Transcript 第五章累積和管制圖與指數加權移動平均管制圖

第五章 累積和管制圖與指數加
權移動平均管制圖
前言
本章將介紹以下兩種用來偵查在製程中
發生小偏移時可以比修華特管制圖更有
效而且有用的管制圖：
1. 累積和管制圖(Cumulative Sum Control
Chart)。
2. 指數加權移動平均管制圖(Exponential
Weighted Moving Average Control Chart)。
5.1 累積和管制圖
• 累積和管制圖是將過去的樣本平均數偏
離目標值的偏差累積到目前的樣本平均
數偏離目標值的偏差的累積偏差和而繪
製管制圖，累積和管制圖納入全部樣本
平均數所提供的全部資訊，所以偵查製
程參數的小偏移，累積和管制圖比修華
特管制圖更有效。
5.1.1 監控製程平均數的累積和管制圖
假設連續的樣本觀察值分別為 x1 , x2 ,, xm，在管制狀態下的製程平均數目標值為 0 ，則累積和之計算
如下：
C1   x1  0 
C2   x1  0    x2  0    x2  0   C1
m



Cm    xi  0   ( xi  0 )  Cm1
i 1
當我們將上述累積和 C1, C2 ,
(5.1)
, Cm 計算出來並且將縱軸為累積和 Ci ，橫軸為樣本號碼 i 分別繪在圖上，如
此我們即可繪製累積和圖(Cusum Chart)。假如製程平均數維持在目標值 0 的狀況下，則所畫出的累
積和圖，將會在以縱軸為 0 之中心線附近隨機的變動，但是如果在製程平均數向下移動到 1 1  0  ，
則累積和圖中的樣本點將會明顯的呈現向下降的趨勢，相反地，假如製程平均數向上移動至
2 2  0  ，則累積和圖中的樣本點將會明顯的呈現向上升的趨勢。
Ci
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
樣本號碼 i
上圖為一累積和圖，由於累積和圖中缺乏管制界限，所以這仍然不能稱之為一個正式的
管制圖，接下來我們將介紹兩種常用的代表累積和的方法，用以偵查製程是否有偏移：
1、表格式的累積和管制圖（The Tabular Cusum）
2、V 型面具（V Mask）
在實務應用方面，表格式的累積和是比 V 型面具較受業界喜愛。
5.1.2表格式的累積和
假設 xi 為製程的品質特性的第 i 個觀察值，當製程是在穩定的管制狀態下，品質
特性 x 服從常態分配 N (0 , 2 ) ，其中 0 為製程的平均數，  為製程標準差，
首先我們將所有大於目標值 0 的偏差予已累積，並且得到統計量 C U ，統計
量 C U 稱為一邊的上累積和。同理，我們將所有小於目標值 0 的偏差予已累積，
L
L
U
L
得到統計量 C ，統計量 C 稱為一邊的下累積和，而 C 及 C 值的計算如下：


CiU  max 0, xi   0  K   CiU1 


， i  1,2,, m
(5.2)


CiL  max 0,  0  K   xi  CiL1 


， i  1,2,, m
(5.3)
其中起始值 C0U  C0L  0
在式子(5.2)及(5.3)中， K 
1  0
2
稱為參考值(Reference Value)，其中 1 為當製程在
失控狀態時的製程平均數。在計算完 CiU 及 CiL 之後，我們必須再選擇決策區間
I
(Decision Interval)；因此若 CiU 或 CiL 超出決策區間 I ，則我們就可以視為製程已經
是在失控狀態，我們必須找出造成失控的可歸屬原因(Assignable Cause)，並採取
矯正措施，消除製程異常的原因，使製程恢復到管制狀態。一般而言，我們大多
選定決策區間 I 為 5 倍標準差，亦即 I  5 為我們的決策區間。
例5-2的資料的累積和狀態圖(a)累積和狀態圖
55
44
U
i
C
33
I=2.542
22
11
00
CiL
-11
-22
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
I=2.542
-33
-4
(a)
例5-2的資料的累積和狀態圖(b)Minitab軟體所繪製的圖
CUSUM Chart of C1
4
3
UCL=2.542
Cumulative Sum
2
1
0
0
-1
-2
LCL=-2.542
-3
1
4
7
10
13
16
Sample
19
(b)
22
25
28
累積和管制圖與修華特管制圖之比較
1. 優點：
(1) 如果製程的偏移是小偏移時，使用累積和管制圖能較快地與有效地偵查出製程的偏移。
(2) 針對製程平均數的偏移，可由累積和圖中點的連線變化看出製程的偏移。
(3) 製程發生偏移時，新的製程平均值  可以估計出來。
2. 缺點：
(1) 累積和管制圖無法很快速的偵查出較大的製程偏移。
(2) 利用過去資料來監控製程，雖然可以獲得更多製程資訊，但計算較複雜與費時。
(3) 對於累積和管制圖所欲偵查的偏移量 K ，在選定上相當的困難。
5.1.3 V型面具法
另一種用來代表累積和的方法即是由 Barnard 於 1959 年所提出的，我們通常稱之為
V 型面具法 (The Cusum Chart with a V mask)。首先將 V 型置於累積和管制圖上，而
m
在 V 型面具上的 F 點即為最後的累積和值 Cm ，統計量 Cm   y j  ym  Cm1 ，其中
j 1
ym 
xm  0
為將觀測值標準化後的值；而線 OF 平行於水平軸或 x 軸。

假如之前的所有累積和， C1, C2 , , Cm 皆落在 V 型面具形式法的上下兩支臂的範
圍內，則製程就處於管制狀態下。相反地，如果有任一樣本點的累積和落在上下兩
支臂的範圍之外，我們就視為製程已處於失控狀態。
Cm
d
U

3S
F
2S
D
1S
1
2
3
i
m
圖5-4 V型面具形式
O
在實際使用時，我們必須在每畫出一個新的累積和，就用 V 型面具法來檢視之前的每一個樣
本點是否有超出其上下兩支臂。
在圖 5-5 中，我們可以看出在樣本 26 的時候，製程平均數  已經有向上偏移的趨勢，而此時
我們也可以從圖中發現第 15 個樣本已經超出我們的下支臂，因此，我們就可以判定此製程已
經處於失控狀態。
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
-5
-10
圖 5-5
累積和管制圖做決策用的 V 型面具例子
V型面具法的參數之計算
假設：
 ：為 x 之標準差
 (Type I error)：為製程在管制狀態下，卻判定製程已經處於失控狀態的機率。
 (Type II error)：為製程已經處於失控狀態，卻判定製程在管制狀態下的機率。
 ：為製程平均數  之偏移量。
因此我們就可以利用下列式子來決定 V 型面具的前置距離 d 及角度  ：
 2  1  
d   2  ln

    
  

 2S 
  t a n1 
其中  

(5.6)
(5.7)
，  即是我們想要偵查出的偏移量  是 x 的標準差  的倍數；而 S 為 V 型面具累

積和管制圖中垂直軸的尺度單位與水平軸的尺度單位的比值。
一般而言， S 會介於  及 2 之間，而我們大多偏好 S  2 。
而假如  很小時，則我們就可以將(5.6)式簡化成：
d  2
ln 
2
(5.8)
5.1.4 設計一個累積和管制圖來獲
得特定的平均串連長度ARL
平均連串長度 ARL 也就是直到出現超出管制狀態的樣本點為止，平均需要畫多少個樣本點。
如果製程是在管制狀態，則平均每第 370 個樣本點將會出現超出管制界限，我們可以使用
平均連串長度來衡量管制圖的績效，因此我們使用平均連串長度 ARL 來設計累積和管制圖；
因為在設計累積和管制圖時，我們希望當製程在管制狀態下的平均連串長度 ARL 值愈大愈
好；而當製程已經有偏移時，我們則希望能快速的偵查出來，因此，此時平均連串長度 ARL
必須愈小愈好。
5.2 指數加權移動平均管制圖
指數加權移動平均管制圖(Exponentially Weighted Moving-Average
Control Chart 或稱 EWMA 管制圖) 是利用所有以前的樣本統計量(例
如：樣本平均數 X 或個別觀測值 X )的加權平均值來建構管制圖，每
i
一個樣本我們都給予一個權數；至於這些權數的分派，則是與樣本
統計量的年齡呈幾何遞減，從最近的樣本統計量開始，我們給予較
高的權數，而發生在過去的樣本統計量則給予較低的權數。
由於權數的分派給予最近的樣本統計量較高的權數，因此指數
加權移動平均值將會反應最近的製程表現，而由過去的研究得知，
EWMA 管制圖在監控製程小偏移的表現上與累積和管制圖差不多，
但是 EWMA 管制圖卻較易於設立與使用。
5.2.1 指數加權移動平均管制圖之基本模式
指數加權移動平均定義如下：
首先定義初始值： W0  0 或 X
(5.9)
m
其中 0 為製程目標值， X 
X
i 1
i
m
為樣本平均數的平均
而指數加權移動平均值： Wk  rX k  1  r Wk 1
(5.10)
在(5.10)式中， r 為一常數，且 0  r  1 。
EWMA 管制圖中的指數加權移動平均值 Wk 為之前所有樣本平均值的加權平均數，我們
可以將 Wk 1 代入(5.10)式的右項，如此我們可以得到 Wk
 rX k  r1  r X k 1  1  r  Wk 2
2
 rX k  1  r rX k 1  1  r Wk 2 
(5.11)
持續進行上述步驟，我們將 Wk i ， i  2,3,, k 代入(5.11)式中，於是就可以得到
k 1
Wk  r  1  r  X k i  1  r  W0
i 0
i
k
(5.12)
修華特管制圖與EWMA管制圖之關係
修華特管制圖，其實只是 EWMA 管制圖的特例。假如我們認為最近的
一個樣本統計量很重要，而之前的所有樣本統計量則認為不重要，則我
們可以將最近的一個樣本統計量分派最大的權數（即 r  1 ）
，而將其餘
較早之前的樣本統計量分派為零的權數，如此就形成修華特管制圖。
EWMA管制圖的上下管制界限及中心線
當製程平均的目標值 0 與製程標準差  已知時，EWMA 管制圖的管制界限為：
當 k 值較小時：
上管制界限： UCL  0  L
r
1  1  r 2 k 

n2  r  
中心線： CL  0
下管制界限： LCL  0  L
(5.15)
r
1  1  r 2 k 

n2  r  
當 k 值較大時：
上管制界限： UCL  0  L
r
n 2  r 
中心線： CL  0
下管制界限： LCL  0  L
(5.16)
r
n 2  r 
其中 0  r  1， L 為管制界限的寬度，對於個別觀察值 X 的 EWMA 管制圖的管制界限只要將
式子(5.15)與(5.16)的樣本數 n 以 1 代入即可。
當製程平均的目標值 0 與製程標準差  未知時，EWMA 管制圖的管制界限為：
當 k 值較小時：
上管制界限： UCL  X  Lˆ
r
1  1  r 2 k 

n2  r  
中心線： CL  X
下管制界限： LCL  X  Lˆ
(5.17)
r
1  1  r 2 k 

n2  r  
當 k 值較大時：
上管制界限： UCL  X  Lˆ
r
n2  r 
中心線： CL  X
下管制界限： LCL  X  Lˆ
(5.18)
r
n2  r 
其中 0  r  1， L 為管制界限的寬度，對於個別觀察值 X 的 EWMA 管制圖的管制界限只要將
式子(5.17)與(5.18)的樣本數 n 以 1 代入即可。
5.2.2 逐步建立EWMA管制圖
建立 EWMA 管制圖的步驟：
1.自製程中隨機抽取樣本，並加以量測，得到各組樣本 x1 , x2 ,, xn 。(建議至少抽取 25 組)
2.計算各組樣本平均數及標準差之估計值。
3 計算指數加權移動平均值。
4.計算 EWMA 管制圖之上下管制界限及中心線。
5. 將所有計算出來的指數加權移動平均值 Wk 與樣本號碼 k 畫在管制圖上，並決定製程平均數
是否在管制狀態下。
EWMA Chart of C1
5.2
5.0
+2.8SL=4.967
EWMA
4.8
4.6
_
_
X=4.5
4.4
4.2
-2.8SL=4.033
4.0
1
4
7
10
13
16
Sample
19
22
25
28
圖 5-7 指數加權移動平均管制圖(EWMA 管制圖)
由圖 5-7 中可以看出第 26 樣本之 W26  5.031983 值大於 UCL  4.966666 ，因此我們知道此時
製程已有所偏移，製程是處於失控狀態，我們必須找出造成製程異常的原因。並採取矯正
行動，消除製程異常的原因，使製程恢復到穩定的管制狀態。
5.2.3指數加權移動平均管制圖的設計參數r與
L的選定以來獲得特定的ARL0
製程在管制狀態下，平均連串長度 ARL0 要大，當製程在失控狀態時，其平均連串長度 ARL1 要
小，管制圖的績效就較好。當 EWMA 管制圖的設計參數 r  1 ， L  3 時，則 EWMA 管制圖
即變為修華特管制圖。
表 5-10 設計參數 r 與 L 的不同選擇組合下的 EWMA 管制圖的平均連串長度 ARL (取自 Lucas
及 Saccucci (1990))
L  3.054
L  2.998
L  2.962
L  2.814
L  2.615
r  0.40
r  0.25
r  0.20
r  0.10
r  0.05
0
500
500
500
500
500
0.25
224
170
150
106
84.1
0.50
71.2
48.2
41.8
31.3
28.8
0.75
28.4
20.1
18.2
15.9
16.4
1.00
14.3
11.1
10.5
10.3
11.4
1.50
5.9
5.5
5.5
6.1
7.1
2.00
3.5
3.6
3.7
4.4
5.2
2.50
2.5
2.7
2.9
3.4
4.2
3.00
2.0
2.3
2.4
2.9
3.5
4.00
1.4
1.7
1.9
2.2
2.7
平均數的偏
移量(標準差
 的倍數
5.2.4 移動平均管制圖
• 移動平均管制圖(Moving Average Control Chart)。
• 這種移動平均管制圖其實只是前面所介紹的EWMA管
制圖的特例，在偵查製程小偏移時，移動平均管制圖
是比修華特管制圖有效，但累積和管制圖與EWMA管
制圖又比移動平均管制圖更有效，所以在偵查製程小
偏移時，我們建議使用EWMA管制圖會較簡單與較有
效。在EWMA管制圖中，我們使用指數加權移動平均
值來當作管制圖的統計量，而在移動平均管制圖中，
我們將過去收集的樣本資料和最近所收集的樣本資料
的重要性視為相同，因此我們給予過去資料及最近的
資料給予相同的權數。
首先，假設 X1 , X 2 ,
為個別觀察值，其服從常態分配，母體平均數為 0 ，母體變異數為  2 ，
在時間 i 時，寬度範圍(Span)為 k 組的移動平均 M i 為：
X i  X i 1   X i  k 1
k
移動平均 M i 變異數為：
Mi 
(5.21)
i
i
1
1
2
2
(5.22)
Var  M i   2  Var  X j   2   
k j i k 1
k j i k 1
k
因此對於第 i 組 (i  k ) 觀察值，移動平均 M i 的三倍標準差的管制界限之上、下管制界限及中
心線為：
上管制界限： UCL   0  3

k
中心線： CL  0
下管制界限： LCL   0  3

k
而值得特別注意的一點是：對於第 i 組 (0  i  k ) 觀察值時，移動平均 M i 的三倍標準差的管制
界限之上、下管制界限及中心線為：
上管制界限： UCL  0  3

i
中心線： CL  0
下管制界限： LCL  0  3

i
將所有移動平均 M i 與樣本號碼 i 繪製在移動平均管制圖上，如圖 5-10。
19
18
17
UCL
=16.341641
16
15
CL
=15
LCL
=13.65836
14
13
12
11
圖 5-10 寬度範圍 k  5 的移動平均管制圖
而由移動平均管制圖中，我們發現第 9 個移動平均值 M 9  13.618，已經超出下管制界限，此
時製程已經處於失控狀態，因此必須找出造成製程不穩定的可能的原因，並採取矯正行動，
消除製程異常的原因。