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（第二课时）
割线定理及切割线定理
珠海市第二中学
授课教师： 陈伟强
教材分析：
关于教材的地位和作用
《和圆有关的比例线段》一节，是在研究了《直线与圆的位
置关系》的基础上继续研究两条相交直线与圆相交（切）所
截得的比例线段，从而得出三个重要的定理（相交弦定理及
推论、割线定理、切割线定理）。它是前面知识的深化和应
用，是平面几何中的重要内容之一；同时，本节又是圆与直
线型的知识脉络的交汇点，在解决角相等、三角形相似、线
段相等、线段成比例等问题时有着重要作用。由于本节定理
的综合性、连贯性、运动性，决定了本节内容也是培养学生
空间想象能力和逻辑思维能力以及用运动变化的观点来观
察分析问题的鲜活教材，对培养学生的探索精神和创新能力
都有着重要意义。
关于教学内容
《和圆有关的比例线段》第二课时的主要内容是
割线定理、切割线定理的引出、证明和初步应用。
因为本节课是前一节课《相交弦定理及其推论》
的继续，所以本人对定理的引出改变了教材中直接
给出定理的做法，对两个定理出现的先后顺序也作
了调整，并分别命名为“割线定理”和“切割线定理”。
这样处理，是着眼于引导学生用运动变化的观点逐
步发现定理，也让学生感到自然，心理上好接受。
教学目标:
①．能说出割线定理、切割线定理。
②．理解定理的证明思路。
③．能结合图形对定理进行再认。
④．能初步应用定理解决相关问题。
⑤．通过定理的引出、证明，提高学生
分析问题及解决问题的能力。
⑥．通过定理的比较，培养学生用运动
变化的观点探究和圆有关的比例线段。
教学重点：
通过模拟演示、推理论证，领会定理
及证明的实质，以及定理在新情境中
再认。同时尝试用运动变化的观点观察
分析问题的思想方法。
难点：定理在新情境中再认及应用。
关键：掌握定理的基本图形，对图形
进行合理的拆、分、补。
一、情境－－－引入
以问题为出发点，承接上一节课的
情境发问，为的是激发兴趣和求知欲。
提问：两条直线相交于圆内一点P，
被圆截得两条相交弦AB、CD，
则有结论：________________.
A
D
P
C
B
相交弦定理
圆内的两条弦相
交，被交点分成的两
条线段长的积相等。
AP .BP=CP .DP
A
D
P
C
B
相交弦定理的推论
如果弦与直径垂直
相交，那么弦的一半是
它分直径所成的两条线
段的比例中项。
C
A
P
2
CP =AP . BP
D
B
提出猜想:
相交弦的交点由圆内运动到圆上
定理还成立吗？到圆外呢？
动画演示
二、新知－－－探索
动画演示
提出问题:
已知：相交弦定理是两弦相交于
圆内一点．如果两弦延长交于圆外
一点P，那么该点到割线与圆交点
的四条线段PA，PB，PC，PD的长
之间有什么关系？(如图)
B
A
PA .PB=PC. PD
P
此时等积式是否仍然成立？
C
D
已知：如图点P是⊙O外一点，PAB，PCD是割线。
求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AD，BC
P  P 
  PAD ∽ PCB
B  D
 PA : PC  PD : PB  PA  PB  PC  PD
B
A
O
P
C
D
割线定理
从圆外一点引圆
的两条割线，这一点
到两条割线与圆的交
点的两条线段长的积
相等。
B
A
P
PA .PB=PC. PD
C
D
B
A
P
C
D
提问：上图割线定理的基本构图，
此图中共有____条线段,分别是_________,
结论中的“积相等”涉及的线段是________，
若要把定理的结论用图中的任意四条线段
表示出来，则应该是__________________。
（设计意图：让学生理解定理的实质，
掌握基本构图和基本关系式）
进一步猜想:
动画演示
PA位置还可以怎样变化，
能否得到新的结论？
提问：让点A沿圆周向点B P
运动直至重合，此时PA与圆
的位置关系是_____,
割线PBA变成圆的____,
线段PA与线段PB重合,
割线定理的结论仍成立吗?
为什么?
2
P
PA =PC . PD
此时等积式是否仍然成立？
B
A
C
D
通过运动变化
A(B)
C
D
已知：如图点P是⊙O外一点，PA是切线，
A是切点，PCD是割线。
求证：PA2=PC·PD
证明： 连接AC，AD
P  P 
  PAC ∽ PDA
PAC  D 
 PD : PA  PA : PC  PA  PC  PD
2
A(B)
P
C
D
切割线定理
从圆外一点引圆的切
线和割线，切线长是这点
到割线与圆交点的两条线
段长的比例中项。
2
PA =PC . PD
A(B)
P
C
D
三、比较辨析 －－－建构系统
A
A
P
C
D
B
O
O
D
B
C
A (B)
P
O
D
C
（设计意图：旨在培养学生用运动变化的观点
来观察分析问题，打通知识的前后联系，
构建知识系统。）
P
四、尝试练习 －－－评价反馈
如图：过圆外一点P，引圆的割线PAD、PBC，
与圆分别交于A、D，B、C；引切线PN，N为切点，
连AC、BD，相交于点M。请判断下列结论的正误。
N
D
O
A
M
P
B
C
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
PA·PB=PC·PD
PA·PD=PB·PC
PN2=PA·PD
PN2=PB·PC
AM·MC=BM·MD
AM·AC=BM·BD
PN2=PB·BC
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
五、变式训练 －－－培养能力
例题 已知：如图，⊙O的割线PAB交⊙O
于点A、点B，PA=6㎝，AB=8㎝，PO=10.9㎝，
求⊙O的半径。
D
O
C
P
A
B
分析：先请学生回答，按割线定理是否有结论：
PA·PB=PC·PO，
然后剖析原因。对照基本构图，找出解决办法：
延长PO交⊙O于点D，
再利用割线定理，列方程加以解决。
练习：
然后完成课本
P114 第2题和第3题
归纳小结 ：
以师生对话的方式回顾本节课所学的两个定理，
以及它们与前面所学定理的联系，应用定理中的
应注意的问题。
布置作业：
P117 第4题
P118 第5题
P118 第6题