖
甲a面積＝mr
F 丁d面積＝ns
乙b面積＝nr
丙c面積＝ms
B
H
C
發現甲×丁＝mnrs＝乙×丙選（C）ad＝bc
題7：P為矩形ABCD
内任意一點，
PA、PB、PC、PD
b
分別將矩形
切為四塊區域，
如圖：
下列何者正確？
（Ａ）a＋c＝b＋d（B） ac＝bd
（C） a＋d＝b＋c（D） ab＝cd
a
P
d
c
解：
① ②
Ｐ
①
②
③
④
③ ④
過Ｐ做十字垂直兩線
• ∵①＝ ①、② ＝②、 ③＝ ③、 ④＝ ④
•
∴
選答（C） a＋d＝b＋c
P
題8:
• 如右圖:
a
b
c
d
24
•
A
B C D E F
• AB＝2BC＝2CD＝2FE＝2EF
• △ABP面積為２４，試求a、b、c、d，四塊
三角形面積總和為何？
• （A）12（B）16（C）20（D）24
說明:△ABP＝1/2AB×BP＝BC×BP＝長方形PQCB
P
•
•
•
•
•
•
•
a
Ｑ
a
b
b
c
c
d
d
A
B C D E F
△ABP面積為24，長方形PQCB面積亦為24，
則24＝2a＋2b＋2c＋2d＝長方形PQCB面積
故所求四塊△面積為a＋b＋c＋d＝12平方單位
題９：如圖，正方形ABCD、DEFG
C
共用頂點D，且E點在上，
圖中甲、乙、丙三部分的面積
分別24、8、32平方單位，則
(A) 5 (B) 6
D
(C) 7 (D) 8
B
甲
E
乙
A
丙
F
G
解：甲、乙、丙面積分別 C
24、8、32，
甲
正方形ABCD面積為24＋8＝32， 乙
D
邊長為 32
丙
正方形DEFG面積為8＋32＝40，
邊長為 40
G
直角三角形DAE中，
股DA＝ 32
40
斜邊DE＝
勾股定理得AE＝ 8
。。。答
B
E
A
F
☞：
• 如右，各半圓與圓之圖
直徑皆為４。
試求斜線面積為何？
解：
直徑為４，半徑為２，
如右圖切割下：
將上面兩半圓切割成
甲乙丙丁四塊面積，
然後分配到
長方形ＡＥＦＤ內，
下面兩半圓亦如是作法。
得斜線面積＝長方形ＡＢＣＤ面積
＝４×８＝３２平方單位。。。答
如圖甲乙兩種量杯,將甲杯裝滿水後再倒入乙
杯中,恰好是3/4滿;若將乙杯裝滿水倒入甲杯
中,倒滿第一杯後,發現乙杯中還有一些水,於
是再倒入第二個相同的甲杯.請問倒完後,第
二個甲杯應該是幾分滿?
設第一次操作原先 第二次操作時
甲3x 乙4x
乙4x－甲3x＝x
第二個甲杯
x/3x＝1/3
答:（B）
• 累了麼？來道點心吧！
1 、一個星期之久
猜一2字數學名辭
2 、考試不做弊
猜一3字數學名辭
3 、橫看是隻尺，豎看是根棒，
年齡是最小，大哥卻他當。
(猜數字)
4 、醫生提筆。（猜數學名詞）
5 、兩牛打架 (猜一個數學名詞)
• 1 . Ans: 周期
• 2 . Ans: 真分數
• 3 . Ans: １
• 4 . Ans: 開方
• 5 . Ans: 對頂角
• ：幾個常見重要的比例觀念
1、 時間 x
速率
y
１
２
２４ １２
a
6
甲乙兩村相距若干公里，小玲騎腳踏車走完全程，
行車時間 x 與速率 y 的關係如上表：寫出x與y之關係式。
解：∵距離＝速率×時間
觀察本表 x 與 y 的關係為反比
令xy＝k，k為定值（距離為定值）
由上表選一組x＝１，y＝24
∴代入得xy＝24…..答
可觀察得 a 值為４
• 幾個常見重要的比例觀念：
2、
時間 x
距離 y
2
60
12
a
360 240
甲車以固定速率行駛於某一鄉村道路。
設時間為 x，行駛距離為 y
根據上表寫出時間 x 與距離 y 的關係式
解：觀察本表x與y的關係為正比
令y＝kx，k為定值（固定速率即是定值）
由上表選一組x＝2，y＝60 代入得 k ＝30
y＝30x…..答 可觀察得 a 值為８
• 幾個常見重要的比例觀念：
3、甲乙兩人分別走完ＡＢ兩地，甲費時６小時，
乙費時４小時，求甲乙兩人速率比為何？
解：甲速率：乙速率＝
ＡＢ距離／甲時間：ＡＢ距離／乙時間
＝1 ／甲時間：1 ／乙時間
＝1/6：1/4＝2：3…..答
觀念：速率 × 時間＝定值距離
速率、時間成反比，
即速率比等於時間倒數之比
公式：甲速率：乙速率＝ 1 ／甲時間：1 ／乙時間
• 幾個常見重要的比例觀念：
4、有一個工作，甲獨作１０個工作天完工，
乙獨作１５個工作天完工；則甲、乙兩人
一天工作量之比為何？
解：
某人一天工作量×天數＝整個工作量（定值）
某人一天工作量與天數成反比，即倒數之比
設甲一天工作量為 x，乙一天工作量為 y
x：y＝1/10：1/15＝3：2…..答
５、右圖為曉玫影印 剩1800
資料時剩下張數
下
和時間的關係圖。
張 720
利用圖中提供的
數
數據，推估曉梅在
8:50 8:56
9:00時影印的情形是下列哪一種？
（A）來不及印完
（B）剛好印完
（C）提前一分鐘印完（D）提前半分鐘印完
本頁為第41頁
解：設斜直線與Ｘ軸交點的時間
與8:56相差 x 分鐘
又8:56 與8:50
剩1800
相差６分鐘。
下
利用相似三角形
張 720
對應邊成比例
數
a、b兩個相似的
直角三角形兩股之比
ａ
ｂ
8:50 8:56
1800-720
（ 1800－720 ）：（720－0）＝ 6 ： x
得 x ＝ 4 （分鐘）
因此8:56＋ 4 （分鐘）＝9：00
選（B）剛好印完…..答
a
j
6
720-0
b
x
•方根基本概念與查表
• １、求８１之平方根：
• ２、求 81 ＝？
• ３、求 81 之平方根：
• ４、Ｘ２＝８１，Ｘ＝？
• ５、Ｘ＝ 3-2，化簡Ｘ＝？
• １答： ± ９
• ２答：９
• ３答：±3
• ４答：± ９
• ５答：兀－３
6、 2003X2005+1 ＝ a，則下列各敘述何者
正確？
（Ａ）a為偶數（Ｂ）a＞2004
（C）a＜2004（D）a為８的倍數
解：設定為y的多項式，再用平方差公式較容易。
令y＝2004，則
2003X2005＋1＝（y－1）X（y＋1）＋1
＝y2＝20042
原式＝
＝
2 ＝2004
2003X2005+1
2004
答（Ａ）
8.21
Ｎ
Ｎ２
8.22
8.23
8.24
8.25
67.4041 67.5684 67.7329 67.8976 68.0625
７、利用上表，求
68 的十分位與
百分位數字和為多少？
（Ａ）５
（Ｂ）６
（Ｃ）７
（Ｄ）８
•
答：（Ｂ）
N
N2
８.２４
８.２５
６７.８９７６ ６８.０６２５
６７.８９７６＜６８＜ ６８.０６２５
８.２４２＜（ 68 ）２ ＜ ８.２５２
８.２４ ＜ 68 ＜８.２５
根號６８近似值為８.２４………
十分位為小數點後第一位數數字２
百分位為小數點後第二位數數字４
２＋４＝６…..答
Ｎ
Ｎ２
４１
1681
6.403
10N
20.248
４２
1764
6.480
20.493
４３
1849
6.557
20.736
４４
1936
6.633
20.976
N
８、利用上面乘方開方表，求下列各題之值：
（1） 43 ＝？
（2） 420 ＝?
（3）求（6.403）2/ 1681 ＝?
答：（1）＝ 6.557
（2） 420 ＝ 10N ＝ 20.493
（3）原式＝（ 41 ）2/ 41 2 ＝41/41＝1
• 等差數列
• 等差級數
本頁為第50頁
１、
等差數列2,5,8….至第九項
中，各項數字放入右列九宮
格中，如右圖，已知四個位
置放入2,5,8,11四個數字，
而使得每一列、每一行及對
角線三個數字和均相等，求
對角線三個數字和為多少？
〈Ａ〉44 〈Ｂ〉43
〈Ｃ〉42 〈Ｄ〉41
a 2 d
b c 8
5 e 11
解答:
• 註:不必去求a,b,c,d等數值
• 2,5,8….至第九項總和:
9/2﹝2X2+（9-1）X3﹞=126
九個數分三行,平均每行和為
126/3=42
每行、列之和＝每一對角線之和
答:42 註：然後可求a b c d各數。
研究一下： 有趣的九宮格
行、列、對角線的和
均相等速解規則。
方法不只一種。
１１ ２６
５
８ １４ ２０
２３
２ １７
４ ９ ２
３ ５ ７
８ １ ６
11
10
４
23
17
18
12
６
５
24
25
19
13
７
１
２
21
20
14
８
９
３
22
16
15
1、每列４２， ２、每列１５， ３、每列６５
２、
4根
12根
24根
用棉花棒排出１×１、２×２、３×３的
方陣如上圖所示，請觀察規則，推論
5×5的方陣需要多少根木棒？
（Ａ）60（Ｂ）72
（Ｃ）80（Ｄ）96
4根 12根
24根
1×1:直1×2＋橫1×2
2×2:直（每排兩根共三排）2×3＋橫2×3
3×3:直3×4＋橫3×4
4×4:直4×5＋橫4×5
5×5:直5×6＋橫5×6＝60 答：（Ａ）
n×n:直n×（n＋1）＋橫n×（n＋1）
３、正方形ABCD如圖右：
甲
A（1，1）C（－1，－1）
乙
已知甲、乙兩人在Ａ點
第一次相遇。
甲自Ａ點以每秒 a 單位
速率沿正方形逆時鐘方向等速行進；乙
自Ａ點以每秒 b 單位速率沿正方形順時
鐘方向等速行進。
（1）若a＝7b,則甲乙兩人第二次相遇
的位置座標為何？
分析：a：b＝7：1 答：（１，０）
A
B
O
C
D
4、8、12
A
1
5
9
（２）若a不等於７b,且甲、乙
第二次相遇在Ｄ點，則此兩人
第91次相遇在何處？
O
（A）A（B）B（C）C（D）D
解：相遇第一次在Ａ，
3、7、11
2
D
C
相遇第二次在Ｄ，甲走３個邊，
6
乙走１個邊，甲速率a：乙速率b＝3：1
10
第三次相遇在Ｃ，第四次相遇在Ｂ，每四次一循環：
相遇在A：1、5、9、13….. 皆以４除之餘１
相遇在D：2、6、10、14…..皆以４除之餘2
相遇在C：3、7、11、15…..皆為以４除之餘3
相遇在B：4、8、12、16…. 皆為以４除之餘0
則第91次相遇:91÷4＝22餘３
答： （C）
B
• 冷笑話
第二題不答
• 老師:
• [我有兩個題目;你能答出第一題就不需再答
第二題。]
• [你有多少根頭髮?]老師問。
• [一億兩千萬根。]學生答。
• [你怎麼知道?]老師問。
• [第二題不需回答。]學生說。
１、一元二次方程式
２、一元、二元一次方程式
３、會看圖表與分析圖表的能力
去年（９７年）基測考題：
關於方程式49X2－98X－1＝0的解，
下列敘述何者正確？
（Ａ）無解
（Ｂ）有兩正根
（Ｃ）有兩負根
（Ｄ）有一正根及一負根
複習一下公式
⒜、α×β＞0，知兩正或兩負根。
⒝、α×β＜0，知一正、一負根。
根與係數關係的證明：
α＋β＝
-b+ b 2 -4ac
α×β＝
2a
-b- b 2 -4ac
+
-b+ b 2 -4ac
2a
2a
b
=-
-b- b 2 -4ac
X
2a
a
c
=
a
求：49X2－98X－1＝0的解
先求：b2－4ac＝9800
兩根Ｘ＝
98  9800
98
＝
9604  9800
98
發現兩根分別為一正根、一負根
另法：
49X2－98X－1＝0
將α＋β＝－
α×β＝ c/a＝
-98
＝ ＝2＞0
a
49
-1
＜0
b
49
得知兩根分別是一正根、一負根。
• 預測未來考題趨向類似題
題：
• 設m為實數，則一元二次方程式
x2＋mx－1＝0的兩根性質為下列何者？
（Ａ）一正根、一負根（Ｂ）兩個正根
（Ｃ）兩個負根
（Ｄ）無解
法一
x=
-m m 2 +4
2
- m 2  m 2 +4
=
- m 2 - m 2 +4
x1 =
2
＜０一負根
2
- m 2 + m 2 +4
x2 =
＞０一正根
2
另
法：
利用「根與係數關係」
x2＋mx－1＝0
由判別式b2-4ac=m2+4＞0 知有相異兩根
α×β＝ －1＜０判斷為一正根、一負根…答
題目直接不好求解，從答案反推較易類型。
• 題：
方程式x2－25x＋a＝0
的兩根都是質數，則a＝？
（Ａ）46
（Ｂ）54
（Ｃ）25
（Ｄ）72
----------------------------------------------------解： 若a=46
46＝（－2）×（－23）
十字交乘 1
- 2
1
-23
-23-2=-25
（x-2）×（x-23）=0 ∴ x=2或23均為質數
題目直接不好求解，從答案反推較易類型。
• 題:
若方程式 x2+x-k=0 之兩根都是整數，則下
列何者可能為 k 之值？
（A）2×3×5×11（B）2×5×7×11
（c）2×3×7×11（D）3×5×7×11
----------------------------------------
提示：2
ax +bx+c=0 , x=
-b b 2 -4ac
2a
若b2-4ac值＝（某數）2則兩根為整數，表示
原式可以十字交乘因式分解然後求 x 解。
• 答：
方程式 x2+x-k=0，
x 項係數為 1 ，表示十字交乘結果為 1
常數項 -k，表示 -k＝（一正）×（一負）
從答案反推四個答案中
（A）2×3×5×11（B）2×5×7×11
（c）2×3×7×11（D）3×5×7×11
從（c）選項 1
-3×7
1
2×11
22-21=1
答： （c）
一元二次方程式的應用
題：
• 在時間 t =0 時， 一個充滿器的球體開
始洩氣，在時間 t 留在球體內的氣體量
為Q；
100
Q 和 t 的關係式為 Q=
 1+ t  2
當此球體洩氣洩出一半時，
t =？
在時間 t=0 時，一個充滿器的球體，氣
最多、充足。
100
將 t=0代入Q和t關係，Q ＝
得Q=100
 1+ t  2
當此球體洩氣洩出一半
100
即洩出Q＝50時， Q＝50＝
100
50=
 1+ t  2
 1+t  2=2
 1+t  2
答 t=-1 2 負不合
我是多啦A夢，祝各位
學長新年快樂！
一個黃金分
割點的線段
分割，成最
完美的黃金
比例，用在
藝術、建築
等等。
人體的比例
中，肚臍是
最完美的分
割點。
若③＝１
則②＝ 0.618
①＝ 0.382
且必①／ ②
＝ 0.618
足
肚臍
頭
黃金分割比例：①／ ②＝②／ ③＝0.618 ≒0.62
親愛的同學，回家洗澡順便量量自己身材比例：
⒜若有黃金比值0.62，你有Model標準完美身材！
⒝若大於0.62，表示你的下半身太短。建議選擇高
腰褲、穿高跟鞋。
⒞若小於0.62，表示你的上半身稍短。建議避免穿
連身衣服，褲子選擇低腰的。
• 題:
美麗林志玲身材如右，
為保有體型美的標準：
⒜請問林志玲是否該穿高
跟鞋，才能顯示她高
挑、完美黃金比例維納
斯身材？
⒝若需穿高跟鞋，那麼選
擇穿上多少公分的高跟
鞋，才能顯示出她女性
體型完美的標準？
算至小數點第二位！
解：
• ⒜68/102 ≒ 0,67＞0.62
表示下半身太短。建議
選高腰褲、穿高跟鞋。
⒝設穿上 h 公分高跟鞋
黃金比為 68/（ 102＋ h ）
＝（ 102＋h ）/（170＋ h ）
這樣算太累了，已知黃金比值
約0.62 因此 68/（ 102＋ h ）
＝（ 102＋h ）/（170＋ h ）
＝0.62
用68/（ 102＋ h ）＝0.62
高跟鞋長 h ≒ 7.68（公分）
題：老鄧開車由家到學校，如果時速
６０公里，就會和預定時間遲到１２分
鐘到校；如果時速９０公里，就會較預
定時間提早１２分鐘到校；如果時速８
０公里，請問會較預定時間遲到或提早
多少分鐘到校？
（Ａ）遲到６分鐘（Ｂ）提早兩分鐘
（Ｃ）提早４分鐘（Ｄ）提早６分鐘
提示：設老鄧家與學校為Ｘ公里
預定時間有兩種設法，試試看！
解：設家到學校距離為Ｘ公里，12分＝12/60時
⒜ 若時速60公里，就會和預定時間遲到12分
故到校預定時間為（ X/60－ 12/60 ）時
⒝ 時速90公里，就會較預定時間提早12分
若故到校預定時間為（ X/90＋12/60 ）時
綜合得X/60－ 12/60＝ X/90＋12/60
求出家到學校距離X＝72公里.
預定時間為72/60－ 12/60＝1小時
⒞ 如果時速80公里，需耗72/80＝9/10小時
節省1－9/10＝1/10時＝6分鐘…答（Ｄ）
食物
熱量
蛋白質
（每１００公
（大卡）
（公克）
麵包
９０
８０
蘋果汁
３６
３０
克）
題、配合下面題目,你會解讀以上表格內的資訊嗎?
小如實施減重計畫，她預定每餐攝取熱量３２４
大卡，蛋白質２８０公克。上表是其中一餐的
營養價值表，小如該怎麼吃呢？
請問：麵包該吃多少公克？蘋果汁該喝多少
公克？
解答：
食物
熱量
每100 大卡
公克
麵包
９０
蛋白質
公克
設需要麵包Ｘ百公克
８０
蘋果汁需要Ｙ百公克
蘋果汁 ３６
３０
需要熱量３２４大卡
蛋白質２８０公克
９０Ｘ＋３６Ｙ=３２４
８０Ｘ＋３０Ｙ=２８０
求出二元一次方程組之解Ｘ=2,Ｙ=4
需麵包２００公克需蘋果汁４００公克
甲
－２
乙
１
２Ｘ－３Ｙ
１９
丙
３Ｘ＋丁Ｙ
３
－2
X
算
Y
式
題、志彬在習作上表算式求值問題，不慎將
甲乙丙 丁的資料塗污了，如上圖所示，
其中丁為正整數。下列選項合者正確？
〈Ａ〉甲＝-５ 〈Ｂ〉乙= -３
〈Ｃ〉丙=-１ 〈Ｄ〉丁=５
解：
X
甲
－２
乙
１
Y
算
以X＝－2 、Y＝1
２Ｘ－３Ｙ １９
丙
代２Ｘ－３Ｙ＝丙
３Ｘ＋丁Ｙ
３
－２
得 丙＝－７
以 X＝－2 、Y＝1
代 ３Ｘ＋丁Ｙ＝－２
得 丁＝４
因為丁＝４，解聯立２Ｘ－３Ｙ＝１９
３Ｘ＋４Ｙ＝３
得甲Ｘ＝５，乙Ｙ＝－３ 答：（Ｂ）
式
題：一元二次方程式
• （2x+3）（x+1）=（x+1）（x+3）， x=?
解：
• （2x+3）（x+1）－（x+1）（x+3）＝０…（1）
• 兩邊同除以（x+1）得
（2x+3）－（x+3）＝０…………………….. （2）
• 2x+3－x－3＝0…………………………...... （3）
• X=0…………………………………………
（4）
以上四個步驟，哪一步驟有錯誤？
答：（2）有誤。因（x+1）若為０，除數為０無意義！
正確作法：由（1）提因式（x+1）
（x+1）【 （2x+3）－（x+3）】＝０
（ x+1 ）（x－0）＝０得 x ＝0或－１
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
題：
（２x＋1）2＝（x－3）2，x＝?
法一：移項後運用平方差公式
（２x＋1）2－（x－3）2＝０
【（２x＋1）＋（x－3）】【（２x＋1）－（x－3）】
＝０
（３x－2）（x＋4）＝0
X＝２／３或－４
法二：求平方根原理
（２x＋1）2＝（x－3）2
（２x＋1）＝± （x－3）
得到兩式
（２x＋1）＝＋（x－3）→ x＝－4
或（２x＋1）＝－（x－3）→ x＝２／３
• 你累了嗎？休息一下猜個謎吧！
• １、10002=100X100X100
(猜一四字成語)
2、二四六八十 (猜一四字成語)
3、００００ (猜一四字成語)
4、媽媽,再見！ (射一數學名詞)
5、1 2 3 4 5 6 9 (估一成語)
• 1、千方百計
• 2、無獨有偶
• 3、掛萬漏一
• 4、分母
• 5、七零八落
直角座標平面
嗨，我是海棉寶寶！喜歡我嗎？
本頁為第87頁
重要基本觀念：
１、過（－４、３）且平行y軸（或垂直
x軸）之直線方程式為…… 答x＝－4
2、過（－４、３）且平行x軸（或垂直
y軸）之直線方程式為…… 答y＝3
3、X軸之直線方程式為…… 答y＝0
4、y軸之直線方程式為…… 答x＝0
5、P（－4，3）與X軸距離為……
6、P（－4，3）與y軸距離為……
答:5、與X軸距離為y座標加絕對值為３
6、與y軸距離為X座標加絕對值為４
7、座標平面上一點P，與X軸距離為５，
與y軸距離為４，求Ｐ點可能座標為何？
8、將點Ａ（a－1，2a＋6）向左移動２單位，再
向上移動３單位後，點Ａ與點Ｂ（x，y）重合，
且 x 與 y 兩數為相反數，求a值為何？
解：
７解：第一象限（４，５）第二象限（－４，５）
第三象限（－４，－５）第四象限（４，－５）
８解：（a－1－2，2a＋6＋3）＝ （x，y）
（ a－1－2）＋（ 2a＋6＋3 ）＝０得a＝－2
C
D
B
９、一圓圓心O
落於原點，且圓半徑
為５單位。
點（x，y）在圓上，
且 x、y 皆是整數。
則可能的點（x，y）
共有幾點？
答１２個點,例如Ｌ（5、0）A（4、3）
B（3、4）因為有四個象限及Ｘ、Ｙ
軸，故２×４＋４＝１２看下圖詳解
4
A
E
2
F
-10
-5
5
-2
G
K
-4
J
I
-6
-8
L
看圖 說明
8
（0，5）
（－3，4）
（－4，3）
6
C
D
4
E
（3，4）
（4，3）
B
A
2
（－5，0）
（5，0）
F
-10
-5
5
L
-2
（－4，－3）
（4，－3）
G
K
-4
J
（ －3 ，－4）
I
-6
（0，5）
-8
（3，－4）
10
• 函數
• 一次函數
魔法咪路
為大家
加持功力
本頁第92頁
函數定義：在一個Ｘ與Ｙ的關係式中
，一個Ｘ值代入Ｘ、Ｙ關係式中恰有
一個Ｙ值與之對應，則Ｙ稱為Ｘ之函數。
例如：Ｙ=2X-1，問Y為Ｘ之函數嗎？
由下表知，Ｙ稱為Ｘ之函數。
Ｘ
-3
-1
0
5
Ｙ
-7
-3
-1
9
每個Ｘ值恰
有一個Ｙ值
與之對應！
題：在平年中，Ｘ月有Ｙ天。
〈１〉月Ｘ為天數Ｙ之函數嗎？
• Ｙ是自或主變數，Ｘ為應或因變數。
• 主變數之Ｙ放入下表上方，應變數Ｙ放表
格下方。
• 將一個Ｙ值代入關係式，必須恰有一個Ｘ
值與之對應，則Ｘ為Ｙ之函數。
• 看下表,發覺X不是Y之函數.
Ｙ每月 ２８
天數
Ｘ月份 ２
３０
３１
４,６,９,１１ 1、3、5、7、8、10、12
〈２〉天數Ｙ（因變數）為月Ｘ（主
變數）之函數嗎？
仿前頁方法：
答:由下表判斷,Y為X之函數.
X月份
1 2
3 4
5 6
7 8
9
10 11 12
Y天數
31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
名稱:
魔幻美女
• 插畫專家張雅涵親手繪製的現代美女桌布
• 是愛畫圖的同學們未來可學習的的偶像！
• 插畫專家:就業市場有遊戲、漫畫、繪本、小說封面、
角色設計、電腦網頁影像視覺等等.
• 把幾何圖形，利用平面座標化，
有利於作題！
下面舉兩個例子
給大家看看！
美少女戰士報到！
為大家加油！
有大小兩個正方體箱子緊靠在牆邊，
（如圖為側面照）其中大正方體的邊長
為３公尺，小正方體的邊長為１公尺。
若在地面上距離Ｂ點右邊m公尺處放置
一座探照燈，此探照燈可以照射到Ｆ點，
則m之最小值為何？
（Ａ）５（Ｂ）６（Ｃ）７（Ｄ）８
G
F
牆
D
E
C
箱子
壁
解：
G
作法有兩種！ ¢°¤½¤Ø
（一）座標法： D
F
¢Ô,¢Ñ,¢Ö¤TÂI¥²¦ @½u
E
C
設AB為Ｘ軸
AG為Ｙ軸 ¢²¤½¤Ø
Ａ為原點
A
B
H
GA⊥AB
m¤½¤Ø
¢²¤½¤Ø
¡@¡@¡@¡@±´·Ó¿O
因Ｆ、Ｃ、Ｈ三點共線，設斜直線方程式為
y＝ ax ＋ b ，Ｆ（1，4），C（3，3）代入
４＝a×１＋b ３＝a×３＋b得a＝－1/2，b＝9/2
y＝ －1/2 x＋ 9/2，又探照燈Ｈ（m＋3，０）
在直線上，代入０＝ －1/2 × （m＋3） ＋ 9/2
得m＝6…..答
（二）用相似△對應邊成比例：1/2＝3/m更快！
• 數學謎語
１、坐車五角錢一趟
(估一代數用語)
２、伍角錢 (估一幾何用語)
３、3, 3, 3, 2, 2 (估一成語)
４、7分鐘 ＋ 8分鐘 = 1000元
(猜一四字成語)
１、一元二次方程
２、半圓
３、三三兩兩
４、一刻千金
本頁為第100頁
• 每年基測都會考很多幾何題。
• 相似形周長與對應邊成比例之運用等。
• 圓、弧、半徑、切線等。
• 幾何圖形的切割與摺疊，與配
合一次函數、二次函數（三下才學
的教材）和畢氏定理的運用，是常
見的考型。
題：
△ABC中 I 是內心，
且DE ∥BC，邊長如圖
①試求△ADE周長。
②求DE之長為何?
③ △IBC面積為何?
Ａ
14
Ｄ Ｉ
13
Ｅ
r
Ｂ
Ｃ
①解: △BDI、△CEI是等腰△→Why?
△ADE周長＝AB＋AC＝14＋13＝27 15
②解: △ADE ∽ △ABC →Why?
△ADE周長: △ABC周長＝DE:BC
27:42＝DE：15，DE＝135/14
③內心I 內切圓圓心 △IBC＝1/2×15×內切圓半徑 r
③內心I是內切圓圓心,△IBC＝1/2×15×內切圓半徑
內切圓半徑 r ＝ △ABC面積/ S半周長
已知△ABC三邊長求面積之法，見
本演講Ｐ146 有詳細介紹，不再浪費版面！
已知△ABC三邊長，求面積之法，使用高中海龍公
式更快。海龍公式如下:
△ABC面積＝
s s-a   s-b   s-c 
21  21-13   21-14   21-15  = 84X84 =84
S 是半周長＝22/2＝11，△ABC面積＝84
r ＝ △ABC面積/ S半周長＝84/21＝4
△IBC＝1/2×15×4＝30-----答
• 本題是最近一次模擬試題題目。出題者抄自全真模擬題
本的題目。但是原作者解題錯誤，原答案不正確！
題：如右圖邊長10公尺
正方形草地，鋪設兩條
筆直而垂直的道路，
則剩餘草地的面積為
多少平方公尺？
（Ａ）61（Ｂ）62
（Ｃ）63（Ｄ）64
原答案（Ｂ）是錯誤的！
全真模擬題本答案與作法是錯誤的，一月初模擬試
題數學命題者，照抄之！
道路利用
移形如右
其實錯誤
左重疊區
面積與右
重疊區面積兩不同
這是一般同學常犯的錯誤！
左上原全真題本作法
10×10－2×10×2＋2×2/2
＝62 不對
右上同學作法
8×8＝64
不對
先介紹母子相似性質:
正解：
答案是 62
18
41
原全真題本作者之錯誤在
誤將四邊形ＢＧＷＹ
視為平行四邊形，事實上
YW不平行BG且YW≠２
理由：將幾何圖形座標化
，將Ｂ視為原點，
BC當X軸、BA當Y軸、
B（0，0）E（8，10）得BE方程式5X＝4Y
C（10，0）F（0，8）得CF方程4X＋5Y＝40
解聯立求出座標Y（160/41，200/41）
同理用上法AH方程式與DG方程式,
求出W（250/41，210/41）
座標Y（160/41，200/41）
座標W（250/41，210/41）
特別注意Y與W
兩者的
Y座標並不相同！
因此確定
兩線段YW與BG
絕不平行！因此
YW ≠２
且重疊區正方形邊長也必小於２
• 數學冷笑話：五百隻鴨子
一位男教師對兩個吵鬧不休的女學
生說：「兩個女人的聲音，猶如一
千隻鴨子的叫聲。」
一會兒，教師的妻子來看望他。其
中一個女學生趕來報告：「老師，
門外有五百隻鴨子來看您。」
已知圖一長AB＝12，AD＝8，試求圖四PQ與PD長
解：看圖二AD＝8， DR＝6，由畢氏定理AR＝10
看圖四QR＝1/2AR＝5，
PD＝X ＝PK
摺疊相等令PD＝PK＝X，
因KR＝BC＝8， PR＝8－X ，DR＝6
PR＝8－X
直角三角形PDR中x2＋62＝（ 8－x ）2
DR＝6
得PD＝ x＝7/4則PQ＝15/4就很容易求了！
利用邊長為一寸的12塊
正方形磁磚排成如右圖
一的長方形，現在
甲、乙、丙、丁四
圖一
人分別用200、300、400、600塊相
同的磁磚排成長方形，請問哪一個人
恰好可以用完磁磚不剩餘，並且排出
一個與上圖相似的長方形？
（Ａ）甲（Ｂ）乙（Ｃ）丙（Ｄ）丁
原長方形長：寬＝４：３
解：因此其相似形設
長為4a寸，寬3a寸
4a×3a＝12a2＝300
a2＝25，a＝± ５，負不合
因此乙之300塊（長20塊，寬15塊）合
於所求。
答：（Ｂ）
其他例如： 12a2＝600， a2＝50
但是a不為整數值，不合於所求。
• 如右圖，
• ABCD、AEFG皆為矩
形，且Ｆ在AC上，
若AE＝8，
BE＝2 ，
DG＝3，則AG的長度
為何？
A
8
E
2
B
G3Ｄ
F
C
右圖因相似對應邊
成比例如下：
• 因此 AE/AB＝AG/AD
AE＝8，BE＝2 ，DG＝3，令ＡＧ＝Ｘ
８：（８＋２）＝Ｘ：（Ｘ＋３）
得ＡＧ＝Ｘ＝１２。。。答
這是去年上半年金融風暴前的訊息:
1、職場大洗牌未來10年護士最缺！（美國）
2、光電、電子半導體
3、生物科技
4、環保科技
5、保全服務
6、網路資訊
7、大媒體：通訊、資訊與傳播等產業
8、金融保險業
9、休閒旅遊業與運輸物流
殘酷的世界性金融風暴中，各行各業，金
融、電子科技等無一倖免，許多勞工、白領
階級找沒頭路，連小吃業業績都衰退許多 。
兩三年後，景氣會復甦，同學不必太過憂慮
。但面對現實人生，一定要認真面對現實，
讀書、進修，學有專長，研習一技之長。
金融風暴下，美國財富雜誌挑選七大行業逆勢成長產業，
• 化妝品（經濟差口紅就越賣的口紅理論 ）
• 電玩遊戲（聲光效果十足電玩遊戲，受到
不景氣「宅經濟」發酵影響下逆勢大賣 ）
• 教育（失業者選擇重新回到校園，再充實自己 。）
• 廢棄物回收（環保意識逐漸發酵下，廢棄物變黃金 ）
• 其中和「吃」零食業 （股市狂跌、工作不保，零嘴是
苦悶的最佳調劑下。）有關的產業就占了3 項。
註：2009年美國一月報導：醫療系統受風暴影響較小。
下一題練習一下多邊形外角和定理 的
題目！
先溫習一下公式
• 外角和定理：任意n邊形外角和３６０
度！
• 正n邊形一外角度數＝ ３６００/n
註：一內角＝１８００－（ ３６００/n ）
或【 （n－2）×１８００】/n
一個六邊型公園，如上，小芳由便利超
商８－１２沿公園外邊依順時針方向
一路走，途經Ｃ、Ｂ、Ａ點，走至大
家便利超商，問小芳共轉彎多少度？
已知∠ FED＝900, ∠D＝1080, ∠F＝1320
無論幾邊
形，n邊形
外角和為
３６０度。
• Ｄ點外角７２度。Ｅ點外角９０度。Ｆ點
外角４８度。
• ∠Ａ外角＋ ∠Ｂ外角＋ ∠Ｃ外角＝
３６００－７２０－９００－４８０
＝１５００........答
1、時針、分針與秒針的轉動速率比
為何？
（A）1:12:60（B）1:60:720
（C）1:5:60 （D）1:12:720
2、９點３０分，兩針夾角為多少度?
1、答（Ｄ）
說明：一小時６０分鐘。一小時３６００秒。
一小時短針走一大格５分鐘
５：６０：３６００＝１：１２：７２０
2、秒針速度為分針60倍. 分針速度為時針12倍.
圓一圈為360度,一圈為60分鐘,
所以一分鐘為6度.
30分÷12=5/2分…..
分針走30分時，短針走5/2分
９：３０的時候兩針夾角
15分＋5/2分=35/2分
6度×35/2=105度…..答
• 數學冷笑話：
１、愛的圓圈
一對青年男女坐在沙灘上。男青年在地上畫個圓圈說
道：「我對你的愛，就像這圓圈一樣，永遠沒有終
點。」
女青年也用手指在地上畫個圓，然後說：「我對你的
愛，永遠沒有起點。」
２、數一數二
甲︰「你的兒子數學程度如何？」
乙︰「他是數一數二的。」
甲︰「我的兒子也是『數一數二』的，但是數到三就錯
了。」
• 有關圓、弦、半徑，
半徑垂直平分弦與畢氏定理的結合
的題目。
哆啦A夢報到！
祝明徳國中學子
金榜題名！
注意：是弧形
（圓之部分），
不是拋物線圖形。
水面寬８，水面與最高處２，當水面上升１公尺時
OE
⊥
AB
設
半
徑
為
r
畢氏定理的運用：
BF⊥EF
如上圖，長方形ABCD中，過Ｂ點將Ｃ點折向
AD，使得Ｃ點落在AD上Ｆ點，得一摺痕
BE，若DE=3，DF=4，則長方形ABCD的面
積為何?
〈A〉104 〈B〉96 〈C〉88 〈D〉80
已知
DE=3
DF=4
直角三角
形中知道
EF=EC=5
解：BE是摺痕,設AD=BC=BF=X
因此直角三角形ABF中,由畢氏定理
〈X-4〉2+82=X2得X=10長方形ABCD
的面積10X8=80
答：選（Ｄ）
• 已知一圓形鏡子
碎裂成如右圖：
Ｎ為 AB 中點，
Ｍ為 AB 中點。
老鄧想知道原始鏡子
面積究竟為多少，
於是測量 AB 得２４公分，
又再測量 MN 得 ８公分。
由此兩次數據所得，能否算出
原始鏡子面積究竟為多少？
解：Ａ
12
半徑Ｒ
Ｏ
Ｒ－８
Ｍ
Ｎ
Ｂ
作圖：ＯＡ＝ＯＮ＝ＯＢ＝半徑Ｒ
ＡＢ＝２４，ＭＮ＝８
直角三角形ＡＭＯ中
Ｒ２＝（Ｒ－８）２＋１２２得Ｒ＝１３
圓面積為１３２π
• 休息是為了走更遠的路！^_^
• 1、15 ÷ 2 = (射一成語)
• 2、99 (猜一字)
• 3、10,9,8,7,6,5,4,3,2,1
(猜一個數學名詞)
• 4、２≦X≦３
• 1、七上八下
• 2、白
註：百字去一
• 3、倒數
• 4、接二連三
• 幾何作圖
１、六大基本作圖及全等作圖，內心、外心、
重心等基本作圖。
２、如果作圖要求到兩點（或兩端）
等距，必為中垂線作圖。
３、如果作圖要求到（角的）兩邊
等距，必為角平分線作圖。
４、將線段AB切成兩段比為３：１３，
至少要做中垂線多少次？
答：３＋１３＝２４ 指數為４，知至少四次！
本頁第137頁
一個四邊形公園，預立
一個老鄧銅像在Ｐ位置，
銅像Ｐ映射何處？要求：
１、Ｐ到Ａ、Ｄ兩點等距
２、Ｐ到邊ＡＤ與
邊ＣＤ兩邊等距。
解：
作線段ＡＤ中垂線
作角ＡＤＣ之平分線
兩線交點Ｐ，即為所求！
☞:三角形內心問題
A
如右圖，△ABC中，
AB＝10，BC＝11，CA＝12， B
C
假設想要在△ABC內部找一點P點,使得
△PAB: △PBC: △PCA＝10:11:12,則下
列何者能正確找出此P點?
（A）作∠A、∠B的角平分線,交P點,P為所求.
（B）作AB、BC兩邊上中線,交P點,P為所求.
（C）作AB、BC兩邊上的高,交P點,P為所求.
（D）作AB、BC兩邊上的中垂線,交於P點,
解:
△ABC三內角平分線交點為內心，內心到三
邊的距離相等，此距離即是△ABC內切圓半
徑。內心是△ABC內切圓圓心。
△PAB: △PBC: △PCA因三個高均相等，
故面積比等於三邊比。此三個相等高，是
△ABC內切圓半徑 r。
△PAB: △PBC: △PCA ＝
A
10×r/2:11×r/2:12×r/2＝
10:11:12…答
半徑r
Ｏ
註：內心夾角公式：
Ｂ
∠BOC＝900＋1/2∠BAC
Ｃ
☞:三角形重心問題
鄧老先生有一塊△ABC地，想要平分
成面積相等的三塊分給三個子女，她
先在△ABC內部取一點Ｐ，連接PA、
PB、PC，請各位同學為鄧老先生選
取Ｐ點正確位置。
Ａ
Ｂ
Ｃ
重點
１、重心到三頂點連線，等分△ABC 面積。
２、三中線切六等分△ABC 面積。
３、重心將各中線長，切成２：１之兩段。
Ａ
中點Ｆ
Ｅ中點
重心Ｐ所求
Ｂ
Ｄ中點 Ｃ
☞: 有關三角形外心夾角問題
如右圖 △ABC 中，
∠ACB＝300
∠ABC＝260
Ｏ為外心，
求∠CAO＝?
△外心到
三頂點等距，
可知△AOC是
等腰三角形。
如右可知
∠AOC＝520
故∠CAO＝
（180－52）/2度
＝64度…答
註:外心夾角公式:
若∠BAC是銳角, ∠BOC＝2∠BAC
若∠BAC是鈍角, ∠BOC＝3600－2∠BAC
• △ABC三邊長AB＝13，BC＝14，CA＝15
試求△ABC之
1、重心G到BC之距離?
2、內切圓半徑長?
A
提示:
1、
A
2、
I
G
B
B
C
C
１、△ GBC面積＝1/3 △ABC
２、内切圓半徑（圓心Ｉ內心）＝△/半周長
A
先介紹已知任意△三邊長,求
△面積的兩種方法
13 2 -X 2 =15 2 - 14-X  2
⒜、如右圖用勾股定理
13
作
15
高
求出 X ＝5得高 AD＝12
C
△面積 1/2×14×12＝ 84 B
D
X
14-X
⒝、高中海龍公式：
△ABC面積＝ s s-a   s-b   s-c 
註:S為△半周長Ｓ＝（13＋14＋15）/2＝21
c＝13，a＝14，b＝15，△ABC＝
21  21-13   21-14   21-15  = 84X84 =84
A
解：
1、重心G到BC之
距離h＝?
1/3 △ABC ＝
B
△ GBC面積＝1/2×BC× h
G
C
h
∴ 1/3×84＝1/2×14× h
h＝4…..答
２、内切圓半徑 r ＝△ ABC 面積/半周
長＝84/21＝4
「除了錢之外呢？孩子，我還應
該留給你什麼呢？」
• 為人父母者請靜心想一想，您
到底想留給孩子什麼？
• 為人子女者請靜心想一想，你
到底想留給自己怎樣的未來？
讓我們互道一聲晚安，美女樂團再次出現演奏！
以誠心的祝福，願大家考場如意，一帆風順！
請帶著我們真摯的祝福，祝各位
金榜題名
有緣再會！
８８６
演講到此結束
祝同學們
金榜題名！
午安
• 丹麥是
童話大師安徒生
的祖國，
哥本哈根的美人
魚銅像
在1913年塑成之
後，就
成了丹麥的
象徵。
整潔、細緻、
優美是
大部分遊客對丹
麥的第一印象，市區的廣場上噴泉、雕像、鮮豔
繽紛的花朵與四處翱翔的白鴿，讓這個國家散發
著祥和氣氛。