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給學生一個驚豔的經驗：
以探索為核心的幾何臆測與論證活動
鄭英豪
臺北市立教育大學 數學資訊教育學系
臺北市立教育大學 數學資訊教育學系 鄭英豪 [email protected]
先從PISA(數學素養)的考題說起
• 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養
水準
• 個人能在多樣不同的情境之下，將情境問題轉化成數學問
題、使用數學及詮釋數學的能力
• 包括數學推理及使用數學概念、程序、事實、工具來解釋
、描述及預測現象
我國 PISA 評量成績 (國際排名)
2006
2009
閱讀
科學
數學
16
23
4
12
1
5
• 我們不知道為什麼第一，也不知道為什麼退步，因為我們
完全不知道素養是什麼
臺北市立教育大學 數學資訊教育學系 鄭英豪 [email protected]
PISA幾何題：例1
這是
哪一
種錐
體？
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PISA幾何題：例1
需要的數學知識小學學過吧？
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PISA幾何題：例2
這是小學問題
臺北市立教育大學 數學資訊教育學系 鄭英豪 [email protected]
PISA幾何題：例3
直接比較？
截補策略？
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PISA幾何題：例4
讀文辨圖？
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PISA幾何題：例5
圖形周長？
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PISA幾何題：例6
積木體積？
臺北市立教育大學 數學資訊教育學系 鄭英豪 [email protected]
PISA試題的意義
幾何素養不是幾歲時學會什麼的問題
PISA考驗的是
• 學過的幾何知識，以及經驗過的幾何方法能
不能用出來的問題
尤其是
• 人在幾何情境中，有效解決問題的知識憶取
與思維運作歷程
臺北市立教育大學 數學資訊教育學系 鄭英豪 [email protected]
反思幾何教學的迷思
• 我們習慣以「年級」當作指標來度量學生的
數學「程度」
– 幾年級學過什麼、幾年級要（該）學什麼
• 也就是…
– 知識、能力被「序列化」、「年級化」
• 漸漸地…
– 時間還沒到的不用教、還沒教的不用會
• 但是
– 知識真的不是這樣形成與被實際運用的
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我的關心
• 幾何思考究竟是什麼？包含哪些成分？
• 幾何思考如何教學？如何統整成分實施？
• 我不相信幾何思考是可以用層次編序教學培
養出來的
– 幾何的循序漸進與數與量的算術本質上不同
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幾何教與學的內涵…有哪些說法(1)
van Hiele說思維層次：
• visual/recognition
– 分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。
• descriptive/analysis
– 以構成要素分析圖形，發現一群圖形共有的性質。
• relational/ordering
– 提出或理解非正式論證，以邏輯聯繫已發現的性質。
• formal/deduction
– 演繹證明定理，並且建立定理的網路結構。
• rigor/axiomatic
– 學生在不同的公設系統中建立定理並且分析比較這些系統。
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幾何教與學的內涵…有哪些說法(2)
Duval說了解成分：
• 知覺的(perceptual)
– 看到幾何圖形時辨識到的構形與關係
• 序列的(sequential)
– 依次序逐次作出基本單元而組合成整個圖形的瞭解
• 論說的(discursive)
– 對一個幾何圖形基本的名稱、假設、已知條件的瞭解
• 操作的(operational)
– 對圖形進行分解組合、放大縮小、平移旋轉等操作以獲
得解題或論證靈感的瞭解
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幾何教與學的內涵…有哪些說法(3)
Duval又說幾何歷程：
• 視覺(visualization)
– 對於圖形空間表徵的認知
• 表象圖形(線條與原型形狀的組構物)
• 洞察幾何意義(角、平行垂直、等距等積)
• 根據文字敘述的圖形再現
• 構圖(construction)
視覺
– 根據作圖工具對圖形的再製過程
• 推理(reasoning)
– 進行論說的過程
4
構圖
1
3
2
推理
5(A) 5(B)
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幾何教與學的內涵…有哪些說法(4)
Fischbein區分幾何物件意識：
• 知覺影像(perceptual image)
– 看到形狀、線條組、資訊的直接指涉
• 圖形概念(figural concept)
– 看見幾何結構，線段、角、關係…
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幾何教與學的內涵…有哪些說法(5)
Vinner & Tall區分幾何概念意識：
• 概念心像(concept image)
– 心念中的第一連結物件
• 有名字的形狀、看起來像的形狀
• 概念定義(concept definition)
– 抽象意念對應的幾何結構
• 具有一定特性的形狀
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從來沒有誰說幾何的教與學是
先形狀、元素、關係
然後才推理證明
幾何的學習歷程本質上就是
一直在「運思」，只是
運思的對象(形體、構形)愈來愈廣雜
運思的嚴密(邏輯、演繹)愈來愈凸顯
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幾何運思活動的體驗與設計
大家來經驗一下
一塊正方形的蜂蜜蛋糕，要均分給 4個人
• 可以怎麼分？
• 還可以怎麼分？
• 為什麼每一塊都一樣？
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可能引發的漸次策略
• 四等分
• 平分，再平分
– 等形平分
– 等積平分
– 等積分割
• 正方形的
1
4
1
1 1
1
1
   2  4
4
2 2
8
16
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推向推論與論證
• XXX 這樣分可以嗎？為什麼？
• 等積的方法
＝
• 等形的方法
＝
＝
＝
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孩子有哪些巧思
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這樣做照顧了… van Hiele思維層次
• visual/recognition
– 分辨、稱呼、比較及操弄正方形與子圖
• descriptive/analysis
– 描述子圖的構成，指出均分的意義
• relational/ordering
– 提出各子圖為均分的原因
• formal/deduction
• rigor/axiomatic
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這樣做照顧了… Duval了解成分
• 知覺的(perceptual)
– 看到正方形與各種四等分子圖
• 序列的(sequential)
– 依四等分的建構策略，逐步作出等分子圖
• 論說的(discursive)
– 論說與理解均分的原因
• 操作的(operational)
– 對正方形及已得子圖進行分解組合，獲得預期
目標
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這樣做照顧了… Duval幾何歷程
• 視覺(visualization)
– 將四等分轉換成圖形影像
– 視覺化各種四等分圖形
• 構圖(construction)
– 作各種四等分的子圖
• 推理(reasoning)
– 再分割的推論
– 判斷是否均分
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這樣做照顧了… Fischbein幾何物件意識
• 知覺影像(perceptual image)
– 看到正方形與分割線
– 看到各自的子圖
• 圖形概念(figural concept)
– 看見子圖及其之間的幾何結構
– 看見子圖與正方形的相對關係
– 看見子圖等積截補的過程（動態心像）
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這樣做照顧了… Vinner & Tall幾何概念意識
• 概念心像(concept image)
– 單一切截
– 四等分
– 平分再平分
• 概念定義(concept definition)
– 多樣切截
– 等積的四分之一
– 等形的四個部分
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這樣的活動是在作什麼？
數學情境
形成臆測
形成命題
檢驗探究
嘗試推論
組織論述
形式證明
Boero：數學家的數學活動內涵
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這是一種統整的幾何活動
• 提供一個學生可以操作的開放式情境
• 提出構圖與視覺活動
– 視覺式構圖、視覺推理
– 以多樣的作品引發更進一步的操作
– 挑戰所做是否滿足要求
• 提出推理與視覺活動
– 判斷其他作品的正確性
– 論述指定作品的正確性
• 量的取向
• 形的取向
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也可以設計成這樣…(程序性反駁)
• 提出一個偽命題的似真特例
– 直角三角形斜邊上的高＝斜邊長一半
• 要求學生構圖舉例，記錄資訊
– 做出各種直角三角形，量出並記錄邊與角
• 區分正、反例
• 找出正例的條件通性，修正原命題的前提
2 1
– 等腰直角三角形斜邊上的高＝斜邊長一半
• 找出所有例的共通結果，修正原命題結論
– 直角三角形斜邊上的高＝兩股積/斜邊長
• 要求學生檢驗一般性或證明命題
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結語一：幾何的整合式學習活動成分
• 觀察與辨識
– 已有的圖形與子圖、構形(元素)、相(絕)對關係
• 構圖的順序
– 先決定什麼、依什麼條件、下一個是什麼
• 推理與猜想
– 形變換的結果、怎樣可以達到目的
• 語彙與表達
– 說到別人聽得懂、懂別人所說
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中小學幾何教學的困境
• 我們其實教了很多東西
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• 我們也有很高階的幾何問題
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學校課程中的幾何挑戰也很難
已知度量與關係，求度量
M//N，∠1=30°, ∠2=45°。
求x
已知關係，求證/檢驗關係
四邊形ABCD中， AB//CD，
AB＝CD。
求證ABCD是平行四邊形
M
A
1
B
x
N
2
C
D
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但實際上…五年級學生記住的幾何性質
正方形
四邊相等 85.7
四個直角 80
兩對邊平行 45.7
平行四邊形
對邊平行 80
長方形
四個直角 77.5
對邊平行 62.9
對邊等長 40
菱形
四邊等長 60
對邊平行 40
梯形
一對邊平行 77.1
鳶形
0
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…小學生的幾何知識調查
•
•
•
•
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•
•
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•
•
橢圓、半圓歸類為圓形
不會留意圖形是否具有封閉性
受到整體視覺的影響
正方形就一定要是水平的呈現
有弧度的角也可算是正方形
菱形與正方形相互混淆
長方形就一定要長長的，
長方形與平行四邊形上學生容易產生混淆
兩邊短短底邊長長的銳角三角形才會是三角形
面積、體積、周長三者混淆
體積與重量的概念無法區辨清楚
牛奶盒學生會說盒子是「高高的」不是「寬寬的」
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而且…國中生眼力也差不多
下列哪些是...
銳角三角形
正三角形
等腰 三角形
正方形
矩形(長方形)
平行四邊形
菱形
圓
G7
4.9
80.3
4.1
68.0
12.7(41.8)
20.5
17.2
13.9
G8
7.9
78.1
6.6
69.7
20.2(36.4)
25.5
22.7
8.3
G9
32.7
86.1
15.5
77.1
31.8(38.0)
38.4
38.0
18.8
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…國中生也沒多會算
v
v
u
w
p
正確
缺漏
空白
G7
37.0
20.3
42.7
u
p
G8
47.1
12.6
40.3
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…學了證明也一樣
如圖，請證明：「設A為圓心，AB為
半徑，AB的垂直平分線交圓周於一點
C。則△ABC為正三角形。」
可接受
不完備
不當的
直觀反應
空白或無推論
24.6
35.0
0.3
2.8
37.4
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連背性質都背不準
□ 平角是180度。
( )∠1＋∠2＋∠3＝180°
( )∠2＋∠3＋∠4＝180°
( )∠3＋∠4＝180°
( )∠1＋∠2＋∠4＝180°
1
2
3
4
國一314人 選正確 再選1 再選2 再選3 再選4
選擇率
70.4
58.3
10.8
46.5
6.69
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編織的問題：跳躍與斷裂
•少了那不起眼卻又關鍵的一步
–似乎聽得懂，但是
–學生「會」（動機、能力）做嗎？
• 教材中會用色彩凸顯幾何資訊讓學生具焦在應注意
的資訊上，這個動作，學生自己「會」做嗎？
•忽略了語言、表徵與數學內涵的差異性
–用文字與口語傳遞幾何資訊時，真正被理解的
幾何資訊是什麼？
–對應在幾何脈絡中的樣貌是什麼？
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結語二：回歸構形的教學焦點
• 幾何單元真正的學習對象是構形而非圖形
– 幾何世界是由線段、角、點所構成的
– 圖形是構形的組合介面而非思維目的
• 幾何性質是構形間的關係而非圖形的特性
– 所有的構形關係都不是為圖形而開發的
• 構形應在複雜中被辨識而非典型呈現
• 構形與其關係要讓學生看得見而非聽得到
– 老師愛講愛寫，學生只好聽聲音看文字
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總結：數學教師的挑戰：編織學習脈絡
• 「圖形」與「構形」
– 輪廓外觀 vs. 邊、角
• 「描述」與「推論」
– 時鐘是圓形，所以是線對稱 vs. 鐘面數字不對稱
• 「命名」與「定義」
– 角柱的側面是長方形（正方形）
– 圓柱有沒有邊
• 「探索」與「解題」
– 在開放性情境中 vs. 在限定問題中
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謝謝各位的聆聽
臺北市立教育大學 數學資訊教育學系 鄭英豪 [email protected]