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利用相似三角形作簡易測量
之前單元的回顧
在上次的課程中，我們用AAA、AA、
SAS、SSS等性質來判別兩個三角形
是否相似。以下則進一步探討，兩
相似三角形的對應邊與對應高、對
應角平分線、對應中線之間的關係，
及對應邊與面積的關係。
相似三角形對應邊的比＝對應高的
比
 如圖，△ABC∼△A‘B’C‘ ，且 AD  BC 於D點，
 A' D '  B 'C ' 於D 點，試說明 BC ：B 'C '
 ＝AD ： A ' D '。
(1)∵△ABC∼△A'B'C'，
' B ' BC
'
∴∠B＝∠B'， AB
： A＝
： B 'C----
'
(2)∵ AD  BC且 A' D '  B 'C，
∴∠ADB＝∠A'D'B'＝90°
故△ABD∼△A'B'D'（AA 相似）
AB ：A ' B ' ＝ AD ：A ' D ' ------ 
(3)由式、式知：
BC： B 'C ' ＝ AD ： A ' D '
觀念整合
兩個相似三角形，
對應邊的比＝對應高的比＝對應角
平分線的比＝對應中線的比。
相似三角形面積的比＝對應邊的平
方比
(2)面積的比＝對應邊的平方比。
如圖 ，△ABC∼△A'B'C'，
則△ABC面積：△A'B'C'面積＝AB 2：A ' B ' 2。
 現實生活中，無法直接求得的距離或長度，
常利用相似三角形作簡易測量。
生活中實際的例子
 相傳兩千六百多年前
，法老王阿美西斯
（Amasis）很想知道
金字塔（如圖1-19）確
實的高度。於是命令祭司們去丈量，但
是祭司們卻束手無策，國王只好以巨額
懸賞徵求能人高手前來揭開這個難題。
 這時希臘數學家泰勒斯（Thales of
Miletus，西元前六、七世紀）正好看
到了國王的告示，便燃起挑戰的壯志。
他試了幾種方法，還是行不通；然而
他並不氣餒。有一天，他走在路上苦
思對策，炙熱的太陽照著他孤獨的身
體，正當他低下頭時，注意到影子一
直跟著自己，而且影子隨著太陽升起
愈來愈短，終於觸動了他的靈感，喃
喃自語：「在一天之中，一定有一個
 時間，身高與影子的長度相等，這時
候金字塔的高度與它的影子也會相等
。」泰勒斯終於利用推理的方法解決
了金字塔高度的問題。

泰勒斯如何解決這個問題呢？如
下圖，藍線表示太陽光線，人與金字
塔分別垂直於地面，因為可視太陽光
線為平行，所以△ABC∼△DEF
 （AA 相似），
 因此當人的身高與影子的長度相等時（ AB
＝ BC ），由 AB ：DE ＝BC ：EF 可知 DE ＝EF
，即金字塔的高度與金字塔的影子長度相等。
課堂練習題
 測量樹高
如右圖，心怡想要測
量樹高 AB ，她在樹前
7.5公尺的C點立了一
根1公尺長的標竿CD ，
且BC 的延長線與CE 的延長線交於E點，又測得
BE ＝9公尺，試求樹高 AB 。
解題過程:
 ∵ CD 與 AB皆垂直於 BC，
 ∴ CD // AB 。
 AB ：CD ＝ BE ： CE
 AB ：1＝9：（9－7.5）＝9：1.5
 AB ＝6
 故樹高 AB ＝6 公尺。
測量湖寬
 如圖，湖邊有A、B 兩點，志明想知道它們之間的
距離。首先他在湖邊的空地找另一點C，並測得
AC ＝75 公尺， MC ＝25 公尺，
BC ＝90公尺， NC ＝30公尺，MN ＝28公尺，
試求A、B兩點的距離。
解題過程
 在△ABC 與△MNC 中，
 ∵ AC： MC＝ BC： NC＝3：1，

且∠ACB＝∠MCN，
 ∴△ABC∼△MNC（SAS 相似），

AB ：MN ＝ AC ： MC


AB ：28＝3：1
AB ＝28．3＝84

故A、B 兩點的距離為84公尺。
隨堂練習
 如右圖，宜君想知道湖邊A 點到湖中小島B 點的距
離，她在湖邊找了一點C，並測得 AC ＝24 公尺，
＝8 公尺，MC ＝6 公尺， AB //MN ，試求A、B
兩點的距離。
隨堂練習
 如圖，志豪想要測量樹高 AB ，他在樹前5公尺的
D 點豎立了一根長1.8公尺的木棍，並從木棍後方2
公尺的觀測點E，觀察到木棍的頂端與樹梢成一直
線，已知E點至地面的高度 EF 為1公尺，試求樹
高 AB 。